2022-2023學年廣西欽州市第四中學高二上學期9月月考數(shù)學試題 一、單選題1．在空間直角坐標系，點關于xOy平面的對稱點B的坐標為（    ）．A． B． C． D．【答案】C【分析】由空間直角坐標中的點關于面對稱求對稱點坐標.【詳解】由與關于xOy平面對稱，且，所以.故選：C2．如圖，已知長方體的底面邊長均為2，高為4，E，F，G分別是棱，，的中點，則下列選項中正確的是（    ）A．平面 B．平面C． D．三棱錐的體積為【答案】D【分析】以點為原點建立空間直角坐標系，利用向量法逐一判斷ABC即可；根據(jù)即可判斷D.【詳解】解：如圖，以點為原點建立空間直角坐標系，則，則，因為，所以與不垂直，故C錯誤；因為，所以與不垂直，所以與平面不垂直，故A錯誤；設平面的法向量，則有，可取，因為，所以與平面不平行，故B錯誤；對于D，連接，則，，因為平面，平面，所以，又平面，所以平面，又為的中點，所以點到平面的距離為，，所以，故D正確.故選：D.3．已知平面，的法向量分別為，，且，則（     ）A． B．1 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平面平行，法向量之間的關系進行求解即可.【詳解】因為，所以，于是有，故選：D4．在正三棱柱中，，點E是的中點，點F是上靠近點B的三等分點，則異面直線與所成角的余弦值是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意，建立空間直角坐標系，根據(jù)向量數(shù)乘的坐標公式，求得點的坐標，寫出直線的方向向量，結合向量夾角公式，可得答案.【詳解】取的中點O，的中點，易知，，兩兩垂直，以點O為坐標原點，，，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，不妨設，則，所以，，，，，則的中點，由點F是上靠近點B的三等分點，則，設，故，所以解得,，故，，因為，所以異面直線與所成角的余弦值是.故選：B.5．如圖，一個結晶體的形狀為平行六面體，其中，以頂點A為端點的三條棱長均為6，且它們彼此的夾角都是60°，下列說法中正確的是（    ）A．B．C．向量與的夾角是60°D．與AC所成角的余弦值為【答案】B【分析】記，，，，間兩兩夾角都是，即，然后利用空間向量法求模，向量的夾角及向量夾角的定義判斷各選項．【詳解】記，，，由已知，間兩兩夾角都是，即，，則，A錯；，，，即，B正確；，是正三角形，，，所以向量與的夾角是180°－60°＝120°，C錯；，，，，所以與AC所成角的余弦值為，D錯．故選：B．6．下列命題中正確的是（    ）A．空間任意兩個向量共面B．向量、、共面即它們所在直線共面C．若，，則與所在直線平行D．若，則存在唯一的實數(shù)，使【答案】A【分析】根據(jù)共面向量，共線向量的定義判斷．【詳解】空間任意兩個向量都能平移到同一平面內(nèi)，因此它們共面，A正確；空間三個向量指能平移到同一平面內(nèi)，而不是指表示它們的直線在同一平面內(nèi)，B錯；若，，但當時，與不一定平行，因此它們所在直線也不一定平行，即使兩個向量平行，它們所在的直線也可能是同一直線，不一定平行，C錯；若，當時，不存在唯一的實數(shù)，使，D錯．故選：A．7．若平面的法向量為，直線l的方向向量為，直線l與平面的夾角為，則下列關系式成立的是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由線面角的向量求法判斷【詳解】由題意得，故選：D8．在四面體中，E為中點，，若，，，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量的加減法，用基底表示目標向量即可.【詳解】如圖，，而，代入上式可得：，故選：A.9．在平行六面體中，，，，，，則的長為（    ）A．3 B． C． D．5【答案】A【分析】將用表示，再結合數(shù)量積的運算律即可得出答案.【詳解】解：，則，所以的長為.故選：A.10．