A．B．C．D．
2．兩個(gè)相似三角形一組對(duì)應(yīng)角平分線的長分別是2cm和5cm，其中較小三角形的周長是10cm，則較大三角形的周長為（ ）
A．15cmB．18cmC．20cmD．25cm
3．估算的運(yùn)算結(jié)果應(yīng)是（ ）
A．6＜x＜7B．7＜x＜8C．8＜x＜9D．無法確定
4．如圖，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，D為BC的中點(diǎn)，將△ABC折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，EF為折痕，則sin∠BED的值是（ ）
A．B．C．D．
5．如圖，將一個(gè)直角三角形按圖中方式放在?ABCD中．已知∠EFG＝90°，∠EGC＝79°，∠AEF＝48°，則∠EGF的度數(shù)為（ ）
A．58°B．59°C．60°D．61°
6．如圖，已知直線m∥n，△ABC是等邊三角形，頂點(diǎn)A在直線m上，頂點(diǎn)B在直線n上．若∠1＝45°，則∠2的度數(shù)是（ ）
A．85°B．75°C．60°D．45°
7．已知拋物線y＝ax2+bx+c上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)x和縱坐標(biāo)y的對(duì)應(yīng)值如表，則下列說法正確的是（ ）
A．a(chǎn)＞0
B．拋物線的對(duì)稱軸是y軸
C．4a+2b+c＝0
D．a(chǎn)+b+c＞3
8．如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB＝2，∠ACB＝60°，連接OA，OB，則的長是（ ）
A．B．C．πD．
二．填空題（共4小題）
9．計(jì)算的結(jié)果是 ．
10．如圖中是拋物線形拱橋，當(dāng)拱頂離水面2m，水面寬4m，水面下降1m，水面寬度變?yōu)? m．
11．圖1是我校聞瀾閣前樓梯原設(shè)計(jì)稿的側(cè)面圖，AD∥BC，∠C＝90°，樓梯AB的坡比為1：，為了增加樓梯的舒適度，將其改造成如圖2，測(cè)量得BD＝2AB＝18m，M為BD的中點(diǎn)，過點(diǎn)M分別作MN∥BC交∠ABD的角平分線于點(diǎn)N，MP∥BN交AD于點(diǎn)P，其中BN和MP為樓梯，MN為平地，則平地MN的長度為 ．
12．如圖，在矩形ABCD中，DC＝3，AD＝DC，P是AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PG⊥AC，垂足為G，連接BP，取BP中點(diǎn)E，連接EG，則線段EG的最小值為 ．
三．解答題（共6小題）
13．（1）計(jì)算：（﹣）﹣1+×﹣2cs30°﹣|2﹣|；
（2）化簡(jiǎn)求值：（﹣x+1）÷，其中x＝．
14．深圳某學(xué)校九年級(jí)計(jì)劃組織學(xué)生外出開展研學(xué)活動(dòng)，在選擇研學(xué)活動(dòng)地點(diǎn)時(shí)，隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，要求被調(diào)查的學(xué)生從A、B、C、D四個(gè)研學(xué)活動(dòng)地點(diǎn)中選擇自己最喜歡的一個(gè)．根據(jù)調(diào)查結(jié)果，編制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖，根據(jù)圖中信息，解答下列問題：
（1）此次被調(diào)查的學(xué)生共有 人，研學(xué)活動(dòng)地點(diǎn)A所在扇形的圓心角的度數(shù) ；
（2）若該年級(jí)共有800名學(xué)生，估計(jì)最喜歡去C地研學(xué)的學(xué)生人數(shù)為 ；
（3）九（1）班研學(xué)歸來，班主任組織學(xué)生進(jìn)行研學(xué)收獲及感悟交流分享會(huì)，A小組有兩名男同學(xué)和兩名女同學(xué)，從A小組中隨機(jī)選取2人談收獲及感悟，請(qǐng)用列表法或畫樹狀圖法，求恰好抽中兩名同學(xué)為一男一女的概率．
15．第九屆亞洲冬季運(yùn)動(dòng)會(huì)于2025年2月在中國舉辦，亞冬會(huì)吉祥物一經(jīng)開售，就深受大家的喜愛，某商店以每件45元的價(jià)格購進(jìn)某款亞冬會(huì)吉祥物，以每件68元的價(jià)格出售．經(jīng)統(tǒng)計(jì)，2024年12月份的銷售量為256件，2025年1月份的銷售量為400件．從2025年1月份起，商場(chǎng)決定采用降價(jià)促銷的方式回饋顧客，經(jīng)試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)該款吉祥物每降價(jià)1元，月銷售量就會(huì)增加20件，設(shè)降價(jià)降了x元，請(qǐng)完成下列問題：
（1）降價(jià)x元后的月銷售量為 件；（用含x的式子表示）
（2）當(dāng)該款吉祥物降價(jià)多少元時(shí)，月銷售利潤達(dá)8400元？
16．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)D，AE與過點(diǎn)D的切線互相垂直，垂足為E．
（1）求證：AD平分∠BAE；
（2）若CD＝DE，求sin∠BAC的值．
17．如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（且與點(diǎn)B、C不重合），連接AE交BD于點(diǎn)G．
（1）若AE⊥BC，∠BAE＝18°，求∠BGE的度數(shù)；
（2）若AG＝BG，求證BE2﹣GE2＝AG?GE；
（3）過點(diǎn)G作GM//BC交AB于點(diǎn)M，記．S△AMG為S1，S四邊形DGEC為S2，BC＝xBE，
①求證：；
②求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．
18．如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的頂點(diǎn)是C（0，﹣6），與x軸交于A，B兩點(diǎn)，連接AC，BC，S△ABC＝6．
（1）求拋物線的解析式；
（2）已知點(diǎn)P（t，2），其中t＞2，過點(diǎn)P作直線l1：y＝kx1+b1（k＞0），且直線l1與拋物線只有唯一的公共點(diǎn)M．
①若點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，﹣2），求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②過點(diǎn)P作直線l2：y＝k2x+b2交拋物線于D，E兩點(diǎn)，且k1k2＝﹣，N是DE的中點(diǎn)，求證：直線MN過定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)．
參考答案與試題解析
一．選擇題（共8小題）
一．選擇題（共8小題）
1．如圖所示的物體由兩個(gè)緊靠在一起的圓柱體組成，它的俯視圖是（ ）
A．B．C．D．
【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單組合體的三視圖．
【答案】D
【分析】找到從上面看所得到的圖形即可，注意所有的看到的棱都應(yīng)表現(xiàn)在俯視圖中．
【解答】解：從上面看易得兩個(gè)圓形，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三視圖的知識(shí)，俯視圖是從物體的上面看得到的視圖．
2．兩個(gè)相似三角形一組對(duì)應(yīng)角平分線的長分別是2cm和5cm，其中較小三角形的周長是10cm，則較大三角形的周長為（ ）
A．15cmB．18cmC．20cmD．25cm
【考點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì)．
【專題】圖形的相似；推理能力．
【答案】D
【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出相似比為2：5，根據(jù)周長比等于相似比即可求解．
【解答】解：∵兩個(gè)相似三角形一組對(duì)應(yīng)角平分線的長分別是2cm和5cm，
∴相似比為2：5，
∵較小三角形的周長是10cm，
∴較大三角形的周長為25cm，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意得出相似比是解題的關(guān)鍵．
3．估算的運(yùn)算結(jié)果應(yīng)是（ ）
A．6＜x＜7B．7＜x＜8C．8＜x＜9D．無法確定
【考點(diǎn)】估算無理數(shù)的大??；二次根式的混合運(yùn)算．
【專題】計(jì)算題．
【答案】C
【分析】將原式化簡(jiǎn)后進(jìn)行估算即可求解．
【解答】解：
＝
＝
＝，
∵64＜75＜81，
∴，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算和估算無理數(shù)的大小的應(yīng)用，先將原式中的二次根式化簡(jiǎn)，再進(jìn)行估算．
4．如圖，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，D為BC的中點(diǎn)，將△ABC折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，EF為折痕，則sin∠BED的值是（ ）
A．B．C．D．
【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問題）；解直角三角形；等腰直角三角形．
