?2021年四川省涼山州中考數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題（共12個小題，每小題4分，共48分）在每小題給出的四個選項中只有一項是正確的，請把正確選項的字母填涂在答題卡上相應(yīng)的位置。
1．（4分）|﹣2021|＝（　?。?br /> A．2021 B．﹣2021 C． D．﹣
2．（4分）下列數(shù)軸表示正確的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（4分）“天問一號”在經(jīng)歷了7個月的“奔火”之旅和3個月的“環(huán)火”探測，完成了長達5億千米的行程，登陸器“祝融”號火星車于2021年5月15日7時18分從火星發(fā)來“短信”，標志著我國首次火星登陸任務(wù)圓滿成功．請將5億這個數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為（　?。?br /> A．5×107 B．5×108 C．5×109 D．5×1010
4．（4分）下面四個交通標志圖是軸對稱圖形的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
5．（4分）的平方根是（　　）
A．9 B．±9 C．3 D．±3
6．（4分）在平面直角坐標系中，將線段AB平移后得到線段A'B'，點A（2，1）的對應(yīng)點A'的坐標為（﹣2，﹣3），則點B（﹣2，3）的對應(yīng)點B'的坐標為（　?。?br /> A．（6，1） B．（3，7） C．（﹣6，﹣1） D．（2，﹣1）
7．（4分）某校七年級1班50名同學(xué)在“森林草原防滅火”知識競賽中的成績?nèi)绫硭荆?br /> 成績
60
70
80
90
100
人數(shù)
3
9
13
16
9
則這個班學(xué)生成績的眾數(shù)、中位數(shù)分別是（　?。?br /> A．90，80 B．16，85 C．16，24.5 D．90，85
8．（4分）下列命題中，假命題是（　　）
A．直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半
B．等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合
C．若AB＝BC，則點B是線段AC的中點
D．三角形三條邊的垂直中分線的交點叫做這個三角形的外心
9．（4分）函數(shù)y＝kx+b的圖象如圖所示，則關(guān)于x的一元二次方程x2+bx+k﹣1＝0的根的情況是（　?。?br />
A．沒有實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根
C．有兩個不相等的實數(shù)根 D．無法確定
10．（4分）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，將△ADE沿DE翻折，使點A與點B重合，則CE的長為（　?。?br />
A． B．2 C． D．
11．（4分）點P是⊙O內(nèi)一點，過點P的最長弦的長為10cm，最短弦的長為6cm，則OP的長為（　?。?br /> A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
12．（4分）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中不正確的是（　　）

A．a(chǎn)bc＞0 B．函數(shù)的最大值為a﹣b+c
C．當﹣3≤x≤1時，y≥0 D．4a﹣2b+c＜0
二、填空題（共5個小題，每小題4分，共20分）
13．（4分）函數(shù)y＝中，自變量x的取值范圍是　 　
14．（4分）已知是方程ax+y＝2的解，則a的值為　 ?。?br /> 15．（4分）菱形ABCD中，對角線AC＝10，BD＝24．則菱形的高等于　 ?。?br /> 16．（4分）如圖，將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)120°得到△A'B'C，已知AC＝3，BC＝2，則線段AB掃過的圖形（陰影部分）的面積為　 　．

17．（4分）如圖，用火柴棍拼成一個由三角形組成的圖形，拼第一個圖形共需要3根火柴棍；拼第二個圖形共需要5根火柴棍；拼第三個圖形共需要7根火柴棍；…照這樣拼圖，則第n個圖形需要 　 　根火柴棍．

三、解答題（共5小題，共32分）
18．（5分）解不等式：﹣x＜3﹣．
19．（5分）已知x﹣y＝2，＝1，求x2y﹣xy2的值．
20．（7分）隨著手機的日益普及，學(xué)生使用手機給學(xué)校管理和學(xué)生發(fā)展帶來諸多不利影響．為了保護學(xué)生視力，防止學(xué)生沉迷網(wǎng)絡(luò)和游戲，讓學(xué)生在學(xué)校專心學(xué)習(xí)，促進學(xué)生身心健康發(fā)展，教育部辦公廳于2021年1月15日頒發(fā)了《教育部辦公廳關(guān)于加強中小學(xué)生手機管理工作的通知》．為貫徹《通知》精神，某學(xué)校團委組織了“我與手機說再見”為主題的演講比賽，根據(jù)參賽同學(xué)的得分情況繪制了如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計圖（其中A表示“一等獎”，B表示“二等獎”，C表示“三等獎”，D表示“優(yōu)秀獎”）．

