【考生存在問題報告】
（一）不能準(zhǔn)確理解向量的相關(guān)概念
概念不清主要表現(xiàn)在向量的概念，平行向量、單位向量的概念；向量夾角的概念等.
【例1】（2020·湖北省高三月考）已知點，，單位向量，則（ ）
A．B．C．D．
【評析】本題主要考查兩個重要知識點，即平行向量和單位向量的概念，因混淆了“與同向的單位向量”和“與平行的單位向量”這兩個不同的概念，出現(xiàn)錯解：因為故所求向量為，在復(fù)習(xí)時，只有深刻理解平行向量和單位向量的概念，才能達(dá)到正確解題的目的.
【例2】（2020·山東省高三開學(xué)考試）如圖，在半徑為r的定圓C中，A為圓上的一個定點，B為圓上的一個動點，若，且點D在圓C上，則_____．
【評析】本題主要考查了向量加法的平行四邊形法則，向量數(shù)量積的運算，得到四邊形為一個內(nèi)角為的菱形是解題的關(guān)鍵.由向量加法的概念以及可得四邊形為菱形，且，再由向量數(shù)量積的定義即可得結(jié)果.
（二）運算理解不靈活，不能合理選擇算法
學(xué)生存在的主要問題是：（1）對向量運算理解不到位，比如會錯把數(shù)的乘法的消去律運用在向量的數(shù)量積運算上；（2）算法選擇不合理，學(xué)生往往選擇常規(guī)解法，導(dǎo)致過繁運算，計算量過大，甚至無法解答下去.只有熟練掌握向量的運算技巧，根據(jù)題設(shè)條件合理選擇算法，才能達(dá)到正確運算的目的.
【例3】（2020·福建省仙游縣楓亭中學(xué)高三期中）已知向量.
(1)若，求的值；
(2)當(dāng)時，求與夾角的余弦值．
【評析】本題主要考查向量的數(shù)量積公式、向量的模以及將向量問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)計算的意識，導(dǎo)致過繁運算，實際還是歸結(jié)為運算不注意算理的選擇．在解決問題時，只有熟練掌握向量的運算技巧，根據(jù)題設(shè)條件選擇合理的算法，才能達(dá)到正確運算的目的.
【例4】（2020·廣東省高三月考）著名數(shù)學(xué)家歐拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半．此直線被稱為三角形的歐拉線，該定理則被稱為歐拉線定理．設(shè)點，分別是△的外心、垂心，且為中點，則 （ ）
A．B．
C．D．
【評析】本題考查平面向量的線性運算，以及三角形的三心問題，同時考查學(xué)生分析問題的能力和推理論證能力．構(gòu)造符合題意的特殊三角形（例如直角三角形），然后利用平面向量的線性運算法則進(jìn)行計算即可得解．
（三）等價轉(zhuǎn)換思想意識不強
學(xué)生主要問題體現(xiàn)在：題設(shè)條件問題轉(zhuǎn)換不等價，在平時復(fù)習(xí)中，關(guān)注學(xué)生對相關(guān)概念、定理、公式等的本質(zhì)的挖掘與掌握至關(guān)重要.
【例5】設(shè)若與的夾角為鈍角，則的取值范圍為
【評析】本題主要考查向量的夾角公式，學(xué)生易錯解如下：，因為為鈍角，所以．這是由于問題轉(zhuǎn)換不等價造成的，其實向量與的夾角為鈍角的充要條件是且與不共線．這里，與不共線不能忽略．
【例6】（2020·吉林省高三）若向量，滿足，，且滿足，則與的夾角為（ ）
A．B．C．D．
【評析】本題考查向量的垂直關(guān)系以及向量的夾角公式，掌握公式，細(xì)心計算，利用向量垂直關(guān)系，可得，然后根據(jù)向量夾角公式，可得結(jié)果.
（四）不能合理選擇基底
學(xué)生主要問題體現(xiàn)在：不能合理選擇基底解決問題，原因是學(xué)生對于平面向量基本定理并沒有真正理解，所以在復(fù)習(xí)中，深刻理解平面向量基本定理，讓學(xué)生真正掌握定理的本質(zhì)及解決問題的技巧是關(guān)鍵.