【專題】展開與折疊；推理能力．
【答案】B
【分析】先根據(jù)翻折變換的性質(zhì)得到△DEF≌△AEF，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)可得到∠BED＝CDF，設(shè)CD＝1，CF＝x，則CA＝CB＝2，再根據(jù)勾股定理即可求解．
【解答】解：∵△DEF是△AEF翻折而成，
∴△DEF≌△AEF，∠A＝∠EDF，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠EDF＝45°，
由三角形外角性質(zhì)得∠CDF+45°＝∠BED+45°，
∴∠BED＝∠CDF，
設(shè)CD＝1，CF＝x，則CA＝CB＝2，
∴DF＝FA＝2﹣x，
在Rt△CDF中，由勾股定理得，
CF2+CD2＝DF2，
即x2+1＝（2﹣x）2，
解得：x＝，
∴sin∠BED＝sin∠CDF＝＝．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圖形翻折變換的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、三角形外角的性質(zhì)，涉及面較廣，但難易適中．熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
5．如圖，將一個(gè)直角三角形按圖中方式放在?ABCD中．已知∠EFG＝90°，∠EGC＝79°，∠AEF＝48°，則∠EGF的度數(shù)為（ ）
A．58°B．59°C．60°D．61°
【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；直角三角形的性質(zhì)．
【專題】等腰三角形與直角三角形；多邊形與平行四邊形；推理能力．
【答案】B
【分析】由平行四邊形的性質(zhì)，得AB∥DC，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可解決問題．
【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥DC，
∴∠AEG＝∠EGC＝79°，
∵∠AEF＝48°，
∴∠FEG＝∠AEG﹣∠AEF＝79°﹣48°＝31°，
∴EGF＝90°﹣∠FEG＝90°﹣31°＝59°，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形兩個(gè)銳角互余，解決本題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形的性質(zhì)．
6．如圖，已知直線m∥n，△ABC是等邊三角形，頂點(diǎn)A在直線m上，頂點(diǎn)B在直線n上．若∠1＝45°，則∠2的度數(shù)是（ ）
A．85°B．75°C．60°D．45°
【考點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)；平行線的性質(zhì)．
【專題】線段、角、相交線與平行線；等腰三角形與直角三角形；推理能力．
【答案】B
【分析】由平行線的性質(zhì)推出∠3＝∠1＝45°．由△ABC是等邊三角形，得到∠BAC＝60°，由平角定義即可求出∠2的度數(shù)．
【解答】解：∵m∥n，
∴∠3＝∠1＝45°．
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠BAC＝60°，
∴∠2＝180°﹣∠CAB﹣∠3＝180°﹣60°﹣45°＝75°．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是由平行線的性質(zhì)推出∠3＝∠1．
7．已知拋物線y＝ax2+bx+c上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)x和縱坐標(biāo)y的對(duì)應(yīng)值如表，則下列說法正確的是（ ）
A．a(chǎn)＞0
B．拋物線的對(duì)稱軸是y軸
C．4a+2b+c＝0
D．a(chǎn)+b+c＞3
【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．
【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；推理能力．
【答案】D
【分析】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)和二次函數(shù)的性質(zhì)，可以判斷各個(gè)選項(xiàng)中的說法是否正確，從而可以判斷哪個(gè)選項(xiàng)符合題意．
【解答】解：由表格可得，
拋物線開口向下，則a＜0，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，
拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝＝1，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，不符合題意；
則x＝2和x＝0對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相等，故4a+2b+c＝3＞0，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，不符合題意；
x＝1時(shí)取得最大值，故a+b+c＞3，故選項(xiàng)D正確，符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．
8．如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB＝2，∠ACB＝60°，連接OA，OB，則的長是（ ）
A．B．C．πD．
【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心；弧長的計(jì)算．
【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；與圓有關(guān)的計(jì)算；推理能力．
【答案】D
【分析】過點(diǎn)O作OD⊥AB于D，根據(jù)垂徑定理求出AD，根據(jù)圓周角定理求出∠AOB，根據(jù)正弦的定義求出OA，根據(jù)弧長公式計(jì)算，得到答案．
【解答】解：過點(diǎn)O作OD⊥AB于D，
則AD＝DB＝AB＝，
由圓周角定理得：∠AOB＝2∠ACB＝120°，
∴∠AOD＝60°，
∴OA＝＝＝2，
∴的長＝＝，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形的外接圓與外心，掌握垂徑定理、圓周角定理、弧長公式是解題的關(guān)鍵．
二．填空題（共4小題）
9．計(jì)算的結(jié)果是 m+1 ．
【考點(diǎn)】分式的混合運(yùn)算．
【專題】分式；運(yùn)算能力．
【答案】m+1．
【分析】原式括號(hào)中兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的減法法則計(jì)算，同時(shí)利用除法法則變形，約分即可得到結(jié)果．
【解答】解：原式＝
＝
＝m+1．
故答案為：m+1．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了分式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．
10．如圖中是拋物線形拱橋，當(dāng)拱頂離水面2m，水面寬4m，水面下降1m，水面寬度變?yōu)? m．
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用．
【專題】二次函數(shù)的應(yīng)用；運(yùn)算能力．
【答案】．
【分析】建立直角坐標(biāo)系，求出拋物線解析式，再根據(jù)水面下降1m，可得y＝﹣1，求得對(duì)應(yīng)的x，即可求解．
【解答】解：如圖，建立直角坐標(biāo)系，
則頂點(diǎn)C（0，2），B（2，0），A（﹣2，0），
可設(shè)拋物線解析式為：y＝ax2+2，
將B（2，0）代入可得：4a+2＝0，解得，
拋物線解析式為：，
水面下降1m，即y＝﹣1，代入拋物線解析式可得：，
解得x2＝6，即，
水面寬變?yōu)椋海?br>故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是建立直角坐標(biāo)系，正確求得拋物線解析式．
11．圖1是我校聞瀾閣前樓梯原設(shè)計(jì)稿的側(cè)面圖，AD∥BC，∠C＝90°，樓梯AB的坡比為1：，為了增加樓梯的舒適度，將其改造成如圖2，測(cè)量得BD＝2AB＝18m，M為BD的中點(diǎn)，過點(diǎn)M分別作MN∥BC交∠ABD的角平分線于點(diǎn)N，MP∥BN交AD于點(diǎn)P，其中BN和MP為樓梯，MN為平地，則平地MN的長度為 （﹣2）m ．
【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題．
【專題】圖形的相似；解直角三角形及其應(yīng)用；推理能力．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】過A作AF⊥BC于F，設(shè)AF＝k，BF＝2k，根據(jù)勾股定理得到AB＝＝3k＝9，求得AF＝3，BF＝6，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到CD＝AF＝3，AD＝CF，根據(jù)勾股定理得到BC＝＝＝3，求得AD＝CF＝3﹣6，延長MN交AB于E，根據(jù)三角形中位線定理得到BE＝AB＝，ME＝AD＝，BM＝BD＝9，如圖3，過E作EG∥BM交BN的延長線于G，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【解答】解：過A作AF⊥BC于F，
