問(wèn)題1 觀(guān)察下面多邊形，它們的邊、角有什么特點(diǎn)？
它們的各邊都相等，各內(nèi)角也相等.
各邊相等，各內(nèi)角也相等的多邊形叫做正多邊形.如果一個(gè)正多邊形有 n (n≥3) 條邊，那么這個(gè)正多邊形叫做正 n 邊形.
1. 如圖 ① ，矩形 ABCD 是正四邊形嗎？( )
2. 如圖 ② ，菱形ABCD是正四邊形嗎？( )
(理由：AB BC， CD DA.)
( 理由：∠A ∠B， ∠C ∠D. )
∴ 五邊形 ABCDE 是正五邊形.
弦相等 (多邊形的邊相等) 圓周角相等 (多邊形的角相等)
—所得的多邊形是正多邊形
問(wèn)題3 將圓 n (n≥3) 等分，依次連接各等分點(diǎn)，所得到的多邊形是正多邊形嗎？
將一個(gè)圓 n(n≥3) 等分，依次連接各等分點(diǎn)所得到的多邊形叫作這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形，這個(gè)圓是這個(gè)正多邊形的外接圓，正 n 邊形的各頂點(diǎn) n 等分其外接圓.
圓內(nèi)接正多邊形的有關(guān)概念及性質(zhì)
正多邊形外接圓的圓心，稱(chēng)其為正多邊形的中心.
外接圓的半徑叫作正多邊形的半徑.
中心到正多邊形一邊的距離叫作正多邊形的邊心距.
正多邊形每一條邊對(duì)應(yīng)所對(duì)的外接圓的圓心角都相等，叫作正多邊形的中心角.
正多邊形的外角=中心角
問(wèn)題4 正 n 邊形的中心角怎么計(jì)算？
問(wèn)題5 正 n 邊形的邊長(zhǎng) a，半徑 R，邊 心距 r 之間有什么關(guān)系？
問(wèn)題6 邊長(zhǎng) a，邊心距 r 的正 n 邊形的面積如何計(jì)算？
圓內(nèi)接正多邊形的有關(guān)計(jì)算
例1 有一個(gè)亭子,它的地基是半徑為 4 m 的正六邊形，求地基的面積(精確到 0.1 m2).
利用勾股定理，可得邊心距
解：過(guò)點(diǎn) O 作 OM⊥BC 于 M. 易得 △OBC 為正三角形.
∴ BC = OB = 4，
2. 作邊心距，構(gòu)造直角三角形.
1. 連半徑，得中心角；
圓內(nèi)接正多邊形的輔助線(xiàn)
1. 如圖，正方形 ABCD 是 ⊙O 的內(nèi)接正方形，點(diǎn) P是劣弧 CD 上不同于點(diǎn) C 的任意一點(diǎn)，則 ∠BPC 的度數(shù)是_______度．
解：連接 AO，BO，CO，AC，∵正八邊形 ABCDEFGH 的半徑為 2，∴AO = BO = CO = 2，∠AOB =∠BOC = ，∴∠AOC =90°，∴AC= ，此時(shí) AC 與 BO 垂直，∴S四邊形 AOCB = ∴正八邊形面積為： ．
2. 如圖，正八邊形 ABCDEFGH 的半徑為 2，它的面積 為_(kāi)_____．
問(wèn)題7 如何作一個(gè)正多邊形呢？(提示：圓與多邊形的關(guān)系)
只要將一個(gè)圓 n 等分，就可以得到正 n 邊形.
問(wèn)題8 如何將圓 n 等分呢？
用量角器將圓心角 n 等分，就可以將圓 n 等分.
例2 用量角器畫(huà) ⊙O 的內(nèi)接正六邊形.
方法歸納 用量角器畫(huà)正 n 邊形的一般方法：（1）作圓；（2）用量角器作 的中心角，得圓的 n 等分點(diǎn)；（3）依次連接各等分點(diǎn)，得圓的內(nèi)接正 n 邊形.
分析：關(guān)鍵是用量角器畫(huà) 60° 的中心角.
思考 還有其它的方法可以作出⊙O的內(nèi)接正六邊形嗎？
例3 已知 ⊙O 的半徑為 r ，求作 ⊙O 的內(nèi)接正六邊形.
分析：因?yàn)檎呅蚊織l邊所對(duì)的圓心角為 ，所以正六邊形的邊長(zhǎng)與圓的半徑 .因此，在半徑為 r 的圓上依次截取等于 的弦，即可將圓六等分.
作法：(1) 在 ⊙O 上以任意一點(diǎn) A 為圓心、以 r 為半徑畫(huà)弧，連續(xù)截取點(diǎn) B、C、D、E、F； (2) 依次連接 AB、BC、CD、DE、EF、FA，則六邊形 ABCDEF 即為所求.
問(wèn)題 9 正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形是否為軸對(duì)稱(chēng)圖形？如果是軸對(duì)稱(chēng)圖形，試畫(huà)它們所有的對(duì)稱(chēng)軸.
1. 正 n 邊形 軸對(duì)稱(chēng)圖形，共有 條對(duì)稱(chēng)軸；2. n 為奇數(shù)時(shí)，n 條對(duì)稱(chēng)軸過(guò)中心與 ； (如上圖中藍(lán)色直線(xiàn))
問(wèn)題10 下列正多邊形中哪些是中心對(duì)稱(chēng)圖形？哪些是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)圖形？問(wèn)題11 如果是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)圖形，繞中心最少旋轉(zhuǎn)多少度所得圖形與原圖形重合？
歸納總結(jié) 正 n 邊形 ( n 為偶數(shù)) 是中心對(duì)稱(chēng)圖形，它的對(duì)稱(chēng)中心就是這個(gè)正 n 邊形的中心.
3. 已知一個(gè)正多邊形的每個(gè)內(nèi)角均為 108° ，則它的中心角為_(kāi)_______度．
6. 要用圓形鐵片截出邊長(zhǎng)為 4 cm 的正方形鐵片，則選用的圓形鐵片的直徑最小為 cm.
也就是要找這個(gè)正方形外接圓的直徑

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2.7 正多邊形與圓

版本： 湘教版

年級(jí)： 九年級(jí)下冊(cè)

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