請你根據(jù)統(tǒng)計圖中所提供的信息解答下列問題：
（1）獲獎總?cè)藬?shù)為　 　人，m＝　 ?。?br /> （2）請將條形統(tǒng)計圖補充完整；
（3）學(xué)校將從獲得一等獎的4名同學(xué)（其中有一名男生，三名女生）中隨機抽取兩名參加全市的比賽，請利用樹狀圖或列表法求抽取同學(xué)中恰有一名男生和一名女生的概率．
21．（7分）王剛同學(xué)在學(xué)習(xí)了解直角三角形及其應(yīng)用的知識后，嘗試利用所學(xué)知識測量河對岸大樹AB的高度，他在點C處測得大樹頂端A的仰角為45°，再從C點出發(fā)沿斜坡走2米到達斜坡上D點，在點D處測得樹頂端A的仰角為30°，若斜坡CF的坡比為i＝1：3（點E、C、B在同一水平線上）．
（1）求王剛同學(xué)從點C到點D的過程中上升的高度；
（2）求大樹AB的高度（結(jié)果保留根號）．

22．（8分）如圖，在四邊形ABCD中，∠ADC＝∠B＝90°，過點D作DE⊥AB于E，若DE＝BE．
（1）求證：DA＝DC；
（2）連接AC交DE于點F，若∠ADE＝30°，AD＝6，求DF的長．

四、填空題（共2小題，每小題5分，共10分）
23．（5分）若關(guān)于x的分式方程的解為正數(shù)，則m的取值范圍是　 　．
24．（5分）如圖，等邊三角形ABC的邊長為4，⊙C的半徑為，P為AB邊上一動點，過點P作⊙C的切線PQ，切點為Q，則PQ的最小值為　 ?。?br />
五、解答題（共4小題，共40分）
25．（8分）閱讀以下材料：
蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾（J．Npler，1550﹣1617年）是對數(shù)的創(chuàng)始人．他發(fā)明對數(shù)是在指數(shù)書寫方式之前，直到18世紀瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（Evler，1707﹣1783年）才發(fā)現(xiàn)指數(shù)與對數(shù)之間的聯(lián)系．
對數(shù)的定義：一般地，若ax＝N（a＞0且a≠1），那么x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x＝logaN，比如指數(shù)式24＝16可以轉(zhuǎn)化為對數(shù)式4＝log216，對數(shù)式2＝log39可以轉(zhuǎn)化為指數(shù)式32＝9．
我們根據(jù)對數(shù)的定義可得到對數(shù)的一個性質(zhì)：
loga（M?N）＝logaM+logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0），理由如下：
設(shè)logaM＝m，logaN＝n，則M＝am，N＝an，
∴M?N＝am?an＝am+n，由對數(shù)的定義得m+n＝loga（M?N）．
又∵m+n＝logaM+logaN，
∴l(xiāng)oga（M?N）＝logaM+logaN．
根據(jù)上述材料，結(jié)合你所學(xué)的知識，解答下列問題：
（1）填空：①log232＝　 　，②log327＝　 　，③log71＝　 ?。?br /> （2）求證：loga＝logaM﹣logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；
（3）拓展運用：計算log5125+log56﹣log530．
26．（10分）如圖，△AOB中，∠ABO＝90°，邊OB在x軸上，反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象經(jīng)過斜邊OA的中點M，與AB相交于點N，S△AOB＝12，AN＝．
（1）求k的值；
（2）求直線MN的解析式．

27．（10分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AE平分∠BAC交BC于點E，點D在AB上，DE⊥AE，⊙O是Rt△ADE的外接圓，交AC于點F．
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為5，AC＝8，求S△BDE．

28．（12分）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，AC＝，OB＝OC＝3OA．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在第二象限內(nèi)的拋物線上確定一點P，使四邊形PBAC的面積最大，求出點P的坐標；
（3）在（2）的結(jié)論下，點M為x軸上一動點，拋物線上是否存在一點Q，使點P、B、M、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，請直接寫出Q點的坐標；若不存在，請說明理由．


