第I卷（選擇題 共48分）
一、選擇題（共12個小題，每小題4分，共48分）在每小題給出的四個選項中只有一項是正確的，請把正確選項的字母填涂在答題卡上相應的位置．
1. SKIPIF 1 < 0 （ ）
A. 2021B. -2021C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
分析】根據(jù)絕對值解答即可．
【詳解】解： SKIPIF 1 < 0 的絕對值是2021，
故選：A．
【點睛】此題主要考查了絕對值，利用絕對值解答是解題關鍵．
2. 下列數(shù)軸表示正確的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】數(shù)軸的三要素：原點、正方向、單位長度，據(jù)此判斷．
【詳解】解：A、不符合數(shù)軸右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大的特點，故表示錯誤；
B、不符合數(shù)軸右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大的特點，故表示錯誤；
C、沒有原點，故表示錯誤；
D、符合數(shù)軸的定定義，故表示正確；
故選D．
【點睛】本題考查了數(shù)軸的概念：規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸，注意數(shù)軸的三要素缺一不可．
3. “天問一號”在經(jīng)歷了7個月的“奔火”之旅和3個月的“環(huán)火”探測，完成了長達5億千米的行程，登陸器“祝融”號火星車于2021年5月15日7時18分從火星發(fā)來“短信”，標志著我國首次火星登陸任務圓滿成功，請將5億這個數(shù)用科學記數(shù)法表示為（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．
【詳解】解：∵5億=500000000，
∴5億用科學記數(shù)法表示為：5×108．
故選：B．
【點睛】此題考查科學記數(shù)法的表示方法．科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．
4. 下面四個交通標志圖是軸對稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，據(jù)此進行判斷即可．
【詳解】解：A、不是軸對稱圖形，故不合題意；
B、不是軸對稱圖形，故不合題意；
C、是軸對稱圖形，故符合題意；
D、不是軸對稱圖形，故不合題意；
故選C．
【點睛】本題考查了軸對稱圖形，判斷軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合．
5. SKIPIF 1 < 0 的平方根是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. 3C. SKIPIF 1 < 0 D. 9
【答案】A
【解析】
【分析】求出81的算術平方根，找出結果的平方根即可．
【詳解】解：∵ SKIPIF 1 < 0 =9，
∴ SKIPIF 1 < 0 的平方根是±3．
故選：A．
【點睛】此題考查了平方根，以及算術平方根，熟練掌握各自的定義是解本題的關鍵．
6. 在平面直角坐標系中，將線段AB平移后得到線段 SKIPIF 1 < 0 ，點 SKIPIF 1 < 0 的對應點 SKIPIF 1 < 0 的坐標為 SKIPIF 1 < 0 ，則點 SKIPIF 1 < 0 的對應點 SKIPIF 1 < 0 的坐標為（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)點A到A′確定出平移規(guī)律，再根據(jù)平移規(guī)律列式計算即可得到點B′的坐標．
【詳解】解：∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴平移規(guī)律為橫坐標減4，縱坐標減4，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴點B′的坐標為 SKIPIF 1 < 0 ，
故選：C．
【點睛】本題考查了坐標與圖形變化-平移，平移中點的變化規(guī)律是：橫坐標右移加，左移減；縱坐標上移加，下移減，先確定出平移規(guī)律是解題的關鍵．
7. 某校七年級1班50名同學在“森林草原防滅火”知識競賽中的成績?nèi)绫硭荆?br>則這個班學生成績的眾數(shù)、中位數(shù)分別是（ ）
A. 90，80B. 16，85C. 16，24.5D. 90，85
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)眾數(shù)的定義，找到該組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)即為眾數(shù)；根據(jù)中位數(shù)定義，將該組數(shù)據(jù)按從小到大依次排列，處于中間位置的兩個數(shù)的平均數(shù)即為中位數(shù)．
【詳解】解：90分的有16人，人數(shù)最多，故眾數(shù)為90分；
處于中間位置的數(shù)為第25、26兩個數(shù)，為80和90，
∴中位數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 =85分．
故選：D．
【點睛】本題為統(tǒng)計題，考查眾數(shù)與中位數(shù)的意義，中位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)從小到大（或從大到?。┲匦屡帕泻?，最中間的那個數(shù)（最中間兩個數(shù)的平均數(shù)），叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，如果中位數(shù)的概念掌握得不好，不把數(shù)據(jù)按要求重新排列，就會出錯．