如圖，四棱錐的底面是邊長為4的正方形，，且，M為的中點，則點B到平面的距離為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)已知數(shù)據(jù)判斷出兩兩垂直，建立空間直角坐標系，表示出各點坐標，利用公式求出點B到平面的距離.【詳解】因為，且，，由勾股定理可知，，，所以兩兩垂直，以為坐標原點，所在的直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，設平面的法向量為，則則，即，令可得，則點B到平面的距離為.故選：D.11．已知正三棱柱中，，，分別為的中點，點在線段上，則下列結論正確的是（    ）A．直線平面 B．和到平面的距離不相等C．三棱錐的體積為 D．不存在點，使得【答案】D【分析】連接交于點，連接，證得，設與的交點為，連接，假設平面進而得，故，矛盾可判定A正確；證得，結合斜線與平面所成的角相等，可判斷B正確；先證明，并求出的長度，平面，所以到平面的距離是一樣的，所以，繼而算出答案，可得C是錯誤的；假設存在點，使得，由，結合，可判定D正確.【詳解】對于A中，如圖所示，連接交于點，連接，設與的交點為，連接，因為為正三棱柱，所以其側(cè)面都是矩形，所以為的中點，又因為是的中點，所以，假設直線平面，因為平面平面，平面，所以，所以，顯然矛盾，故A錯誤；對于B中，因為交于點，，，所以，因為與與平面成角相等，所以和到平面的距離相等，所以B錯誤；對于C中，因為底面是正三角形，且為的中點，所以，所以，由A知，平面，平面，所以平面，因為P在上，所以，故C錯誤對于D選項，假設存在點，使得，因為，所以，因為和所成角為銳角，和所成角為銳角，所以，所以，所以不成立，所以D 正確；故選：D12．已知是棱長為8的正方體外接球的一條直徑，點M在正方體表面上運動，則的最小值為（    ）A． B． C． D．0【答案】B【分析】本題通過基底法，得到，再通過立體圖得到的值，以及的最小值，最終代入數(shù)據(jù)得到最小值.【詳解】如圖為棱長為8的正方體外接球的一條直徑,為球心，為正方體表面上的任一點則球心也就是正方體的中心，所以正方體的中心到正方體表面任一點的距離的最小值為正方體的內(nèi)切球的半徑,它等于棱長的一半，即長度為4，,的長為正方體的對角線長，為，我們將三角形單獨抽取出來如下圖所示：所以的最小值為.故選：B.【點睛】將空間向量知識與正方體結合考察最值問題，難度較大，需要一定空間想象能力以及向量基底法的熟練運用，平時要多加訓練. 二、填空題13．已知 三點不共線，O為平面外一點，若向量，且點P與共面，則實數(shù)______．【答案】【分析】根據(jù)題意可得存在實數(shù)，使得，從而可得結論，右邊系數(shù)和為1，由此可求得答案.【詳解】由于點P與共面, 三點不共線,故存在實數(shù)，（不同時為0），使得，則,即， 而，故，即得，故答案為：.14．已知點M是三棱錐的底面的重心，若，則的值為________．【答案】【分析】根據(jù)三角形重心的性質(zhì)，結合圖形，由空間向量的線性運算可得.【詳解】記BC中點為N，則由重心性質(zhì)可知所以所以.故答案為：15．O為空間中任意一點，A，B，C三點不共線，且，若P，A，B，C四點共面，則實數(shù)___．【答案】##0.125【分析】根據(jù)給定條件，利用向量共面充要條件推理計算作答.【詳解】因A，B，C三點不共線，P，A，B，C四點共面，則對空間中任意一點O，有，即有，而，因此，解得，所以實數(shù).故答案為：16．平面α的法向量是，點在平面α內(nèi)，則點到平面α的距離為___________.【答案】##【分析】直線與平面所成的角為，根據(jù)點到平面α的距離為即可得解.【詳解】解：設直線與平面所成的角為，，則點到平面α的距離為.故答案為：. 三、解答題17．已知空間三點，，，設，．(1)求；(2)與互相垂直，求實數(shù)k的值．【答案】(1)；(2)或. 【分析】（1）應用向量線性關系坐標運算得，，根據(jù)向量夾角的坐標公式求夾角余弦值；（2）首先求出的坐標，再根據(jù)向量垂直的坐標表示列方程求參數(shù)k.