?五年2018-2022高考數(shù)學(xué)真題按知識(shí)點(diǎn)分類匯編23-平面解析幾何（圓錐曲線之拋物線）（含解析）

一、單選題
1．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)F為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在C上，點(diǎn)，若，則（????）
A．2 B． C．3 D．
2．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）已知拋物線分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)，與雙曲線的漸近線交于點(diǎn)A，若，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（????）
A． B．
C． D．
3．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）拋物線的焦點(diǎn)到直線的距離為，則（????）
A．1 B．2 C． D．4
4．（2021·天津·統(tǒng)考高考真題）已知雙曲線的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，拋物線的準(zhǔn)線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，交雙曲線的漸近線于C、D兩點(diǎn)，若．則雙曲線的離心率為（????）
A． B． C．2 D．3
5．（2020·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知A為拋物線C:y2=2px（p>0）上一點(diǎn)，點(diǎn)A到C的焦點(diǎn)的距離為12，到y(tǒng)軸的距離為9，則p=（????）
A．2 B．3 C．6 D．9
6．（2020·北京·統(tǒng)考高考真題）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為，焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為．是拋物線上異于的一點(diǎn)，過(guò)作于，則線段的垂直平分線（????）．
A．經(jīng)過(guò)點(diǎn) B．經(jīng)過(guò)點(diǎn)
C．平行于直線 D．垂直于直線
7．（2019·全國(guó)·高考真題）若拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則p=
A．2 B．3
C．4 D．8

二、多選題
8．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，過(guò)點(diǎn)的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，則（????）
A．C的準(zhǔn)線為 B．直線AB與C相切
C． D．
9．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)拋物線焦點(diǎn)F的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，其中A在第一象限，點(diǎn)，若，則（????）
A．直線的斜率為 B．
C． D．

三、填空題
10．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線：()的焦點(diǎn)為，為上一點(diǎn)，與軸垂直，為軸上一點(diǎn)，且，若，則的準(zhǔn)線方程為______.
11．（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)與雙曲線的左焦點(diǎn)重合，若兩曲線相交于，兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)是點(diǎn)，則該雙曲線的離心率等于______.
12．（2018·全國(guó)·高考真題）已知點(diǎn)和拋物線，過(guò)的焦點(diǎn)且斜率為的直線與交于，兩點(diǎn)．若，則________．
13．（2019·北京·高考真題）設(shè)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l.則以F為圓心，且與l相切的圓的方程為__________．
14．（2018·北京·高考真題）已知直線l過(guò)點(diǎn)（1,0）且垂直于?軸，若l被拋物線截得的線段長(zhǎng)為4，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_________.

四、解答題
15．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)，過(guò)F的直線交C于M，N兩點(diǎn)．當(dāng)直線MD垂直于x軸時(shí)，．
(1)求C的方程；
(2)設(shè)直線與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A，B，記直線的傾斜角分別為．當(dāng)取得最大值時(shí)，求直線AB的方程．
16．（2021·全國(guó)·高考真題）拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O．焦點(diǎn)在x軸上，直線l：交C于P，Q兩點(diǎn)，且．已知點(diǎn)，且與l相切．
（1）求C，的方程；
（2）設(shè)是C上的三個(gè)點(diǎn)，直線，均與相切．判斷直線與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．
17．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知拋物線的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為2．
（1）求C的方程;
（2）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，點(diǎn)Q滿足，求直線斜率的最大值.
18．（2021·浙江·統(tǒng)考高考真題）如圖，已知F是拋物線的焦點(diǎn)，M是拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，且，

（1）求拋物線的方程；
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)F的直線交拋物線與A?B兩點(diǎn)，斜率為2的直線l與直線，x軸依次交于點(diǎn)P，Q，R，N，且，求直線l在x軸上截距的范圍.
19．（2020·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓C1：(a>b>0)的右焦點(diǎn)F與拋物線C2的焦點(diǎn)重合，C1的中心與C2的頂點(diǎn)重合.過(guò)F且與x軸垂直的直線交C1于A，B兩點(diǎn)，交C2于C，D兩點(diǎn)，且|CD|=|AB|.
（1）求C1的離心率；
（2）設(shè)M是C1與C2的公共點(diǎn)，若|MF|=5，求C1與C2的標(biāo)準(zhǔn)方程.
20．（2020·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓C1：(a>b>0)的右焦點(diǎn)F與拋物線C2的焦點(diǎn)重合，C1的中心與C2的頂點(diǎn)重合．過(guò)F且與x軸垂直的直線交C1于A，B兩點(diǎn)，交C2于C，D兩點(diǎn)，且|CD|=|AB|．
（1）求C1的離心率；
（2）若C1的四個(gè)頂點(diǎn)到C2的準(zhǔn)線距離之和為12，求C1與C2的標(biāo)準(zhǔn)方程．
21．（2020·浙江·統(tǒng)考高考真題）如圖，已知橢圓，拋物線，點(diǎn)A是橢圓與拋物線的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A的直線l交橢圓于點(diǎn)B，交拋物線于M（B，M不同于A）．

（Ⅰ）若，求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（Ⅱ）若存在不過(guò)原點(diǎn)的直線l使M為線段AB的中點(diǎn)，求p的最大值．
22．（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的頂點(diǎn)分別為，，，，其中點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，如圖所示.

