姓名__________ 準(zhǔn)考證號(hào)__________
注意事項(xiàng)：
1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.
2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.
3.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.
4.考試時(shí)間為120分鐘，滿(mǎn)分為150分.
5.本試題卷共5頁(yè).如缺頁(yè)，考生須聲明，否則后果自負(fù).
一?選擇題（本題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的4個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的）
1.若（其中為虛數(shù)單位），則在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.已知集合，則（ ）
A. B. C. D.
3.已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線的斜率為，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（ ）
A. B. C. D.
4.籃球隊(duì)的5名隊(duì)員進(jìn)行傳球訓(xùn)練，每位隊(duì)員把球傳給其他4人的概率相等，由甲開(kāi)始傳球，則前3次傳球中，乙恰好有1次接到球的概率為（ ）
A. B. C. D.
5.已知圓臺(tái)的上?下底面圓半徑分別為10和5，側(cè)面積為為圓臺(tái)的一條母線（點(diǎn)在圓臺(tái)的上底面圓周上），為的中點(diǎn)，一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)，繞圓臺(tái)側(cè)面一周爬行到點(diǎn)，則螞蟻爬行所經(jīng)路程的最小值為（ ）
A.30 B.40 C.50 D.60
6.設(shè)，則的大小關(guān)系為（ ）
A. B.
C. D.
7.已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為，過(guò)作直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，若且，則橢圓的的離心率為（ ）
A. B. C. D.
8.已知函數(shù)，實(shí)數(shù)滿(mǎn)足不等式，則下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
二?多項(xiàng)選擇題（本題共4個(gè)小題，每題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分）
9.給出下列命題，其中正確的是（ ）
A.對(duì)于獨(dú)立性檢驗(yàn)的值越大，說(shuō)明兩事件相關(guān)程度越大.
B.若隨機(jī)變量，則
C.若，則
D.已知樣本點(diǎn)組成一個(gè)樣本，得到回歸直線方程，且，剔除兩個(gè)樣本點(diǎn)和得到新的回歸直線的斜率為3，則新的回歸方程為
10.已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，以線段為直徑的圓交軸于兩點(diǎn)，設(shè)線段的中點(diǎn)為，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A.若，則直線的傾斜角為
B.
C.若拋物線上存在一點(diǎn)，到焦點(diǎn)的距離等于4，則拋物線的方程為
D.若點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為2，則的最小值為
11.設(shè)函數(shù)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)，已知在上有且只有5個(gè)零點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)
B.在上有且只有5個(gè)極值點(diǎn)
C.在上單調(diào)遞增
D.的取值范圍是）
12.已知正四棱柱中，為的中點(diǎn)，為棱上的動(dòng)點(diǎn)，平面過(guò)三點(diǎn)，下面說(shuō)法正確的是：（ ）
A.平面平面
B.平面與正四棱柱表面的交線圍成的圖形一定是四邊形
C.當(dāng)與重合時(shí)，平面截此四棱柱的外接球所得的截面面積為
D.存在點(diǎn)，使得與平面所成角的大小為
三?填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）
13.若的展開(kāi)式中的系數(shù)為3，則__________.
14.已知點(diǎn)，若過(guò)點(diǎn)的直線交圓于兩點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_________.
15.已知三棱錐的棱長(zhǎng)均為4，先在三棱錐內(nèi)放入一個(gè)內(nèi)切球，然后再放入一個(gè)球，使得球與球及三棱錐的三個(gè)側(cè)面都相切，則球的表面積為_(kāi)_________.
16.設(shè)實(shí)數(shù)，若對(duì)任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_________.
四?解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟）
17.（本小題滿(mǎn)分10分）
在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知
（1）求角.
（2）的角平分線交于點(diǎn)，且，求的最小值.
18.（本小題滿(mǎn)分12分）
如圖，在三棱錐中，側(cè)面底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，分別是的中點(diǎn)，記平面與平面的交線.
（1）證明：直線平面.
（2）若在直線上且為銳角，當(dāng)時(shí)，求二面角的余弦值.
