2023屆北京師范大學(xué)附屬實驗中學(xué)高三上學(xué)期開學(xué)測試數(shù)學(xué)試題一?選擇題：1. 已知集合，那么集合等于（    ）A  B. C  D. 2. 在下列函數(shù)中，圖像關(guān)于坐標(biāo)原點對稱的是A.  B.  C.  D. 3. 已知集合，則（    ）A.  B. T C. S D. Z4. 下列命題中，真命題是（    ）A. B. C. D 5. 設(shè)P、Q為兩個非空集合，定義集合．若，則中元素的個數(shù)是(　　)A. 9 B. 8 C. 7 D. 66. 已知．下列四個條件中，使成立必要而不充分的條件是A.  B.  C.  D. 7. 設(shè)，則大小關(guān)系為（    ）A.  B. C.  D. 8. 下列四個命題中，①；②；③，使；④，使.正確的個數(shù)為（    ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 49. 已知函數(shù)f(x)＝x－log3x，若x0是函數(shù)y＝f(x)的零點，且0＜x1＜x0，則f(x1)的值(　　)A. 恒為正值 B. 等于0C. 恒為負值 D. 不大于010. 已知函數(shù)，那么下面結(jié)論正確的是（    ）A. 在上是減函數(shù) B. 在上是減函數(shù)C.  D. 二?填空題：11. 函數(shù)的定義域是           .12. 已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則不等式的解集用區(qū)間表示為__________．13. 若函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，則___________.14. 已知函數(shù)，則___________；記，則___________.（用含有的代數(shù)式表示）.15. 設(shè)非空集合滿足：當(dāng)時，有，給出如下三個結(jié)論：①若，則；②若，則；③若，則.其中正確結(jié)論是__________．三?解答題：本大題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明?證明過程或演算步驟.16. 已知函數(shù).（1）求函數(shù)的定義域；（2）若函數(shù)的最小值為，求的值.17. 已知函數(shù).（1）求的值；（2）若，求的最大值和最小值.18. 已知函數(shù)．（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若對于任意的，都有≤，求的取值范圍．19 已知函數(shù)．（Ⅰ）若曲線在和處的切線互相平行，求的值；（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．20. 已知橢圓（a＞b＞0）的一個焦點坐標(biāo)為，且長軸長是短軸長的倍.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為坐標(biāo)原點，橢圓與直線相交于兩個不同的點，線段的中點為，若直線的斜率為，求△的面積.21. 已知數(shù)列的首項為1，對任意的，定義.（1）若，求；（2）若，且.（i）當(dāng)時，求數(shù)列的前項的和；（ii）當(dāng)時，求證：數(shù)列中任意一項的值均不會在該數(shù)列中出現(xiàn)無數(shù)次                             2023屆北京師范大學(xué)附屬實驗中學(xué)高三上學(xué)期開學(xué)測試數(shù)學(xué)試題一?選擇題：1. 已知集合，那么集合等于（    ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】利用交集的定義直接求解即可.【詳解】因為，所以，故選：A2. 在下列函數(shù)中，圖像關(guān)于坐標(biāo)原點對稱的是A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)可得奇函數(shù)關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，要找圖象關(guān)于原點對稱，即在4個選項中找出奇函數(shù)即可，結(jié)合選項利用排除法．【詳解】根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)可得奇函數(shù)關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，A：y＝lgx是非奇非偶函數(shù)，錯誤；B：y＝sinx奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，正確；C：y＝cosx為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱， 錯誤；D： y＝|x|為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱，錯誤；故選B．【點睛】本題主要考查了函數(shù)奇偶性，奇函數(shù)關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，判斷函數(shù)的奇偶性時，不但要檢驗f（﹣x）與f（x）的關(guān)系，更不能漏掉對函數(shù)的定義域要求對稱的檢驗，屬于基礎(chǔ)題．3. 已知集合，則（    ）A.  B. T C. S D. Z【答案】C【解析】【分析】分析可得，由此可得出結(jié)論.【詳解】任取，則，其中，所以，故，因此，.故選：C4. 下列命題中，真命題是（    ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】對于A，利用同角三角函數(shù)的關(guān)系判斷，對于B，舉例判斷，對于C，通過判別式判斷，對于D，構(gòu)造函數(shù)后，利用導(dǎo)數(shù)判斷.【詳解】對于A，因為，所以不存在，使，所以A錯誤，對于B，若，則，所以B錯誤，對于C，對于，，所以方程無實數(shù)解，所以不存在，使，所以C錯誤，對于D，令，，則，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以D正確，故選：D5. 設(shè)P、Q為兩個非空集合，定義集合．若，則中元素的個數(shù)是(　　)A. 9 B. 8 C. 7 D. 6【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合P+Q的計算方法，可得P+Q，即可得答案．