∵樓梯AB的坡比為1：，
∴＝，
∴設(shè)AF＝k，BF＝2k，
∴AB＝＝3k＝9，
∴k＝3，
∴AF＝3，BF＝6，
∵∠C＝∠AFB＝90°，
∴AF∥CD，
∵AD∥BC，
∴四邊形AFCD是矩形，
∴CD＝AF＝3，AD＝CF，
∴BC＝＝＝3，
∴AD＝CF＝3﹣6，
延長MN交AB于E，
∵M(jìn)E∥BC∥AD，M為BD的中點(diǎn)，
∴BE＝AB＝，ME＝AD＝，BM＝BD＝9，
如圖3，過E作EG∥BM交BN的延長線于G，
∴∠G＝∠MBG，
∵BN是∠ABD的角平分線，
∴∠EBG＝∠MBG，
∴∠G＝∠EBG，
∴EG＝BE＝AB＝，
∵EG∥BM，
∴△EGN∽△MBN，
∴＝，
解得：MN＝（﹣2）m，
故答案為：（﹣2）m．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣坡角坡度問題，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．
12．如圖，在矩形ABCD中，DC＝3，AD＝DC，P是AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PG⊥AC，垂足為G，連接BP，取BP中點(diǎn)E，連接EG，則線段EG的最小值為 ．
【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；垂線段最短；三角形中位線定理．
【專題】矩形 菱形 正方形；解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力；推理能力．
【答案】．
【分析】取AP的中點(diǎn)F，連接EF，作GH⊥AD于H，作ET⊥GH于T，設(shè)AP＝m，分別表示出PG，PH，PF，EF，進(jìn)而表示出ET和GT，進(jìn)而表示出EG，進(jìn)一步得出結(jié)果．
【解答】解：如圖，
取AP的中點(diǎn)F，連接EF，作GH⊥AD于H，作ET⊥GH于T，設(shè)AP＝m，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，AB＝CD＝3，
∴tan∠DAC＝，
∴∠DAC＝30°，
∵PG⊥AC，
∴PG＝AP＝m，∠APT＝90°﹣∠DAC＝60°，
∴PH＝PG?cs∠APG＝°＝m，GH＝PG?sin∠APG＝°＝，
∵E是BP的中點(diǎn)，
∴EF＝AB＝，PF＝m，
∴GT＝GH﹣HT＝GH﹣EF＝m﹣，ET＝FH＝PF﹣PH＝，
在Rt△EGT中，
EG2＝GT2+ET2＝（m﹣）2+（m）2＝（m﹣）2+，
∴當(dāng)m＝時(shí)，EG的最小值為，
故答案為：．
延長PG至Q，使GQ＝PG，連接AQ，BQ，
∵PG⊥AC，
∴AQ＝AP，∠QAP＝2∠CAD＝60°，
∴∠BAQ＝90°﹣∠QAP＝30°，
∵E是BP的中點(diǎn)，
∴EG＝BQ，
當(dāng)BQ⊥AQ時(shí)，BQ最小，此時(shí)BQ＝AB＝，
∴EG的最小值為：，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題方法一運(yùn)用了矩形的性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，二次函數(shù)及其圖象的性質(zhì)等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造直角三角形．本題方法二運(yùn)用了矩形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形的中位線定理等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造三角形的中位線．
三．解答題（共6小題）
13．（1）計(jì)算：（﹣）﹣1+×﹣2cs30°﹣|2﹣|；
（2）化簡(jiǎn)求值：（﹣x+1）÷，其中x＝．
【考點(diǎn)】分式的化簡(jiǎn)求值；負(fù)整數(shù)指數(shù)冪；特殊角的三角函數(shù)值；實(shí)數(shù)的運(yùn)算．
【專題】實(shí)數(shù)；分式；運(yùn)算能力．
【答案】（1）﹣2；
（2）﹣x2﹣x，﹣2﹣．
【分析】（1）先計(jì)算負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、化簡(jiǎn)二次根式、代入三角函數(shù)值、去絕對(duì)值符號(hào)，再計(jì)算乘法，最后計(jì)算加減即可；
（2）先根據(jù)分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則化簡(jiǎn)原式，再將x的值代入計(jì)算即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣2+×3×﹣2×﹣2+
＝﹣2+2﹣﹣2+
＝﹣2；
（2）原式＝（﹣）÷
＝÷
＝?
＝﹣x（x+1）
＝﹣x2﹣x，
當(dāng)x＝時(shí)，
原式＝﹣2﹣．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分式的化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是掌握分式的混合運(yùn)算順序與法則．
14．深圳某學(xué)校九年級(jí)計(jì)劃組織學(xué)生外出開展研學(xué)活動(dòng)，在選擇研學(xué)活動(dòng)地點(diǎn)時(shí)，隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，要求被調(diào)查的學(xué)生從A、B、C、D四個(gè)研學(xué)活動(dòng)地點(diǎn)中選擇自己最喜歡的一個(gè)．根據(jù)調(diào)查結(jié)果，編制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖，根據(jù)圖中信息，解答下列問題：
（1）此次被調(diào)查的學(xué)生共有 100 人，研學(xué)活動(dòng)地點(diǎn)A所在扇形的圓心角的度數(shù) 72° ；
（2）若該年級(jí)共有800名學(xué)生，估計(jì)最喜歡去C地研學(xué)的學(xué)生人數(shù)為 320 ；
（3）九（1）班研學(xué)歸來，班主任組織學(xué)生進(jìn)行研學(xué)收獲及感悟交流分享會(huì)，A小組有兩名男同學(xué)和兩名女同學(xué)，從A小組中隨機(jī)選取2人談收獲及感悟，請(qǐng)用列表法或畫樹狀圖法，求恰好抽中兩名同學(xué)為一男一女的概率．
【考點(diǎn)】列表法與樹狀圖法；用樣本估計(jì)總體；扇形統(tǒng)計(jì)圖；條形統(tǒng)計(jì)圖；概率公式．
【專題】統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用．
【答案】（1）100；72°；
（2）估計(jì)最喜歡去C地研學(xué)的學(xué)生人數(shù)大約有320人；
（3）列表見解析，剛好抽中兩名同學(xué)為一男一女的概率為．
【分析】（1）利用“選擇地點(diǎn)B的學(xué)生人數(shù)其÷其占比15%”求解即可；利用“360°×選擇地點(diǎn)A的學(xué)生占比”求解即可；
（2）利用“該校學(xué)生總數(shù)×選擇地點(diǎn)C的學(xué)生占比”，即可求得答案；
（3）根據(jù)題意列表，結(jié)合表格即可獲得答案．
【解答】解：（1）此次被調(diào)查的學(xué)生共有15÷15%＝100（人）；
研學(xué)活動(dòng)地點(diǎn)A所在扇形的圓心角的度數(shù)為，
故答案為：100；72°；
（2）（40÷100）×100%×800＝320（人），
答：估計(jì)最喜歡去C地研學(xué)的學(xué)生人數(shù)大約有320人，
故答案為：320；
（3）列表如下：
由上表可知共有12種等可能的結(jié)果，其中剛好抽中一男一女的結(jié)果有8種，
∴剛好抽中兩名同學(xué)為一男一女的概率為：P（一男一女）＝，
答：剛好抽中兩名同學(xué)為一男一女的概率為．
【點(diǎn)評(píng)】本題主題考查了條形統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖、利用樣本估計(jì)總體、列表法求概率等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．
15．第九屆亞洲冬季運(yùn)動(dòng)會(huì)于2025年2月在中國舉辦，亞冬會(huì)吉祥物一經(jīng)開售，就深受大家的喜愛，某商店以每件45元的價(jià)格購進(jìn)某款亞冬會(huì)吉祥物，以每件68元的價(jià)格出售．經(jīng)統(tǒng)計(jì)，2024年12月份的銷售量為256件，2025年1月份的銷售量為400件．從2025年1月份起，商場(chǎng)決定采用降價(jià)促銷的方式回饋顧客，經(jīng)試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)該款吉祥物每降價(jià)1元，月銷售量就會(huì)增加20件，設(shè)降價(jià)降了x元，請(qǐng)完成下列問題：
（1）降價(jià)x元后的月銷售量為 （400+20x） 件；（用含x的式子表示）
（2）當(dāng)該款吉祥物降價(jià)多少元時(shí)，月銷售利潤達(dá)8400元？
【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用；列代數(shù)式．