8. 下列命題中，假命題是（ ）
A. 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半
B. 等腰三角形頂角的平分線，底邊上的中線，底邊上的高相互重合
C. 若 SKIPIF 1 < 0 ，則點B是線段AC的中點
D. 三角形三條邊的垂直平分線的交點叫做這個三角形的外心
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)中點的定義，直角三角形的性質(zhì)，三線合一以及外心的定義分別判斷即可．
【詳解】解：A、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，故為真命題；
B、等腰三角形頂角的平分線，底邊上的中線，底邊上的高相互重合，故為真命題；
C、若在同一條直線上AB=BC，則點B是線段AC中點，故為假命題；
D、三角形三條邊垂直平分線的交點叫做這個三角形的外心，故為真命題；
故選C．
【點睛】本題考查了中點的定義，直角三角形的性質(zhì)，三線合一以及外心的性質(zhì)，屬于基礎知識，要熟練掌握．
9. 函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖象如圖所示，則關于x的一元二次方程 SKIPIF 1 < 0 的根的情況是（ ）
A. 沒有實數(shù)根B. 有兩個相等的實數(shù)根
C. 有兩個不相等的實數(shù)根D. 無法確定
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)一次函數(shù)圖象經(jīng)過的象限找出k、b的正負，再結合根的判別式即可得出△＞0，由此即可得出結論．
【詳解】解：觀察函數(shù)圖象可知：函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，
∴k＜0，b＜0．
在方程 SKIPIF 1 < 0 中，
△= SKIPIF 1 < 0 ，
∴一元二次方程 SKIPIF 1 < 0 有兩個不相等的實數(shù)根．
故選：C．
【點睛】本題考查了一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系以及根的判別式，根據(jù)一次函數(shù)圖象經(jīng)過的象限找出k、b的正負是解題的關鍵．
10. 如圖， SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，將 SKIPIF 1 < 0 沿DE翻折，使點A與點B重合，則CE的長為（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. 2C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】先在RtABC中利用勾股定理計算出AB=10，再利用折疊的性質(zhì)得到AE=BE，AD=BD=5，設AE=x，則CE=AC-AE=8-x，BE=x，在Rt△BCE中根據(jù)勾股定理可得到x2=62+（8-x）2，解得x，可得CE．
【詳解】解：∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
∴AB= SKIPIF 1 < 0 =10，
∵△ADE沿DE翻折，使點A與點B重合，
∴AE=BE，AD=BD= SKIPIF 1 < 0 AB=5，
設AE=x，則CE=AC-AE=8-x，BE=x，
在Rt△BCE中
∵BE2=BC2+CE2，
∴x2=62+（8-x）2，解得x= SKIPIF 1 < 0 ，
∴CE= SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，
故選：D．
【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊前后兩圖象全等，即對應角相等，對應邊相等．也考查了勾股定理．
11. 點P是 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)一點，過點P的最長弦的長為 SKIPIF 1 < 0 ，最短弦的長為 SKIPIF 1 < 0 ，則OP的長為（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)直徑是圓中最長的弦，知該圓的直徑是10cm；最短弦即是過點P且垂直于過點P的直徑的弦；根據(jù)垂徑定理即可求得CP的長，再進一步根據(jù)勾股定理，可以求得OP的長．
【詳解】解：如圖所示，CD⊥AB于點P．
根據(jù)題意，得
AB=10cm，CD=6cm．
∴OC=5，CP=3
∵CD⊥AB，
∴CP= SKIPIF 1 < 0 CD=3cm．
根據(jù)勾股定理，得OP= SKIPIF 1 < 0 =4cm．
故選B．
【點睛】此題綜合運用了垂徑定理和勾股定理．正確理解圓中，過一點的最長的弦和最短的弦．
12. 二次函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖象如圖所示，則下列結論中不正確的是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. 函數(shù)的最大值為 SKIPIF 1 < 0
C. 當 SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)拋物線開口方向、拋物線的對稱軸位置和拋物線與y軸的交點位置可判斷a、b、c的符號，利用拋物線的對稱性可得到拋物線與x軸的另一個交點坐標為（-3，0），從而分別判斷各選項．
【詳解】解：∵拋物線開口向下，
∴a＜0，
∵拋物線的對稱軸為直線x=-1，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即b=2a，則b＜0，