【詳解】根據(jù)題意，若P={0，2，5}，Q={1，2，6}，則P+Q={1，2，6，3，4，8，7，11}，其中有8個元素，故選B．【點睛】本題考查集合的運算，是新定義題型，關(guān)鍵是理解集合P+Q的含義，并注意集合中元素的性質(zhì)．6. 已知．下列四個條件中，使成立的必要而不充分的條件是A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】利用充分條件和必要條件的定義判斷.【詳解】A. 因為a>b,所以a>b-1成立；反之不成立．故正確；B. 當(dāng)時，，故錯誤；C. 當(dāng)時， ，故錯誤；D. 在R上是增函數(shù)，當(dāng)時，，反之也成立，故錯誤；故選：A7. 設(shè)，則大小關(guān)系為（    ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性及中間值比大小.【詳解】因為，，在定義域上單調(diào)遞減，故，，，所以.故選：A8. 下列四個命題中，①；②；③，使；④，使.正確的個數(shù)為（    ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C【解析】【分析】本題存在性與恒成立問題，可以采取特殊值代入進行檢驗，對于二次函數(shù)可以從判別式角度去思考.【詳解】對于①，二次函數(shù)開口向上并且，所以，恒成立，所以①正確；對于②，當(dāng)時，，不合題意，所以②不正確；對于③，當(dāng)或當(dāng)時，，所以③正確；對于④當(dāng)時，，所以④正確.故選：C.9. 已知函數(shù)f(x)＝x－log3x，若x0是函數(shù)y＝f(x)的零點，且0＜x1＜x0，則f(x1)的值(　　)A. 恒為正值 B. 等于0C. 恒為負值 D. 不大于0【答案】A【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，得到函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，進而得到f(x1)＞f(x0)，再由f(x0)＝0，即可得到f(x1)＞0，得到答案.【詳解】由題意，可得函數(shù)f(x)＝－log3x在(0，＋∞)上是減函數(shù)，當(dāng)0＜x1＜x0時，有f(x1)＞f(x0)．又x0是函數(shù)f(x)的零點，因此f(x0)＝0，所以f(x1)＞0，即f(x1)的值恒為正值，故選A.【點睛】本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性，以及函數(shù)的零點的應(yīng)用，其中解答中熟練應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的零點的概念進行判斷是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.10. 已知函數(shù)，那么下面結(jié)論正確的是（    ）A. 在上是減函數(shù) B. 在上是減函數(shù)C.  D. 【答案】B【解析】【分析】利用導(dǎo)函數(shù)研究的單調(diào)性最值即可.【詳解】由題意得，因為，所以當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，故在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，A錯誤，B正確；在處取得最大值，即，CD錯誤.故選：B.二?填空題：11. 函數(shù)的定義域是           .【答案】【解析】【分析】利用真數(shù)大于零列不等式求解即可.【詳解】要使函數(shù)有意義，則，解得，即函數(shù)的定義域是，故答案為：.【點睛】本題主要考查對數(shù)型復(fù)合函數(shù)定義域，屬于基礎(chǔ)題.12. 已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則不等式的解集用區(qū)間表示為__________．【答案】或【解析】【詳解】試題分析：當(dāng)x>0時，不等式f（x）>x轉(zhuǎn)化為，由函數(shù)是奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點對稱，因此當(dāng)時不等式f（x）>x的解集為，綜上不等式的解為（－5，0）∪（5，＋∞）考點：函數(shù)奇偶性解不等式 13. 若函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，則___________.【答案】120【解析】【分析】利用圖像的對稱性，代入特殊點求出的值即可.【詳解】因為的圖像關(guān)于直線對稱，所以，即，解得，所以，故答案為：120.14. 已知函數(shù)，則___________；記，則___________.（用含有的代數(shù)式表示）.【答案】    ①. 1    ②. 【解析】【分析】計算后，利用倒序相加法求得．【詳解】,所以，時，，則，所以，．故答案為：1；．15. 設(shè)非空集合滿足：當(dāng)時，有，給出如下三個結(jié)論：①若，則；②若，則；③若，則.其中正確結(jié)論是__________．【答案】①②③【解析】【詳解】由定義設(shè)非空集合S={x|m?x?n}滿足：當(dāng)x∈S時,有x2∈S知,符合定義參數(shù)m的值一定大于等于1或小于等于0,惟如此才能保證m∈S時,有m2∈S即m2?m,符合條件的n的值一定大于等于0,小于等于1,惟如此才能保證n∈S時,有n2∈S即n2?n，正對各個命題進行判斷：對于①m=1,m2=1∈S故必有可得n=1,S={1}，②則解之可得；對于③若n=0.5,則解之可得，綜上可得：正確結(jié)論是①②③.三?解答題：本大題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明?證明過程或演算步驟.16. 已知函數(shù).（1）求函數(shù)的定義域；（2）若函數(shù)的最小值為，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由即可求解；（2）先整理，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可求出的最小值，令最小值等于4解方程即可.【詳解】（1）若有意義，則，解得，故的定義域為；（2）由于 令，則 ∵ 時，在上是減函數(shù)，∴又，則，即，解得或（舍）故若函數(shù)的最小值為，則.