郴州市2023屆高三第三次教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試卷數(shù)學(xué)（命題人：李正標(biāo) 侯臘龍 黃生周 何發(fā)軍 何利珍 黃艷蘭審題人：陳偉 張凱 汪昌華）姓名__________ 準(zhǔn)考證號(hào)__________注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.4.考試時(shí)間為120分鐘，滿分為150分.5.本試題卷共5頁(yè).如缺頁(yè)，考生須聲明，否則后果自負(fù).一?選擇題（本題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的4個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的）1.若（其中為虛數(shù)單位），則在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（    ）A.第一象限    B.第二象限C.第三象限    D.第四象限2.已知集合，則（    ）A.    B.    C.    D.3.已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線的斜率為，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（    ）A.    B.    C.    D.4.籃球隊(duì)的5名隊(duì)員進(jìn)行傳球訓(xùn)練，每位隊(duì)員把球傳給其他4人的概率相等，由甲開始傳球，則前3次傳球中，乙恰好有1次接到球的概率為（    ）A.    B.    C.    D.5.已知圓臺(tái)的上?下底面圓半徑分別為10和5，側(cè)面積為為圓臺(tái)的一條母線（點(diǎn)在圓臺(tái)的上底面圓周上），為的中點(diǎn)，一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)，繞圓臺(tái)側(cè)面一周爬行到點(diǎn)，則螞蟻爬行所經(jīng)路程的最小值為（    ）A.30    B.40    C.50    D.60
6.設(shè)，則的大小關(guān)系為（    ）A.    B.C.    D.7.已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為，過作直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，若且，則橢圓的的離心率為（    ）A.    B.    C.    D.8.已知函數(shù)，實(shí)數(shù)滿足不等式，則下列不等式成立的是（    ）A.    B.C.    D.二?多項(xiàng)選擇題（本題共4個(gè)小題，每題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分）9.給出下列命題，其中正確的是（    ）A.對(duì)于獨(dú)立性檢驗(yàn)的值越大，說明兩事件相關(guān)程度越大.B.若隨機(jī)變量，則C.若，則D.已知樣本點(diǎn)組成一個(gè)樣本，得到回歸直線方程，且，剔除兩個(gè)樣本點(diǎn)和得到新的回歸直線的斜率為3，則新的回歸方程為10.已知拋物線的焦點(diǎn)為，過的直線交拋物線于兩點(diǎn)，以線段為直徑的圓交軸于兩點(diǎn)，設(shè)線段的中點(diǎn)為，下列說法正確的是（    ）A.若，則直線的傾斜角為B.C.若拋物線上存在一點(diǎn)，到焦點(diǎn)的距離等于4，則拋物線的方程為D.若點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為2，則的最小值為11.設(shè)函數(shù)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)，已知在上有且只有5個(gè)零點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（    ）A.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱B.在上有且只有5個(gè)極值點(diǎn)C.在上單調(diào)遞增D.的取值范圍是）12.已知正四棱柱中，為的中點(diǎn)，為棱上的動(dòng)點(diǎn)，平面過三點(diǎn)，下面說法正確的是：（    ）A.平面平面B.平面與正四棱柱表面的交線圍成的圖形一定是四邊形C.當(dāng)與重合時(shí)，平面截此四棱柱的外接球所得的截面面積為D.存在點(diǎn)，使得與平面所成角的大小為三?填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.若的展開式中的系數(shù)為3，則__________.14.已知點(diǎn)，若過點(diǎn)的直線交圓于兩點(diǎn)，則的最小值為__________.15.