【例7】（2020·福建省廈門雙十中學(xué)高三月考）如圖中，，，平分線交△ABC的外接圓于點，設(shè)，，則向量（ ）
A．B．C．D．
【評析】本題考查了向量的平行四邊形法則，共線向量基本定理，圓的性質(zhì)等知識，考查分析解決問題的能力和計算能力．根據(jù)中，的邊角關(guān)系，結(jié)合圓的性質(zhì)，得到四邊形為菱形，所以．
（五）應(yīng)用意識不強，不能合理運用向量解決問題
考查向量語言， 體現(xiàn)向量的的工具性，解決平行與垂直的問題，與三角函數(shù)和解析幾何的交匯是高考常見題型，學(xué)生的主要問題就是缺乏用向量解決問題的意識，導(dǎo)致運算量過大，甚至無法解答下去，因此，在復(fù)習(xí)中教師應(yīng)重視向量在這方面的運用指導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生拓展思路，必定會有意想不到的神奇效果.
【例8】（2020·海南省高三）在平面直角坐標(biāo)系中，點.
（1）若，求實數(shù)的值；
（2）若，求的面積.
【評析】本題考查數(shù)量積的坐標(biāo)表示,考查三角形面積公式的應(yīng)用,考查數(shù)量積的應(yīng)用.
（1）由題可得,進(jìn)而由求解即可；
（2）由可得,則,利用數(shù)量積可得,進(jìn)而利用三角形面積公式求解即可.
【命題專家現(xiàn)場支招】
一、解決問題的思考與對策
（一）加強概念學(xué)習(xí)，注重本質(zhì)理解
在平面向量的概念復(fù)習(xí)中，如何讓學(xué)生迅速把握住本質(zhì)，達(dá)成理解？重溫概念的來龍去脈，理清知識網(wǎng)絡(luò)，通過比較，對向量的概念進(jìn)行辨析，在此基礎(chǔ)上，抓住向量的兩個要素：大小、方向進(jìn)行拓展，將向量概念精準(zhǔn)化．學(xué)生存在的問題之一是：概念不清，符號表示混亂，針對此問題，一方面教師在板書、表達(dá)等方面一定要準(zhǔn)確和多方強調(diào)，另一方面，也可設(shè)置一些判斷題，幫助學(xué)生辨析概念．
【例9】（2020·全國高三課時練習(xí)）下列說法中錯誤的是（ ）
A．零向量與任一向量平行B．方向相反的兩個非零向量不一定共線
C．零向量的長度為0D．方向相反的兩個非零向量必不相等
（二）加強運算訓(xùn)練，關(guān)注算法選擇
單純看向量的運算，實際上是比較抽象的．在復(fù)習(xí)中若能恰當(dāng)運用模型，運用類比，不僅可以降低難度，而且對于學(xué)生認(rèn)識抽象的運算有很大的好處：比如說：向量這個概念源于物理中的力、位移，那么力的合成、位移的合成實際上就是向量加法的模型，依此為基礎(chǔ)很容易理解并記憶平行四邊形法則和三角形法則.而向量的減法則可類比于數(shù)的減法定義：在實數(shù)運算中，減法是加法的逆運算；于是向量的減法也可以看成是向量加法的逆運算；在實數(shù)運算中，減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù).據(jù)此，復(fù)習(xí)相反向量的概念.要注意向量運算與實數(shù)運算的差異，抓住“結(jié)果是什么？”“遵循什么樣的運算律？”等問題，在類比和辨析中掌握知識.逐漸滲透在集合上定義二元運算的準(zhǔn)則．自然形成對于“逆運算”、“逆元”等概念的了解．最終拓展學(xué)生對于運算的認(rèn)識．
【例10】（2020·安徽省六安一中高三月考）設(shè)是的對角線的交點，三角形的高為2，為任意一點，則（ ）
A．6B．16C．24D．48
（三）重視幾何特征，關(guān)注數(shù)形結(jié)合
在“平面向量”的復(fù)習(xí)教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合是重要的思想方法之一，理解向量線性運算的幾何意義更是本專題的教學(xué)目標(biāo)之一，但學(xué)生往往不能做到恰當(dāng)轉(zhuǎn)化．?dāng)?shù)形結(jié)合的關(guān)鍵是把握基本量的代數(shù)形式與幾何特征之間的聯(lián)系，一方面復(fù)習(xí)中要時刻注意二者的聯(lián)系和相互表達(dá)，學(xué)會“看圖說話”，另一方面也可選擇恰當(dāng)?shù)睦}，對某些幾何特征量進(jìn)行歸納，逐漸學(xué)會“由數(shù)到形”．每種運算都要注意從幾何和代數(shù)兩個方面進(jìn)行解讀，兩者并重.但要真正掌握、運用這種思想方法，還需對數(shù)和形的實質(zhì)加以挖掘．比如“向量的加法”復(fù)習(xí)中，可從“位移的合成”引入三角形法則，這是向量加法的幾何法則，將其代數(shù)化，就得到：.代數(shù)化和形式化并不只是一種簡潔的表示，還可挖掘其內(nèi)在的含義：如這個式子其實可以脫離圖形而存在，進(jìn)一步得到．
【例11】（2020·北京高三）如圖，正三角形邊長為2，是線段上一點，過點作直線的垂線，交線段的延長線于點，則的最大值為______.