∵拋物線與y軸交于正半軸，
∴c＞0，
則abc＞0，故A正確；
當x=-1時，y取最大值為 SKIPIF 1 < 0 ，故B正確；
由于開口向上，對稱軸為直線x=-1，
則點（1，0）關于直線x=-1對稱的點為（-3，0），
即拋物線與x軸交于（1，0），（-3，0），
∴當 SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ，故C正確；
由圖像可知：當x=-2時，y＞0，
即 SKIPIF 1 < 0 ，故D錯誤；
故選D．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)與系數(shù)的關系：對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小：當a＞0時，拋物線向上開口；拋物線向下開口；一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置：當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左； 當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右．常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點：拋物線與y軸交于（0，c）．
第II卷（非選擇題 共52分）
二、填空題（共5個小題，每小題4分，共20分）
13. 函數(shù) SKIPIF 1 < 0 中，自變量x的取值范圍是______________．
【答案】x≥-3且x≠0
【解析】
【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)和分式的意義，被開方數(shù)大于等于0，分母不等于0列不等式組求解．
【詳解】解：根據(jù)題意得：x+3≥0且x≠0，
解得x≥-3且x≠0．
故答案為：x≥-3且x≠0．
【點睛】本題考查了函數(shù)自變量的取值范圍．考查的知識點為：分式有意義，分母不為0，二次根式有意義，被開方數(shù)是非負數(shù)．
14. 已知 SKIPIF 1 < 0 是方程 SKIPIF 1 < 0 的解，則a的值為______________．
【答案】-1
【解析】
【分析】根據(jù)方程解的定義，將x=1，y=3代入方程 SKIPIF 1 < 0 ，即可求得a的值．
【詳解】解：根據(jù)題意，將x=1，y=3代入方程 SKIPIF 1 < 0 ，
得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得：a=-1，
故答案為：-1．
【點睛】本題考查了二元一次方程的解，要求理解什么是二元一次方程的解，并會把x，y的值代入原方程驗證二元一次方程的解．
15. 菱形 SKIPIF 1 < 0 中，對角線 SKIPIF 1 < 0 ，則菱形的高等于___________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】過A作AE⊥BC，垂足為E，根據(jù)菱形的性質(zhì)求出菱形邊長，再利用菱形的面積公式得到方程，解之可得AE．
【詳解】解：如圖，過A作AE⊥BC，垂足為E，即AE為菱形ABCD的高，
∵菱形ABCD中，AC=10，BD=24，
∴OB= SKIPIF 1 < 0 BD=12，OA= SKIPIF 1 < 0 AC=5，
在Rt△ABO中，AB=BC= SKIPIF 1 < 0 =13，
∵S菱形ABCD= SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得：AE= SKIPIF 1 < 0 ，
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)和勾股定理的應用，能熟記菱形的性質(zhì)是解此題的關鍵，注意：菱形的四條邊都相等，菱形的對角線互相平分且垂直．
16. 如圖，將 SKIPIF 1 < 0 繞點C順時針旋轉(zhuǎn) SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ．已知 SKIPIF 1 < 0 ，則線段AB掃過的圖形（陰影部分）的面積為__________________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】由于將△ABC繞點C旋轉(zhuǎn)120°得到△A′B′C′，可見，陰影部分面積為扇形ACA′減扇形BCB′，分別計算兩扇形面積，再計算其差即可．
【詳解】解：如圖：由旋轉(zhuǎn)可得：
∠ACA′=∠BCB′=120°，又AC=3，BC=2，
S扇形ACA′= SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，
S扇形BCB′= SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，
則線段AB掃過的圖形的面積為 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，
故答案為： SKIPIF 1 < 0
【點睛】本題考查了扇形面積的計算和陰影部分的面積，將陰影部分面積轉(zhuǎn)化為兩扇形面積的查是解題的關鍵．
17. 如圖，用火柴棍拼成一個由三角形組成的圖形，拼第一個圖形共需要3根火柴棍，拼第二個圖形共需要5根火柴棍；拼第三個圖形共需要7根火柴棍；……照這樣拼圖，則第n個圖形需要___________根火柴棍．
【答案】2n+1
【解析】
【分析】分別得到第一個、第二個、第三個圖形需要的火柴棍，找到規(guī)律，再總結即可．
【詳解】解：由圖可知：
拼成第一個圖形共需要3根火柴棍，
拼成第二個圖形共需要3+2=5根火柴棍，
拼成第三個圖形共需要3+2×2=7根火柴棍，
...