已知三棱錐的棱長(zhǎng)均為4，先在三棱錐內(nèi)放入一個(gè)內(nèi)切球，然后再放入一個(gè)球，使得球與球及三棱錐的三個(gè)側(cè)面都相切，則球的表面積為__________.16.設(shè)實(shí)數(shù)，若對(duì)任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________.四?解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟）17.（本小題滿分10分）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知（1）求角.（2）的角平分線交于點(diǎn)，且，求的最小值.18.（本小題滿分12分）如圖，在三棱錐中，側(cè)面底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，分別是的中點(diǎn)，記平面與平面的交線.（1）證明：直線平面.（2）若在直線上且為銳角，當(dāng)時(shí)，求二面角的余弦值.19.（本小題滿分12分）“現(xiàn)值”與“終值”是利息計(jì)算中的兩個(gè)基本概念，掌握好這兩個(gè)概念，對(duì)于順利解決有關(guān)金融中的數(shù)學(xué)問題以及理解各種不同的算法都是十分有益的.所謂“現(xiàn)值”是指在期末的金額，把它扣除利息后，折合成現(xiàn)時(shí)的值，而“終值”是指期后的本利和.它們計(jì)算的基點(diǎn)分別是存期的起點(diǎn)和終點(diǎn).例如，在復(fù)利計(jì)息的情況下，設(shè)本金為，每期利率為，期數(shù)為，到期末的本利和為，則其中，稱為期末的終值，稱為期后終值的現(xiàn)值，即期后的元現(xiàn)在的價(jià)值為.現(xiàn)有如下問題：小明想買一座公寓有如下兩個(gè)方案方案一：一次性付全款25萬(wàn)元；方案二：分期付款，每年初付款3萬(wàn)元，第十年年初付完；（1）已知一年期存款的年利率為，試討論兩種方案哪一種更好？（2）若小明把房子租出去，第一年年初需交納租金2萬(wàn)元，此后每年初漲租金1000元，參照第（1））問中的存款年利率，預(yù)計(jì)第十年房租到期后小明所獲得全部租金的終值.（精確到百元）參考數(shù)據(jù)：20.（本小題滿分12分）已知橢圓方程為，過橢圓的的焦點(diǎn)分別做軸的垂線與橢圓交于四點(diǎn)，依次連接這四個(gè)點(diǎn)所得的四邊形恰好為正方形.（1）求該橢圓的離心率.（2）若橢圓的頂點(diǎn)恰好是雙曲線焦點(diǎn)，橢圓的焦點(diǎn)恰好是雙曲線頂點(diǎn)，設(shè)橢圓的焦點(diǎn)，雙曲線的焦點(diǎn)為與的一個(gè)公共點(diǎn)，記，，求的值.21.（本小題滿分12分）chatGPT是由OpenAI開發(fā)的一款人工智能機(jī)器人程序，一經(jīng)推出就火遍全球.chatGPT的開發(fā)主要采用RLHF（人類反饋強(qiáng)化學(xué)習(xí)）技術(shù)，訓(xùn)練分為以下三個(gè)階段.第一階段：訓(xùn)練監(jiān)督策略模型.對(duì)抽取的prompt數(shù)據(jù)，人工進(jìn)行高質(zhì)量的回答，獲取<prompt，answer>數(shù)據(jù)對(duì)，幫助數(shù)學(xué)模型GPT-3.5更好地理解指令.第二階段：訓(xùn)練獎(jiǎng)勵(lì)模型.用上一階段訓(xùn)練好的數(shù)學(xué)模型，生成個(gè)不同的回答，人工標(biāo)注排名，通過獎(jiǎng)勵(lì)模型給出不同的數(shù)值，獎(jiǎng)勵(lì)數(shù)值越高越好.獎(jiǎng)勵(lì)數(shù)值可以通過最小化下面的交叉熵?fù)p失函數(shù)得到：，其中，且.第三階段：實(shí)驗(yàn)與強(qiáng)化模型和算法.通過調(diào)整模型的參數(shù)，使模型得到最大的獎(jiǎng)勵(lì)以符合人工的選擇取向.參考數(shù)據(jù)：（1）若已知某單個(gè)樣本，其真實(shí)分布，其預(yù)測(cè)近似分布，計(jì)算該單個(gè)樣本的交叉熵?fù)p失函數(shù)Loss值.（2）絕對(duì)值誤差MAE也是一種比較常見的損失函數(shù)，現(xiàn)已知某階變量的絕對(duì)值誤差，，其中，表示變量的階.若已知某個(gè)樣本是一個(gè)三階變量的數(shù)陣，其真實(shí)分布是現(xiàn)已知其預(yù)測(cè)分布為，求證：該變量的絕對(duì)值誤差為定值.（3）在測(cè)試chatGPT時(shí)，如果輸人問題沒有語(yǔ)法錯(cuò)誤chatGPT的回答被采納的概率為，當(dāng)出現(xiàn)語(yǔ)法錯(cuò)誤時(shí)，chatGPT的回答被采納的概率為.現(xiàn)已知輸入的問題中出現(xiàn)語(yǔ)法錯(cuò)誤的概率為，現(xiàn)已知chatGPT的回答被采納，求該問題的輸入語(yǔ)法沒有錯(cuò)誤的概率.22.