（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，且，求直線的方程.
23．（2019·全國(guó)·高考真題）已知拋物線C：y2=3x的焦點(diǎn)為F，斜率為的直線l與C的交點(diǎn)為A，B，與x軸的交點(diǎn)為P．
（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；
（2）若，求|AB|．
24．（2019·北京·高考真題）已知拋物線C：x2=?2py經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，?1）．
（Ⅰ）求拋物線C的方程及其準(zhǔn)線方程；
（Ⅱ）設(shè)O為原點(diǎn)，過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點(diǎn)M，N，直線y=?1分別交直線OM，ON于點(diǎn)A和點(diǎn)B.求證：以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)y軸上的兩個(gè)定點(diǎn)．
25．（2018·北京·高考真題）已知拋物線C：=2px經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，2）．過(guò)點(diǎn)Q（0，1）的直線l與拋物線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B，且直線PA交y軸于M，直線PB交y軸于N．
（Ⅰ）求直線l的斜率的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)O為原點(diǎn)，，，求證：為定值．
26．（2019·浙江·高考真題）如圖，已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，使得的重心在軸上，直線交軸于點(diǎn)，且在點(diǎn)右側(cè).記的面積為.

（1）求的值及拋物線的準(zhǔn)線方程；
（2）求的最小值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).

五、雙空題
27．（2021·北京·統(tǒng)考高考真題）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，垂直軸與于點(diǎn).若，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為_______； 的面積為_______．

參考答案：
1．B
【分析】根據(jù)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的距離相等，從而求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而求得點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到答案.
【詳解】由題意得，，則，
即點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
不妨設(shè)點(diǎn)在軸上方，代入得，，
所以.
故選：B

2．C
【分析】由已知可得出的值，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，分析可得，由此可得出關(guān)于、、的方程組，解出這三個(gè)量的值，即可得出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為，則，則、，
不妨設(shè)點(diǎn)為第二象限內(nèi)的點(diǎn)，聯(lián)立，可得，即點(diǎn)，
因?yàn)榍?，則為等腰直角三角形，
且，即，可得，
所以，，解得，因此，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故選：C.
3．B
【分析】首先確定拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，然后結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式可得的值.
【詳解】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，
其到直線的距離：，
解得：(舍去).
故選：B.
4．A
【分析】設(shè)公共焦點(diǎn)為，進(jìn)而可得準(zhǔn)線為，代入雙曲線及漸近線方程，結(jié)合線段長(zhǎng)度比值可得，再由雙曲線離心率公式即可得解.
【詳解】設(shè)雙曲線與拋物線的公共焦點(diǎn)為，
則拋物線的準(zhǔn)線為，
令，則，解得，所以,
又因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，所以，
所以，即，所以，
所以雙曲線的離心率.
故選：A.
5．C
【分析】利用拋物線的定義建立方程即可得到答案.
【詳解】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，由拋物線的定義知，即，解得.
故選：C.
【點(diǎn)晴】本題主要考查利用拋物線的定義計(jì)算焦半徑，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸思想，是一道容易題.
6．B
【分析】依據(jù)題意不妨作出焦點(diǎn)在軸上的開口向右的拋物線，根據(jù)垂直平分線的定義和拋物線的定義可知，線段的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，即求解.
【詳解】如圖所示：．
因?yàn)榫€段的垂直平分線上的點(diǎn)到的距離相等，又點(diǎn)在拋物線上，根據(jù)定義可知，，所以線段的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn).
故選：B.
【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的定義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.
7．D
【分析】利用拋物線與橢圓有共同的焦點(diǎn)即可列出關(guān)于的方程，即可解出，或者利用檢驗(yàn)排除的方法，如時(shí)，拋物線焦點(diǎn)為（1，0），橢圓焦點(diǎn)為（±2，0），排除A，同樣可排除B，C，故選D．
【詳解】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，所以，解得，故選D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線與橢圓的幾何性質(zhì)，滲透邏輯推理、運(yùn)算能力素養(yǎng)．
8．BCD
【分析】求出拋物線方程可判斷A，聯(lián)立AB與拋物線的方程求交點(diǎn)可判斷B，利用距離公式及弦長(zhǎng)公式可判斷C、D.
【詳解】將點(diǎn)的代入拋物線方程得，所以拋物線方程為，故準(zhǔn)線方程為，A錯(cuò)誤；
，所以直線的方程為，
聯(lián)立，可得，解得，故B正確；
設(shè)過(guò)的直線為，若直線與軸重合，則直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，
所以，直線的斜率存在，設(shè)其方程為，，
聯(lián)立，得，
所以，所以或，，
又，，
所以，故C正確；
因?yàn)椋?br /> 所以，而，故D正確.
故選：BCD