19.（本小題滿(mǎn)分12分）
“現(xiàn)值”與“終值”是利息計(jì)算中的兩個(gè)基本概念，掌握好這兩個(gè)概念，對(duì)于順利解決有關(guān)金融中的數(shù)學(xué)問(wèn)題以及理解各種不同的算法都是十分有益的.所謂“現(xiàn)值”是指在期末的金額，把它扣除利息后，折合成現(xiàn)時(shí)的值，而“終值”是指期后的本利和.它們計(jì)算的基點(diǎn)分別是存期的起點(diǎn)和終點(diǎn).例如，在復(fù)利計(jì)息的情況下，設(shè)本金為，每期利率為，期數(shù)為，到期末的本利和為，則其中，稱(chēng)為期末的終值，稱(chēng)為期后終值的現(xiàn)值，即期后的元現(xiàn)在的價(jià)值為.
現(xiàn)有如下問(wèn)題：小明想買(mǎi)一座公寓有如下兩個(gè)方案
方案一：一次性付全款25萬(wàn)元；
方案二：分期付款，每年初付款3萬(wàn)元，第十年年初付完；
（1）已知一年期存款的年利率為，試討論兩種方案哪一種更好？
（2）若小明把房子租出去，第一年年初需交納租金2萬(wàn)元，此后每年初漲租金1000元，參照第（1））問(wèn)中的存款年利率，預(yù)計(jì)第十年房租到期后小明所獲得全部租金的終值.（精確到百元）
參考數(shù)據(jù)：
20.（本小題滿(mǎn)分12分）
已知橢圓方程為，過(guò)橢圓的的焦點(diǎn)分別做軸的垂線與橢圓交于四點(diǎn)，依次連接這四個(gè)點(diǎn)所得的四邊形恰好為正方形.
（1）求該橢圓的離心率.
（2）若橢圓的頂點(diǎn)恰好是雙曲線焦點(diǎn)，橢圓的焦點(diǎn)恰好是雙曲線頂點(diǎn)，設(shè)橢圓的焦點(diǎn)，雙曲線的焦點(diǎn)為與的一個(gè)公共點(diǎn)，記，，求的值.
21.（本小題滿(mǎn)分12分）
chatGPT是由OpenAI開(kāi)發(fā)的一款人工智能機(jī)器人程序，一經(jīng)推出就火遍全球.chatGPT的開(kāi)發(fā)主要采用RLHF（人類(lèi)反饋強(qiáng)化學(xué)習(xí)）技術(shù)，訓(xùn)練分為以下三個(gè)階段.
第一階段：訓(xùn)練監(jiān)督策略模型.對(duì)抽取的prmpt數(shù)據(jù)，人工進(jìn)行高質(zhì)量的回答，獲取數(shù)據(jù)對(duì)，幫助數(shù)學(xué)模型GPT-3.5更好地理解指令.
第二階段：訓(xùn)練獎(jiǎng)勵(lì)模型.用上一階段訓(xùn)練好的數(shù)學(xué)模型，生成個(gè)不同的回答，人工標(biāo)注排名，通過(guò)獎(jiǎng)勵(lì)模型給出不同的數(shù)值，獎(jiǎng)勵(lì)數(shù)值越高越好.獎(jiǎng)勵(lì)數(shù)值可以通過(guò)最小化下面的交叉熵?fù)p失函數(shù)得到：，其中，且.
第三階段：實(shí)驗(yàn)與強(qiáng)化模型和算法.通過(guò)調(diào)整模型的參數(shù)，使模型得到最大的獎(jiǎng)勵(lì)以符合人工的選擇取向.
參考數(shù)據(jù)：
（1）若已知某單個(gè)樣本，其真實(shí)分布，其預(yù)測(cè)近似分布，計(jì)算該單個(gè)樣本的交叉熵?fù)p失函數(shù)Lss值.
（2）絕對(duì)值誤差MAE也是一種比較常見(jiàn)的損失函數(shù)，現(xiàn)已知某階變量的絕對(duì)值誤差，，其中，表示變量的階.若已知某個(gè)樣本是一個(gè)三階變量的數(shù)陣，其真實(shí)分布是現(xiàn)已知其預(yù)測(cè)分布為，求證：該變量的絕對(duì)值誤差為定值.