2021年四川省涼山州中考數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（共12個小題，每小題4分，共48分）在每小題給出的四個選項中只有一項是正確的，請把正確選項的字母填涂在答題卡上相應(yīng)的位置。
1．（4分）|﹣2021|＝（　?。?br /> A．2021 B．﹣2021 C． D．﹣
【分析】根據(jù)絕對值解答即可．
【解答】解：﹣2021的絕對值是2021，
故選：A．
2．（4分）下列數(shù)軸表示正確的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
【分析】注意數(shù)軸的三要素以及在數(shù)軸上，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大即可做出判斷．
【解答】解：A選項，應(yīng)該正數(shù)在右邊，負數(shù)在左邊，故該選項錯誤；
B選項，負數(shù)的大小順序不對，故該選項錯誤；
C選項，沒有原點，故該選項錯誤；
D選項，有原點，正方向，單位長度，故該選項正確；
故選：D．
3．（4分）“天問一號”在經(jīng)歷了7個月的“奔火”之旅和3個月的“環(huán)火”探測，完成了長達5億千米的行程，登陸器“祝融”號火星車于2021年5月15日7時18分從火星發(fā)來“短信”，標志著我國首次火星登陸任務(wù)圓滿成功．請將5億這個數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為（　　）
A．5×107 B．5×108 C．5×109 D．5×1010
【分析】用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)時，一般形式為a×10n，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，且n比原來的整數(shù)位數(shù)少1，據(jù)此判斷即可．
【解答】解：5億＝500000000＝5×108．
故選：B．
4．（4分）下面四個交通標志圖是軸對稱圖形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念對各圖形分析判斷即可得解．
【解答】解：A．不是軸對稱圖形，故本選項不合題意；
B．不是軸對稱圖形，故本選項不合題意；
C．是軸對稱圖形，故本選項符合題意；
D．不是軸對稱圖形，故本選項不合題意．
故選：C．
5．（4分）的平方根是（　?。?br /> A．9 B．±9 C．3 D．±3
【分析】求出＝9，求出9的平方根即可．
【解答】解：∵＝9，
∴的平方根是±3，
故選：D．
6．（4分）在平面直角坐標系中，將線段AB平移后得到線段A'B'，點A（2，1）的對應(yīng)點A'的坐標為（﹣2，﹣3），則點B（﹣2，3）的對應(yīng)點B'的坐標為（　?。?br /> A．（6，1） B．（3，7） C．（﹣6，﹣1） D．（2，﹣1）
【分析】根據(jù)點A到A′確定出平移規(guī)律，再根據(jù)平移規(guī)律列式計算即可得到點B′的坐標．
【解答】解：∵A（2，1）平移后得到點A′的坐標為（﹣2，﹣3），
∴向下平移了4個單位，向左平移了4個單位，
∴B（﹣2，3）的對應(yīng)點B'的坐標為（﹣2﹣4，3﹣4），
即（﹣6，﹣1）．
故選：C．
7．（4分）某校七年級1班50名同學(xué)在“森林草原防滅火”知識競賽中的成績?nèi)绫硭荆?br /> 成績
60
70
80
90
100
人數(shù)
3
9
13
16
9
則這個班學(xué)生成績的眾數(shù)、中位數(shù)分別是（　?。?br /> A．90，80 B．16，85 C．16，24.5 D．90，85
【分析】眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，注意眾數(shù)可以不止一個；中位數(shù)要把數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，位于最中間的一個數(shù)或兩個數(shù)的平均數(shù)為中位數(shù)．
【解答】解：90出現(xiàn)的次數(shù)最多，眾數(shù)為90．
這組數(shù)據(jù)一共有50個，已經(jīng)按大小順序排列，第25和第26個數(shù)分別是80、90，所以中位數(shù)為（80+90）÷2＝85．
故選：D．
8．（4分）下列命題中，假命題是（　?。?br /> A．直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半
B．等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合
C．若AB＝BC，則點B是線段AC的中點
D．三角形三條邊的垂直中分線的交點叫做這個三角形的外心
【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)對A進行判斷；根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)對B進行判斷；根據(jù)線段的中點定義對C進行判斷；根據(jù)三角形外心的定義對D進行判斷。
【解答】解：A、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，所以A選項不符合題意；
B、等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合，所以B選項不符合題意；
C、若A、B、C在同一直線上，且AB＝BC，則點B是線段AC的中點，所以C選項符合題意；
D、三角形三條邊的垂直中分線的交點叫做這個三角形的外心，所以D選項不符合題意。
故選：C．
9．（4分）函數(shù)y＝kx+b的圖象如圖所示，則關(guān)于x的一元二次方程x2+bx+k﹣1＝0的根的情況是（　?。?br />
A．沒有實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根
C．有兩個不相等的實數(shù)根 D．無法確定
【分析】先利用一次函數(shù)的性質(zhì)得k＜0，b＜0，再計算判別式的值得到△＝b2﹣4（k﹣1），于是可判斷△＞0，然后根據(jù)判別式的意義判斷方程根的情況．
【解答】解：根據(jù)圖象可得k＜0，b＜0，
所以b2＞0，﹣4k＞0，
因為△＝b2﹣4（k﹣1）＝b2﹣4k+4＞0，
所以△＞0，
所以方程有兩個不相等的實數(shù)根．
故選：C．

10．（4分）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，將△ADE沿DE翻折，使點A與點B重合，則CE的長為（　　）