【專題】整式；一元二次方程及應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí)．
【答案】（1）（400+20x）；
（2）8元．
【分析】（1）利用月銷售量＝400+20×該款吉祥物每件降低的錢數(shù)，即可用含x的代數(shù)式表示出月銷售量；
（2）利用總利潤＝每件的銷售利潤×月銷售量，可列出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）根據(jù)題意得：降價(jià)x元后的月銷售量為（400+20x）件．
故答案為：（400+20x）；
（2）根據(jù)題意得：（68﹣x﹣45）（400+20x）＝8400，
整理得：x2﹣3x﹣40＝0，
解得：x1＝﹣5，x2＝8．
答：當(dāng)該款吉祥物降價(jià)8元時(shí)，月銷售利潤達(dá)8400元．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及列代數(shù)式，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，用含x的代數(shù)式表示出月銷售量；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．
16．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)D，AE與過點(diǎn)D的切線互相垂直，垂足為E．
（1）求證：AD平分∠BAE；
（2）若CD＝DE，求sin∠BAC的值．
【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；解直角三角形；垂徑定理；圓周角定理．
【專題】與圓有關(guān)的位置關(guān)系；幾何直觀．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】（1）連接OD，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OD⊥DE，則可判斷OD∥AE，從而得到∠1＝∠ODA，然后利用∠2＝∠ODA得到∠1＝∠2；
（2）連接BD，如圖，利用圓周角定理得到∠ADB＝90°，再證明∠2＝∠3，利用三角函數(shù)的定義得到sin∠1＝，sin∠3＝，則AD＝BC，設(shè)CD＝x，BC＝AD＝y(tǒng)，證明△CDB∽△CBA，利用相似比得到x：y＝y(tǒng)：（x+y），然后求出x、y的關(guān)系可得到sin∠BAC的值．
【解答】（1）證明：連接OD，如圖，
∵DE為切線，
∴OD⊥DE，
∵DE⊥AE，
∴OD∥AE，
∴∠1＝∠ODA，
∵OA＝OD，
∴∠2＝∠ODA，
∴∠1＝∠2，
∴AD平分∠BAE；
（2）解：連接BD，如圖，
∵AB為直徑，
∴∠ADB＝90°，
∵∠2+∠ABD＝90°，∠3+∠ABD＝90°，
∴∠2＝∠3，
∵sin∠1＝，sin∠3＝，
而DE＝DC，
∴AD＝BC，
設(shè)CD＝x，BC＝AD＝y(tǒng)，
∵∠DCB＝∠BCA，∠3＝∠2，
∴△CDB∽△CBA，
∴CD：CB＝CB：CA，即x：y＝y(tǒng)：（x+y），
整理得x2+xy﹣y2＝0，解得x＝y(tǒng)或x＝y(tǒng)（舍去），
∴sin∠3＝＝，
即sin∠BAC的值為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．也考查了圓周角定理和解直角三角形．
17．如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（且與點(diǎn)B、C不重合），連接AE交BD于點(diǎn)G．
（1）若AE⊥BC，∠BAE＝18°，求∠BGE的度數(shù)；
（2）若AG＝BG，求證BE2﹣GE2＝AG?GE；
（3）過點(diǎn)G作GM//BC交AB于點(diǎn)M，記．S△AMG為S1，S四邊形DGEC為S2，BC＝xBE，
①求證：；
②求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．
【考點(diǎn)】相似形綜合題．
【專題】幾何綜合題；三角形；圖形的相似；運(yùn)算能力；推理能力．
【答案】（1）54°；
（2）證明見解答；
（3）①證明見解答；
②．
【分析】（1）根據(jù)題意可得∠ABE＝90°﹣18°＝72°，因?yàn)榱庑蔚膶?duì)角線平分一組對(duì)角，得，再根據(jù)外角的性質(zhì)可得出．
（2）根據(jù)題意易證△AEB∽△BEG，得出，因?yàn)锳G+GE＝AE，化簡(jiǎn)可得BE2﹣GE2＝AG?GE．
（3）①根據(jù)題意可得GM∥BC，MG∥AD，即△BMG∽△BAD，△AMG∽△ABE，故 ，兩式相加得，化簡(jiǎn)可得；
②根據(jù)BC＝xBE，AD∥BC，得，即S△AGD＝xS△ABG，S△ABD＝S△ABG+xS△ABG＝（x+1）S△ABG，S△BDC＝（x+1）S△ABG，根據(jù)△AMG∽△ABE，∠MBG＝∠GBE＝∠MGB，得出MG＝MB，即，，S1＝，，，代入化簡(jiǎn)即可．
【解答】（1）解：根據(jù)題意可得∠AEB＝90°，∠BAE＝18°，
∴∠ABE＝90°﹣18°＝72°，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴，
∴∠BGE＝∠ABG+∠BAG＝18°+36°＝54°．
（2）證明：∵AG＝BG，
∴∠ABG＝∠BAG，
∵∠GBE＝∠ABG，
∴∠GBE＝∠BAG，
又∵∠AEB＝∠GEB，
∴△AEB∽△BEG，
∴，
∴BE2＝AE?GE，
∴BE2＝（AG+GE）GE，
∴BE2﹣GE2＝AG?GE．
（3）①證明：∵GM∥BC，BC∥AD，
∴MG∥AD，
∴△BMG∽△BAD，△AMG∽△ABE，
∴，，
兩式相加得，
即，
∴．
②解：∵BC＝xBE，AD∥BC，
∴，△ADG∽△EBG，
∴，
∴S△AGD＝xS△ABG，
∴S△ABD＝S△ABG+xS△ABG＝（x+1）S△ABG，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴△ABD≌△BCD（SSS），
∴S△BDC＝（x+1）S△ABG，
∵M(jìn)G∥BE，∠MBG＝∠GBE，
∴△AMG∽△ABE，∠MBG＝∠GBE＝∠MGB，
∴MG＝MB，
∴，
∴，
∴，
∴S1＝，，
∵S△BDC＝（x+1）S△ABG，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似型的綜合應(yīng)用，主要考查菱形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)、平行線分線段成比例，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
18．如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的頂點(diǎn)是C（0，﹣6），與x軸交于A，B兩點(diǎn)，連接AC，BC，S△ABC＝6．
（1）求拋物線的解析式；
（2）已知點(diǎn)P（t，2），其中t＞2，過點(diǎn)P作直線l1：y＝kx1+b1（k＞0），且直線l1與拋物線只有唯一的公共點(diǎn)M．
①若點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，﹣2），求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②過點(diǎn)P作直線l2：y＝k2x+b2交拋物線于D，E兩點(diǎn)，且k1k2＝﹣，N是DE的中點(diǎn)，求證：直線MN過定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)．
【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．
【專題】代數(shù)幾何綜合題；幾何直觀；運(yùn)算能力；推理能力．
【答案】（1）拋物線為：y＝x2﹣6；
（2）①P（3，2）；
②證明見解析，定點(diǎn)坐標(biāo)為．
【分析】（1）先求解拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合三角形的面積求解A，B的坐標(biāo)，即可求解；
（2）①利用直線過M（2，﹣2），可得直線為y＝kx1﹣2k1﹣2，聯(lián)立，可得方程：x2﹣k1x+2k1﹣4＝0，根據(jù)點(diǎn)M是直線l1：y＝k1x+b1（k1＞0）與拋物線有唯一公共點(diǎn)，可得方程x2﹣k1x+2k1﹣4＝0有唯一解，可得此時(shí)直線l1的解析式為：y＝4x﹣10，問題隨之得解；
②設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為：E（xE，yE），D點(diǎn)為：D（xD，yD），M點(diǎn)為：D（xM，yM），點(diǎn)N為N（xN，yN），聯(lián)立：，可得方程：x2﹣k2x﹣b2﹣6＝0，可得xE+xD＝k2，即有，根據(jù)點(diǎn)N是DE的中點(diǎn)，可得；聯(lián)立：，可得方程：x2﹣k1x﹣b1﹣6＝0，根據(jù)點(diǎn)M是直線l1：y＝k1x+b1（k1＞0）與拋物線有唯一公共點(diǎn)，可知方程x2﹣k1x﹣b1﹣6＝0有唯一解，即可得xM+xM＝k1，則有，進(jìn)而有，即可得，由點(diǎn)P（t，2）在直線l1：y＝k1x+b1（k1＞0）和直線y＝k2x+b2上，可得tk2+b2＝2，tk1+b1＝2，設(shè)直線MN的解析式為：y＝kx+b，可得，結(jié)合，tk2+b2＝2，tk1+b1＝2，解得：，即有直線MN的解析式為：，當(dāng)x＝0時(shí)，，問題得解．