（四）重視方法訓(xùn)練，關(guān)注基底選擇
通過本專題的復(fù)習(xí)，研究用向量處理問題的兩種方法：“向量法”和“坐標(biāo)法”．也即面對一個實際問題，要學(xué)會選擇基底或者建立平面直角坐標(biāo)系．本質(zhì)上這兩種方法是統(tǒng)一的，其依據(jù)都是“平面向量基本定理”，后者是前者的特例．學(xué)生往往對于后者較為熟悉，在給定的坐標(biāo)系中會處理問題，但不善于自己選擇基底．事實上，這種熟悉，對于很多學(xué)生來說：只是一種簡單的模仿和運算，而對于平面向量基本定理并沒有真正理解.但課標(biāo)對于平面向量基本定理的要求，只限于“了解”.因此，若學(xué)生程度較好，可在正交基底的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生選擇其它的基底解決問題，強化平面向量基本定理的教學(xué)．
【例12】（2020·浙江省學(xué)軍中學(xué)高三期中）已知在中，，．
（1）若的平分線與邊交于點，求；
（2）若點為的中點，求的最小值．
【例13】如圖，, 點在由射線, 線段及的延長線圍成的區(qū)域內(nèi)（不含邊界）運動, 且,則的取值范圍是____ __；
當(dāng)時, 的取值范圍是____ __.
（五）強化問題意識，注重向量運用
學(xué)生的主要問題就是缺乏用向量解決問題的意識，學(xué)生處理問題的意識不是一朝一夕形成的，教師要在教學(xué)中積極引導(dǎo)學(xué)生自覺地思考、轉(zhuǎn)化、構(gòu)圖和變式，讓學(xué)生不斷積累思維和活動經(jīng)驗，要加強教學(xué)過程中對學(xué)生思維、意識和能力的培養(yǎng)，注重過程強化，關(guān)注解題過程的思維達(dá)成度，培養(yǎng)學(xué)生的悟性.
【例14】（2020·安徽省高三月考）在中，.
(1) 求角的大?。?br>(2)若，垂足為，且，求面積的最小值.
二、典型問題剖析
（一）平面向量的線性運算及坐標(biāo)運算
【例15】（2020·北京市十一學(xué)校高三月考）在梯形中，//，，為中點，若，則___．
【例16】（2020·江西省南城一中高三期末）已知向量，，，若，則實數(shù)______.
（二）平面向量基本定理及應(yīng)用
【例17】（2020·寧夏回族自治區(qū)銀川一中高三）若點在三角形的邊上，且，則的值為__________.
（三）平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用
【例18】（2020·湖南省長郡中學(xué)高三）已知向量滿足，若，則的最小值為_____________.
（四）平面向量的平行與垂直
【例19】（2020·四川省瀘縣第二中學(xué)高三月考）已知向量，的夾角為，，，.若，則__________．
【例20】（2020·廣東省高三）若平面向量(csθ,sinθ),(1,﹣1),且⊥,則sin2θ的值是_____.