9．ACD
【分析】由及拋物線方程求得，再由斜率公式即可判斷A選項(xiàng)；表示出直線的方程，聯(lián)立拋物線求得，即可求出判斷B選項(xiàng)；由拋物線的定義求出即可判斷C選項(xiàng)；由，求得，為鈍角即可判斷D選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A，易得，由可得點(diǎn)在的垂直平分線上，則點(diǎn)橫坐標(biāo)為，
代入拋物線可得，則，則直線的斜率為，A正確；
對(duì)于B，由斜率為可得直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程得，
設(shè)，則，則，代入拋物線得，解得，則，
則，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，由拋物線定義知：，C正確；
對(duì)于D，，則為鈍角，
又，則為鈍角，
又，則，D正確.
故選：ACD.


10．
【分析】先用坐標(biāo)表示，再根據(jù)向量垂直坐標(biāo)表示列方程，解得，即得結(jié)果.
【詳解】拋物線： ()的焦點(diǎn),
∵P為上一點(diǎn)，與軸垂直，
所以P的橫坐標(biāo)為，代入拋物線方程求得P的縱坐標(biāo)為,
不妨設(shè),
因?yàn)镼為軸上一點(diǎn)，且，所以Q在F的右側(cè)，
又，

因?yàn)?，所?
，
所以的準(zhǔn)線方程為
故答案為：.
【點(diǎn)睛】利用向量數(shù)量積處理垂直關(guān)系是本題關(guān)鍵.
11．
【分析】利用拋物線的性質(zhì)，得到M的坐標(biāo)，再帶入到雙曲線方程中，即可求解.
【詳解】由題意知：
拋物線方程為：
在拋物線上，所以
在雙曲線上，

，又，
故答案為：
12．2
【分析】方法一：利用點(diǎn)差法得到AB的斜率，結(jié)合拋物線定義可得結(jié)果.
【詳解】［方法一］：點(diǎn)差法
設(shè)，則，所以
所以，
取AB中點(diǎn),分別過(guò)點(diǎn)A,B作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為
因?yàn)?，
因?yàn)闉锳B中點(diǎn)，所以平行于x軸，
因?yàn)镸(-1,1)，所以，則即．
故答案為：2.
［方法二］：【最優(yōu)解】焦點(diǎn)弦的性質(zhì)
記拋物線的焦點(diǎn)為F，因?yàn)?，則以為直徑的圓與準(zhǔn)線相切于點(diǎn)M，由拋物線的焦點(diǎn)弦性質(zhì)可知，所以．
［方法三］： 焦點(diǎn)弦性質(zhì)+韋達(dá)定理
記拋物線的焦點(diǎn)為F，因?yàn)椋瑒t以為直徑的圓與準(zhǔn)線相切于點(diǎn)M，記中點(diǎn)為N，則，設(shè)，代入中，得，所以，得，所以．
［方法四］：【通性通法】暴力硬算
由題知拋物線的焦點(diǎn)為，設(shè)直線的方程為，代入中得，設(shè)，則，同理有，由，即．又，所以，得．
［方法五］：距離公式+直角三角形的性質(zhì)
設(shè)直線為，與聯(lián)立得，則從而，可得的中點(diǎn)，所以．
又由弦長(zhǎng)公式知．
由得，解得，所以．
［方法六］：焦點(diǎn)弦的性質(zhì)應(yīng)用
由題可知，線段為拋物線的焦點(diǎn)弦，，由于以拋物線的焦點(diǎn)弦為直徑的圓必與準(zhǔn)線相切，又點(diǎn)M恰為拋物線準(zhǔn)線上的點(diǎn)，因此，以為直徑的圓必與準(zhǔn)線相切于點(diǎn)M．
過(guò)點(diǎn)M作平行于軸的直線交于點(diǎn)N，則N為圓心．
設(shè)，則．
又因?yàn)?，所以?lián)立解得．將的值代入中求得．
因?yàn)閽佄锞€C的焦點(diǎn)，所以．
【整體點(diǎn)評(píng)】方法一：根據(jù)點(diǎn)差法找出直線的斜率與兩點(diǎn)縱坐標(biāo)的關(guān)系，再根據(jù)拋物線定義求出中點(diǎn)坐標(biāo)，從而解出；
方法二：直接根據(jù)焦點(diǎn)弦的性質(zhì)解出，是該題的最優(yōu)解；
方法三：根據(jù)焦點(diǎn)弦性質(zhì)可知，直線過(guò)點(diǎn)，再根據(jù)韋達(dá)定理求出直線的斜率；
方法四：直接設(shè)出直線方程，聯(lián)立運(yùn)算，屬于解決直線與拋物線位置關(guān)系問(wèn)題的通性通法，思路直接，運(yùn)算復(fù)雜；
方法五：反設(shè)直線，再通過(guò)聯(lián)立，利用直角三角形的性質(zhì)求解，運(yùn)算較復(fù)雜；
方法六：利用焦點(diǎn)弦的性質(zhì)直接求出其中一點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)斜率公式求出．
13．(x-1)2+y2=4.
【分析】由拋物線方程可得焦點(diǎn)坐標(biāo)，即圓心，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離即半徑，進(jìn)而求得結(jié)果.
【詳解】拋物線y2=4x中，2p=4，p=2，
焦點(diǎn)F（1,0），準(zhǔn)線l的方程為x=-1，
以F為圓心，
且與l相切的圓的方程為 (x-1)2+y2=22,即為(x-1)2+y2=4.
【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，拋物線的準(zhǔn)線方程，直線與圓相切的充分必要條件等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.
14．
【詳解】分析：根據(jù)題干描述畫出相應(yīng)圖形，分析可得拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，將點(diǎn)坐標(biāo)代入可求參數(shù)的值，進(jìn)而可求焦點(diǎn)坐標(biāo).
詳細(xì)：由題意可得，點(diǎn)在拋物線上，將代入中，
解得：，，
由拋物線方程可得：，
焦點(diǎn)坐標(biāo)為.

