?山東省棗莊市臺兒莊區(qū)2022-2023學年九年級上學期期末數(shù)學試題
學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________

一、單選題
1．神奇的自然界處處蘊含著數(shù)學知識．動物學家在鸚鵡螺外殼上發(fā)現(xiàn)，其每圈螺紋的直徑與相鄰螺紋直徑的比約為0.618．這體現(xiàn)了數(shù)學中的（????）

A．平移 B．旋轉 C．軸對稱 D．黃金分割
2．某城市市區(qū)人口萬人，市區(qū)綠地面積50萬平方米，平均每人擁有綠地平方米，則與之間的函數(shù)表達式為（????）
A． B． C． D．
3．計算的結果，正確的是（????）
A． B． C． D．
4．如圖是四個完全相同的小正方體搭成的幾何體，它的俯視圖為（????）

A． B．
C． D．
5．的三邊長分別為2，3，4，另有一個與它相似的三角形，其最長邊為12，則的周長是（????）
A．54 B．36 C．27 D．21
6．2022年2月20日北京冬奧會大幕落下，某校為普及冬奧知識，開展了校內冬奧知識競賽活動，并評出一等獎3人．現(xiàn)欲從小明等3名一等獎獲得者中任選2名參加全市冬奧知識競賽，則小明被選到的概率為（　?。?br /> A． B． C． D．
7．已知拋物線的對稱軸為直線，則關于x的方程的根是（????）
A．0，4 B．1，5 C．1，－5 D．－1，5
8．已知點，在反比例函數(shù)的圖象上，且，則下列結論一定正確的是（????）
A． B． C． D．
9．關于的一元二次方程有實數(shù)根，則的取值范圍是（????）
A．且 B． C．且 D．
10．如圖，某數(shù)學興趣小組測量一棵樹的高度，在點A處測得樹頂C的仰角為，在點B處測得樹頂C的仰角為，且A，B，D三點在同一直線上，若，則這棵樹的高度是（????）

A． B． C． D．
11．如圖，在矩形紙片ABCD中，，，將沿BD折疊到位置，DE交AB于點F，則的值為（????）

A． B． C． D．
12．如圖，拋物線與x軸相交于點，與y軸相交于點C，小紅同學得出了以下結論：①；②；③當時，；④．其中正確的個數(shù)為（????）

A．4 B．3 C．2 D．1

二、填空題
13．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=，則cosA=________．
14．計算：______．
15．拋物線向右平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度，得到拋物線的頂點坐標是______．
16．如圖，將一個邊長為的正方形活動框架（邊框粗細忽略不計）扭動成四邊形，對角線是兩根橡皮筋，其拉伸長度達到時才會斷裂．若，則橡皮筋_____斷裂（填“會”或“不會”，參考數(shù)據(jù)：）．

17．如圖四邊形ABCD是平行四邊形，CD在x軸上，點B在y軸上，反比例函數(shù)的圖象經過第一象限點A，且平行四邊形ABCD的面積為6，則______．

18．如圖，在等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE中，，點D在BC邊上，DE與AC相交于點F，，垂足是G，交BC于點H．下列結論中：①；②；③若，，則；④，正確的是______．


三、解答題
19．為傳承中華民族優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，提高學生文化素養(yǎng)，學校舉辦“經典誦讀”比賽，比賽題目分為“詩詞之風”“散文之韻”“小說之趣”“戲劇之雅”四組（依次記為A，B，C，D）．小雨和莉莉兩名同學參加比賽．其中一名同學從四組題目中隨機抽取一組，然后放回，另一名同學再隨機抽取一組．
(1)小雨抽到A組題目的概率是_________；
(2)請用列表法或畫樹狀圖的方法，求小雨和莉莉兩名同學抽到相同題目的概率．
20．如圖，直線與反比例函數(shù)的圖像相交于點A和點，與x軸的正半軸相交于點B．

(1)求k的值；
(2)連接，若點C為線段的中點，求的面積．
21．如圖，在Rt中，，．點D是的中點，過點D作交于點E.延長至點F，使得，連接、、．

(1)求證：四邊形是菱形；
(2)若，則的值為_______．
22．如圖1所示是一種太陽能路燈，它由燈桿和燈管支架兩部分構成如圖2，是燈桿，是燈管支架，燈管支架與燈桿間的夾角．綜合實踐小組的同學想知道燈管支架的長度，他們在地面的點處測得燈管支架底部的仰角為60°，在點處測得燈管支架頂部的仰角為30°，測得m，m（，，在同一條直線上）．根據(jù)以上數(shù)據(jù)，解答下列問題：

