2022年普通高等學校招生全國統(tǒng)一模擬考試數(shù)   學本試卷共4頁，22小題，滿分150分?？荚囉脮r120分鐘。注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡指定位置上。2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保持答題卡的清潔?？荚嚱Y(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，集合，則（    ）A. B. C. D.2.已知，則的虛部是（    ）A. B. C. D.3.已知，，則（    ）A. B. C. D.4.下列函數(shù)是奇函數(shù)，且函數(shù)值恒小于1的是（    ）A.  B.C.  D.5.下圖是戰(zhàn)國時期的一個銅鏃，其由兩部分組成，前段是高為2cm、底面邊長為1cm的正三棱錐，后段是高為0.6cm的圓柱，圓柱底面圓與正三棱錐底面的正三角形內(nèi)切，則此銅鏃的體積約為（    ）A. B. C. D.6.為提高新農(nóng)村的教育水平，某地選派4名優(yōu)秀的教師到甲、乙、丙三地進行為期一年的支教活動，每人只能去一個地方，每地至少派一人，則不同的選派方案共有（    ）A.18種 B.12種 C.72種 D.36種7.意大利著名數(shù)學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：1，1，2，3，5，…，其中從第三項起，每個數(shù)等于它前面兩個數(shù)的和，即，后來人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”.記，則（    ）A. B. C. D.8.已知當時，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有且只有兩個交點，則實數(shù)k的取值范圍是（    ）A. B. C. D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.若，則下列不等式中正確的有（    ）A. B. C. D.10.某市為了研究該市空氣中的PM2.5濃度和濃度之間的關(guān)系，環(huán)境監(jiān)測部門對該市空氣質(zhì)量進行調(diào)研，隨機抽查了100天空氣中的PM2.5濃度和濃度（單位：），得到如下所示的2×2列聯(lián)表：                         PM2.564161010經(jīng)計算，則可以推斷出（    ）A.該市一天空氣中PM2.5濃度不超過，且濃度不超過的概率估計值是0.64B.若2×2列聯(lián)表中的天數(shù)都擴大到原來的10倍，的觀測值不會發(fā)生變化C.有超過99%的把握認為該市一天空氣中PM2.5濃度與濃度有關(guān)D.在犯錯的概率不超過1%的條件下，認為該市一天空氣中PM2.5濃度與濃度有關(guān)附：0.0500.0100.0013.8416.63510.82811.已知正方體的棱長為1，點P是線段上（不含端點）的任意一點，點E是線段的中點，點F是平面內(nèi)一點，則下面結(jié)論中正確的有（    ）A.平面B.以為球心、為半徑的球面與該正方體側(cè)面的交線長是C.的最小值是D.的最小值是12.已知F是拋物線的焦點，過點F作兩條互相垂直的直線，，與C相交于A，B兩點，與C相交于E，D兩點，M為A，B中點，N為E，D中點，直線l為拋物線C的準線，則（    ）A.點M到直線l的距離為定值 B.以為直徑的圓與l相切C.的最小值為32 D.當最小時，三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知向量，，若，則______.14.已知函數(shù)，，用表示m，n中的最小值，設(shè)函數(shù)，若恰有3個零點，則實數(shù)a的取值范圍是______.15.已知橢圓的左焦點為F，過原點O的直線l交橢圓C于點A，B，且，若，則橢圓C的離心率是______.16.已知函數(shù)，，，且在區(qū)間上有且只有一個極大值點，則的最大值為______.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（本小題滿分10分）已知數(shù)列是等比數(shù)列，且，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和，并證明：.18.（本小題滿分12分）已知在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，.（1）求角A的大??；（2）若，求周長的最大值.19.（本小題滿分12分）如圖，在三棱柱中，平面平面，，，四邊形是菱形，，是的中點.（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值.20.（本小題滿分12分）中醫(yī)藥傳承數(shù)千年，治病救人濟蒼生.中國工程院院士張伯禮在接受記者采訪時說：“中醫(yī)藥在治療新冠肺炎中發(fā)揮了核心作用，能顯著降低輕癥病人發(fā)展為重癥病人的幾率.對改善發(fā)熱、咳嗽、乏力等癥狀，中藥起效非?？?，對肺部炎癥的吸收和病毒轉(zhuǎn)陰都有明顯效果.”2021年12月某地爆發(fā)了新冠疫情，醫(yī)護人員對確診患者進行積極救治.現(xiàn)有6位癥狀相同的確診患者，平均分成A，B兩組，A組服用甲種中藥，B組服用乙種中藥.服藥一個療程后，A組中每人康復的概率都為，B組3人康復的概率分別為，，.（1）設(shè)事件C表示A組中恰好有1人康復，事件D表示B組中恰好有1人康復，求；（2）若服藥一個療程后，每康復1人積2分，假設(shè)認定：積分期望值越高藥性越好，請問甲、乙兩種中藥哪種藥性更好?21.（本小題滿分12分）已知雙曲線的離心率是，實軸長是8.（1）求雙曲線C的方程；（2）過點的直線l與雙曲線C的右支交于不同的兩點A和B，若直線l上存在不同于點P的點D滿足成立，證明：點D的縱坐標為定值，并求出該定值.22.（本小題滿分12分）已知函數(shù)，.（1）當時，證明：當時，；（2）若對，都，使恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.