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題在解題的過程中要注意定義域，關(guān)鍵在于的范圍和的單調(diào)性.17. 已知函數(shù).（1）求的值；（2）若，求的最大值和最小值.【答案】（1）    （2）最大值為，最小值為【解析】【分析】（1）將代入直接計算即可，（2）化簡變形函數(shù)得，然后由，得，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求出其最值.【小問1詳解】=.【小問2詳解】.因為，所以，所以，所以所以的最大值為，最小值為.18. 已知函數(shù)．（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若對于任意的，都有≤，求的取值范圍．【答案】（Ⅰ）當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間是和：單調(diào)遞減區(qū)間是，當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間是和：單調(diào)遞減區(qū)間是．（Ⅱ） ．【解析】【分析】【詳解】，令，當(dāng)時，的情況如下：+00+ 0  所以，的單調(diào)遞增區(qū)間是和：單調(diào)遞減區(qū)間是，當(dāng)時，與的情況如下：0+00   所以，的單調(diào)遞減區(qū)間是和：單調(diào)遞減區(qū)間是．（Ⅱ）當(dāng)時，因為，所以不會有當(dāng)時，由（Ⅰ）知在上的最大值是所以等價于， 解得故當(dāng)時，的取值范圍是． 19. 已知函數(shù)．（Ⅰ）若曲線在和處的切線互相平行，求的值；（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是；當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間是  ；當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是 .【解析】【詳解】【試題分析】（1）依據(jù)題設(shè)條件及導(dǎo)數(shù)的幾何意義先對函數(shù)求導(dǎo)，再將切點的橫坐標(biāo)代入借助斜率相等建立方程，即，求出. （2）先對函數(shù)解析式進行求導(dǎo)，再對實數(shù)進行分類討論，依據(jù)導(dǎo)函數(shù)的值的符號斷定函數(shù)的單調(diào)性，求出其單調(diào)區(qū)間．解： 函數(shù)的定義域為． 且 .(1) 因為曲線在和處的切線互相平行，所以．即，解得. (2) .      ①當(dāng)時，，，在區(qū)間上，；在區(qū)間上，  故的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是 ②當(dāng)時，，在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，故的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是 ③當(dāng)時，因為， 故的單調(diào)遞增區(qū)間是 .④當(dāng)時，，在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，故的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是 .20. 已知橢圓（a＞b＞0）的一個焦點坐標(biāo)為，且長軸長是短軸長的倍.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為坐標(biāo)原點，橢圓與直線相交于兩個不同的點，線段的中點為，若直線的斜率為，求△的面積.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】【分析】（I）先根據(jù)題意得關(guān)于a，b，c的方程，進而結(jié)合橢圓中a，b，c的關(guān)系求得a，b，則橢圓方程可得．（II）設(shè)A（0，1），B（x1，y1），P（x0，y0），將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合求根公式，利用弦長公式即可求得k值，從而解決問題．詳解】（Ⅰ）題意得，又，所以，.所以橢圓的方程為（Ⅱ）設(shè)，，，聯(lián)立消去得……（*），解得或，所以，所以，，因為直線的斜率為，所以，解得（滿足（*）式判別式大于零），到直線的距離為，，所以△的面積為.【點睛】本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了韋達定理的應(yīng)用，涉及到弦長公式、點到直線距離公式及三角形面積公式，屬于中檔題．21. 已知數(shù)列首項為1，對任意的，定義.（1）若，求；（2）若，且.（i）當(dāng)時，求數(shù)列的前項的和；（ii）當(dāng)時，求證：數(shù)列中任意一項的值均不會在該數(shù)列中出現(xiàn)無數(shù)次.【答案】（1）    （2）（i）；（ii）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)遞推公式一一計算可得；（2）（i）依題意可得，即數(shù)列各項的值重復(fù)出現(xiàn)，周期為，再對分奇、偶討論，分別計算可得.（ii）由（i）可得，設(shè)，即可得到數(shù)列均為以為公差的等差數(shù)列，即可得證.【小問1詳解】解：因為，，所以，，.【小問2詳解】解：（i）因為（），所以，對任意的有，即數(shù)列各項的值重復(fù)出現(xiàn)，周期為.又數(shù)列的前6項分別為，且這六個數(shù)的和為7.設(shè)數(shù)列的前項和為，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，當(dāng)為偶數(shù)時，；當(dāng)為奇數(shù)時，.（ii）證明：由（i）知：對任意的有，又數(shù)列的前6項分別為，且這六個數(shù)的和為.設(shè)，（其中為常數(shù)且），所以.所以，數(shù)列均為以為公差的等差數(shù)列.因為時，，時，，所以{}為公差不為零的等差數(shù)列，其中任何一項的值最多在該數(shù)列中出現(xiàn)一次.所以數(shù)列中任意一項的值最多在此數(shù)列中出現(xiàn)6次，即任意一項的值不會在此數(shù)列中重復(fù)出現(xiàn)無數(shù)次

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