2022-2023學年廣東省廣州市第八十六中學高二上學期期末數(shù)學試題 一、單選題1．直線l：的傾斜角為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)直線傾斜角和斜率的關(guān)系即可求解.【詳解】解：由題意得：直線l的方程：可化為直線l的斜率為，設直線l的傾斜角為，則又所以故選：C2．已知圓，則其圓心和半徑分別為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】將圓的一般式化為標準式，然后求圓心和半徑即可.【詳解】圓的方程可整理為，所以圓心為，半徑為.故選：C.3．已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前n項和為，若，則（    ）A．15 B．25 C．35 D．45【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列前n項和公式，結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)計算作答.【詳解】等差數(shù)列的前n項和為，，所以.故選：D4．點到直線的距離是，那么m的值是（    ）A．4 B． C．4或 D．或4【答案】D【分析】根據(jù)點到線的距離公式求解即可.【詳解】由題意，，故，即，解得.故選：D5．已知的周長為20，且頂點，則頂點的軌跡方程是（　　）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知條件及橢圓定義求橢圓的標準方程.【詳解】錯解：∵△ABC的周長為20，頂點，∴|BC|＝8，|AB|＋|AC|＝20－8＝12，∵12＞8，∴點A到兩個定點的距離之和等于定值，∴點A的軌跡是橢圓，∵a＝6，c＝4，∴b2＝20，∴橢圓的方程是故選：D.錯因：忽略了A、B、C三點不共線這一隱含條件.正解：∵△ABC的周長為20，頂點，∴|BC|＝8，|AB|＋|AC|＝20－8＝12，∵12＞8，∴點A到兩個定點的距離之和等于定值，∴點A的軌跡是橢圓，∵a＝6，c＝4，∴b2＝20，∴橢圓的方程是故選：B.6．三棱錐O﹣ABC中，M，N分別是AB，OC的中點，且＝，＝，＝，用，，表示，則等于（　?。?/span>A． B．C．） D．【答案】B【分析】根據(jù)空間向量運算求得正確答案.【詳解】.故選：B7．若雙曲線的一條漸近線與直線垂直，且直線過雙曲線的一個焦點，則雙曲線實軸長為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意可得及，再結(jié)合求出，即可得解.【詳解】解：由題意知，，，又，∴，，，故雙曲線實軸長為.故選：C.8．設是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列，是1為首項，2為公比的等比數(shù)列，記，則中不超過2023的項的個數(shù)為（    ）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】C【分析】求出數(shù)列的通項公式，可得出數(shù)列的通項公式，利用分組求和法可求得，找出使得不等式成立的最大正整數(shù)的值，進而可得出結(jié)論.【詳解】由題意可得，所以，，則，所以，數(shù)列單調(diào)遞增，因為，則，則使得不等式成立的最大正整數(shù)的值為10.因此，數(shù)列中不超過2023的項的個數(shù)為10.故選: C. 二、多選題9．下列關(guān)于空間向量的命題中，正確的是（    ）A．若空間向量，滿足，則B．若非零向量，滿足，則有C．若是空間的一組基底，且，則四點共面D．若向量是空間的一組基底，則也是空間的一組基底【答案】CD【分析】結(jié)合空間向量定義可直接判斷A錯；由空間的垂直關(guān)系可判斷B錯誤；由四點共面的結(jié)論可判斷C正確；由基底向量的定義化簡可判斷D正確.【詳解】對于A，模長相等方向可不同，顯然A錯誤；對于B，由于空間中垂直于同一直線的兩直線可以不平行，所以B錯誤；對于C，由平面的向量示可知是空間的一組基底，則三點不共線.由，，可判斷四點共面，故C正確；對于D，若向量是空間一組基底，則對空間中的任何一個向量，存在唯一的實數(shù)組，使得，于是，所以也是空間的一組基底，故D正確.故選：CD10．已知直線和圓，則（    ）A．直線l恒過定點B．圓心C到直線l的最大距離是.C．直線l與圓O相交D．若，直線l被圓O截得的弦長為4【答案】ABC【分析】首先，改寫直線方程形式，判斷定點，即可判斷AC；當圓內(nèi)定點為弦的中點時，此時弦長最短，圓心到直線的距離最大；D.利用弦長公式求解.【詳解】對于A、C，由，得，令，解得，所以直線恒過定點，故A正確；因為直線恒過定點，而，即在圓內(nèi)，所以直線l與圓O相交，故C正確；對于B，設直線與圓相交于兩點，弦中點為，則，為到直線的距離的最大值，,圓心C到直線l的最大距離為，故B正確；對于D， 時，直線，圓心到直線的距離為，所以直線l被圓O截得的弦長為，故D錯誤.故選：ABC.11．已知橢圓C的中心為坐標原點，焦點在y軸上，短軸長等于2，離心率為，過焦點作y軸的垂線交橢圓C于P，Q兩點，則下列說法正確的是（    ）A．橢圓C的方程為 B．橢圓C的方程為C． D．的周長為【答案】AC【分析】AB選項，根據(jù)短軸長，離心率和求出，，焦點在y軸上，所以求出橢圓方程；C選項，求出P，Q兩點的橫坐標，進而得到通徑長；D選項利用橢圓的定義進行求解.【詳解】由題意得：，所以，因為，，解得：，，因為焦點在y軸上，所以橢圓C的方程為，A正確，B錯誤；不妨設，則P，Q兩點的縱坐標也為，令中，解得：，所以不妨令，，所以，C正確；根據(jù)橢圓的定義可知，的周長為，故D錯誤.故選：AC12．傳說古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家用沙粒和小石子來研究數(shù)，他們根據(jù)沙?