【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的頂點(diǎn)是C（0，﹣6），
∴c＝﹣6，即y＝ax2﹣6，
∵S△ABC＝，
∴AB?OC＝6，
∴AB＝2，
∵拋物線y＝ax2﹣6的對(duì)稱軸為直線x＝0，
∴OA＝OB＝，
∴A（，0），B（，0），
∴6a﹣6＝0，
解得：a＝1，
∴拋物線為：y＝x2﹣6；
（2）①∵y＝kx1+b1（k＞0）過點(diǎn)M，M的坐標(biāo)為（2，﹣2），
∴2k1+b1＝﹣2，
∴b1＝﹣2k1﹣2，
∴y＝kx1﹣2k1﹣2，
結(jié)合題意可得：有1組解；
整理得：x2﹣k1x+2k1﹣4＝0，
∴Δ＝﹣8k1+16＝0，
解得：k1＝4，
∴b1＝﹣10，
∴直線為y＝4x﹣10，
∵P（t，2），
∴2＝4t﹣10，
解得：t＝3，
∴P（3，2）；
②設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為：E（xE，yE），D點(diǎn)坐標(biāo)為：D（xD，yD），M點(diǎn)為：D（xM，yM），點(diǎn)N為N（xN，yN），
聯(lián)立：，可得方程：x2﹣k2x﹣b2﹣6＝0，
∴xE+xD＝k2，
∴，
∵點(diǎn)N是ED的中點(diǎn)，N（xN，yN），
∴，，
∴，
聯(lián)立：，可得方程：x2﹣k1x﹣b1﹣6＝0，
∵點(diǎn)M是直線l1：y＝k1x+b1（k1＞0）與拋物線有唯一公共點(diǎn)，
∴方程x2﹣k1x﹣b1﹣6＝0有唯一解，即有兩個(gè)相等的解，
∴xM+xM＝k1，
∴，
∴，
∴，
∵點(diǎn)P（t，2）在直線l1：y＝k1x+b1（k1＞0）和直線y＝k2x+b2上，
∴tk2+b2＝2，tk1+b1＝2，
設(shè)直線MN的解析式為：y＝kx+b，
∵，，
∴，
結(jié)合，tk2+b2＝2，tk1+b1＝2，
解得：，
∴直線MN的解析式為：，
∴當(dāng)x＝0時(shí)，，
故直線MN恒過定點(diǎn)：．
【點(diǎn)評(píng)】本題屬于二次函數(shù)綜合題，主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用一元二次方程求解一次函數(shù)與二次函數(shù)的交點(diǎn)，利用待定系數(shù)法求解一次函數(shù)解析式，一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系等知識(shí)，聯(lián)立方程表示出，是解答本題的關(guān)鍵．
考點(diǎn)卡片
1．估算無理數(shù)的大小
估算無理數(shù)大小要用逼近法．
思維方法：用有理數(shù)逼近無理數(shù)，求無理數(shù)的近似值．
2．實(shí)數(shù)的運(yùn)算
（1）實(shí)數(shù)的運(yùn)算和在有理數(shù)范圍內(nèi)一樣，值得一提的是，實(shí)數(shù)既可以進(jìn)行加、減、乘、除、乘方運(yùn)算，又可以進(jìn)行開方運(yùn)算，其中正實(shí)數(shù)可以開平方．
（2）在進(jìn)行實(shí)數(shù)運(yùn)算時(shí)，和有理數(shù)運(yùn)算一樣，要從高級(jí)到低級(jí)，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號(hào)的要先算括號(hào)里面的，同級(jí)運(yùn)算要按照從左到右的順序進(jìn)行．
另外，有理數(shù)的運(yùn)算律在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然適用．
【規(guī)律方法】實(shí)數(shù)運(yùn)算的“三個(gè)關(guān)鍵”
1．運(yùn)算法則：乘方和開方運(yùn)算、冪的運(yùn)算、指數(shù)（特別是負(fù)整數(shù)指數(shù)，0指數(shù)）運(yùn)算、根式運(yùn)算、特殊三角函數(shù)值的計(jì)算以及絕對(duì)值的化簡(jiǎn)等．
2．運(yùn)算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的，在同一級(jí)運(yùn)算中要從左到右依次運(yùn)算，無論何種運(yùn)算，都要注意先定符號(hào)后運(yùn)算．
3．運(yùn)算律的使用：使用運(yùn)算律可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，提高運(yùn)算速度和準(zhǔn)確度．
3．列代數(shù)式
（1）定義：把問題中與數(shù)量有關(guān)的詞語，用含有數(shù)字、字母和運(yùn)算符號(hào)的式子表示出來，就是列代數(shù)式．
（2）列代數(shù)式五點(diǎn)注意：①仔細(xì)辨別詞義． 列代數(shù)式時(shí)，要先認(rèn)真審題，抓住關(guān)鍵詞語，仔細(xì)辯析詞義．如“除”與“除以”，“平方的差（或平方差）”與“差的平方”的詞義區(qū)分． ②分清數(shù)量關(guān)系．要正確列代數(shù)式，只有分清數(shù)量之間的關(guān)系． ③注意運(yùn)算順序．列代數(shù)式時(shí)，一般應(yīng)在語言敘述的數(shù)量關(guān)系中，先讀的先寫，不同級(jí)運(yùn)算的語言，且又要體現(xiàn)出先低級(jí)運(yùn)算，要把代數(shù)式中代表低級(jí)運(yùn)算的這部分括起來．④規(guī)范書寫格式．列代數(shù)時(shí)要按要求規(guī)范地書寫．像數(shù)字與字母、字母與字母相乘可省略乘號(hào)不寫，數(shù)與數(shù)相乘必須寫乘號(hào)；除法可寫成分?jǐn)?shù)形式，帶分?jǐn)?shù)與字母相乘需把代分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，書寫單位名稱什么時(shí)不加括號(hào)，什么時(shí)要加括號(hào)．注意代數(shù)式括號(hào)的適當(dāng)運(yùn)用． ⑤正確進(jìn)行代換．列代數(shù)式時(shí)，有時(shí)需將題中的字母代入公式，這就要求正確進(jìn)行代換．
【規(guī)律方法】列代數(shù)式應(yīng)該注意的四個(gè)問題
1．在同一個(gè)式子或具體問題中，每一個(gè)字母只能代表一個(gè)量．
2．要注意書寫的規(guī)范性．用字母表示數(shù)以后，在含有字母與數(shù)字的乘法中，通常將“×”簡(jiǎn)寫作“?”或者省略不寫．
3．在數(shù)和表示數(shù)的字母乘積中，一般把數(shù)寫在字母的前面，這個(gè)數(shù)若是帶分?jǐn)?shù)要把它化成假分?jǐn)?shù)．
4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除號(hào)），而是寫成分?jǐn)?shù)的形式．
4．分式的混合運(yùn)算
（1）分式的混合運(yùn)算，要注意運(yùn)算順序，式與數(shù)有相同的混合運(yùn)算順序；先乘方，再乘除，然后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的．
（2）最后結(jié)果分子、分母要進(jìn)行約分，注意運(yùn)算的結(jié)果要化成最簡(jiǎn)分式或整式．
（3）分式的混合運(yùn)算，一般按常規(guī)運(yùn)算順序，但有時(shí)應(yīng)先根據(jù)題目的特點(diǎn)，運(yùn)用乘法的運(yùn)算律進(jìn)行靈活運(yùn)算．
【規(guī)律方法】分式的混合運(yùn)算順序及注意問題
1．注意運(yùn)算順序：分式的混合運(yùn)算，先乘方，再乘除，然后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的．
2．注意化簡(jiǎn)結(jié)果：運(yùn)算的結(jié)果要化成最簡(jiǎn)分式或整式．分子、分母中有公因式的要進(jìn)行約分化為最簡(jiǎn)分式或整式．
3．注意運(yùn)算律的應(yīng)用：分式的混合運(yùn)算，一般按常規(guī)運(yùn)算順序，但有時(shí)應(yīng)先根據(jù)題目的特點(diǎn)，運(yùn)用乘法的運(yùn)算律運(yùn)算，會(huì)簡(jiǎn)化運(yùn)算過程．
5．分式的化簡(jiǎn)求值
先把分式化簡(jiǎn)后，再把分式中未知數(shù)對(duì)應(yīng)的值代入求出分式的值．
在化簡(jiǎn)的過程中要注意運(yùn)算順序和分式的化簡(jiǎn)．化簡(jiǎn)的最后結(jié)果分子、分母要進(jìn)行約分，注意運(yùn)算的結(jié)果要化成最簡(jiǎn)分式或整式．
【規(guī)律方法】分式化簡(jiǎn)求值時(shí)需注意的問題
1．化簡(jiǎn)求值，一般是先化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)分式或整式，再代入求值．化簡(jiǎn)時(shí)不能跨度太大，而缺少必要的步驟，代入求值的模式一般為“當(dāng)…時(shí)，原式＝…”．
2．代入求值時(shí)，有直接代入法，整體代入法等常用方法．解題時(shí)可根據(jù)題目的具體條件選擇合適的方法．當(dāng)未知數(shù)的值沒有明確給出時(shí)，所選取的未知數(shù)的值必須使原式中的各分式都有意義，且除數(shù)不能為0．
6．負(fù)整數(shù)指數(shù)冪
負(fù)整數(shù)指數(shù)冪：a﹣p＝（a≠0，p為正整數(shù)）
注意：①a≠0；
