1.理解三角形角平分線和中線、重心的概念，能正確畫出任意三角形的角平分線和中線；2.能利用與三角形的角平分線和中線有關(guān)的相等關(guān)系進行簡單的推理和計算．
把一條線段分成兩條相等的線段的點
從一個角的頂點引出的一條射線，把這個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線。
同學們一定看過雜技表演，思考一下雜技演員們?yōu)槭裁茨芊€(wěn)穩(wěn)的進行表演呢？
頂點與它對邊中點的線段,
叫做這個三角形這邊的中線.
幾何表示∵AD是△ ABC的中線
議一議：（1）在紙上畫出一個銳角三角形，并畫出它的三條中線，它們有怎樣的位置關(guān)系？與同伴進行交流．（2）鈍角三角形和直角三角形的三條中線也有同樣的位置關(guān)系嗎？折一折，畫一畫，并與同伴進行交流．
由上面銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形的中線的作法及圖形可知：一個三角形有三條中線，這三條中線交于三角形內(nèi)部一點，這點稱為三角形的重心．
生活中，有時你會發(fā)現(xiàn)可以你用一個手指能頂起一支筆或一本書，那這是為什么呢？
例：張大爺?shù)膬蓚€兒子都長大成人了，也該分家了．于是張大爺準備把如圖所示的一塊三角形田地平均分給兩個兒子，兩個兒子要求分成的兩塊田地的形狀仍然是三角形，請你幫助張大爺提出一種平分的方案．
解：作BC邊上的中線AD（或AC邊上的中線BE或AB邊上的中線CF）．
分析：三角形的任意一條中線都能把三角形分成面積相等的兩部分，即等底同高的兩個三角形的面積相等；
在三角形中，一個內(nèi)角的角平分線與它的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段叫做三角形的角平分線．
幾何表示：∵AD是△ABC的角平分線，∴∠1＝∠2= ∠BAC ．
做一做：每人準備銳角三角形、鈍角三角形和直角三角形紙片各一個．（1）你能分別畫出這三個三角形的三條角平分線嗎？（2）你能用折紙的辦法得到它們嗎？（3）在每個三角形中，這三條角平分線之間有怎樣的位置關(guān)系？將你的結(jié)果與同伴進行交流．
通過上面三類三角形的角平分線的位置關(guān)系，可以發(fā)現(xiàn)：一個三角形有三條角平分線，這三條角平分線交于三角形內(nèi)部一點．這點稱為三角形的內(nèi)心。
注意： 三角形的角平分線是一條線段 , 角的平分線是一條射線.
解：∵AD是△ABC的角平分線，∠BAC＝68°， ∴∠DAC＝∠BAD＝34°. 在△ABD中，∠B+∠ADB+∠BAD＝180°， ∴∠ADB＝180°－∠B－∠BAD＝110°.
例： 如圖,在△ABC中,∠BAC=68°，∠B=36°，AD是△ABC的一條角平分線，求∠ADB的度數(shù).
1.下列說法中正確的是(　　)A．三角形的角平分線和中線都是線段B．三角形的角平分線和中線都是射線C．三角形的角平分線是射線，而中線是線段D．三角形的角平分線是線段，而中線是射線
2.如圖，在△ABC中有四條線段DE，BE，EF，F(xiàn)G，其中有一條線段是△ABC的中線，則該線段是（　?。〢．線段DE B．線段BE C．線段EF D．線段FG
3．在△ABC中，AD為中線，BE為角平分線，則在以下等式中：①∠BAD=∠CAD；②∠ABE=∠CBE；③BD=DC；④AE=EC．其中正確的是 （　?。〢．①② B．③④ C．①④ D．②③
4.如圖所示，在△ABC中，D，E，F(xiàn)是BC邊上的三點，且∠1=∠2=∠3=∠4，AE是哪個三角形的角平分線( ) A.△ABE B.△ADF C.△ABC D.△ABC，△ADF
5.如圖，已知AD是△ABC的角平分線，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，求∠ADB的度數(shù)．
解：∵AD是△ABC的角平分線，∠BAC＝60°，∴∠DAC＝∠BAD＝30°．∵CE是△ABC的高，∠BCE＝40°，∴∠B＝50°，∴∠ADB＝180°－∠B－∠BAD ＝180°－30°－50°＝100°．
6.如圖,AD是△ABC的角平分線,DE//CA,交AB于點E, DF//BA,交AC于點F.∠1與∠2相等嗎?為什么?
解:相等.理由:因為AD是△ABC的角平分線,所以∠BAD=∠CAD.因為DE∥CA,所以∠1=∠CAD.因為DF∥BA,所以∠2=∠BAD,所以∠1=∠2.
7.在△ABC中，AB＝AC，AC邊上的中線BD把△ABC的周長分為12 cm和15 cm的兩部分，求三角形的各邊長．
因為中線BD將△ABC的周長分成兩部分：(BC＋CD)和(AD＋AB)，誰為12 cm，誰為15 cm，不確定，故應(yīng)分類討論；另外題中涉及線段較多，因此可建立方程模型，利用設(shè)未知數(shù)來求解．
設(shè)AB＝x cm，則AD＝CD＝ x cm.(1)如圖①，若AB＋AD＝12 cm，則x＋ x＝12，解得x＝8，即AB＝AC＝8 cm，CD＝4 cm.故BC＝15－4＝11(cm)．此時AB＋AC＞BC，所以三邊長分別為8 cm，8 cm，11 cm.
(2)如圖②，若AB＋AD＝15 cm，則x＋ x＝15，解得x＝10，即AB＝AC＝10 cm，則CD＝5 cm，故BC＝12－5＝7(cm)．顯然此時三角形存在，所以三邊長分別為10 cm，10 cm，7 cm.綜上所述，此三角形的三邊長分別為8 cm，8 cm，11 cm或10 cm，10 cm，7 cm.
角平分線：平分內(nèi)角且與三角形對邊相交的線段.
中線：連接三角形的頂點與對邊中點的線段.

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1 認識三角形

版本： 北師大版

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