（五）平面向量模的最值或范圍問題
(1)代數(shù)法：把所求的模表示成某個變量的函數(shù)，再用求最值的方法求解．
(2)幾何法(數(shù)形結(jié)合法)：弄清所求的模表示的幾何意義，結(jié)合動點表示的圖形求解
【例21】（2020·浙江省高三期末）已知單位向量、滿足，設(shè)向量，，則的取值范圍是_____．
【例22】（2020·山東省高三月考）已知、、是平面向量，是單位向量．若非零向量與的夾角為，向量滿足，則的最小值是（ ）
A．B．C．2D．
（六）數(shù)量積的最值或范圍問題
(1)臨界分析法：結(jié)合圖形，確定臨界位置的動態(tài)分析求出范圍；
(2)目標(biāo)函數(shù)法：將數(shù)量積表示為某一個變量或兩個變量的函數(shù)，建立函數(shù)關(guān)系式，再利用三角函數(shù)有界性、二次函數(shù)或基本不等式求最值或范圍.
【例23】（2020·福建省高三）已知三角形為直角三角形，點為斜邊的中點，對于線段上的任意一點都有， 則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【例24】（2020·山東省棗莊八中高三月考）已知不共線向量夾角為，，，，，在處取最小值，當(dāng)時，的取值范圍為（ ）
B．C．D．
【新題好題針對訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2020·全國高三課時練習(xí)）關(guān)于零向量，下列說法中錯誤的是 ( )
A．零向量是沒有方向的B．零向量的長度是0
C．零向量與任一向量平行D．零向量的方向是任意的
2．（2020·河南省高三開學(xué)考試）如圖所示的中，點D、E、F分別在邊、、上，且，，，則向量（ ）
A．B．
C．D．
3．（2020·湖北省恩施土家族苗族高中高三月考）在中，為線段上一點，，為上任一點，若，且，，則的最小值是（ ）
A．12B．11C．10D．9
4．（2020·天津高三期末）在梯形中，已知，，，，若，則（ ）
A．B．C．D．
5．（2020·全國高三課時練習(xí)）設(shè)點P是△ABC所在平面內(nèi)一點，，則點P是△ABC
A．內(nèi)心B．外心C．重心D．垂心
6．（2020·寧夏回族自治區(qū)寧夏大學(xué)附屬中學(xué)高三月考）已知向量，，.若，則k的值為（ ）
A．B．2C．D．
7．（2020·鄂爾多斯市第一中學(xué)高三）已知在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點，，，若平面內(nèi)點滿足，則的最大值為（ ）
A．7B．6C．5D．4
8．（2020·湖北省高三月考）等腰直角三角形中，，，點是斜邊上一點，且，那么（ ）
A．B．C．2D．4
9．（2020·山東省高三月考）已知，為圖象的頂點，O，B，C，D為與x軸的交點，線段上有五個不同的點．記，則的值為（ ）
A．B．45C．D．
二、填空題
10．（2020·湖南省明達(dá)中學(xué)高三）已知平面向量、、滿足，，且，則當(dāng)時，的取值范圍是_______
11．（2020·江蘇省高三）已知是的垂心（三角形三條高所在直線的交點），，則的值為_______.
12．（2020·江西省臨川第二中學(xué)高三）設(shè)為所在平面內(nèi)一點，，若，則__________．
13．（2020·全國高三專題練習(xí)）如圖，在中，,,,，過點的直線分別交射線、于不同的兩點、，若，，則當(dāng)時，___________,__________．
14．（2020·北京101中學(xué)高三月考）已知是銳角的外接圓圓心，是最大角，若，則的取值范圍為________.
15．（2020·天津高三期末）在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，，，A（1，1），則的取值范圍為___
16．（2020·海南省高三）設(shè)的外接圓的圓心為，半徑為2，且滿足，則的最小值為________.
三、解答題
17．（2020·洪洞縣第一中學(xué)高三期中）已知向量．
（1）若，求x的值；
（2）記，求函數(shù)y＝f（x）的最大值和最小值及對應(yīng)的x的值．
18．（2020·江西省高三月考）在直角坐標(biāo)系中，已知橢圓，若圓的一條切線與橢圓有兩個交點，且.
（1）求圓的方程；
（2）已知橢圓的上頂點為，點在圓上，直線與橢圓相交于另一點，且，求直線的方程.

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