（本小題滿分12分）已知函數(shù).（1）若在區(qū)間上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若函數(shù)和有公切線，求實(shí)數(shù)的取值范圍.郴州市2023屆高三第三次教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試卷數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分細(xì)則一?選擇題（本題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的4個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的）1-5DBCDC    6-8DCA二?多項(xiàng)選擇題（本題共4個(gè)小題，每題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分）9.BCD    10.BC    11.CD    12.AC三?填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.    14.    15.    16.四?解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟）17.（本小題滿分10分）（1）由正弦定理或余弦定理不難證明代入條件可得由正弦定理得.（2）因?yàn)?/span>的平分線交于點(diǎn)，所以，由三角形的面積公式可得，化簡(jiǎn)得，又，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的最小值為.18.（本小題滿分12分）（1）證明分別是的中點(diǎn)，平面平面，平面平面.平面平面，平面平面，平面.平面（2）是的中位線，又，當(dāng)時(shí)，又因?yàn)?/span>故此時(shí)以為原點(diǎn)，直線為軸，直線為軸，過點(diǎn)且垂直于平面的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，令平面的法向量為則令則令平面的法向量為則令則因?yàn)?/span>，所以二面角的余弦值為.19.（本小題滿分12分）（1）解法1（從終值來考慮）若全款購(gòu)置，則25萬(wàn)元10年后的價(jià)值萬(wàn)元若分期付款，每年初所付金額3萬(wàn)元，10年后的總價(jià)值為（萬(wàn)元）.因此，付全款較好.解法2（從現(xiàn)值來考慮）每年初付租金3萬(wàn)元的10年現(xiàn)值之和為（萬(wàn)元）比購(gòu)置一次付款25萬(wàn)元多，故購(gòu)置設(shè)備的方案較好.（2）由題意，設(shè)小明第十年房租到期后小明所獲得全部租金的終值為萬(wàn)元，記，則作差可得：（萬(wàn)元）.20.（本小題滿分12分）（1）由題意，，又因?yàn)?/span>，故，即，解得（舍負(fù)）（2）證明：設(shè)橢圓的方程為.由題意知雙曲線的方程為.聯(lián)立的方程，解之得.不失一般性，可設(shè)在第一象限，所以點(diǎn)..同理，.....同理，因?yàn)?/span>的離心率為，則.的離心率為，則.又，所以.21.（本小題滿分12分）（1）由題意該單個(gè)樣本的交叉嫡損失函數(shù)：（2）根據(jù)定義該三階變量的絕對(duì)值誤差為MA（3）記事件A：chatGPT中輸入的語(yǔ)法無錯(cuò)誤；事件B：chatGPT中輸入的語(yǔ)法有錯(cuò)誤；事件C：chatGPT的回答被采納.依題意：22.（本小題滿分12分）解：（1）由題意，當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，，令，得（舍負(fù)）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，.根據(jù)題意的取值范圍為.（2）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處與函數(shù)在點(diǎn)處有相同的切線，則，，代入得.問題轉(zhuǎn)化為：關(guān)于的方程有解，設(shè)，則函數(shù)有零點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，.問題轉(zhuǎn)化為：的最小值小于或等于0.，設(shè)，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，的最小值為.由知，故.設(shè)，則，故在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，的最小值等價(jià)于.又函數(shù)在上單調(diào)遞增，.
 

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