點(diǎn)睛：此題考查拋物線的相關(guān)知識(shí)，屬于易得分題，關(guān)鍵在于能夠結(jié)合拋物線的對(duì)稱性質(zhì)，得到拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)，再者熟練準(zhǔn)確記憶拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)公式也是保證本題能夠得分的關(guān)鍵.
15．(1)；
(2).

【分析】（1）由拋物線的定義可得，即可得解；
（2）法一：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)及直線，由韋達(dá)定理及斜率公式可得，再由差角的正切公式及基本不等式可得，設(shè)直線，結(jié)合韋達(dá)定理可解.
【詳解】（1）拋物線的準(zhǔn)線為，當(dāng)與x軸垂直時(shí)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為p，
此時(shí)，所以，
所以拋物線C的方程為；
（2）[方法一]：【最優(yōu)解】直線方程橫截式
設(shè)，直線，
由可得，，
由斜率公式可得，，
直線，代入拋物線方程可得，
，所以，同理可得，
所以
又因?yàn)橹本€MN、AB的傾斜角分別為，所以，
若要使最大，則，設(shè)，則，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，
所以當(dāng)最大時(shí)，，設(shè)直線，
代入拋物線方程可得，
，所以，
所以直線.
[方法二]：直線方程點(diǎn)斜式
由題可知，直線MN的斜率存在.
設(shè),直線
由 得：，,同理，.
直線MD:,代入拋物線方程可得：，同理，.
代入拋物線方程可得:,所以，同理可得，
由斜率公式可得：
（下同方法一）若要使最大，則，
設(shè)，則，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，
所以當(dāng)最大時(shí)，，設(shè)直線，
代入拋物線方程可得，，所以，所以直線.
[方法三]：三點(diǎn)共線
設(shè)，
設(shè),若 P、M、N三點(diǎn)共線，由
所以，化簡(jiǎn)得，
反之，若,可得MN過(guò)定點(diǎn)
因此，由M、N、F三點(diǎn)共線，得，
??????由M、D、A三點(diǎn)共線，得，
??????由N、D、B三點(diǎn)共線，得，
則，AB過(guò)定點(diǎn)（4,0）
（下同方法一）若要使最大，則，
設(shè)，則，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，
所以當(dāng)最大時(shí)，，所以直線.
【整體點(diǎn)評(píng)】（2）法一：利用直線方程橫截式，簡(jiǎn)化了聯(lián)立方程的運(yùn)算，通過(guò)尋找直線的斜率關(guān)系，由基本不等式即可求出直線AB的斜率，再根據(jù)韋達(dá)定理求出直線方程，是該題的最優(yōu)解，也是通性通法；
法二：常規(guī)設(shè)直線方程點(diǎn)斜式，解題過(guò)程同解法一；
法三：通過(guò)設(shè)點(diǎn)由三點(diǎn)共線尋找縱坐標(biāo)關(guān)系，快速找到直線過(guò)定點(diǎn)，省去聯(lián)立過(guò)程，也不失為一種簡(jiǎn)化運(yùn)算的好方法．