A． B．2 C． D．
【分析】在Rt△BCE中，由BE2＝CE2+BC2,得到（8﹣x）2＝x2+62，即可求解。
【解答】解：設(shè)CE＝x，則AE＝8﹣x＝EB，
在Rt△BCE中，BE2＝CE2+BC2,
即（8﹣x）2＝x2+62，
解得x＝，
故選：D．
11．（4分）點P是⊙O內(nèi)一點，過點P的最長弦的長為10cm，最短弦的長為6cm，則OP的長為（　?。?br /> A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【分析】根據(jù)直徑是圓中最長的弦，知該圓的直徑；最短弦即是過點P且垂直于過點P的直徑的弦；根據(jù)垂徑定理即可求得CP的長，再進一步根據(jù)勾股定理，可以求得OP的長．
【解答】解：如圖所示，CD⊥AB于點P．

根據(jù)題意，得
AB＝10cm，CD＝6cm．
∵CD⊥AB，
∴CP＝CD＝3cm．
根據(jù)勾股定理，得OP＝＝＝4（cm）．
故選：B．
12．（4分）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中不正確的是（　?。?br />
A．a(chǎn)bc＞0 B．函數(shù)的最大值為a﹣b+c
C．當﹣3≤x≤1時，y≥0 D．4a﹣2b+c＜0
【分析】利用拋物線開口方向得到a＜0，根據(jù)拋物線的對稱性得到b＝2a＜0，根據(jù)拋物線與y軸的交點位置得到c＞0，則可對A進行判斷；利用二次函數(shù)的最值問題可對B進行判斷;利用拋物線與x軸的交點與圖像可對C進行判斷；利用x＝﹣2，y＞0可對D進行判斷．
【解答】解：∵拋物線開口向下，
∴a＜0，
∵拋物線的對稱軸為直線x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a＜0，
∵拋物線與y軸的交點坐標在x軸上方，
∴c＞0，
∴abc＞0，所以A不符合題意；
當x＝﹣1時，函數(shù)的最大值為：a?(﹣1)2+b?(﹣1)+c＝a﹣b+c，故B不符合題意；
由圖可知，拋物線與x軸的另一交點為（﹣3,0），所以﹣3≤x≤1時，y≥0,故C不符合題意；
當x＝﹣2時，y＞0,
所以，a?(﹣2)2+b?(﹣2)+c＞0,
即4a﹣2b+c＞0,故D符合題意，
故選：D．
二、填空題（共5個小題，每小題4分，共20分）
13．（4分）函數(shù)y＝中，自變量x的取值范圍是　x≥﹣3且x≠0　
【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)和分式的意義，被開方數(shù)大于等于0，分母不等于0列不等式組求解．
【解答】解：根據(jù)題意得：，
解得x≥﹣3且x≠0．
故答案為x≥﹣3且x≠0．
14．（4分）已知是方程ax+y＝2的解，則a的值為　﹣1?。?br /> 【分析】把方程組的解代入方程，得到關(guān)于a的一元一次方程，解方程即可．
【解答】解：把代入到方程中得：a+3＝2，
∴a＝﹣1，
故答案為：﹣1．
15．（4分）菱形ABCD中，對角線AC＝10，BD＝24．則菱形的高等于　?。?br /> 【分析】由題意得，菱形的面積＝×AC?BD＝×10×24＝120，設(shè)菱形的高為h，則菱形的面積＝BC?h＝13h＝120，即可求解。
【解答】解：由題意得，菱形的面積＝×AC?BD＝×10×24＝120，

則AO＝5，BO＝12，
則AB＝＝13，
設(shè)菱形的高為h，
則菱形的面積＝BC?h＝13h＝120，
解得h＝，
故答案為．
16．（4分）如圖，將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)120°得到△A'B'C，已知AC＝3，BC＝2，則線段AB掃過的圖形（陰影部分）的面積為　?。?br />
【分析】根據(jù)圖形可以得出AB掃過的圖形的面積＝S扇形ACA′+S△ABC﹣S扇形BCB′﹣S△A′B′C，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)就可以得出S△ABC＝S△A′B′C就可以得出AB掃過的圖形的面積＝S扇形ACA′﹣S扇形BCB′求出其值即可．
【解答】解：∵△ABC繞點C旋轉(zhuǎn)60°得到△A′B′C，
∴△ABC≌△A′B′C，
∴S△ABC＝S△A′B′C，∠BCB′＝∠ACA′＝120°．
∵AB掃過的圖形的面積＝S扇形ACA′+S△ABC﹣S扇形BCB′﹣S△A′B′C，
∴AB掃過的圖形的面積＝S扇形ACA′﹣S扇形BCB′，
∴AB掃過的圖形的面積＝﹣＝．
故答案為：。
17．（4分）如圖，用火柴棍拼成一個由三角形組成的圖形，拼第一個圖形共需要3根火柴棍；拼第二個圖形共需要5根火柴棍；拼第三個圖形共需要7根火柴棍；…照這樣拼圖，則第n個圖形需要 　(2n+1)　根火柴棍．