（3）在測(cè)試chatGPT時(shí)，如果輸人問(wèn)題沒(méi)有語(yǔ)法錯(cuò)誤chatGPT的回答被采納的概率為，當(dāng)出現(xiàn)語(yǔ)法錯(cuò)誤時(shí)，chatGPT的回答被采納的概率為.現(xiàn)已知輸入的問(wèn)題中出現(xiàn)語(yǔ)法錯(cuò)誤的概率為，現(xiàn)已知chatGPT的回答被采納，求該問(wèn)題的輸入語(yǔ)法沒(méi)有錯(cuò)誤的概率.
22.（本小題滿(mǎn)分12分）
已知函數(shù).
（1）若在區(qū)間上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）若函數(shù)和有公切線，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
郴州市2023屆高三第三次教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試卷數(shù)學(xué)
參考答案及評(píng)分細(xì)則
一?選擇題（本題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的4個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的）
1-5DBCDC 6-8DCA
二?多項(xiàng)選擇題（本題共4個(gè)小題，每題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分）
9.BCD 10.BC 11.CD 12.AC
三?填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）
13. 14. 15. 16.
四?解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟）
17.（本小題滿(mǎn)分10分）
（1）由正弦定理或余弦定理不難證明
代入條件可得
由正弦定理得
.
（2）因?yàn)榈钠椒志€交于點(diǎn)，
所以，
由三角形的面積公式可得，
化簡(jiǎn)得，
又，所以，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的最小值為.
18.（本小題滿(mǎn)分12分）
（1）證明分別是的中點(diǎn)，平面
平面，平面平面.
平面平面，平面平面，
平面.
平面
（2）是的中位線，
又，當(dāng)時(shí)，
又因?yàn)楣蚀藭r(shí)
以為原點(diǎn)，直線為軸，直線
為軸，過(guò)點(diǎn)且垂直于平面的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
，
令平面的法向量為
則令則
令平面的法向量為
則令則
因?yàn)?，所以二面角的余弦值?
19.（本小題滿(mǎn)分12分）
（1）解法1（從終值來(lái)考慮）若全款購(gòu)置，則25萬(wàn)元10年后的價(jià)值
萬(wàn)元
若分期付款，每年初所付金額3萬(wàn)元，10年后的總價(jià)值為
（萬(wàn)元）.
因此，付全款較好.
解法2（從現(xiàn)值來(lái)考慮）每年初付租金3萬(wàn)元的10年現(xiàn)值之和為
（萬(wàn)元）
比購(gòu)置一次付款25萬(wàn)元多，故購(gòu)置設(shè)備的方案較好.
（2）由題意，設(shè)小明第十年房租到期后小明所獲得全部租金的終值為萬(wàn)元，
記，則
作差可得：
（萬(wàn)元）.
20.（本小題滿(mǎn)分12分）
（1）由題意，，又因?yàn)椋?br>故，即，解得（舍負(fù)）
（2）證明：設(shè)橢圓的方程為.
由題意知雙曲線的方程為.
聯(lián)立的方程，解之得.
不失一般性，可設(shè)在第一象限，所以點(diǎn).
.
同理，.
.
.
.
.同理，
因?yàn)榈碾x心率為，則.
的離心率為，則
.
又，
所以.
21.（本小題滿(mǎn)分12分）
（1）由題意該單個(gè)樣本的交叉嫡損失函數(shù)：
（2）根據(jù)定義該三階變量的絕對(duì)值誤差為
MA
（3）記事件A：chatGPT中輸入的語(yǔ)法無(wú)錯(cuò)誤；
事件B：chatGPT中輸入的語(yǔ)法有錯(cuò)誤；
事件C：chatGPT的回答被采納.依題意：
22.（本小題滿(mǎn)分12分）
解：（1）由題意，當(dāng)時(shí)，設(shè)，
則，
，
令，得（舍負(fù)）
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
.
根據(jù)題意的取值范圍為.
（2）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處與函數(shù)在點(diǎn)處有相同的切線，
則，
，代入
得.
問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：關(guān)于的方程有解，
設(shè)，則函數(shù)有零點(diǎn)，
，當(dāng)時(shí)，
.
問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：的最小值小于或等于0.
，
設(shè)，則
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
的最小值為.
由知，
故.
設(shè)，
則，
故在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，
的最小值等價(jià)于.
又函數(shù)在上單調(diào)遞增，
.

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