16．（1）拋物線，方程為；（2）相切，理由見解析
【分析】（1）根據(jù)已知拋物線與相交，可得出拋物線開口向右，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再利用對(duì)稱性設(shè)出坐標(biāo)，由，即可求出；由圓與直線相切，求出半徑，即可得出結(jié)論；
（2）方法一：先考慮斜率不存在，根據(jù)對(duì)稱性，即可得出結(jié)論；若斜率存在，由三點(diǎn)在拋物線上，將直線斜率分別用縱坐標(biāo)表示，再由與圓相切，得出與的關(guān)系，最后求出點(diǎn)到直線的距離，即可得出結(jié)論.
【詳解】（1）依題意設(shè)拋物線，
，
所以拋物線的方程為，
與相切，所以半徑為，
所以的方程為；
（2）[方法一]：設(shè)
若斜率不存在，則方程為或，
若方程為，根據(jù)對(duì)稱性不妨設(shè)，
則過(guò)與圓相切的另一條直線方程為，
此時(shí)該直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，即不存在，不合題意；
若方程為，根據(jù)對(duì)稱性不妨設(shè)
則過(guò)與圓相切的直線為，
又，
，此時(shí)直線關(guān)于軸對(duì)稱，
所以直線與圓相切；
若直線斜率均存在，
則，
所以直線方程為，
整理得，
同理直線的方程為，
直線的方程為，
與圓相切，
整理得，
與圓相切，同理
所以為方程的兩根，
，
到直線的距離為：

，
所以直線與圓相切；
綜上若直線與圓相切，則直線與圓相切.
[方法二]【最優(yōu)解】：設(shè)．
當(dāng)時(shí)，同解法1．
當(dāng)時(shí)，直線的方程為，即．
由直線與相切得，化簡(jiǎn)得，
同理，由直線與相切得．
因?yàn)榉匠掏瑫r(shí)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以的直線方程為，點(diǎn)M到直線距離為．
所以直線與相切．
綜上所述，若直線與相切，則直線與相切．
【整體點(diǎn)評(píng)】第二問(wèn)關(guān)鍵點(diǎn)：過(guò)拋物線上的兩點(diǎn)直線斜率只需用其縱坐標(biāo)（或橫坐標(biāo)）表示，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為只與縱坐標(biāo)（或橫坐標(biāo)）有關(guān)；法一是要充分利用的對(duì)稱性，抽象出與關(guān)系，把的關(guān)系轉(zhuǎn)化為用表示，法二是利用相切等條件得到的直線方程為，利用點(diǎn)到直線距離進(jìn)行證明，方法二更為簡(jiǎn)單，開拓學(xué)生思路

17．（1）；（2）最大值為.
【分析】（1）由拋物線焦點(diǎn)與準(zhǔn)線的距離即可得解；
（2）設(shè)，由平面向量的知識(shí)可得，進(jìn)而可得，再由斜率公式及基本不等式即可得解.
【詳解】（1）拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，
由題意，該拋物線焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，
所以該拋物線的方程為；
（2）[方法一]：軌跡方程+基本不等式法
設(shè)，則，
所以，
由在拋物線上可得，即，
據(jù)此整理可得點(diǎn)的軌跡方程為，
所以直線的斜率，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?br /> 此時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立；
當(dāng)時(shí)，；
綜上，直線的斜率的最大值為.
[方法二]：【最優(yōu)解】軌跡方程+數(shù)形結(jié)合法
同方法一得到點(diǎn)Q的軌跡方程為．
設(shè)直線的方程為，則當(dāng)直線與拋物線相切時(shí)，其斜率k取到最值．聯(lián)立得，其判別式，解得，所以直線斜率的最大值為．
[方法三]：軌跡方程+換元求最值法
同方法一得點(diǎn)Q的軌跡方程為．
設(shè)直線的斜率為k，則．
令，則的對(duì)稱軸為，所以．故直線斜率的最大值為．
[方法四]：參數(shù)+基本不等式法
由題可設(shè)．
因?yàn)?，所以?br /> 于是，所以
則直線的斜率為．
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以直線斜率的最大值為．
【整體點(diǎn)評(píng)】方法一根據(jù)向量關(guān)系，利用代點(diǎn)法求得Q的軌跡方程，得到直線OQ的斜率關(guān)于的表達(dá)式，然后利用分類討論，結(jié)合基本不等式求得最大值；
方法二 同方法一得到點(diǎn)Q的軌跡方程，然后利用數(shù)形結(jié)合法，利用判別式求得直線OQ的斜率的最大值，為最優(yōu)解；
方法三同方法一求得Q的軌跡方程，得到直線的斜率k的平方關(guān)于的表達(dá)式，利用換元方法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求得最大值，進(jìn)而得到直線斜率的最大值；
方法四利用參數(shù)法，由題可設(shè)，求得x,y關(guān)于的參數(shù)表達(dá)式，得到直線的斜率關(guān)于的表達(dá)式，結(jié)合使用基本不等式，求得直線斜率的最大值.