【分析】根據(jù)數(shù)值的變化找出變化規(guī)律,即可得出結(jié)論．
【解答】解：設(shè)第n個圖形需要an（n為正整數(shù)）根火柴棒，
觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律：第一個圖形需要火柴棍：3＝1×2+1，
第二個圖形需要火柴棍：5＝2×2+1；
第三個圖形需要火柴棍：7＝3×2+1，…，
∴第n個圖形需要火柴棍：2n+1．
故答案為：(2n+1)．
三、解答題（共5小題，共32分）
18．（5分）解不等式：﹣x＜3﹣．
【分析】根據(jù)解一元一次不等式基本步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項，系數(shù)化為1可得．
【解答】解：去分母，得：4（1﹣x）﹣12x＜36﹣3（x+2），
去括號，得：4﹣4x﹣12x＜36﹣3x﹣6，
移項、合并，得：﹣13x＜26，
系數(shù)化為1得，x＞﹣2．
19．（5分）已知x﹣y＝2，＝1，求x2y﹣xy2的值．
【分析】將＝1變形后得到y(tǒng)﹣x＝xy,再將多項式因式分解后整體代入可得結(jié)論．
【解答】解：∵＝1，
∴y﹣x＝xy．
∵x﹣y＝2,
∴y﹣x＝xy＝﹣2．
∴原式＝xy(x﹣y)＝﹣2×2＝﹣4．
20．（7分）隨著手機的日益普及，學(xué)生使用手機給學(xué)校管理和學(xué)生發(fā)展帶來諸多不利影響．為了保護學(xué)生視力，防止學(xué)生沉迷網(wǎng)絡(luò)和游戲，讓學(xué)生在學(xué)校專心學(xué)習(xí)，促進學(xué)生身心健康發(fā)展，教育部辦公廳于2021年1月15日頒發(fā)了《教育部辦公廳關(guān)于加強中小學(xué)生手機管理工作的通知》．為貫徹《通知》精神，某學(xué)校團委組織了“我與手機說再見”為主題的演講比賽，根據(jù)參賽同學(xué)的得分情況繪制了如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計圖（其中A表示“一等獎”，B表示“二等獎”，C表示“三等獎”，D表示“優(yōu)秀獎”）．

請你根據(jù)統(tǒng)計圖中所提供的信息解答下列問題：
（1）獲獎總?cè)藬?shù)為　40　人，m＝　30　；
（2）請將條形統(tǒng)計圖補充完整；
（3）學(xué)校將從獲得一等獎的4名同學(xué)（其中有一名男生，三名女生）中隨機抽取兩名參加全市的比賽，請利用樹狀圖或列表法求抽取同學(xué)中恰有一名男生和一名女生的概率．
【分析】（1）用“二等獎”人數(shù)除以它所占的百分比得到獲獎總?cè)藬?shù)，然后計算“三等獎”人數(shù)所占的百分比得到m的值；
（2）利用“三等獎”人數(shù)為12補全條形統(tǒng)計圖；
（3）畫樹狀圖展示所有12種等可能的結(jié)果，找出抽取同學(xué)中恰有一名男生和一名女生的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解。
【解答】解：（1）獲獎總?cè)藬?shù)為8÷20%＝40（人），
m%＝×100%＝30%，
即m＝30；
故答案為40；30；
（2）“三等獎”人數(shù)為40﹣4﹣8﹣16＝12（人），
條形統(tǒng)計圖補充為：

（3）畫樹狀圖為：

共有12種等可能的結(jié)果，抽取同學(xué)中恰有一名男生和一名女生的結(jié)果數(shù)為6，
所以抽取同學(xué)中恰有一名男生和一名女生的概率＝＝。
21．（7分）王剛同學(xué)在學(xué)習(xí)了解直角三角形及其應(yīng)用的知識后，嘗試利用所學(xué)知識測量河對岸大樹AB的高度，他在點C處測得大樹頂端A的仰角為45°，再從C點出發(fā)沿斜坡走2米到達斜坡上D點，在點D處測得樹頂端A的仰角為30°，若斜坡CF的坡比為i＝1：3（點E、C、B在同一水平線上）．
（1）求王剛同學(xué)從點C到點D的過程中上升的高度；
（2）求大樹AB的高度（結(jié)果保留根號）．