(1)求燈管支架底部距地面高度的長（結果保留根號）；
(2)求燈管支架的長度（結果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：）．
23．已知一次函數(shù)（a為常數(shù)）與x軸交于點A，與反比例函數(shù)交于B、C兩點，B點的橫坐標為．

(1)求出一次函數(shù)的解析式并在圖中畫出它的圖象；
(2)求出點C的坐標，并根據(jù)圖象寫出當時對應自變量x的取值范圍；
(3)若點B與點D關于原點成中心對稱，求出△ACD的面積．
24．如圖，在矩形中，，點E是邊上的任一點（不包括端點D，C），過點A作交的延長線于點F，設．

(1)求的長（用含a的代數(shù)式表示）；
(2)連接交于點G，連接，當時，求證：四邊形是菱形．
25．如圖1，拋物線與x軸交于，兩點，與y軸交于點C.

??????????圖1?????????????????????圖2
(1)求該拋物線的解析式；
(2)若點E是拋物線的對稱軸與直線BC的交點，點F是拋物線的頂點，求EF的長；
(3)設點P是（1）中拋物線上的一個動點，是否存在滿足的點P？如果存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.（請在圖2中探討）

參考答案：
1．D
【分析】根據(jù)黃金分割的定義即可求解．
【詳解】解：動物學家在鸚鵡螺外殼上發(fā)現(xiàn)，其每圈螺紋的直徑與相鄰螺紋直徑的比約為0.618．這體現(xiàn)了數(shù)學中的黃金分割．
故選：D
【點睛】本題考查了黃金分割的定義，黃金分割是指將整體一分為二，較大部分與整體部分的比值等于較小部分與較大部分的比值，其比值為，約等于0.618，這個比例被公認為是最能引起美感的比例，因此被稱為黃金分割．熟知黃金分割的定義是解題關鍵．
2．C
【分析】根據(jù)：平均每人擁有綠地，列式求解．
【詳解】解：依題意，得：平均每人擁有綠地．
故選：C
【點睛】本題考查了反比例函數(shù)，解題的關鍵是掌握題目中數(shù)量之間的相互關系．
3．B
【分析】化簡二次根式并代入特殊角的銳角三角比，再按照正確的運算順序進行計算即可．
【詳解】解：
＝
＝
＝．
故選：B
【點睛】此題考查了二次根式的運算、特殊角的銳角三角比等知識，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．
4．A
【分析】從上面觀察該幾何體得到一個“T”字形的平面圖形，橫著兩個正方形，中間有一個正方形，且有兩條垂直的虛線，下方有半個正方形．畫出圖形即可．
【詳解】俯視圖如圖所示．