拼成第n個圖形共需要3+2×（n-1）=2n+1根火柴棍，
故答案為：2n+1．
【點睛】此題考查圖形的變化規(guī)律，找出圖形之間的聯(lián)系，得出運算規(guī)律解決問題．
三、解答題（共5小題，共32分）
18. 解不等式 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】不等式去分母，去括號，移項合并，把x系數(shù)化為1，即可求出解．
【詳解】解： SKIPIF 1 < 0 ，
去分母，得 SKIPIF 1 < 0 ，
去括號，得 SKIPIF 1 < 0 ，
移項，得 SKIPIF 1 < 0 ，
合并同類項，得 SKIPIF 1 < 0 ，
系數(shù)化成1，得 SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題考查了解一元一次不等式，解此題的關鍵點是能正確根據(jù)不等式的性質(zhì)進行變形，注意：移項要變號．
19. 已知 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
【答案】-4
【解析】
【分析】根據(jù)已知求出xy=-2，再將所求式子變形為 SKIPIF 1 < 0 ，代入計算即可．
【詳解】解：∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題考查了代數(shù)式求值，解題的關鍵是掌握分式的運算法則和因式分解的應用．
20. 隨著手機的日益普及，學生使用手機給學校管理和學生發(fā)展帶來諸多不利影響，為了保護學生視力，防止學生沉迷網(wǎng)絡和游戲，讓學生在學校專心學習，促進學生身心健康發(fā)展，教育部辦公廳于2021年1月15日頒發(fā)了《教育部辦公廳關于加強中小學生手機管理工作的通知》，為貫徹《通知》精神、某學校團委組織了“我與手機說再見”為主題的演講比賽，根據(jù)參賽同學的得分情況繪制了如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計圖．（其中A表示“一等獎”，B表示“二等獎”，C表示“三等獎”，D表示“優(yōu)秀獎”）
請你根據(jù)統(tǒng)計圖中所提供的信息解答下列問題：
（1）獲獎總?cè)藬?shù)為______人， SKIPIF 1 < 0 _______；
（2）請將條形統(tǒng)計圖補充完整；
（3）學校將從獲得一等獎的4名同學（其中有一名男生，三名女生）中隨機抽取兩名參加全市的比賽，請利用樹狀圖或列表法求抽取同學中恰有一名男生和一名女生的概率．
【答案】（1）40，30；（2）見解析；（3） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）用B等級的人數(shù)除以對應百分比可得獲獎總?cè)藬?shù)，再減去A、B、D的人數(shù)可得C等級的人數(shù)，除以獲獎總?cè)藬?shù)可得對應百分比，即可得到m值；
（2）求出C等級的人數(shù)，即可補全統(tǒng)計圖；
（3）畫樹狀圖展示所有12種等可能的結果，找出抽出的恰好是一名男生和一名女生的結果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．
【詳解】解：（1）8÷20%=40人，
（40-4-8-16）÷40×100%=30%，
則m=30；
（2）40-4-8-16=12人，
補全統(tǒng)計圖如下：
（3）如圖，
共有12種情況，恰好選中1名男生和1名女生的有6種，
所以恰好選中1名男生和1名女生的概率是 SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題考查了扇形統(tǒng)計圖，條形統(tǒng)計圖，列表法或樹狀圖法求概率等知識點，能正確畫出條形統(tǒng)計圖和樹狀圖是解此題的關鍵．
21. 王剛同學在學習了解直角三角形及其應用的知識后，嘗試利用所學知識測量河對岸大樹AB的高度，他在點C處測得大樹頂端A的仰角為 SKIPIF 1 < 0 ，再從C點出發(fā)沿斜坡走 SKIPIF 1 < 0 米到達斜坡上D點，在點D處測得樹頂端A的仰角為 SKIPIF 1 < 0 ，若斜坡CF的坡比為 SKIPIF 1 < 0 （點 SKIPIF 1 < 0 在同一水平線上）．
（1）求王剛同學從點C到點D的過程中上升的高度；
（2）求大樹AB的高度（結果保留根號）．
【答案】（1）2米；（2） SKIPIF 1 < 0 米
【解析】
【分析】（1）作DH⊥CE于H，解Rt△CDH，即可求出DH；
（2）延長AD交CE于點G，解Rt△GDH、Rt△CDH，求出GH、CH，得到GC，再說明AB=BC，在△ABG中，利用正切的定義求出AB即可．
【詳解】解：（1）過D作DH⊥CE于H，如圖所示：
在Rt△CDH中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴CH=3DH，
∵CH2+DH2=CD2，
∴（3DH）2+DH2=（ SKIPIF 1 < 0 ）2，
解得：DH=2或-2（舍），
∴王剛同學從點C到點D的過程中上升的高度為2米；
（2）延長AD交CE于點G，設AB=x米，
由題意得，∠AGC=30°，
∴GH= SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，
∵CH=3DH=6，
∴GC=GH+CH= SKIPIF 1 < 0 +6，
在Rt△BAC中，∠ACB=45°，
∴AB=BC，
∴tan∠AGB= SKIPIF 1 < 0 ，
解得：AB= SKIPIF 1 < 0 ，
即大樹AB的高度為 SKIPIF 1 < 0 米．
【點睛】本題考查的是解直角三角形的應用-仰角俯角問題，掌握銳角三角函數(shù)的定義、仰角俯角的概念是解題的關鍵．