【分析】（1）作DH⊥CE于H，解Rt△CDH，即可求出DH；
（2）過點D作DG⊥AB于點G，設(shè)BC＝x米，用x表示出AG、DG，根據(jù)tan∠ADG＝列出方程，解方程得到答案．
【解答】解:(1)過點D作DH⊥CE于點H,

由題意知CD＝2米,
∵斜坡CF的坡比為i＝1：3,
∴,
設(shè)DH＝x(米),CH＝3x(米),
∵DH2+CH2＝DC2,
∴,
∴x＝2,
∴DH＝2(米),CH＝6(米),
答:王剛同學(xué)從點C到點D的過程中上升的高度為2米；
(2)過點D作DG⊥AB于點G,
∵∠DHB＝∠DGB＝∠ABC＝90°,
∴四邊形DHBG為矩形,
∴DH＝BG＝2米,DG＝BH＝(x+6)米,
∵∠ACB＝45°,
∴BC＝AB＝x(米),
∴AG＝(x﹣2)米,
∵∠ADG＝30°,
∴,
∴,
∴x＝6+4,
∴AB＝(6+4)(米)．
答:大樹AB的高度是(6+4)米．
22．（8分）如圖，在四邊形ABCD中，∠ADC＝∠B＝90°，過點D作DE⊥AB于E，若DE＝BE．
（1）求證：DA＝DC；
（2）連接AC交DE于點F，若∠ADE＝30°，AD＝6，求DF的長．

【分析】（1）作DG⊥BD，交BC的延長線于點G，然后即可得得到四邊形DEBG的形狀，再根據(jù)題目中的條件，可以證明△ADE和△CDG全等，然后即可得到結(jié)論成立；
（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)、勾股定理和三角形相似，可以得到EF的長，然后根據(jù)DE的長，即可得到DF的長．
【解答】（1）證明：作DG⊥BD，交BC的延長線于點G，如右圖所示，
∵DE⊥AB，∠B＝90°，DG⊥BC，
∴∠DEB＝∠B＝∠BGD＝90°，
∴四邊形DEBG是矩形，
又∵DE＝BE，
∴四邊形DEBG是正方形，
∴DG＝BE，∠EDG＝90°，
∴DG＝DE，∠EDC+∠CDG＝90°，
∵∠ADC＝90°，
∴∠EDC+∠ADE＝90°，
∴∠ADE＝∠CDG，
在△ADE和△CDG中，
，
∴△ADE≌△CDG（ASA），
∴DA＝DC；
（2）∵∠ADE＝30°，AD＝6，∠DEA＝90°，
∴AE＝3，DE＝＝＝3，
由（1）知，△ADE≌△CDG，四邊形DEBG是正方形，
∴DG＝DE＝3，AE＝CG＝3，BE＝DG＝BG＝3，
∴BC＝BG﹣CG＝3﹣3，AE＝AE+BE＝3+3，
∵FG⊥AB，BC⊥AB，
∴FE∥CB，
∴△AEF∽△ABC，
∴，
即，
解得EF＝6﹣3，
∴DF＝DE﹣EF＝3﹣（6﹣3）＝3﹣6+3＝6﹣6，
即DF的長是6﹣6．

四、填空題（共2小題，每小題5分，共10分）
23．（5分）若關(guān)于x的分式方程的解為正數(shù)，則m的取值范圍是　m＞﹣3且m≠﹣2?。?br /> 【分析】先利用m表示出x的值，再由x為正數(shù)求出m的取值范圍即可．
【解答】解：方程兩邊同時乘以(x﹣1)得，2x﹣3（x﹣1）＝﹣m，
解得x＝m+3．
∵x為正數(shù)，
∴m+3＞0，解得m＞﹣3．
∵x≠1，
∴m+3≠1，即m≠﹣2．
∴m的取值范圍是m＞﹣3且m≠﹣2．
故答案為：m＞﹣3且m≠﹣2．
24．（5分）如圖，等邊三角形ABC的邊長為4，⊙C的半徑為，P為AB邊上一動點，過點P作⊙C的切線PQ，切點為Q，則PQ的最小值為　3?。?br />
【分析】連接CP、CQ，作CH⊥AB于H，如圖，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AB＝CB＝4,∠BCH＝ACB＝60°＝30°,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到BH＝AB＝4,CH＝BC＝×4＝2，由切線的性質(zhì)得到CQ⊥PQ，根據(jù)勾股定理得到PQ＝＝，推出當點P運動到H點時，CP最小，于是得到結(jié)論。
【解答】解：連接CP、CQ，作CH⊥AB于H，如圖，
∵等邊三角形ABC的邊長為4，
∴AB＝CB＝4,∠BCH＝ACB＝60°＝30°,
∴BH＝AB＝4,CH＝BC＝×4＝2，
∵PQ為⊙C的切線，
∴CQ⊥PQ，
在Rt△CPQ中，PQ＝＝，
∵點P是AB邊上一動點，
∴當點P運動到H點時，CP最小，
即CP的最小值為2，
∴PQ的最小值為＝3,
故答案為：3．