18．（1）；（2）.
【分析】（1）求出的值后可求拋物線的方程.
（2）方法一：設(shè)，，，聯(lián)立直線的方程和拋物線的方程后可得，求出直線的方程，聯(lián)立各直線方程可求出，根據(jù)題設(shè)條件可得，從而可求的范圍.
【詳解】（1）因?yàn)?，故，故拋物線的方程為：.
（2）[方法一]：通式通法
設(shè)，，，
所以直線，由題設(shè)可得且.
由可得，故，
因?yàn)?，故，?
又，由可得，
同理，
由可得，
所以，
整理得到，


故，
令，則且，
故，
故即，
解得或或.
故直線在軸上的截距的范圍為或或.
[方法二]：利用焦點(diǎn)弦性質(zhì)
設(shè)直線的方程為，直線的方程為，直線的方程為，直線的方程為，由題設(shè)可得且．
由得，所以．
因?yàn)椋?br /> ，．
由得．
同理．
由得．
因?yàn)椋?br /> 所以即．
故．
令，則．
所以，解得或或．
故直線在x軸上的截距的范圍為．
[方法三]【最優(yōu)解】：
設(shè)，
由三點(diǎn)共線得，即．
所以直線的方程為，直線的方程為，直線的方程為．
設(shè)直線的方程為，
則．
所以．
故（其中）．
所以．
因此直線在x軸上的截距為．
【整體點(diǎn)評(píng)】本題主要是處理共線的線段長(zhǎng)度問(wèn)題，主要方法是長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化為坐標(biāo).
方法一：主要是用坐標(biāo)表示直線，利用弦長(zhǎng)公式將線段長(zhǎng)度關(guān)系轉(zhuǎn)為縱坐標(biāo)關(guān)系，再將所求構(gòu)建出函數(shù)關(guān)系式，再利用換元法等把復(fù)雜函數(shù)的范圍問(wèn)題轉(zhuǎn)化為常見函數(shù)的范圍.
方法二：利用焦點(diǎn)弦的性質(zhì)求得直線的斜率之和為0，再利用線段長(zhǎng)度關(guān)系即為縱坐標(biāo)關(guān)系，再將所求構(gòu)建出函數(shù)關(guān)系式，再利用換元法等把復(fù)雜函數(shù)的范圍問(wèn)題轉(zhuǎn)化為常見函數(shù)的范圍.
方法三：利用點(diǎn)在拋物線上，巧妙設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，借助于焦點(diǎn)弦的性質(zhì)求得點(diǎn)橫坐標(biāo)的關(guān)系，這樣有助于減少變?cè)?，再將所求?gòu)建出函數(shù)關(guān)系式，再利用換元法等把復(fù)雜函數(shù)的范圍問(wèn)題轉(zhuǎn)化為常見函數(shù)的范圍.
19．（1）；（2），.
【分析】（1）求出、，利用可得出關(guān)于、的齊次等式，可解得橢圓的離心率的值；
（2）[方法四]由（1）可得出的方程為，聯(lián)立曲線與的方程，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用拋物線的定義結(jié)合可求得的值，進(jìn)而可得出與的標(biāo)準(zhǔn)方程.
【詳解】（1），軸且與橢圓相交于、兩點(diǎn)，
則直線的方程為，
聯(lián)立，解得，則，

