1.了解三元一次方程組的概念.
2.能解簡(jiǎn)單的三元一次方程組，在解的過(guò)程中進(jìn)一步體會(huì)“消元”思想．
前面我們學(xué)習(xí)了二元一次方程組及其解法.有些含有兩個(gè)未知數(shù)的問(wèn)題，可以列出二元一次方程組來(lái)解決，實(shí)際上，有不少問(wèn)題含有更多未知數(shù)，這時(shí)又該怎么解決呢？這節(jié)課我們就來(lái)學(xué)習(xí)三元一次方程組及其解法.
小明手頭有 12 張面額分別是 1 元、2 元和 5 元的紙幣，共計(jì) 22 元，其中 1 元紙幣的數(shù)量是 2 元紙幣數(shù)量的 4 倍．求 1 元、2 元和 5 元的紙幣各多少?gòu)?
知識(shí)點(diǎn)1：三元一次方程組的概念
小明手頭有 12 張面額分別是 1 元、2 元和 5 元的紙幣，共計(jì) 22 元，其中 1 元紙幣的數(shù)量是 2 元紙幣數(shù)量的 4倍．求 1 元、2 元和 5 元的紙幣各多少?gòu)?
可設(shè) 1 元、2 元和 5 元的紙幣分別為 x 張、y 張和 z 張．
1 元張數(shù)+2 元張數(shù)+5 元張數(shù)=12(張)所有紙幣面值之和=22(元)1 元張數(shù)=4×2 元張數(shù)
如何用三元一次方程組表示上面的三個(gè)等量關(guān)系？
方程組含有三個(gè)未知數(shù)，每個(gè)方程中含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是 1，并且一共有三個(gè)方程，像這樣的方程組叫做三元一次方程組.
注意：組成三元一次方程組的某個(gè)方程，可以是一元一次方程或二元一次方程或三元一次方程.只要保證方程組一共有三個(gè)未知數(shù)即可.
下列方程組中，是三元一次方程組的是( )
如何解這個(gè)三元一次方程組呢？
解三元一次方程組的基本思路：
知識(shí)點(diǎn)2：解三元一次方程組
把 y=2 代入③，得 x=8.
因此，這個(gè)三元一次方程組的解為
答：1元、2元和5元紙幣分別為 8 張、2 張、2 張．
解：①×5-②，得 4x+3y=38. ④
把 x=8，y=2 代入①，得 8+2+z=12，解得 z=2.
解三元一次方程組的一般步驟：
(1)消元：利用代入法或加減法，把方程組中的一個(gè)方程與另外兩個(gè)方程分別組成方程組，消去兩個(gè)方程組中的同一個(gè)未知數(shù)，得到關(guān)于另外兩個(gè)未知數(shù)的二元一次方程組；
(2)求解：解這個(gè)二元一次方程組，求出兩個(gè)未知數(shù)的值；
(3)回代：將求得的兩個(gè)未知數(shù)的值代入原方程組中系數(shù)比較簡(jiǎn)單的方程，得到一個(gè)一元一次方程；
(5)寫(xiě)解：將求得的三個(gè)未知數(shù)的值用“{”寫(xiě)在一起.
注意：解三元一次方程組時(shí)，先觀察三個(gè)方程中各未知數(shù)系數(shù)的特點(diǎn)及整個(gè)式子的特點(diǎn)，然后確定先消去的未知數(shù)，再靈活選擇代入消元法或加減消元法將“三元”化為“二元”.
(4)求解：解這個(gè)一元一次方程，求出第三個(gè)未知數(shù)的值；
例1 解三元一次方程組
解：②×3+③，得 11x+10z=35. ④
把 x=5，z=-2 代入②，得 2×5+3y-2=9，
還有其他解法嗎？試一試，并與這種解法進(jìn)行比較.
解：①×2+②，得 5x+8y=7. ④
把 x=3，y=-1 代入①得， 3+3×(-1)+2z=2，解得 z=1.
解：3 個(gè)方程左右兩邊分別相加，得3x+3y+3z=24，所以 x+y+z=8.
解：①+③，得 5x+y=7. ④
把 x=1，y=2 代入②，得 1+2+z=6，解得 z=3.
②+③，得 4x-y=2. ⑤
解三元一次方程組的步驟：
解：由①②，得 x:y:z=3:2:5.
設(shè) x=3k，y=2k，z=5k(k≠0)，
所以 x=3k=6，y=2k=4，z=5k=10.
代入③，得 5k+3k+2k=20，解得 k=2.
更多解法見(jiàn)RJ七下《教材幫》8.4節(jié)方法幫
2.為確保信息安全，在傳輸時(shí)往往需加密，當(dāng)發(fā)送方發(fā)出一組密碼 a，b，c 時(shí)，則接收方對(duì)應(yīng)收到的密碼為 A, B, C. 雙方約定：A=2a-b, B=2b, C=b+c, 例如發(fā)出 1, 2, 3 時(shí)，則收到 0，4，5.(1)當(dāng)發(fā)送方發(fā)出一組密碼為 2，3，5 時(shí)，則接收方收到的密碼是多少？

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8.3 實(shí)際問(wèn)題與二元一次方程組

版本： 人教版

年級(jí)： 七年級(jí)下冊(cè)

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