欽州市2022年秋季學(xué)期教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測高二數(shù)學(xué)（考試時間：120分鐘；賦分：150分）第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個備選項中，有且只有一項是符合題目要求的.（溫馨提示：請在答題卡上作答，在本試卷上作答無效.）1. 若直線過點和點，則該直線的方程為A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】（法一）利用直線的兩點式方程直接求解；（法二）利用斜率公式知直線的斜率，再用點斜式寫出直線方程．【詳解】解：（法一）因為直線過點和點，所以直線的方程為，整理得；（法二）因為直線過點和點，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，整理得；故選：A．【點睛】本題主要考查直線的兩點式方程的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．2. 已知橢圓的左、右焦點分別為，，若橢圓上一點到焦點的最大距離為7，最小距離為3，則橢圓的離心率為（）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)點在橢圓上得，且，再利用兩點距離求得，從而可確定的最大值與最小值，即可求得的值，即可得離心率的值.【詳解】解：設(shè)橢圓的半焦距為，若橢圓上一點，則，且 又，則由于，所以于是可得，，所以橢圓C的離心率.故選：B3. 已知，，若，則實數(shù)的值為（）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】由空間向量垂直的坐標(biāo)表示進行計算即可.詳解】∵，∴，∴.故選：B.4. 我們知道，在日常學(xué)習(xí)與生活中養(yǎng)成根據(jù)現(xiàn)實世界的情景提出問題的習(xí)慣對培養(yǎng)自己的創(chuàng)新素養(yǎng)起著至關(guān)重要作用.關(guān)于實際情景“日常洗衣服都要經(jīng)歷兩個階段，第一階段是用去污劑搓洗衣服，第二階段是漂洗衣服.一般來講要漂洗多次，漂洗的次數(shù)越多衣服越干凈”，提出的問題最恰當(dāng)?shù)氖牵ǎ?/span>A. 在給定漂洗所用的清水量的前提下，選擇什么牌子的洗衣粉能使衣服更干凈？B. 在給定漂洗衣服的前提下，漂洗所用的清水量多少合適？C. 在給定漂洗所用的清水量的前提下，漂洗時放多少衣物才能使衣服干凈？D. 在給定漂洗所用的清水量的前提下，漂洗多少次能使衣服干凈？【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合各選項的條件分析、判斷作答.【詳解】對于A，好的洗衣粉，去污能力強，但必須經(jīng)過多次漂洗才能將洗衣粉及污物去掉，所提出問題與漂洗次數(shù)無關(guān)，A不是；對于B，漂洗所用的清水量多，附著衣服的污物經(jīng)過一次漂洗，去掉的不多，所提出問題與漂洗次數(shù)無關(guān)，B不是；對于C，漂洗時放一件衣物，若只漂洗一次，去掉的污物不多，所提出問題與漂洗次數(shù)無關(guān)，C不是；對于D，用適當(dāng)?shù)那逅?，多次漂洗，能使衣服干凈，提出的問題最恰當(dāng)，D是.故選：D5. 雙曲線的左右焦點分別為，，點P在雙曲線C上且，則等于（）A. 14 B. 26 C. 14或26 D. 16或24【答案】C【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的方程可得，由即可求解.【詳解】由雙曲線的方程可得，故.因為，故，解得或26.故選:C.6. 已知向量，分別為平面和平面的法向量，則平面與平面的夾角為（）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)坐標(biāo)可求出，根據(jù)夾角的范圍以及平面的夾角與平面法向量之間的關(guān)系即可求出答案.【詳解】解：由已知可得，，，所以.設(shè)為平面與平面的夾角，則，又，所以.故選：C.7. 已知圓O：上有且只有兩個點到直線l：的距離為1，則圓O半徑r的取值范圍為（）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】求出到直線l的距離為1的點的軌跡，再根據(jù)給定條件，數(shù)形結(jié)合列出不等式求解作答.【詳解】平面內(nèi)到直線l距離為1的點的軌跡是與直線l平行且距離為1的兩條直線，設(shè)的方程為，則，解得或，即直線，直線，如圖，圓O：上有且只有兩個點到直線l的距離為1，則圓O與相交，與相離，圓O的圓心到直線的距離，到直線的距離，所以圓O半徑r的取值范圍為，即.故選：A8. 設(shè)是1，2，3，4，5的一個排列，若對一切恒成立，就稱該排列是“交替”的，則“交替”的排列的數(shù)目是（）A. 16 B. 25 C. 32 D. 41【答案】C【解析】【分析】由已知可知當(dāng)時，此時有或.