②計(jì)算負(fù)整數(shù)指數(shù)冪時(shí)，一定要根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義計(jì)算，避免出現(xiàn)（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的錯(cuò)誤．
③當(dāng)?shù)讛?shù)是分?jǐn)?shù)時(shí)，只要把分子、分母顛倒，負(fù)指數(shù)就可變?yōu)檎笖?shù)．
④在混合運(yùn)算中，始終要注意運(yùn)算的順序．
7．二次根式的混合運(yùn)算
（1）二次根式的混合運(yùn)算是二次根式乘法、除法及加減法運(yùn)算法則的綜合運(yùn)用．學(xué)習(xí)二次根式的混合運(yùn)算應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：
①與有理數(shù)的混合運(yùn)算一致，運(yùn)算順序先乘方再乘除，最后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的．
②在運(yùn)算中每個(gè)根式可以看做是一個(gè)“單項(xiàng)式“，多個(gè)不同類的二次根式的和可以看作“多項(xiàng)式“．
（2）二次根式的運(yùn)算結(jié)果要化為最簡(jiǎn)二次根式．
（3）在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．
8．一元二次方程的應(yīng)用
1、列方程解決實(shí)際問題的一般步驟是：審清題意設(shè)未知數(shù)，列出方程，解所列方程求所列方程的解，檢驗(yàn)和作答．
2、列一元二次方程解應(yīng)用題中常見問題：
（1）數(shù)字問題：個(gè)位數(shù)為a，十位數(shù)是b，則這個(gè)兩位數(shù)表示為10b+a．
（2）增長率問題：增長率＝增長數(shù)量/原數(shù)量×100%．如：若原數(shù)是a，每次增長的百分率為x，則第一次增長后為a（1+x）；第二次增長后為a（1+x）2，即 原數(shù)×（1+增長百分率）2＝后來數(shù)．
（3）形積問題：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的邊長．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圓的面積，以及柱體體積公式建立等量關(guān)系列一元二次方程．③利用相似三角形的對(duì)應(yīng)比例關(guān)系，列比例式，通過兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積，得到一元二次方程．
（4）運(yùn)動(dòng)點(diǎn)問題：物體運(yùn)動(dòng)將會(huì)沿著一條路線或形成一條痕跡，運(yùn)行的路線與其他條件會(huì)構(gòu)成直角三角形，可運(yùn)用直角三角形的性質(zhì)列方程求解．
【規(guī)律方法】列一元二次方程解應(yīng)用題的“六字訣”
1．審：理解題意，明確未知量、已知量以及它們之間的數(shù)量關(guān)系．
2．設(shè)：根據(jù)題意，可以直接設(shè)未知數(shù)，也可以間接設(shè)未知數(shù)．
3．列：根據(jù)題中的等量關(guān)系，用含所設(shè)未知數(shù)的代數(shù)式表示其他未知量，從而列出方程．
4．解：準(zhǔn)確求出方程的解．
5．驗(yàn)：檢驗(yàn)所求出的根是否符合所列方程和實(shí)際問題．
6．答：寫出答案．
9．二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系
二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大?。?br>當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線向上開口；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線向下開口；|a|還可以決定開口大小，|a|越大開口就越?。?br>②一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置．
當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)（即ab＞0），對(duì)稱軸在y軸左側(cè)； 當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)（即ab＜0），對(duì)稱軸在y軸右側(cè)．（簡(jiǎn)稱：左同右異）
③．常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)． 拋物線與y軸交于（0，c）．
④拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)．
△＝b2﹣4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；△＝b2﹣4ac＝0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；△＝b2﹣4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)．
10．二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征
二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象是拋物線，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣，）．
①拋物線是關(guān)于對(duì)稱軸x＝﹣成軸對(duì)稱，所以拋物線上的點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，且都滿足函數(shù)函數(shù)關(guān)系式．頂點(diǎn)是拋物線的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)．
②拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是函數(shù)解析中的c值．
③拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)分別是（x1，0），（x2，0），則其對(duì)稱軸為x＝．
11．二次函數(shù)的應(yīng)用
（1）利用二次函數(shù)解決利潤問題
在商品經(jīng)營活動(dòng)中，經(jīng)常會(huì)遇到求最大利潤，最大銷量等問題．解此類題的關(guān)鍵是通過題意，確定出二次函數(shù)的解析式，然后確定其最大值，實(shí)際問題中自變量x的取值要使實(shí)際問題有意義，因此在求二次函數(shù)的最值時(shí)，一定要注意自變量x的取值范圍．
（2）幾何圖形中的最值問題
幾何圖形中的二次函數(shù)問題常見的有：幾何圖形中面積的最值，用料的最佳方案以及動(dòng)態(tài)幾何中的最值的討論．
（3）構(gòu)建二次函數(shù)模型解決實(shí)際問題
利用二次函數(shù)解決拋物線形的隧道、大橋和拱門等實(shí)際問題時(shí)，要恰當(dāng)?shù)匕堰@些實(shí)際問題中的數(shù)據(jù)落實(shí)到平面直角坐標(biāo)系中的拋物線上，從而確定拋物線的解析式，通過解析式可解決一些測(cè)量問題或其他問題．
12．二次函數(shù)綜合題
（1）二次函數(shù)圖象與其他函數(shù)圖象相結(jié)合問題
解決此類問題時(shí)，先根據(jù)給定的函數(shù)或函數(shù)圖象判斷出系數(shù)的符號(hào)，然后判斷新的函數(shù)關(guān)系式中系數(shù)的符號(hào)，再根據(jù)系數(shù)與圖象的位置關(guān)系判斷出圖象特征，則符合所有特征的圖象即為正確選項(xiàng)．
（2）二次函數(shù)與方程、幾何知識(shí)的綜合應(yīng)用
將函數(shù)知識(shí)與方程、幾何知識(shí)有機(jī)地結(jié)合在一起．這類試題一般難度較大．解這類問題關(guān)鍵是善于將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題，善于利用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)、定理和二次函數(shù)的知識(shí)，并注意挖掘題目中的一些隱含條件．
（3）二次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用題
從實(shí)際問題中分析變量之間的關(guān)系，建立二次函數(shù)模型．關(guān)鍵在于觀察、分析、創(chuàng)建，建立直角坐標(biāo)系下的二次函數(shù)圖象，然后數(shù)形結(jié)合解決問題，需要我們注意的是自變量及函數(shù)的取值范圍要使實(shí)際問題有意義．
13．垂線段最短
（1）垂線段：從直線外一點(diǎn)引一條直線的垂線，這點(diǎn)和垂足之間的線段叫做垂線段．
（2）垂線段的性質(zhì)：垂線段最短．
正確理解此性質(zhì)，垂線段最短，指的是從直線外一點(diǎn)到這條直線所作的垂線段最短．它是相對(duì)于這點(diǎn)與直線上其他各點(diǎn)的連線而言．
（3）實(shí)際問題中涉及線路最短問題時(shí)，其理論依據(jù)應(yīng)從“兩點(diǎn)之間，線段最短”和“垂線段最短”這兩個(gè)中去選擇．
14．平行線的性質(zhì)