拋物線的方程為，聯(lián)立，
解得，，
，即，，
即，即，
，解得，因此，橢圓的離心率為；
（2）[方法一]：橢圓的第二定義
由橢圓的第二定義知，則有，
所以，即．
又由，得．
從而，解得．
所以．
故橢圓與拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程分別是．
[方法二]：圓錐曲線統(tǒng)一的極坐標(biāo)公式
以為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系．
由（Ⅰ）知，又由圓錐曲線統(tǒng)一的極坐標(biāo)公式，得，由，得，兩式聯(lián)立解得．
故的標(biāo)準(zhǔn)方程為，的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
[方法三]：參數(shù)方程
由（1）知，橢圓的方程為，
所以的參數(shù)方程為x=2c?cosθ,y=3c?sinθ（為參數(shù)），
將它代入拋物線的方程并化簡(jiǎn)得，
解得或（舍去），
所以，即點(diǎn)M的坐標(biāo)為．
又，所以由拋物線焦半徑公式有，即，解得．
故的標(biāo)準(zhǔn)方程為，的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
[方法四]【最優(yōu)解】：利用韋達(dá)定理
由（1）知，，橢圓的方程為，
聯(lián)立，消去并整理得，
解得或（舍去），
由拋物線的定義可得，解得.
因此，曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
【整體點(diǎn)評(píng)】(2)方法一：橢圓的第二定義是聯(lián)系準(zhǔn)線與離心率的重要工具，涉及離心率的問(wèn)題不妨考慮使用第二定義，很多時(shí)候會(huì)使得問(wèn)題簡(jiǎn)單明了.
方法二：圓錐曲線統(tǒng)一的極坐標(biāo)公式充分體現(xiàn)了圓錐曲線的統(tǒng)一特征，同時(shí)它也是解決圓錐曲線問(wèn)題的一個(gè)不錯(cuò)的思考方向.
方法三：參數(shù)方程是一種重要的數(shù)學(xué)工具，它將圓錐曲線的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的問(wèn)題，使得原來(lái)抽象的問(wèn)題更加具體化.
方法四：韋達(dá)定理是最常用的處理直線與圓錐曲線位置關(guān)系的方法，聯(lián)立方程之后充分利用韋達(dá)定理可以達(dá)到設(shè)而不求的效果.
20．（1）；（2）：，： .
【分析】（1）根據(jù)題意求出的方程，結(jié)合橢圓和拋物線的對(duì)稱性不妨設(shè)在第一象限，運(yùn)用代入法求出點(diǎn)的縱坐標(biāo)，根據(jù)，結(jié)合橢圓離心率的公式進(jìn)行求解即可；
（2）由（1）可以得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，確定橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)，再確定拋物線的準(zhǔn)線方程，最后結(jié)合已知進(jìn)行求解即可；
【詳解】解：（1）因?yàn)闄E圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為：,所以拋物線的方程為，其中.
不妨設(shè)在第一象限，因?yàn)闄E圓的方程為：，
所以當(dāng)時(shí)，有，因此的縱坐標(biāo)分別為，；
又因?yàn)閽佄锞€的方程為，所以當(dāng)時(shí)，有，
所以的縱坐標(biāo)分別為，，故，.
由得，即，解得（舍去），.
所以的離心率為.
（2）由（1）知，，故，所以的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，，的準(zhǔn)線為.
由已知得，即.
所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為，的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
【點(diǎn)睛】本題考查了求橢圓的離心率，考查了求橢圓和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)以及拋物線的準(zhǔn)線方程，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.
21．（Ⅰ）；（Ⅱ）
【分析】（Ⅰ）求出拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程，從而可得答案；
（Ⅱ）方法一使用韋達(dá)定理、中點(diǎn)公式和解方程法分別求得關(guān)于的表達(dá)式，得到關(guān)于的方程，利用基本不等式消去參數(shù)，得到關(guān)于的不等式，求解得到的最大值；方法二利用韋達(dá)定理和中點(diǎn)公式求得的坐標(biāo)關(guān)于的表達(dá)式，根據(jù)點(diǎn)在橢圓上，得到關(guān)于關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，利用基本不等式和二次函數(shù)的性質(zhì)得解，運(yùn)算簡(jiǎn)潔，為最優(yōu)解；方法三利用點(diǎn)差法得到．根據(jù)判別式大于零，得到不等式，通過(guò)解方程組求得，代入求解得到的最大值；方法四利用拋物線的參數(shù)方程設(shè)出點(diǎn)的參數(shù)坐標(biāo)，利用斜率關(guān)系求得的坐標(biāo)關(guān)于的表達(dá)式．作換元，利用點(diǎn)A在橢圓上，得到，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得的最大值
【詳解】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，的方程為，故拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為；
（Ⅱ）[方法一]：韋達(dá)定理基本不等式法
設(shè)，
由，
，
由在拋物線上，所以，
又，
，，
.
由即