由“交替”的排列的概念可得，當(dāng)時，或，分別求解即可得到當(dāng)時，或時，有8種方法.同理可求得當(dāng)，或，此時也有8種方法.然后得出時，或時“交替”的排列數(shù)目，相加即可得出結(jié)果.【詳解】由已知可得，，.（?。┊?dāng)時，，可推出，，，此時有或.①當(dāng)時，由已知可得或當(dāng)，時，此時必有，排列可以是或兩種；當(dāng)時，時，此時可選擇1，2，3中的任意排列，共中排列.綜上所述，共有8種方法；②同理可得當(dāng)，可得或，也有8種方法.綜上所述，當(dāng)時，“交替”的排列的數(shù)目是16；（ⅱ）當(dāng)時，，可推出，，，此時有或.①當(dāng)時，由已知可得或當(dāng)，時，此時必有，排列可以是或兩種；當(dāng)時，時，此時可選擇3，4，5中的任意排列，共中排列.綜上所述，共有8種方法；②同理可得當(dāng)，可得或，此時也有8種方法.綜上所述，當(dāng)時，“交替”的排列的數(shù)目是16.所以，“交替”的排列的數(shù)目是32.故選：C.二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.（溫馨提示：請在答題卡上作答，在本試卷上作答無效.）9. 已知兩條不重合的直線，，下列結(jié)論正確的是（）A. 若，則 B. 若，則C. 若，則 D. 若，則【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)直線的位置關(guān)系與斜率關(guān)系即可判斷.【詳解】對A，若，則，故A正確；對B，若，又兩直線不重合，則，故B正確；對C，若，則與不垂直，故C錯誤；對D，若，則，故D正確.故選：ABD.10. 若橢圓的左、右焦點分別為，，則下列b的取值能使以為直徑的圓與橢圓C有公共點的是（）A.  B.  C.  D. 【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)給定的條件，確定以為直徑的圓半徑，再結(jié)合橢圓的性質(zhì)列出不等式求出b的范圍作答.【詳解】令橢圓的半焦距為c，則以為直徑的圓的方程為，因圓與橢圓C有公共點，則有，即，解得，顯然選項A，B，C滿足，D不滿足.故選：ABC11. 下列結(jié)論正確的是（）A. 兩條不重合直線，的方向向量分別是，，則B. 兩個不同的平面，的法向量分別是，，則C. 直線的方向向量，平面的法向量，若，則D. 若，，，則點Р在平面ABC內(nèi)【答案】ABD【解析】【分析】對于A，驗證是否平行即可；對于B，驗證是否垂直即可；對于C，根據(jù)線面關(guān)系得，求解得值即可判斷；對于D，驗證是否四點共面即可.【詳解】解：對于A，因為，，所以，又兩條不重合直線，，所以，故A正確；對于B，平面，的法向量分別是，，且，所以，則，故B正確；對于C，直線的方向向量，平面的法向量，若，則，則，故C錯誤；對于D，因為，，，存在實數(shù)使得，則，解得，則，所以四點共面，即點Р在平面ABC內(nèi)，故D正確.故選：ABD.12. 天山社區(qū)將紅樹林中學(xué)的甲、乙、丙、丁4名紅志愿者分別安排到A，B，C三個村民小組進行暑期社會實踐活動，要求每個村民小組至少安排一名志愿者，則下列選項正確的是（）A. 共有18種安排方法B. 若甲、乙兩名志愿者被安排在同一村民小組，則有6種安排方法C. 若兩名志愿者被安排在A村民小組，則有24種安排方法D. 若甲志愿者被安排在A村民小組，則有12種安排方法【答案】BD【解析】【分析】對于A：4名志愿者先分為3組，再分配到3個社區(qū)，對于B：甲、乙被安排到同一村民小組，先從3個村民小組中選一個安排甲和乙，對于C：A村民小組需要兩名志愿者，所以先從4名志愿者中選擇2名安排到A村民小組，對于D；甲志愿者被安排在A村民小組，分兩種情況討論，即可判斷各個選項的正誤.【詳解】對于A：4名志愿者先分為3組，再分配到3個社區(qū)，所以安排方法為：，A錯誤；對于B：甲、乙被安排到同一村民小組，先從3個村民小組中選一個安排甲和乙，剩余兩個村民小組和志愿者進行全排列，所以安排方法為：，B正確；對于C：A村民小組需要兩名志愿者，所以先從4名志愿者中選擇2名安排到A村民小組，再把剩余兩個村民小組和志愿者進行全排列，所以安排方法為：，C錯誤；對于D；甲志愿者被安排在A村民小組，分兩種情況討論，當(dāng)A村民小組安排兩名志愿者時，先從剩余3名志愿者選出一個，分到A村民小組，再把剩余兩個村民小組和志愿者進行全排列，所以安排方法為：，當(dāng)A村民小組只安排甲志愿者時，剩余3名志愿者安排到兩個村民小組中去，所以安排方法為：，所以一共有安排方法為：，D正確；故選：BD.第Ⅱ卷三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分13. 已知點為拋物線上的點，且點P到拋物線C的焦點F的距離為3，則____________．【答案】2【解析】【分析】由拋物線的方程求出拋物線的焦點和準(zhǔn)線，然后利用拋物線的定義結(jié)合已知條件列方程求解即可.