故選：A．
【點睛】本題主要考查了幾何體的三視圖，俯視圖是從上面觀察幾何體得出的平面圖形．.注意：能看到的線用實線，看不到而存在的線用虛線．
5．C
【分析】根據(jù)相似三角形的性質求解即可．
【詳解】解：∵△ABC與△DEF相似，△ABC的最長邊為4，△DEF的最長邊為12，
∴兩個相似三角形的相似比為1:3，
∴△DEF的周長與△ABC的周長比為3:1，
∴△DEF的周長為3×（2+3+4）=27，
故選：C．
【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質，熟知相似三角形的周長之比等于相似之比是解題的關鍵．
6．D
【分析】根據(jù)概率公式直接計算即可．
【詳解】解：∵3名一等獎獲得者中任選2名參加全市冬奧知識競賽，
∴小明被選到的概率為，
故選：D．
【點睛】本題主要考查概率的知識，熟練掌握概率公式是解題的關鍵．
7．D
【分析】根據(jù)拋物線的對稱軸為直線可求出m的值，然后解方程即可．
【詳解】拋物線的對稱軸為直線，
，
解得，
關于x的方程為，
，
解得，
故選：D．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質及解一元二次方程，準確理解題意，熟練掌握知識點是解題的關鍵．
8．C
【分析】把點A和點B的坐標代入解析式，根據(jù)條件可判斷出、的大小關系．
【詳解】解：∵點，）是反比例函數(shù)的圖象時的兩點，
∴．
∵，
∴．
故選：C．
【點睛】本題主要考查反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，掌握圖象上點的坐標滿足函數(shù)解析式是解題的關鍵．
9．A
【分析】根據(jù)一元二次方程的定義和判別式的意義得到a+2≠0且△≥0，然后求出兩不等式的公共部分即可．
【詳解】解：∵關于x的一元二次方程有實數(shù)根，
∴△≥0且a+2≠0，
∴（-3）2-4（a+2）×1≥0且a+2≠0，
解得：a≤且a≠-2，
故選：A．
【點睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與△=b2-4ac有如下關系：當△＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；當△=0時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；當△＜0時，方程無實數(shù)根．
10．A
【分析】設CD=x，在Rt△ADC中，∠A=45°，可得CD=AD=x，BD=16-x，在Rt△BCD中，用∠B的正切函數(shù)值即可求解．
【詳解】設CD=x，在Rt△ADC中，∠A=45°，
∴CD=AD=x，
∴BD=16-x，
在Rt△BCD中，∠B=60°，
∴，
即：，
解得，
故選A．
【點睛】本題考查三角函數(shù)，根據(jù)直角三角形的邊的關系，建立三角函數(shù)模型是解題的關鍵．
11．C
【分析】先根據(jù)矩形的性質和折疊的性質，利用“AAS”證明，得出，，設，則，根據(jù)勾股定理列出關于x的方程，解方程得出x的值，最后根據(jù)余弦函數(shù)的定義求出結果即可．
【詳解】解：∵四邊形ABCD為矩形，
∴CD=AB=5，AB=BC=3，，
根據(jù)折疊可知，，，，
∴在△AFD和△EFB中，
∴（AAS），
∴，，
設，則，
在中，，
即，
解得：，則，
∴，故C正確．
故選：C．
【點睛】本題主要考查了矩形的折疊問題，三角形全等的判定和性質，勾股定理，三角函數(shù)的定義，根據(jù)題意證明，是解題的關鍵．
12．B
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖像與性質，逐一判斷即可．
【詳解】解：∵拋物線與x軸交于點A、B，
∴拋物線對應的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，
即，故①正確；
對稱軸為，
整理得4a＋b＝0，故②正確；
由圖像可知，當y＞0時，即圖像在x軸上方時，
x＜－2或x＞6，故③錯誤，
由圖像可知，當x＝1時，，故④正確．
∴正確的有①②④，
故選：B．
【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質與一元二次方程的關系，熟練掌握相關知識是解題的關鍵．
13．##
【分析】根據(jù)勾股定理求出斜邊AB的值，在利用余弦的定義直接計算即可．
【詳解】解：在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=1，BC=，
∴AB=，
∴cosA=，
故答案為：．
【點睛】本題主要考查銳角三角函數(shù)的定義，解決此類題時，要注意前提條件是在直角三角形中，此外還有熟記三角函數(shù)的定義．
14．
【分析】根據(jù)二次根式的性質，特殊角的三角函數(shù)值，負整數(shù)指數(shù)冪，化簡絕對值進行計算即可求解．
【詳解】解：

．
故答案為：．
【點睛】本題考查了實數(shù)的混合運算，掌握二次根式的性質，特殊角的三角函數(shù)值，負整數(shù)指數(shù)冪，化簡絕對值是解題的關鍵．
15．（3，5）
【分析】先求出拋物線的頂點坐標，再根據(jù)向右平移橫坐標加，向上平移縱坐標加求出平移后的拋物線的頂點坐標即可．
【詳解】解：拋物線的頂點坐標為（1，2），
∵將拋物線y=（x-1）2+2再向右平移2個單位長度，向上平移3個單位長度，
∴平移后的拋物線的頂點坐標為（3，5）．
故答案為：（3，5）．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．并用規(guī)律求函數(shù)解析式．
16．不會
【分析】設扭動后對角線的交點為，根據(jù)正方形的性質，得出扭動后的四邊形為菱形，利用菱形的性質及條件，得出為等邊三角形，利用勾股定理算出，從而得到，再比較即可判斷．
【詳解】解：設扭動后對角線的交點為，如下圖：