22. 如圖，在四邊形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，過點D作 SKIPIF 1 < 0 于E，若 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求證： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）連接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于點 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，求DF的長．
【答案】（1）見解析；（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）過D作BC的垂線，交BC的延長線于點G，連接BD，證明四邊形BEDG為正方形，得到條件證明△ADE≌△CDG，可得AD=CD；
（2）根據(jù)∠ADE=30°，AD=6，得到AE，DE，從而可得BE，BG，設DF=x，證明△AEF∽△ABC，得到比例式，求出x值即可．
【詳解】解：（1）過D作BC的垂線，交BC的延長線于點G，連接BD，
∵∠DEB=∠ABC=∠G=90°，DE=BE，
∴四邊形BEDG為正方形，
∴BE=DE=DG，∠BDE=∠BDG=45°，
∵∠ADC=90°，即∠ADE+∠CDE=∠CDG+∠CDE=90°，
∴∠ADE=∠CDG，又DE=DG，∠AED=∠G=90°，
∴△ADE≌△CDG（ASA），
∴AD=CD；
（2）∵∠ADE=30°，AD=6，
∴AE=CG=3，DE=BE= SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，
∵四邊形BEDG正方形，
∴BG=BE= SKIPIF 1 < 0 ，
BC=BG-CG= SKIPIF 1 < 0 -3，
設DF=x，則EF= SKIPIF 1 < 0 -x，
∵DE∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得：x= SKIPIF 1 < 0 ，
即DF的長為 SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解題的關鍵是作出輔助線，構造全等三角形．
B卷（共50分）
四、填空題（共2小題，每小題5分，共10分）
23. 若關于x的分式方程 SKIPIF 1 < 0 的解為正數(shù)，則m的取值范圍是_________．
【答案】m＞-3且m≠-2
【解析】
【分析】先利用m表示出x的值，再由x為正數(shù)求出m的取值范圍即可．
【詳解】解：方程兩邊同時乘以x-1得， SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∵x為正數(shù)，
∴m+3＞0，解得m＞-3．
∵x≠1，
∴m+3≠1，即m≠-2．
∴m的取值范圍是m＞-3且m≠-2．
故答案為：m＞-3且m≠-2．
【點睛】本題考查的是分式方程的解，熟知求出使分式方程中令等號左右兩邊相等且分母不等于0的未知數(shù)的值，這個值叫方程的解是解答此題的關鍵．
24. 如圖，等邊三角形ABC的邊長為4， SKIPIF 1 < 0 的半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，P為AB邊上一動點，過點P作 SKIPIF 1 < 0 的切線PQ，切點為Q，則PQ的最小值為________．
【答案】3
【解析】
【分析】連接OC和PC，利用切線的性質(zhì)得到CQ⊥PQ，可得當CP最小時，PQ最小，此時CP⊥AB，再求出CP，利用勾股定理求出PQ即可．
【詳解】解：連接QC和PC，
∵PQ和圓C相切，
∴CQ⊥PQ，即△CPQ始終為直角三角形，CQ為定值，
∴當CP最小時，PQ最小，
∵△ABC是等邊三角形，
∴當CP⊥AB時，CP最小，此時CP⊥AB，
∵AB=BC=AC=4，
∴AP=BP=2，
∴CP= SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，
∵圓C的半徑CQ= SKIPIF 1 < 0 ，
∴PQ= SKIPIF 1 < 0 =3，
故答案為：3．
【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意得到當PC⊥AB時，線段PQ最短是關鍵．
五、解答題（共4小題，共40分）
25. 閱讀以下材料，蘇格蘭數(shù)學家納皮爾（J．Npler，1550－1617年）是對數(shù)的創(chuàng)始人，他發(fā)明對數(shù)是在指數(shù)書寫方式之前，直到18世紀瑞士數(shù)學家歐拉（Evler．1707－1783年）才發(fā)現(xiàn)指數(shù)與對數(shù)之間的聯(lián)系．
對數(shù)的定義：一般地．若 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ），那么x叫做以a為底N的對數(shù)，
記作 SKIPIF 1 < 0 ，比如指數(shù)式 SKIPIF 1 < 0 可以轉(zhuǎn)化為對數(shù)式 SKIPIF 1 < 0 ，對數(shù)式 SKIPIF 1 < 0 可以轉(zhuǎn)化為指數(shù)式 SKIPIF 1 < 0 ．我們根據(jù)對數(shù)的定義可得到對數(shù)的一個性質(zhì)：
SKIPIF 1 < 0 ，理由如下：
設 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ．由對數(shù)的定義得 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
根據(jù)上述材料，結合你所學的知識，解答下列問題：
（1）填空：① SKIPIF 1 < 0 ___________；② SKIPIF 1 < 0 _______，③ SKIPIF 1 < 0 ________；