五、解答題（共4小題，共40分）
25．（8分）閱讀以下材料：
蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾（J．Npler，1550﹣1617年）是對數(shù)的創(chuàng)始人．他發(fā)明對數(shù)是在指數(shù)書寫方式之前，直到18世紀瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（Evler，1707﹣1783年）才發(fā)現(xiàn)指數(shù)與對數(shù)之間的聯(lián)系．
對數(shù)的定義：一般地，若ax＝N（a＞0且a≠1），那么x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x＝logaN，比如指數(shù)式24＝16可以轉(zhuǎn)化為對數(shù)式4＝log216，對數(shù)式2＝log39可以轉(zhuǎn)化為指數(shù)式32＝9．
我們根據(jù)對數(shù)的定義可得到對數(shù)的一個性質(zhì)：
loga（M?N）＝logaM+logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0），理由如下：
設(shè)logaM＝m，logaN＝n，則M＝am，N＝an，
∴M?N＝am?an＝am+n，由對數(shù)的定義得m+n＝loga（M?N）．
又∵m+n＝logaM+logaN，
∴l(xiāng)oga（M?N）＝logaM+logaN．
根據(jù)上述材料，結(jié)合你所學(xué)的知識，解答下列問題：
（1）填空：①log232＝　5　，②log327＝　3　，③log71＝　0??；
（2）求證：loga＝logaM﹣logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；
（3）拓展運用：計算log5125+log56﹣log530．
【分析】（1）直接根據(jù)定義計算即可；
（2）先設(shè)logaM＝m，logaN＝n，根據(jù)對數(shù)的定義可表示為指數(shù)式為：M＝am，N＝an，計算的結(jié)果，同理由所給材料的證明過程可得結(jié)論；
（3）根據(jù)公式：loga（M?N）＝logaM+logaN和loga＝logaM﹣logaN的逆用，將所求式子表示為：log5（125×6÷30），計算可得結(jié)論．
【解答】解：（1）log232＝log225＝5，log327＝log333＝3，log71＝log770＝0；
故答案為：5，3，0；
（2）設(shè)logaM＝m，logaN＝n，則M＝am，N＝an，
∴＝＝am﹣n，由對數(shù)的定義得m﹣n＝loga，
又∵m﹣n＝logaM﹣logaN，
∴l(xiāng)oga＝logaM﹣logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；
（3）原式＝log5（125×6÷30）
＝log525
＝5．
26．（10分）如圖，△AOB中，∠ABO＝90°，邊OB在x軸上，反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象經(jīng)過斜邊OA的中點M，與AB相交于點N，S△AOB＝12，AN＝．
（1）求k的值；
（2）求直線MN的解析式．

【分析】（1）設(shè)N（a,b),則A(a,b+),M(a,b+)，由反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象經(jīng)過斜邊OA的中點M，得k＝a?(b+)＝ab,b＝,根據(jù)S△AOB＝12得a(b+)＝12,可得a＝4,故k＝4×＝6；
（2）由（1）知：M(2，3),N(4，),設(shè)直線MN解析式為y＝mx+n,用待定系數(shù)法即可得到答案．
【解答】解：（1）設(shè)N（a,b),則OB＝a,BN＝b,
∵AN＝,
∴AB＝b+,
∴A(a,b+),
∵M為OA中點，
∴M(a,b+)，
而反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象經(jīng)過斜邊OA的中點M，
∴k＝a?(b+)＝ab,
解得：b＝,
∵S△AOB＝12，∠ABO＝90°，
∴OB?AB＝12,即a(b+)＝12,
將b＝代入得：,
解得a＝4,
∴N(4,),M(2，3),
∴k＝4×＝6；
（2）由（1）知：M(2，3),N(4，),
設(shè)直線MN解析式為y＝mx+n,
∴,解得,
∴直線MN解析式為y＝﹣x+．
27．（10分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AE平分∠BAC交BC于點E，點D在AB上，DE⊥AE，⊙O是Rt△ADE的外接圓，交AC于點F．
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為5，AC＝8，求S△BDE．