2022年普通高等學校招生全國統(tǒng)一模擬考試數(shù)學參考答案及評分標準   2022.3一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.【答案】C【解析】因為集合，集合，所以，故選C.2.【答案】B【解析】因為，所以z的虛部是，故選B.3.【答案】B【解析】由，，得，所以，故選B.4.【答案】A【解析】因為，所以函數(shù)為奇函數(shù)；因為，又，所以，故A正確；函數(shù)非奇非偶，故B錯誤；函數(shù)為偶函數(shù)，故C錯誤；因為，故D錯誤，故選A.5.【答案】D【解析】因為正三棱錐的底面邊長為1，所以其內(nèi)切圓半徑為，由三棱錐體積與圓柱體積公式可得，故選D.6.【答案】D【解析】4名教師分為3組，有種方法，然后再分別派到甲、乙、丙三地，共有種方案，所以共有36種選派方案.故選D.7.【答案】C【解析】由，得.故選C.8.【答案】A【解析】由題設(shè)，當時，，令，則，所以當時，，則單調(diào)遞增；當時，，則單調(diào)遞減.又，，所以當時，直線與的圖象有兩個交點，即函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有且只有兩個交點.故選A.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.【答案】AB【解析】對于A選項，因為，所以，故A正確；對于B選項，因為函數(shù)在R上單調(diào)遞增，所以，故B正確；對于C選項，當時，不成立，故C不正確；對于D選項，當，時，，故D不正確.故選AB.10.【答案】ACD【解析】補充完整列聯(lián)表如下：                         PM2.5合計641680101020合計7426100對于A選項，該市一天中，空氣中PM2.5濃度不超過，且濃度不超過的概率估計值為，故A正確；對于B選項，，故B不正確；因為7.4844>6.635，根據(jù)臨界值表可知，在犯錯的概率不超過1%的條件下，即有超過99%的把握認為該市一天空氣中PM2.5濃度與濃度有關(guān)，故C，D均正確.故選ACD.11.【答案】ABD【解析】對于A選項，因為平面即為平面，又因為，且平面，平面，所以平面，故A正確；對于B選項，該球面與側(cè)面的交線長為，故B正確對于C，D選項，將沿翻折到與在同一平面且點，D在直線的異側(cè)，作于點G，此時，則的最小值是，故C不正確，D正確.故選ABD.12.【答案】BCD【解析】設(shè)，，，，，，直線的方程為，則直線的方程為.將直線的方程代入，化簡整理得，則，，故.所以，.因為點A到直線l的距離，點B到直線l的距離，點M到直線l的距離，又，所以，故A錯誤；因為，所以以為直徑的圓的圓心M到l的距離為，即以為直徑的圓與l相切，故B正確；同理，，所以，，，則，當且僅當時等號成立，故C正確；.設(shè)，則，，.當時，即時，最小，這時，故D正確.故選BCD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.【答案】【解析】因為，所以，解得，故填.14.【答案】【解析】若恰有3個零點，則函數(shù)在區(qū)間上存在兩個零點，故解得，故填.15.【答案】【解析】設(shè)右焦點為，連接，.因為，即，可得四邊形為矩形.在中，，.由橢圓的定義可得，所以，所以離心率，故填.16.【答案】【解析】由題意知，，，則，，其中，.當時，，，；當時，，，.又在區(qū)間上有且只有一個極大值點，所以，得，即，所以.當時，，，此時，此時有2個極大值點，舍去；當時，，，此時，此時有1個極大值點，成立，所以的最大值為，故填.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（1）解：設(shè)等比數(shù)列的公比是q，首項是.由，可得.由，可得，所以，所以.（2）證明：因為，所以.又，所以.18.解：（1）由正弦定理，得.由余弦定理得，，又，所以.（2）由和（1）可知，則，得，即，所以（當且僅當時，取得等號），所以周長的最大值為.19.（1）證明：因為四邊形是菱形，，所以.因為平面平面，平面平面，所以平面，所以.因為，所以.又，且，所以平面，所以平面.（2）解：如圖，連接.因為，，O是的中點，所以.又因為平面平面，平面平面，所以平面.設(shè)，建立空間直角坐標系，則，，，，，，.設(shè)平面的法向量是，則即取，可得.設(shè)平面的法向量是，則即取，可得.所以.所以二面角的余弦值是.20.解：（1）依題意有，，.又事件C與D相互獨立，則，所以.（2）設(shè)A組中服用甲種中藥康復的人數(shù)為，則，所以.設(shè)A組的積分為，則，所以.設(shè)B組中服用乙種中藥康復的人數(shù)為，則，，，，故的分布列為0123所以.設(shè)B組的積分為，則，所以.因為，所以甲種中藥藥性更好.21.（1）解：依題意得，解得所以雙曲線C的方程是.（2）證明：設(shè)，，，直線l的方程為.將直線方程代入雙曲線方程，化簡整理得，，則，.z=1要使直線與雙曲線的右支有兩個不同的交點A和B，則應(yīng)滿足即解得.（無這個范圍，也不扣分）由，得，故，所以.又，所以點D的縱坐標為定值.22.（1）證明：當時，.令，則，所以在上單調(diào)遞增，且，所以，即.令，則，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，所以，所以.所以當時，有，所以當時，.（2）解：因為，使恒成立，令，只需，即在上恒成立，.整理得.（）.設(shè)，則.又，可得時，，單調(diào)遞增；時，，單調(diào)遞減，因此當時，有最小值，所以在R上單調(diào)遞增.所以（）式即，所以，即.設(shè)，，則，令，解得.當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當時，，函數(shù)單調(diào)遞減.所以，所以.所以實數(shù)a的取值范圍為. 

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