，
所以，，，
所以，的最大值為，此時(shí).
[方法二]【最優(yōu)解】：
設(shè)直線，.
將直線的方程代入橢圓得：，
所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.
將直線的方程代入拋物線得：，
所以，解得，因此，
由解得，
所以當(dāng)時(shí)，取到最大值為.
[方法三] ：點(diǎn)差和判別式法
設(shè)，其中．
因?yàn)樗裕?br /> 整理得，所以．
又，
所以，整理得．
因?yàn)榇嬖?，所以上述關(guān)于的二次方程有解，即判別式．????①
由得．
因此，將此式代入①式解得．
當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為時(shí)，p的最大值為．
[方法四]：參數(shù)法
設(shè)，
由，得．
令，則，點(diǎn)A坐標(biāo)代入橢圓方程中，得．
所以，此時(shí)M坐標(biāo)為．
22．（1）；（2）.
【分析】（1）根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)，求拋物線方程；（2）首先設(shè)出直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，并利用韋達(dá)定理表示，并利用，求直線的斜率，驗(yàn)證后，即可得到直線方程.
【詳解】解：（1）由橢圓可知，，
所以，，則，
因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為，可設(shè)拋物線方程為，
所以，即.
所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）由橢圓可知，，
若直線無(wú)斜率，則其方程為，經(jīng)檢驗(yàn)，不符合要求.
所以直線的斜率存在，設(shè)為，直線過(guò)點(diǎn)，
則直線的方程為，
設(shè)點(diǎn)，，
聯(lián)立方程組，
消去，得.①
因?yàn)橹本€與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，
所以，即，
解得，且.
由①可知，
所以，
則，
因?yàn)?，且?br /> 所以，
解得或，
因?yàn)?，且?br /> 所以不符合題意，舍去，
所以直線的方程為，
即.
23．（1）；（2）.
【分析】（1）設(shè)直線：，，；根據(jù)拋物線焦半徑公式可得；聯(lián)立直線方程與拋物線方程，利用韋達(dá)定理可構(gòu)造關(guān)于的方程，解方程求得結(jié)果；（2）設(shè)直線：；聯(lián)立直線方程與拋物線方程，得到韋達(dá)定理的形式；利用可得，結(jié)合韋達(dá)定理可求得；根據(jù)弦長(zhǎng)公式可求得結(jié)果.
【詳解】（1）設(shè)直線方程為：，，
由拋物線焦半徑公式可知：????
聯(lián)立得：
則????
，解得：
直線的方程為：，即：
（2）設(shè)，則可設(shè)直線方程為：
聯(lián)立得：
則????
，
????????，????
則
【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)、直線與拋物線的綜合應(yīng)用問(wèn)題，涉及到平面向量、弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用.關(guān)鍵是能夠通過(guò)直線與拋物線方程的聯(lián)立，通過(guò)韋達(dá)定理構(gòu)造等量關(guān)系.
24．(Ⅰ) ，；
(Ⅱ)見解析.
【分析】(Ⅰ)由題意結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)可得拋物線方程，進(jìn)一步可得準(zhǔn)線方程；
(Ⅱ)聯(lián)立準(zhǔn)線方程和拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理可得圓心坐標(biāo)和圓的半徑，從而確定圓的方程，最后令x=0即可證得題中的結(jié)論.
【詳解】(Ⅰ)將點(diǎn)代入拋物線方程：可得：，
故拋物線方程為：，其準(zhǔn)線方程為：.
(Ⅱ)很明顯直線的斜率存在，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，
設(shè)直線方程為，與拋物線方程聯(lián)立可得：.
故：.
設(shè)，則，
直線的方程為，與聯(lián)立可得：，同理可得，
易知以AB為直徑的圓的圓心坐標(biāo)為：，圓的半徑為：，
且：，，
則圓的方程為：，
令整理可得：，解得：，
即以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)y軸上的兩個(gè)定點(diǎn).
【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線方程的求解與準(zhǔn)線方程的確定，直線與拋物線的位置關(guān)系，圓的方程的求解及其應(yīng)用等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.
25．(1) 取值范圍是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）
(2)證明過(guò)程見解析
【詳解】分析：（1）先確定p,再設(shè)直線方程，與拋物線聯(lián)立，根據(jù)判別式大于零解得直線l的斜率的取值范圍，最后根據(jù)PA，PB與y軸相交，舍去k=3，（2）先設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），與拋物線聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理可得，．再由，得，．利用直線PA，PB的方程分別得點(diǎn)M，N的縱坐標(biāo)，代入化簡(jiǎn)可得結(jié)論.
詳解：解：（Ⅰ）因?yàn)閽佄锞€y2=2px經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1，2），
所以4=2p，解得p=2，所以拋物線的方程為y2=4x．
由題意可知直線l的斜率存在且不為0，
設(shè)直線l的方程為y=kx+1（k≠0）．
由得．
依題意，解得k

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22-平面解析幾何（圓錐曲線之雙曲線）-五年（2018-2022）高考數(shù)學(xué)真題按知識(shí)點(diǎn)分類匯編：

這是一份22-平面解析幾何（圓錐曲線之雙曲線）-五年（2018-2022）高考數(shù)學(xué)真題按知識(shí)點(diǎn)分類匯編，共28頁(yè)。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題，雙空題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

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