（2）求證： SKIPIF 1 < 0 ；
（3）拓展運用：計算 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】（1）5，3，0；（2）見解析；（3）2
【解析】
【分析】（1）直接根據(jù)定義計算即可；
（2）結合題干中的過程，同理根據(jù)同底數(shù)冪的除法即可證明；
（3）根據(jù)公式：lga（M?N）=lgaM+lgaN和lga SKIPIF 1 < 0 =lgaM-lgaN的逆用，將所求式子表示為： SKIPIF 1 < 0 ，計算可得結論．
【詳解】解：（1）①∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 5，
②∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 3，
③∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 0；
（2）設lgaM=m，lgaN=n，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（3） SKIPIF 1 < 0
= SKIPIF 1 < 0
= SKIPIF 1 < 0
=2．
【點睛】本題考查整式的混合運算、對數(shù)與指數(shù)之間的關系與相互轉(zhuǎn)化的關系，解題的關鍵是明確新定義，明白指數(shù)與對數(shù)之間的關系與相互轉(zhuǎn)化關系．
26. 如圖， SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，邊OB在x軸上，反比例函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖象經(jīng)過斜邊OA的中點M，與AB相交于點N， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求k的值；
（2）求直線MN的解析式．
【答案】（1）6；（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）設點A坐標為（m，n），根據(jù)題意表示出點B，N，M的坐標，根據(jù)△AOB的面積得到 SKIPIF 1 < 0 ，再根據(jù)M，N在反比例函數(shù)圖像上得到方程，求出m值，即可得到n，可得M點坐標，代入反比例函數(shù)表達式，即可求得k值；
（2）由（1）得到M，N的坐標，再利用待定系數(shù)法即可求出MN的解析式．
【詳解】解：（1）設點A坐標為（m，n），
∵∠ABO=90°，
∴B（m，0），又AN= SKIPIF 1 < 0 ，
∴N（m， SKIPIF 1 < 0 ），
∵△AOB的面積為12，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∵M為OA中點，
∴M（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ），
∵M和N在反比例函數(shù)圖像上，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，化簡可得： SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴M（2，3），代入 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由（1）可得：M（2，3），N（4， SKIPIF 1 < 0 ），
設直線MN的表達式為y=ax+b，
則 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴直線MN的表達式為 SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)綜合，解題的關鍵是掌握反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，求出相應的點的坐標是解決問題的關鍵．
27. 如圖，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，AE 平分 SKIPIF 1 < 0 交BC于點E，點D在AB上， SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的外接圓，交AC于點F．
（1）求證：BC是 SKIPIF 1 < 0 的切線；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 的半徑為5， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】（1）見解析；（2）20
【解析】
【分析】（1）連接OE，由OA=OE，利用等邊對等角得到一對角相等，再由AE為角平分線得到一對角相等，等量代換得到一對內(nèi)錯角相等，利用內(nèi)錯角相等兩直線平行，得到AC與OE平行，再根據(jù)兩直線平行同位角相等及∠C為直角，得到OE與BC垂直，可得出BC為圓O的切線；
（2）過E作EG垂直于OD，利用AAS得出△ACE≌△AGE，得到AC=AG=8，從而可得OG，利用勾股定理求出EG，再利用三角形面積公式可得結果．
【詳解】解：（1）證明：連接OE，
∵OA=OE，
∴∠1=∠3，
∵AE平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴OE∥AC，
∴∠OEB=∠C=90°，
則BC為圓O的切線；
（2）過E作EG⊥AB于點G，
在△ACE和△AGE中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴△ACE≌△AGE（AAS），
∴AC=AG=8，
∵圓O的半徑為5，