1、平行線性質(zhì)定理
定理1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等．簡(jiǎn)單說成：兩直線平行，同位角相等．
定理2：兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．簡(jiǎn)單說成：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．
定理3：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等．簡(jiǎn)單說成：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．
2、兩條平行線之間的距離處處相等．
15．等邊三角形的性質(zhì)
（1）等邊三角形的定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作為判定一個(gè)三角形是否為等邊三角形的方法；
②可以得到它與等腰三角形的關(guān)系：等邊三角形是等腰三角形的特殊情況．在等邊三角形中，腰和底、頂角和底角是相對(duì)而言的．
（2）等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，且都等于60°．
等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，它有三條對(duì)稱軸；它的任意一角的平分線都垂直平分對(duì)邊，三邊的垂直平分線是對(duì)稱軸．
16．直角三角形的性質(zhì)
（1）有一個(gè)角為90°的三角形，叫做直角三角形．
（2）直角三角形是一種特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性質(zhì)外，具有一些特殊的性質(zhì)：
性質(zhì)1：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方（勾股定理）．
性質(zhì)2：在直角三角形中，兩個(gè)銳角互余．
性質(zhì)3：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．（即直角三角形的外心位于斜邊的中點(diǎn)）
性質(zhì)4：直角三角形的兩直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上高的乘積． 性質(zhì)5：在直角三角形中，如果有一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半；
在直角三角形中，如果有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的銳角等于30°．
17．等腰直角三角形
（1）兩條直角邊相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一種特殊的三角形，具有所有三角形的性質(zhì)，還具備等腰三角形和直角三角形的所有性質(zhì)．即：兩個(gè)銳角都是45°，斜邊上中線、角平分線、斜邊上的高，三線合一，等腰直角三角形斜邊上的高為外接圓的半徑R，而高又為內(nèi)切圓的直徑（因?yàn)榈妊苯侨切蔚膬蓚€(gè)小角均為45°，高又垂直于斜邊，所以兩個(gè)小三角形均為等腰直角三角形，則兩腰相等）；
（3）若設(shè)等腰直角三角形內(nèi)切圓的半徑r＝1，則外接圓的半徑R＝+1，所以r：R＝1：+1．
18．三角形中位線定理
（1）三角形中位線定理：
三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．
（2）幾何語言：
如圖，∵點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)
∴DE∥BC，DE＝BC．
19．平行四邊形的性質(zhì)
（1）平行四邊形的概念：有兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形．
（2）平行四邊形的性質(zhì)：
①邊：平行四邊形的對(duì)邊相等．
②角：平行四邊形的對(duì)角相等．
③對(duì)角線：平行四邊形的對(duì)角線互相平分．
（3）平行線間的距離處處相等．
（4）平行四邊形的面積：
①平行四邊形的面積等于它的底和這個(gè)底上的高的積．
②同底（等底）同高（等高）的平行四邊形面積相等．
20．矩形的性質(zhì)
（1）矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形．
（2）矩形的性質(zhì)
①平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有；
②角：矩形的四個(gè)角都是直角；
③邊：鄰邊垂直；
④對(duì)角線：矩形的對(duì)角線相等；
⑤矩形是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形．它有2條對(duì)稱軸，分別是每組對(duì)邊中點(diǎn)連線所在的直線；對(duì)稱中心是兩條對(duì)角線的交點(diǎn)．
（3）由矩形的性質(zhì)，可以得到直角三角形的一個(gè)重要性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．
21．垂徑定理
（1）垂徑定理
垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?br>（2）垂徑定理的推論
推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?br>推論2：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?br>推論3：平分弦所對(duì)一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧．
22．圓周角定理
（1）圓周角的定義：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．
注意：圓周角必須滿足兩個(gè)條件：①頂點(diǎn)在圓上．②角的兩條邊都與圓相交，二者缺一不可．
（2）圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．
推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑．
（3）在解圓的有關(guān)問題時(shí)，常常需要添加輔助線，構(gòu)成直徑所對(duì)的圓周角，這種基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圓周角和圓心角的轉(zhuǎn)化可通過作圓的半徑構(gòu)造等腰三角形．利用等腰三角形的頂點(diǎn)和底角的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化．②圓周角和圓周角的轉(zhuǎn)化可利用其“橋梁”﹣﹣﹣圓心角轉(zhuǎn)化．③定理成立的條件是“同一條弧所對(duì)的”兩種角，在運(yùn)用定理時(shí)不要忽略了這個(gè)條件，把不同弧所對(duì)的圓周角與圓心角錯(cuò)當(dāng)成同一條弧所對(duì)的圓周角和圓心角．
23．三角形的外接圓與外心
（1）外接圓：經(jīng)過三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的圓，叫做三角形的外接圓．
（2）外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心．
（3）概念說明：
①“接”是說明三角形的頂點(diǎn)在圓上，或者經(jīng)過三角形的三個(gè)頂點(diǎn)．
②銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部；直角三角形的外心為直角三角形斜邊的中點(diǎn)；鈍角三角形的外心在三角形的外部．
③找一個(gè)三角形的外心，就是找一個(gè)三角形的三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，三角形的外接圓只有一個(gè)，而一個(gè)圓的內(nèi)接三角形卻有無數(shù)個(gè)．
24．切線的性質(zhì)
（1）切線的性質(zhì)
①圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．
②經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)．
③經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心．
（2）切線的性質(zhì)可總結(jié)如下：
如果一條直線符合下列三個(gè)條件中的任意兩個(gè)，那么它一定滿足第三個(gè)條件，這三個(gè)條件是：①直線過圓心；②直線過切點(diǎn)；③直線與圓的切線垂直．
（3）切線性質(zhì)的運(yùn)用
運(yùn)用切線的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算或證明時(shí)，常常作的輔助線是連接圓心和切點(diǎn)，通過構(gòu)造直角三角形或相似三角形解決問題．
25．弧長的計(jì)算
（1）圓周長公式：C＝2πR
（2）弧長公式：l＝（弧長為l，圓心角度數(shù)為n，圓的半徑為R）
①在弧長的計(jì)算公式中，n是表示1°的圓心角的倍數(shù)，n和180都不要帶單位．
②若圓心角的單位不全是度，則需要先化為度后再計(jì)算弧長．
③題設(shè)未標(biāo)明精確度的，可以將弧長用π表示．
