【課前測】
成績（滿分10）： 完成情況： 優(yōu)/中/差
1.已知橢圓： 的長軸長為，為坐標原點.
（Ⅰ）求橢圓的方程和離心率；
（Ⅱ）設點，動點在軸上，動點在橢圓上，且在軸的右側，若，求四邊形面積的最小值.
【教學目標】
掌握利用直線和圓錐曲線聯立的方法求出韋達定理;
理解弦長公式,并深刻理解中點弦問題的垂直角度問題轉化的實質;
能夠熟練對這兩種方法進行計算.
【知識框架】
【知識要點】
考點分析:此部分的解答題以直線與圓錐曲線相交占多數,并以橢圓、拋物線為載體較多;通過借助解析幾何的元素來考察函數方程、數形結合的思想、等價轉化思想;考察分析處理問題的能力、計算能力,考察鍥而不舍的精神.
一:曲線的交點與方程組
曲線的交點即為兩曲線的公共點,此點的坐標既要滿足的方程,又要滿足的方程（因為它既在的圖像上,又在的圖像上）,所以可以通過解方程組來求解此點的坐標.
二:韋達定理
對于二次方程有如下的定理,稱之為“韋達定理”（Viete therem）,是韋達（Viete）發(fā)現的.
二次方程的兩個根和系數由如下關系:;.這就是韋達定理.
韋達定理往往使問題能計算量大大減少.
解直線與圓錐曲線相交問題的經典套路:設線、設點, 聯立、消元, 韋達、代入、化簡.
第一步:討論直線斜率的存在性,斜率存在時設直線的方程為;設直線與圓錐曲線的兩個交點為,
第二步:聯立方程組,消去y 得關于x的一元二次方程;
第三步:由判別式和韋達定理列出直線與曲線相交滿足的條件,
第四步:把所要解決的問題轉化為; ,然后代入、化簡.
三:弦中點問題的特殊解法-----點差法:
當已知曲線方程,直線l與曲線相交于A,B兩點,且弦AB中點坐標（x0,y0）已知,可以利用點差法求直線方程.
設直線l與橢圓相交于兩點A（x1,y2）,B（x2,y2）,帶入曲線方程,做差以后可以得到形如y12-y22x12-x22=p（其中p為常數）.即y1-y2x1-x2?y1+y2x1+x1=-b2a2 …..①
由兩點斜率公式可知:k=y1-y2x1-x2 ;……②
由中點坐標公式可知:&2x0=x1+x2&2y0=y1+y2 ……③
將②③帶入①可得:k=-b2a2x0y0 ,由點斜式可得直線方程:
y-y0=-b2a2x0y0（x-x0） .
四:圓錐曲線中的弦長求法:
（1）設直線方程為:y=kx+b型.
①考慮斜率不存在時,例如x=a直接帶入曲線方程解得相應坐標,利用兩點之間坐標公式求解即可;
當斜率存在時,設斜率為k的直線l與圓錐曲線C相交于A,B兩點,A（x1,y1）,B（x2,y2）,聯立直線與曲線方程,可以得到關于x 的一元二次方程.
則|AB|＝|x1－x2|＝·=1+k2Δa
（2）設直線為:x=my+n 型.
①考慮直線平行于x軸時,此時m不存在.例如y=c直接帶入曲線方程,解出相應的坐標,利用兩點之間坐標公式求解即可;
②當m存在時,設出直線l的方程,與圓錐曲線C 相較于A,B 兩點,A（x1,y2）,B（x2,y2）,聯立直線與曲線方程,可以得到關于y 的一元二次方程.
則|AB|＝1+m2y1-y2=1+m2（y1+y2）2-4y1y2=1+m2Δa
【典型例題】
【例1】已知橢圓經過點，離心率為，過點的直線與橢圓交于不同的兩點．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若，求直線的方程．
練1：已知橢圓，直線過點與橢圓交于兩點，，為坐標原點.