【詳解】拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，因為點為拋物線上點，且點P到拋物線C的焦點F的距離為3，所以，得，故答案為：214. 當(dāng)直線l：截圓C：所得的弦長最短時，實數(shù)m的值為______.【答案】【解析】【分析】由已知可得直線過定點，當(dāng)時，弦長最短.根據(jù)斜率關(guān)系即可求出實數(shù)m值.【詳解】由已知可將直線的方程化為，解可得，所以直線過定點.又由圓的方程可得圓心，半徑，則，所以點在圓內(nèi).當(dāng)時，圓心到直線的最大距離，直線被圓截得的弦長最短.因為，所以直線的斜率為，即，所以.故答案為：.15. 已知，則實數(shù)的值為______.【答案】【解析】【分析】先求出的展開式的通項，再分別求出選取以及時，的系數(shù)，相加即可得出結(jié)果.【詳解】的展開式的通項，.當(dāng)選取時，應(yīng)取展開式中含項，令，則，，此時的系數(shù)為；當(dāng)選取時，應(yīng)取展開式中含的項，令，則，，此時的系數(shù)為.所以.故答案為：.16. “結(jié)題”是研究小組向老師和同學(xué)們報告數(shù)學(xué)建模研究成果并進行答辯的過程，結(jié)題會是展示研究小組“會用數(shù)學(xué)眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學(xué)思維思考現(xiàn)實世界，會用數(shù)學(xué)語言表達現(xiàn)實世界”的重要場合.一般來說，結(jié)題會是結(jié)題的基本形式，小組長負(fù)責(zé)呈現(xiàn)研究的核心內(nèi)容.假設(shè)你是研究小組的組長，研究的實際問題是“車輛的運行速度和剎車距離之間關(guān)系”，那么，為了準(zhǔn)備結(jié)題會材料，你整理研究成果的核心內(nèi)容是：______.【答案】論文【解析】【分析】根據(jù)課題結(jié)題的一般形式即可寫出答案.【詳解】根據(jù)課題結(jié)題的一般形式而言，論文是整理研究成果的核心內(nèi)容，故答案為：論文.四、解答題：本大題共6題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17. 已知點和直線l：.（1）求經(jīng)過點P且與l平行的直線方程；（2）求經(jīng)過點P且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）根據(jù)已知可設(shè)直線方程為，代入點坐標(biāo)求出的值即可得出直線的方程；（2）當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上截距都為0時，求出直線的斜率，得出直線的方程；當(dāng)截距不為0時，可設(shè)直線方程為，代入點坐標(biāo)求出的值即可得出直線的方程.【小問1詳解】設(shè)與直線l平行的直線方程為.因為直線經(jīng)過點，所以，解得.所以直線方程為.【小問2詳解】當(dāng)經(jīng)過點且在兩坐標(biāo)軸上截距都為0時，斜率，此時所求直線為；當(dāng)經(jīng)過點且在兩坐標(biāo)軸上截距都不為0時，由已知可設(shè)直線方程為，因為直線經(jīng)過點，所以，解得.所以直線方程為.綜上所述，直線的方程為或.18. 已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點，左焦點和右焦點都在軸上，長軸長為12，離心率為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知點為橢圓上一點且在第一象限.若為等腰三角形，求點的坐標(biāo).【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意布列基本量的方程組，即可得到結(jié)果；（2）討論兩腰的位置，結(jié)合橢圓定義即可得到結(jié)果.【小問1詳解】根據(jù)題意：，解得，.∴，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】∵在第一象限，∴，當(dāng)時，與矛盾.所以，即，設(shè)點的坐標(biāo)為，則，又，∴，解得，∴，解得（舍去），∴的坐標(biāo)為.19. 如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，，，是的中點，點在上，且.（1）證明：平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）.【解析】【分析】(1)利用坐標(biāo)法或幾何法利用線面垂直的判定定理證明；(2)利用空間向量計算面面角.【小問1詳解】證明：由題平面，底面為矩形，以為原點，直線，，所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖：則，，，，，，，，，∵∴，∵，∴，∵,且平面，∴平面.