④正確區(qū)分弧、弧的度數(shù)、弧長三個(gè)概念，度數(shù)相等的弧，弧長不一定相等，弧長相等的弧不一定是等弧，只有在同圓或等圓中，才有等弧的概念，才是三者的統(tǒng)一．
26．翻折變換（折疊問題）
1、翻折變換（折疊問題）實(shí)質(zhì)上就是軸對(duì)稱變換．
2、折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．
3、在解決實(shí)際問題時(shí)，對(duì)于折疊較為復(fù)雜的問題可以實(shí)際操作圖形的折疊，這樣便于找到圖形間的關(guān)系．
首先清楚折疊和軸對(duì)稱能夠提供給我們隱含的并且可利用的條件．解題時(shí)，我們常常設(shè)要求的線段長為x，然后根據(jù)折疊和軸對(duì)稱的性質(zhì)用含x的代數(shù)式表示其他線段的長度，選擇適當(dāng)?shù)闹苯侨切?，運(yùn)用勾股定理列出方程求出答案．我們運(yùn)用方程解決時(shí)，應(yīng)認(rèn)真審題，設(shè)出正確的未知數(shù)．
27．相似三角形的性質(zhì)
相似三角形的定義：如果兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，對(duì)應(yīng)角相等，那么這兩個(gè)三角形相似．
（1）相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等．
（2）相似三角形（多邊形）的周長的比等于相似比；
相似三角形的對(duì)應(yīng)線段（對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、對(duì)應(yīng)邊上的高）的比也等于相似比．
（3）相似三角形的面積的比等于相似比的平方．
由三角形的面積公式和相似三角形對(duì)應(yīng)線段的比等于相似比可以推出相似三角形面積的比等于相似比的平方．
28．相似形綜合題
主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，其中穿插全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線分線段成比例等知識(shí)，難度大．
29．特殊角的三角函數(shù)值
（1）特指30°、45°、60°角的各種三角函數(shù)值．
sin30°＝； cs30°＝；tan30°＝；
sin45°＝；cs45°＝；tan45°＝1；
sin60°＝；cs60°＝； tan60°＝；
（2）應(yīng)用中要熟記特殊角的三角函數(shù)值，一是按值的變化規(guī)律去記，正弦逐漸增大，余弦逐漸減小，正切逐漸增大；二是按特殊直角三角形中各邊特殊值規(guī)律去記．
（3）特殊角的三角函數(shù)值應(yīng)用廣泛，一是它可以當(dāng)作數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，二是具有三角函數(shù)的特點(diǎn)，在解直角三角形中應(yīng)用較多．
30．解直角三角形
（1）解直角三角形的定義
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的關(guān)系
①銳角、直角之間的關(guān)系：∠A+∠B＝90°；
②三邊之間的關(guān)系：a2+b2＝c2；
③邊角之間的關(guān)系：
sinA＝＝，csA＝＝，tanA＝＝．
（a，b，c分別是∠A、∠B、∠C的對(duì)邊）
31．解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題
（1）坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比，又叫做坡比，它是一個(gè)比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常寫成i＝1：m的形式．
（2）把坡面與水平面的夾角α叫做坡角，坡度i與坡角α之間的關(guān)系為：i＝h/l＝tanα．
（3）在解決坡度的有關(guān)問題中，一般通過作高構(gòu)成直角三角形，坡角即是一銳角，坡度實(shí)際就是一銳角的正切值，水平寬度或鉛直高度都是直角邊，實(shí)質(zhì)也是解直角三角形問題．
應(yīng)用領(lǐng)域：①測(cè)量領(lǐng)域；②航空領(lǐng)域 ③航海領(lǐng)域：④工程領(lǐng)域等．
32．簡(jiǎn)單組合體的三視圖
（1）畫簡(jiǎn)單組合體的三視圖要循序漸進(jìn)，通過仔細(xì)觀察和想象，再畫它的三視圖．
（2）視圖中每一個(gè)閉合的線框都表示物體上的一個(gè)平面，而相連的兩個(gè)閉合線框常不在一個(gè)平面上．
（3）畫物體的三視圖的口訣為：
主、俯：長對(duì)正；
主、左：高平齊；
俯、左：寬相等．
33．用樣本估計(jì)總體
用樣本估計(jì)總體是統(tǒng)計(jì)的基本思想．
1、用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布：
從一個(gè)總體得到一個(gè)包含大量數(shù)據(jù)的樣本，我們很難從一個(gè)個(gè)數(shù)字中直接看出樣本所包含的信息．這時(shí)，我們用頻率分布直方圖來表示相應(yīng)樣本的頻率分布，從而去估計(jì)總體的分布情況．
2、用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征（主要數(shù)據(jù)有眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差與方差 ）．
一般來說，用樣本去估計(jì)總體時(shí)，樣本越具有代表性、容量越大，這時(shí)對(duì)總體的估計(jì)也就越精確．
34．扇形統(tǒng)計(jì)圖
（1）扇形統(tǒng)計(jì)圖是用整個(gè)圓表示總數(shù)用圓內(nèi)各個(gè)扇形的大小表示各部分?jǐn)?shù)量占總數(shù)的百分?jǐn)?shù)．通過扇形統(tǒng)計(jì)圖可以很清楚地表示出各部分?jǐn)?shù)量同總數(shù)之間的關(guān)系．用整個(gè)圓的面積表示總數(shù)（單位1），用圓的扇形面積表示各部分占總數(shù)的百分?jǐn)?shù)．
（2）扇形圖的特點(diǎn)：從扇形圖上可以清楚地看出各部分?jǐn)?shù)量和總數(shù)量之間的關(guān)系．
（3）制作扇形圖的步驟
①根據(jù)有關(guān)數(shù)據(jù)先算出各部分在總體中所占的百分?jǐn)?shù)，再算出各部分圓心角的度數(shù)，公式是各部分扇形圓心角的度數(shù)＝部分占總體的百分比×360°． ②按比例取適當(dāng)半徑畫一個(gè)圓；按扇形圓心角的度數(shù)用量角器在圓內(nèi)量出各個(gè)扇形的圓心角的度數(shù)；
④在各扇形內(nèi)寫上相應(yīng)的名稱及百分?jǐn)?shù)，并用不同的標(biāo)記把各扇形區(qū)分開來．
35．條形統(tǒng)計(jì)圖
（1）定義：條形統(tǒng)計(jì)圖是用線段長度表示數(shù)據(jù)，根據(jù)數(shù)量的多少畫成長短不同的矩形直條，然后按順序把這些直條排列起來．
（2）特點(diǎn)：從條形圖可以很容易看出數(shù)據(jù)的大小，便于比較．
（3）制作條形圖的一般步驟：
①根據(jù)圖紙的大小，畫出兩條互相垂直的射線．
②在水平射線上，適當(dāng)分配條形的位置，確定直條的寬度和間隔．
③在與水平射線垂直的射線上，根據(jù)數(shù)據(jù)大小的具體情況，確定單位長度表示多少．
④按照數(shù)據(jù)大小，畫出長短不同的直條，并注明數(shù)量．
36．概率公式
（1）隨機(jī)事件A的概率P（A）＝．
（2）P（必然事件）＝1．
（3）P（不可能事件）＝0．
37．列表法與樹狀圖法
（1）當(dāng)試驗(yàn)中存在兩個(gè)元素且出現(xiàn)的所有可能的結(jié)果較多時(shí)，我們常用列表的方式，列出所有可能的結(jié)果，再求出概率．
（2）列表的目的在于不重不漏地列舉出所有可能的結(jié)果求出n，再從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，求出概率．
（3）列舉法（樹形圖法）求概率的關(guān)鍵在于列舉出所有可能的結(jié)果，列表法是一種，但當(dāng)一個(gè)事件涉及三個(gè)或更多元素時(shí)，為不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用樹形圖．
（4）樹形圖列舉法一般是選擇一個(gè)元素再和其他元素分別組合，依次列出，象樹的枝丫形式，最末端的枝丫個(gè)數(shù)就是總的可能的結(jié)果n．
（5）當(dāng)有兩個(gè)元素時(shí)，可用樹形圖列舉，也可以列表列舉．
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答案
D
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B
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男1
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男1女2
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男2女2
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女1男1
女1男2
女1女2
女2
女2男1
女2男2
女2女1

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