（Ⅰ）設為的中點，當直線的斜率為時，求線段的長；
練2：已知橢圓的左右焦點分別為，離心率為為．點在橢圓上，且的周長為．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若直線：與橢圓交于兩點，為坐標原點，求面積的最大值
例2: 已知橢圓
（Ⅰ）求橢圓的離心率；
（Ⅱ）設橢圓上在第二象限的點的橫坐標為，過點的直線與橢圓的另一交點分別為.且的斜率互為相反數，兩點關于坐標原點 的對稱點分別為 ,求四邊形 的面積的最大值.
練1:已知點其中是曲線上的兩點， 兩點在軸上的射影分別為點,且.
（Ⅰ）當點的坐標為時，求直線的斜率；
（Ⅱ）記的面積為，梯形的面積為，求證：.
練2:已知橢圓的四個頂點恰好是一邊長為2,一內角為的菱形的四個頂點.
( = 1 \* ROMAN I)求橢圓的方程;
(II)直線與橢圓交于,兩點,且線段的垂直平分線經過點,求(為原點)面積的最大值.
【小試牛刀】
1．已知橢圓:的離心率為,且過點.直線
交橢圓于,(不與點重合)兩點.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)△ABD的面積是否存在最大值?若存在,求出這個最大值;若不存在,請說明理由.
2.已知橢圓的上頂點為,左焦點為,直線與圓相切.過點的直線與橢圓交于兩點.
(I)求橢圓的方程;
(II)當的面積達到最大時,求直線的方程.
3．已知直線與拋物線相切于點．
（Ⅰ）求直線的方程及點的坐標；
（Ⅱ）設在拋物線上，為的中點．過作軸的垂線，分別交拋物線和直線于，．記△的面積為，△的面積為，證明：．
4.已知橢圓，為右焦點，圓，為橢圓上一點，且位于第一象限，過點作與圓相切于點，使得點，在的兩側.
（Ⅰ）求橢圓的焦距及離心率；
（Ⅱ）求四邊形面積的最大值.
5.已知拋物線經過點是拋物線上異于點的不同的兩點，其中為原點．
（I）求拋物線的方程，并求其焦點坐標和準線方程；
（II）若OA⊥OB，求△AOB面積的最小值.
6.已知拋物線
（Ⅰ）寫出拋物線的準線方程,并求拋物線的焦點到準線的距離;
（Ⅱ）過點且斜率存在的直線與拋物線交于不同的兩點且點關于軸的對稱點為,直線與軸交于點.
（i）求點的坐標;
(ii)求與面積之和的最小值.
【鞏固練習——基礎篇】
1. 已知橢圓 x2a2+y2b2=1a>b>0 的左、右焦點為 F1，F2，A 點在橢圓上，離心率是 22，AF2 與 x 軸垂直，且 ∣AF2∣=2．
（1）求橢圓的方程；
（2）若點 A 在第一象限，過點 A 做直線 l，與橢圓交于另一點 B，求 △AOB 面積的最大值．
2.已知橢圓的離心率為,,的面積為.
（Ⅰ）求橢圓的方程;
（Ⅱ）設是橢圓上一點,且不與頂點重合,若直線與直線交于點,直線與直線交于點.求證:△BPQ為等腰三角形.
3.已知橢圓，上頂點為，離心率為，直線交軸于點，交橢圓于 兩點,直線分別交 軸于點。
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求證：SΔBOM.SΔBCN。
【鞏固練習——提高篇】
1. 已知橢圓的左焦點為，且經過點，分別是的右頂點和上頂點，過原點的直線與交于兩點（點在第一象限），且與線段交于點.
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）若，求直線的方程；
（Ⅲ）若的面積是的面積的倍，求直線的方程
2.已知橢圓C:0)的兩個焦點是在橢圓C上,且O為坐標原點,直線l與直線OM平行,且與橢圓交于A,B兩點.連接MA、MB與x軸交于點D，E.
(I)求橢圓C的標準方程;
(II)求證:|OD+OE|為定值.
3.已知橢圓的右焦點為，離心率為. 直線過點且不平行于坐標軸，與有兩個交點，線段的中點為.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）證明：直線的斜率與的斜率的乘積為定值；
（Ⅲ）延長線段與橢圓交于點，若四邊形為平行四邊形，求此時直線的斜率

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