【分析】（1）根據(jù)直角三角形兩銳角互余，等腰三角形性質(zhì)以及等量代換可得出∠AEC+∠OEA＝90°，即OE⊥BC，從而得出BC是⊙O的切線；
（2）根據(jù)△ACE∽△AED和勾股定理可求出AE，DE，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得出三角形BDE的BD邊上的高EM，再根據(jù)相似三角形和勾股定理求出BD即可．
【解答】解：（1）連接OE，
∵∠C＝90°，
∴∠2+∠AEC＝90°,
又∵OA＝OE，
∴∠1＝∠OEA，
∵∠1＝∠2，
∴∠AEC+∠OEA＝90°，
即OE⊥BC，
∴BC是⊙O的切線；
（2）過點E作EM⊥AB，垂足為M，
∵∠1＝∠2，∠C＝∠AED＝90°，
∴△ACE∽△AED，
∴＝，
即＝，
∴AE＝4，
由勾股定理得，
CE＝＝4＝EM，
DE＝＝2，
∵∠DEB＝∠1，∠B＝∠B，
∴△BDE∽△BEA，
∴＝＝，
設(shè)BD＝x，則BE＝2x，
在Rt△BOE中，由勾股定理得，
OE2+BE2＝OB2，
即52+（2x）2＝（5+x）2，
解得x＝，
∴S△BDE＝BD?EM
＝××4
＝．

28．（12分）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，AC＝，OB＝OC＝3OA．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在第二象限內(nèi)的拋物線上確定一點P，使四邊形PBAC的面積最大，求出點P的坐標；
（3）在（2）的結(jié)論下，點M為x軸上一動點，拋物線上是否存在一點Q，使點P、B、M、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，請直接寫出Q點的坐標；若不存在，請說明理由．

【分析】（1）根據(jù)勾股定理求出OA、OC，得出點A、C的坐標，進而得出點B的坐標，運用待定系數(shù)法即可求出答案；
（2）如圖1，過點P作PK∥y軸交BC于點K，利用待定系數(shù)法求出設(shè)直線BC解析式，設(shè)P(t，﹣t2﹣2t+3)，則K(t，t+3)，根據(jù)S四邊形PBAC＝S△PBC+S△ABC，得出S四邊形PBAC＝﹣(t+)2+，運用二次函數(shù)求最值方法即可得出答案；
（3）如圖2，分兩種情況：點Q在x軸上方或點Q在x軸下方.①當點Q在x軸上方時，根據(jù)P與Q縱坐標相等，建立方程求解即可；②當點Q在x軸下方時，根據(jù)P與Q縱坐標互為相反數(shù)，建立方程求解即可．
【解答】解：（1）∵OC＝3OA，AC＝，∠AOC＝90°，
∴OA2+OC2＝AC2，即OA2+(3OA)2＝()2，
解得：OA＝1，
∴OC＝3，
∴A(1，0)，C(0，3)，
∵OB＝OC＝3，
∴B(﹣3，0)，
設(shè)拋物線解析式為y＝a(x+3)(x﹣1)，將C(0，3)代入，
得：﹣3a＝3，
解得：a＝﹣1，
∴y＝﹣(x+3)(x﹣1)＝﹣x2﹣2x+3，
∴該拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）如圖1，過點P作PK∥y軸交BC于點K，
設(shè)直線BC解析式為y＝kx+n，將B(﹣3，0)，C(0，3)代入，
得：，
解得：，
∴直線BC解析式為y＝x+3，
設(shè)P(t，﹣t2﹣2t+3)，則K(t，t+3)，
∴PK＝﹣t2﹣2t+3﹣(t+3)＝﹣t2﹣3t，
∴S△PBC＝S△PBK+S△PCK＝PK?(t+3)+PK?(0﹣t)＝PK＝(﹣t2﹣3t)，
S△ABC＝AB?OC＝×4×3＝6，
∴S四邊形PBAC＝S△PBC+S△ABC＝(﹣t2﹣3t)+6＝﹣(t+)2+，
∵﹣＜0，
∴當t＝﹣﹣時，四邊形PBAC的面積最大，此時點P的坐標為(﹣，)；
（3）存在.如圖2，分兩種情況：點Q在x軸上方或點Q在x軸下方．
①當點Q在x軸上方時，P與Q縱坐標相等，
∴﹣x2﹣2x+3＝，
解得：x1＝﹣，x2＝﹣(舍去)，
∴Q1(﹣，)，
②當點Q在x軸下方時，P與Q縱坐標互為相反數(shù)，
∴﹣x2﹣2x+3＝﹣，
解得：x1＝﹣，x2＝，
∴Q2(﹣，﹣)，Q3(，﹣)，
綜上所述，Q點的坐標為Q1(﹣，)，Q2(﹣，﹣)，Q3(，﹣)．


聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布
日期：2021/6/22 9:26:50；用戶：柯瑞；郵箱：ainixiaoke00@163.com；學(xué)號：500557

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