，
根據(jù)正方形的性質得，
得出扭動后的四邊形四邊相等為菱形，
cm，
為等邊三角形，
cm，
cm，
cm，
根據(jù)菱形的對角線的性質：(cm)，
，
不會斷裂，
故答案為：不會．
【點睛】本題考查了正方形的性質、菱形的判定及性質、等邊三角形、勾股定理，解題的關鍵是要掌握菱形的判定及性質．
17．6
【分析】過點A作AE⊥CD于點E，然后平行四邊形的性質可知△AED≌△BOC，進而可得矩形ABOE的面積與平行四邊形ABCD的面積相等，最后根據(jù)反比例函數(shù)k的幾何意義可求解．
【詳解】解：過點A作AE⊥CD于點E，如圖所示：

∴，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴，
∴，
∴△AED≌△BOC（AAS），
∵平行四邊形ABCD的面積為6，
∴，
∴；
故答案為6．
【點睛】本題主要考查平行四邊形的性質及反比例函數(shù)k的幾何意義，熟練掌握平行四邊形的性質及反比例函數(shù)k的幾何意義是解題的關鍵．
18．②③##③②
【分析】先證明 再證明若 可得平分 與題干信息不符，可判斷①不符合題意；再證明 可得 而 可判斷②符合題意；如圖，連接EH，求解 設 再建立方程組 可判斷③符合題意；證明 可得 若，則 與題干信息不符，可判斷④不符合題意；從而可得答案．
【詳解】解：∵，
∴
∵等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE，
∴

∴
∵
∴

若

∴
∴平分 與題干信息不符，故①不符合題意；
∵
∴
∴
∴ 而
∴，故②符合題意；
如圖，連接EH，

由
∴
∵
∴
設

解得： 即BD=3，故③符合題意；
∵



若，則 與題干信息不符，故④不符合題意；
故答案為：②③
【點睛】本題考查的是等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理的應用，相似三角形的判定與性質，作出適當?shù)妮o助線，構建直角三角形是解本題的關鍵．
19．(1)
(2)

【分析】（1）直接利用概率公式計算即可；
（2）通過列表法，可得共有16種等可能結果，其中，小雨和莉莉兩名同學抽到相同題目的結果數(shù)有4種，再根據(jù)概率公式求解即可．
【詳解】（1）（小雨抽到A組題目），
故答案為：；
（2）列表如下：
小雨 莉莉
A
B
C
D
A
AA
BA
CA
DA
B
AB
BB
CB
DB
C
AC
BC
CC
DC
D
AD
BD
CD
DD

由圖得，共有16種等可能結果，其中，小雨和莉莉兩名同學抽到相同題目的結果數(shù)有4種，
（小雨和莉莉兩名同學抽到相同題目）．
【點睛】本題考查了概率公式及列表法或畫樹狀圖的方法求概率，準確理解題意，熟練掌握知識點是解題的關鍵．
20．(1)6
(2)

【分析】（1）直接把點C的坐標代入反比例函數(shù)的解析式，即可求出答案；
（2）由題意，先求出點A的坐標，然后求出直線AC的解析式，求出點B的坐標，再求出的面積即可．
【詳解】（1）解：∵點在反比例函數(shù)的圖象上，
∴，
∴；
（2）解：∵是線段的中點，點B在x軸上，
∴點A的縱坐標為4，

∵點A在上，
∴點A的坐標為，
∵，
設直線AC為，則
，解得，
∴直線為，
令，則，
∴點B的坐標為，
∴．
【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖像和性質，一次函數(shù)的圖像和性質，解題的關鍵是熟練掌握反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖像和性質進行解題．
21．(1)見解析
(2)

【分析】（1）根據(jù)對角線互相垂直平分的四邊形是菱形即可得證；
（2）設，則，根據(jù)菱形的性質可得，，勾股定理求得，根據(jù)，，即可求解．
【詳解】（1）證明：，，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
四邊形是菱形；
（2）解：，
設，則，
四邊形是菱形；
，，
，
在中，，
，
故答案為：．
【點睛】本題考查了菱形的判定與性質，勾股定理，求正切，掌握以上知識是解題的關鍵．
22．(1)
(2)