；蛐∈铀帕械男螤畎褦?shù)分成許多類，如圖中第一行圖形中黑色小點個數(shù)：稱為三角形數(shù)，第二行圖形中黑色小點個數(shù)：稱為正方形數(shù)，記三角形數(shù)構(gòu)成數(shù)列，正方形數(shù)構(gòu)成數(shù)列，則下列說法正確的是（    ）A．B．1225既是三角形數(shù)，又是正方形數(shù)C．D．，總存在，使得成立【答案】ABD【分析】利用等差數(shù)列求和，分別求出，，進而結(jié)合裂項求和法逐個選項進行判斷即可得到答案.【詳解】三角形數(shù)構(gòu)成數(shù)列，易得；正方形數(shù)構(gòu)成數(shù)列，，易得；對于A：，故A正確；對于B：令，解得；令，解得.故B正確；對于：∵，∴，故C錯誤；對于D：取，且，則，即，故，總存在，使得成立，故D正確.故選：ABD. 三、填空題13．已知空間向量，，且，則_________.【答案】1【分析】由，可建立關(guān)于的方程，解出即可.【詳解】因為，，且，所以，解得.故答案為：1.14．若斜率為1的直線l過拋物線焦點，交拋物線于A，B兩點，且，點O為坐標原點，則點O到直線l的距離為______.【答案】【分析】設直線，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理，表示焦點弦長，即可求，并代入點到直線的距離求解.【詳解】設拋物線的焦點坐標為，則直線l的方程為，代入，得，得，得，解得，即直線l的方程為.故點O到直線l的距離為.故答案為：15．已知雙曲線：，，是其左右焦點.圓：，點為雙曲線右支上的動點，點為圓上的動點，則的最小值是________.【答案】##【分析】利用雙曲線定義，將的最小值問題轉(zhuǎn)化為的最小值問題，然后結(jié)合圖形可解.【詳解】由題設知，，，，圓的半徑由點為雙曲線右支上的動點知∴∴.故答案為： 四、雙空題16．已知數(shù)列的前項和為，且，若點在直線上，則______；______.【答案】     ；     【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義，結(jié)合等差數(shù)列前項和公式、裂項相消法進行求解即可.【詳解】因為點在直線上，所以，所以數(shù)列是以，公差為的等差數(shù)列，所以；因為，所以，于是，故答案為：； 五、解答題17．已知圓的圓心為，它過點，且與直線相切．(1)求圓的標準方程;(2)若過點且斜率為的直線交圓于，兩點，若弦的長為，求直線的方程.【答案】(1)(2) 【分析】（1）先設出圓M的標準方程，再根據(jù)過點及圓M與直線相切建立方程組求解即可；（2）由點到直線的距離公式及垂徑定理可求解.【詳解】（1）設圓M的標準方程為：則圓心M到直線的距離為由題意得，解得或舍去.所以，所以圓M的方程為．（2）設直線l的方程為則圓心M到直線l的距離為，因為，解得，則直線的方程為．18．已知正項數(shù)列的前項和滿足：，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用可求出其通項公式，（2）由（1）得，然后利用等差數(shù)列的求和公式可求得結(jié)果.【詳解】（1）因為，，，兩式相減得到當時，可得，因為，所以是首項為2，公比為2的等比數(shù)列所以的通項公式為.（2）令，則，因為，，所以數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以19．如圖，在正三棱柱中，，，分別是，的中點．(1)在側(cè)棱上作出點，滿足平面，并給出證明；(2)求二面角的余弦值及點到平面的距離．【答案】(1)作圖見解析，證明見解析(2)， 【分析】（1）由線面平行的判定定理證明（2）建立空間直角坐標系，由空間向量求解【詳解】（1）設的中點為，的中點為，則，，則，平面，平面，平面．（2）設是邊的中點，是的中點，則平面ABC，為正三角形，所以，，，，兩兩垂直，建立如圖所示坐標系．則，，，，，設平面的法向量為，所以則，平面的法向量為，，所以二面角的余弦值為．，設點到平面的距離為，則．20．已知等差數(shù)列的前項和為，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)已知條件求得數(shù)列的首項和公差，從而求得.（2）利用錯位相減求和法求得.【詳解】（1）設等差數(shù)列的公差為，依題意，，則所以，解得，所以.（2），所以，，兩式相減得，所以.21．四棱錐，底面為矩形，側(cè)面底面，．(1)證明：；(2)設與平面所成的角為，求二面角的大?。?/span>【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）由面面垂直的性質(zhì)定理，線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理證明，（2）建立空間直角坐標系，由空間向量求解，【詳解】（1）取中點，連接，由，故，而平面平面，平面平面，平面，平面，而平面，，而，故，故，而平面，平面，，平面，又平面，，（2）如圖所示建立空間直角坐標系，則，，，設，則，，，設平面的一個法向量為，則，令得，而與平面所成的角為，故，解得，而，，，，設平面的一個法向量為，則，令得，同理得平面的一個法向量為則，而二面角為鈍角，故二面角大小為22．已知O為坐標原點，定點，定直線，動點P到直線的距離設為d，且滿足：．(1)求動點P的軌跡曲線W的方程．(2)若直線與曲線W交于A，B兩點，求面積的最大值．【答案】(1)(2)． 【分析】（1）設點，根據(jù)題意得到，化簡得到軌跡方程為；（2）將直線與橢圓聯(lián)立得，則得到，，利用弦長公式求出，再求出點到直線距離，寫出面積表達式為，利用基本不等式即可求出最值.【詳解】（1）設點，由題知：，所以，整理得點P的軌跡方程：．（2）設將代入得：，所以，，得，，點O到直線m的距離，所以，所以，當且僅當即，即時等號成立，此時滿足，所以面積最大值為． 

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