【詳解】（1）由題設，，所以.（2）由，，而，所以，可得或.18．如圖，在三棱錐中，底面邊長與側(cè)棱長均為a，M，N分別是棱上的點，且，，求的長．【答案】.【分析】選定空間的一組基底，表示出向量，再利用空間向量數(shù)量積及運算律求解作答.【詳解】因三棱錐的底面邊長與側(cè)棱長均為a，即有三棱錐是正四面體，不共面，而，，則，而，因此，所以的長.19．如圖，在三棱錐中，底面，，，，，，分別是上的三等分點，是的中點．(1)證明：平面；(2)求平面與平面的夾角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）用余弦定理求出，從而得到，，建立空間直角坐標系，利用空間向量證明出線面垂直；（2）求出平面的法向量，進而求出兩平面的夾角余弦值.【詳解】（1）證明：，，，根據(jù)余弦定理得，所以，所以，以點為坐標原點，，所在直線為，軸，經(jīng)過點垂直于，的直線為軸，建立空間直角坐標系，則，，，，，，，，，，，，平面（2），，，設平面的一個法向量為，由，所以令，則，，可得，設平面的一個法向量，由令，得，，可得，，所以平面與平面夾角的余弦值為．20．如圖，在三棱柱中，平面，是邊長為的正三角形，分別為 的中點．(1)求證：平面．(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）證明，，進而根據(jù)判定定理即可證明；（2）取的中點為，連接，證明，，進而建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz，利用坐標法求解即可；【詳解】（1）解：在三棱柱中，因為平面，平面，所以．又為等邊三角形，為的中點，所以．因為平面，所以平面 ．（2）解：取的中點為，連接，因為在三棱柱中，四邊形為平行四邊形，分別為的中點，所以，因為平面，平面，所以所以．由（1）知，故建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz，由題意得所以，．設平面的法向量，則，令，則，所以．由題意可知，平面的一個法向量因為．由已知可得二面角為銳角，所以二面角的余弦值為．21．如圖，圓柱上、下底面圓的圓心分別為O，，矩形為該圓柱的軸截面，，點E在底面圓周上，點G為的中點.(1)若，試問線段上是否存在點F，使得?若存在，求出點F的位置；若不存在，請說明理由.(2)求直線與平面夾角的正弦值的最大值.【答案】(1)存在，為線段的中點(2) 【分析】（1）以為原點建立空間直角坐標系，設，設，根據(jù)，可得，求出，即可得出結論；（2）設，利用向量法求解即可.【詳解】（1）解：假設存在，如圖，以為原點建立空間直角坐標系，設，則，則，不妨設，則，因為，所以，解得，所以當為線段的中點時，；（2）解：設，則，，則，設為平面的一個法向量，則有，可取，設直線與平面的夾角為，則，則當時，，所以直線與平面夾角的正弦值的最大值為.22．如圖，P為圓錐的頂點，O為圓錐底面的圓心，圓錐的底面直徑，母線，M是PB的中點，D為OH的中點，四邊形OBCH為正方形．(1)設平面平面，證明：；(2)設N是線段CD上的一個動點，試確定點N的位置，使得MN與平面PAB所成角的正弦值為，并求的比值．【答案】(1)證明見解析；(2)靠近C點的三等分點，. 【分析】（1）利用線面平行的判定、性質(zhì)推理作答.（2）以點O為原點，建立空間直角坐標系，利用空間向量即可求解作答【詳解】（1）正方形OBCH中，，而平面POH，平面POH，則平面POH，因平面PBC，平面平面，所以．（2）依題意，平面，而，即有兩兩垂直，以O為原點，射線分別為軸非負半軸建立空間直角坐標系，如圖，圓錐的母線長為，底面圓的直徑，則，，則，設，于是得，顯然為平面PAB的一個法向量，設MN與平面PAB所成的角為，則，解得，所以點N是線段CD上靠近C點的三等分點，． 

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