【分析】（1）解即可求解；
（2）延長交于點，證明是等邊三角形，解，根據(jù)即可求解．
【詳解】（1）在中，


（2）如圖，延長交于點，





中，


是等邊三角形

答：燈管支架的長度約為．
【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，等邊三角形的性質與判定，掌握以上知識是解題的關鍵．
23．(1)，畫圖象見解析
(2)點C的坐標為（3，2）；當時，或
(3)

【分析】（1）根據(jù)B點的橫坐標為-2且在反比例函數(shù)y2=的圖象上，可以求得點B的坐標，然后代入一次函數(shù)解析式，即可得到一次函數(shù)的解析式，再畫出相應的圖象即可；
（2）將兩個函數(shù)解析式聯(lián)立方程組，即可求得點C的坐標，然后再觀察圖象，即可寫出當y1＜y2時對應自變量x的取值范圍；
（3）根據(jù)點B與點D關于原點成中心對稱，可以寫出點D的坐標，然后點A、D、C的坐標，即可計算出△ACD的面積．
【詳解】（1）解：∵B點的橫坐標為-2且在反比例函數(shù)y2=的圖象上，
∴y2==-3，
∴點B的坐標為（-2，-3），
∵點B（-2，-3）在一次函數(shù)y1=ax-1的圖象上，
∴-3=a×（-2）-1，
解得a=1，
∴一次函數(shù)的解析式為y=x-1，
∵y=x-1，
∴x=0時，y=-1；x=1時，y=0；
∴圖象過點（0，-1），（1，0），
函數(shù)圖象如圖所示；
；
（2）解：解方程組，
解得或，
∵一次函數(shù)y1=ax-1（a為常數(shù)）與反比例函數(shù)y2=交于B、C兩點，B點的橫坐標為-2，
∴點C的坐標為（3，2），
由圖象可得，當y1＜y2時對應自變量x的取值范圍是x＜-2或0＜x＜3；
（3）解：∵點B（-2，-3）與點D關于原點成中心對稱，
∴點D（2，3），
作DE⊥x軸交AC于點E，
將x=2代入y=x-1，得y=1，
∴S△ACD=S△ADE+S△DEC= =2，
即△ACD的面積是2．
【點睛】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，解答本題的關鍵是明確題意，利用數(shù)形結合的思想解答．
24．(1)
(2)見詳解

【分析】（1）根據(jù)矩形的性質可得，然后可證，進而根據(jù)相似三角形的性質可求解；
（2）如圖，連接AC，由題意易證四邊形是平行四邊形，然后可得，進而可證，則可證，最后問題可求證．
【詳解】（1）解：∵四邊形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴；
（2）證明：由題意可得如圖所示：

連接AC，
在矩形中，，，
∴，
∵，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四邊形是菱形．
【點睛】本題主要考查相似三角形的性質與判定、矩形的性質及菱形的判定，熟練掌握相似三角形的性質與判定、矩形的性質及菱形的判定是解題的關鍵．
25．(1)
(2)2
(3)當點的坐標分別為，，，時，，理由見解析．

【分析】（1）把點A、B的坐標分別代入函數(shù)解析式，列出關于系數(shù)b、c的方程組，通過解方程組求得它們的值即可；
（2）結合拋物線的解析式得到點C、F的坐標，利用B、C的坐標可以求得直線BC的解析式，由一次函數(shù)圖像上點的坐標特征和點的坐標與圖形的性質進行解答即可；
（3）根據(jù)P點在拋物線上設出P點，然后再由S△PAB=8，從而求出P點坐標．
【詳解】（1）解：∵拋物線與軸的兩個交點分別為，，
∴，解得．
∴所求拋物線的解析式為．
（2）解：由（1）知，拋物線的解析式為，則，
又，
∴．
設直線的解析式為，
把代入，得，
解得，則該直線的解析式為．
故當時，，即，
∴，
即．
（3）解：設點，由題意，得，
∴，∴，
當時，，
∴，，
當時，，
∴，，
∴當點的坐標分別為，，，時，．

【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式和待定系數(shù)法求一次函數(shù)以及一次函數(shù)圖像上點的坐標特征，拋物線解析式的三種形式之間的轉化，熟練掌握函數(shù)的性質是解答此題的關鍵．

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