∴AD=OA+OD=10，
∴OG=3，
∴EG= SKIPIF 1 < 0 =4，
∴△ADE的面積= SKIPIF 1 < 0 =20．
【點睛】此題考查了切線的判定，涉及的知識有：全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，平行線的判定與性質(zhì)，切線的判定方法有兩種：有點連接證垂直；無點作垂線，證明垂線段等于半徑．
28. 如圖，拋物線 SKIPIF 1 < 0 與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在第二象限內(nèi)的拋物線上確定一點P，使四邊形PBAC的面積最大．求出點P的坐標
（3）在（2）的結論下，點M為x軸上一動點，拋物線上是否存在一點Q．使點P、B、M、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在．請直接寫出Q點的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）；（3）（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）或（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）或（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)OB=OC=3OA，AC= SKIPIF 1 < 0 ，利用勾股定理求出OA，可得OB和OC，得到A，B，C的坐標，利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（2）判斷出四邊形BACP的面積最大時，△BPC的最大面積，過點P作y軸的平行線交BC于點H，求出直線BC的表達式，設點P（x，-x2-2x+3），利用三角形面積公式S△BPC= SKIPIF 1 < 0 ，即可求出S△BPC面積最小時點P的坐標；
（3）分類討論，一是當BP為平行四邊形對角線時，二是當BP為平行四邊形一邊時，利用平移規(guī)律即可求出點Q的坐標．
【詳解】解：（1）∵OB=OC=3OA，AC= SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得：OA=1，OC=OB=3，
∴A（1，0），B（-3，0），C（0，3），代入 SKIPIF 1 < 0 中，
則 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴拋物線的解析式為 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）如圖，四邊形PBAC的面積=△BCA的面積+△PBC的面積，
而△ABC的面積是定值，故四邊形PBAC的面積最大，只需要△BPC的最大面積即可，
過點P作y軸的平行線交BC于點H，
∵B（-3，0），C（0，3），設直線BC的表達式為y=mx+n，
則 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴直線BC的表達式為y=x+3，
設點P（x，-x2-2x+3），則點H（x，x+3），
S△BPC= SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，故S有最大值，即四邊形PBAC的面積有最大值，
此時x= SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴P（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）；
（3）若BP為平行四邊形的對角線，
則PQ∥BM，PQ=BM，
則P、Q關于直線x=-1對稱，
∴Q（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）；
若BP為平行四邊形的邊，
如圖，QP∥BM，QP=BM，
同上可得：Q（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）；
如圖，BQ∥PM，BQ=PM，
∵點Q的縱坐標為 SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 中，
解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍），
∴點Q坐標為（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）；
如圖，BP∥QM，BP=QM，
∵點Q的縱坐標為 SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 中，
解得： SKIPIF 1 < 0 （舍）或 SKIPIF 1 < 0 ，
∴點Q的坐標為（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）；
綜上：點Q的坐標為（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）或（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）或（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）．
【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的有關性質(zhì)、一次函數(shù)的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關鍵．
成績
60
70
80
90
100
人數(shù)
3
9
13
16
9

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