（法二）證明：由題平面，底面為矩形，以為原點，直線，，所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖：則，，，，，，設(shè)是平面的一個法向量.，.取，有∴，，則，.∴平面.（法三）證明：連接∵平面，平面,∴.在中，，.∵，∴，且，∴平面，又∵平面，∴.∵，又∵，∴，∴.且，且平面，∴平面.【小問2詳解】（接向量法）由（1）可知平面的法向量為（也可為）.平面的一個法向量為..∴平面PAM與平面PDC的夾角的余弦值為.（法二）延長AM，DC，交于點N，連接PN.∵，∴平面，∵，∴平面.∴平面平面.過D做于，連接.∵平面，∴.又，，∴平面，又平面，∴.又∵，，平面,∴平面，∴，∴為二面角的平面角.在中，，∴.∴平面與平面的夾角的余弦值為.20. 用0，1，2，3，，9這十個數(shù)字.（1）可組成多少個三位數(shù)？（2）可組成多少個無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？（3）可組成多少個小于500且沒有重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)？【答案】（1）900；（2）648；（3）379.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，分別得出三位數(shù)各位的種數(shù)，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理相乘即可得出結(jié)果；（2）根據(jù)題意，分別得出三位數(shù)各位的種數(shù)，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理相乘即可得出結(jié)果；（3）根據(jù)題意，分成三種情況，分別計算得出各種情況的種數(shù)，根據(jù)分類加法計數(shù)原理相加即可得出結(jié)果.【小問1詳解】要確定一個三位數(shù)，可分三步進行：第一步，確定百位數(shù)，百位不能為0，有9種選法；第二步，確定十位數(shù)，有10種選法；第三步，確定個位數(shù)，有10種選法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有種.【小問2詳解】要確定一個無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，可分三步進行：第一步，確定百位數(shù)，有9種選法；第二步，確定十位數(shù)，有9種選法；第三步，確定個位數(shù)，有8種選法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有個無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù).【小問3詳解】由已知，小于500且沒有重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)分為以下三類，第一類，滿足條件的一位自然數(shù)：有10個，第二類，滿足條件的兩位自然數(shù)：有個，第三類，滿足條件的三位自然數(shù)：第一步，確定百位數(shù)，百位數(shù)字可取1，2，3，4，有4種選法；第二步，確定十位數(shù)，有9種選法；第三步，確定個位數(shù)，有8種選法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，有個.由分類加法計數(shù)原理知共有，共有379個小于500且無重復(fù)數(shù)字的自然數(shù).21. 平行六面體中，以頂點A為端點的三條棱長都為1，且兩兩夾角為.（1）求線段的長；（2）若，，，用空間向量的一組基底表示向量.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）易得，根據(jù)向量數(shù)量積的運算律結(jié)合已知條件可求出，即可得出結(jié)果；（2）設(shè).由以及不共面，得出方程組，求解即可得出結(jié)果.【小問1詳解】解：因為，所以=，所以，所以線段的長為.【小問2詳解】解：.設(shè)，，則.因為不共面，所以有，解得.所以.22. 已知直線l：與圓C：相交于A，B兩點.（1）求圓心為，過A，B兩點的圓D的方程；（2）求經(jīng)過點A和點B且面積最小的圓的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）聯(lián)立直線與圓的方程，求出交點，.求出圓的半徑，即可得出圓的方程；（2）當(dāng)線段為圓的一條直徑時，面積最小.求出以及線段的中點，即可得出圓的方程.【小問1詳解】解：聯(lián)立直線與圓的方程可得，，解得，，代入直線方程可得，，不妨設(shè)，.又圓心為，則圓D的，所以圓D的方程為.【小問2詳解】解：要使圓的面積最小，則應(yīng)使半徑最小.當(dāng)線段為圓的一條直徑時，面積最小.，所以圓的半徑，又圓心即線段的中點，所以圓的方程為.  
 

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