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易錯(cuò)點(diǎn)1 忽視不等式隱含條件致誤

設(shè)，若1≤≤2,2≤≤4，則的取值范圍是________．
【錯(cuò)解】由得，①＋②得：， ②?①得：.
由此得4≤=4a?2b≤11，所以的取值范圍是[4,11]．學(xué)&科網(wǎng)
【錯(cuò)因分析】錯(cuò)誤的主要原因是多次使用同向不等式的可加性而導(dǎo)致了的范圍擴(kuò)大．
【試題解析】解法一：設(shè)=m＋n(m、n為待定系數(shù))，則4a?2b=m(a?b)＋n(a＋b)，即4a?2b=(m＋n)a＋(n?m)b，于是得，解得.∴=3＋．
又∵1≤≤2,2≤≤4，∴5≤3＋≤10，即5≤≤10.
解法二：由，得，∴=4a?2b=3＋．
又∵1≤≤2,2≤≤4，∴5≤3＋≤10，即5≤≤10.
解法三：由題意，得，確定的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示.

當(dāng)=4a?2b過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最小值；
當(dāng)=4a?2b過(guò)點(diǎn)B(3,1)時(shí)，取得最大值4×3?2×1=10，∴5≤≤10.
【答案】

（1）此類問(wèn)題的一般解法：先建立待求整體與已知范圍的整體的關(guān)系，最后通過(guò)“一次性”使用不等式的運(yùn)算求得整體范圍；
（2）求范圍問(wèn)題如果多次利用不等式的性質(zhì)有可能擴(kuò)大變量取值范圍．

1．已知，滿足，則的取值范圍是
A． B．
C． D．
【答案】A

【名師點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法，考查不等式的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．該問(wèn)題是已知不等關(guān)系求范圍的問(wèn)題，可以用待定系數(shù)法來(lái)解決．
易錯(cuò)點(diǎn)2 忽略不等式性質(zhì)成立的條件


給出下列命題：
①若,則； ②若，則；
③若且,則； ④若,則.
其中正確命題的序號(hào)是 .
【錯(cuò)解】①,又,則，故①正確；②當(dāng)時(shí)，,故②不正確；
③正確；④由知,∴，故,故④不正確.故填①③.
【錯(cuò)因分析】①③忽略了不等式性質(zhì)成立的條件；④中的推論顯然不正確.
【試題解析】①當(dāng)abb>0?a0?an>bn(n∈N*，n>1)”成立的條件是“n為大于1的自然數(shù)，a>b>0”，假如去掉“n為大于1的自然數(shù)”這個(gè)條件，取n＝－1，a＝3，b＝2，那么就會(huì)出現(xiàn)“3－1>2－1”的錯(cuò)誤結(jié)論；假如去掉“b>0”這個(gè)條件，取a＝3，b＝－4，n＝2，那么就會(huì)出現(xiàn)“32>(－4)2”的錯(cuò)誤結(jié)論．

2．下列不等式中，正確的是
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【答案】A

【名師點(diǎn)睛】本題考查不等式的性質(zhì)，注意正、負(fù)號(hào)的應(yīng)用.根據(jù)不等式的性質(zhì)和代特殊值逐一排除即可.
錯(cuò)點(diǎn)3 忽略對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)的討論導(dǎo)致錯(cuò)誤


已知關(guān)于x的不等式mx2＋mx＋m－1＜0恒成立，則m的取值范圍為_(kāi)_____________．
【錯(cuò)解】由于不等式mx2＋mx＋m－1＜0對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，
所以m＜0且Δ＝m2－4m(m－1)＜0，
解得m＜0．故實(shí)數(shù)m的取值范圍為(－∞，0)．
【錯(cuò)因分析】由于本題中x2的系數(shù)含有參數(shù)，且當(dāng)m＝0時(shí)不等式不是一元二次不等式，因此必須討論m的值是否為0．而錯(cuò)解中直接默認(rèn)不等式為一元二次不等式，從而采用判別式法處理導(dǎo)致漏解．
【試題解析】由于不等式mx2＋mx＋m－1＜0對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，
當(dāng)m＝0時(shí)，－1＜0恒成立；當(dāng)m≠0時(shí)，易知m＜0且Δ＝m2－4m(m－1)＜0，解得m＜0．
綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍為(－∞，0]．學(xué)*科網(wǎng)
【答案】(－∞，0]

解一元二次不等式的一般步驟
一化：把不等式變形為二次項(xiàng)系數(shù)大于零的標(biāo)準(zhǔn)形式．
二判：計(jì)算對(duì)應(yīng)方程的判別式．
三求：求出對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根，或根據(jù)判別式說(shuō)明方程有沒(méi)有實(shí)根．
四寫：利用“大于取兩邊，小于取中間”寫出不等式的解集．

3．已知命題“”為真命題,則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.
【答案】

【名師點(diǎn)睛】不等式的解是全體實(shí)數(shù)(或恒成立)的條件是當(dāng)時(shí)，或當(dāng)時(shí)，；不等式的解是全體實(shí)數(shù)(或恒成立)的條件是當(dāng)時(shí)，或當(dāng)時(shí)，．

解不等式恒成立問(wèn)題的技巧
(1)對(duì)于一元二次不等式恒成立問(wèn)題，恒大于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸上方，恒小于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸下方．另外常轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值或用分離參數(shù)法求最值．
(2)解決恒成立問(wèn)題一定要搞清誰(shuí)是主元，誰(shuí)是參數(shù)．一般地，知道誰(shuí)的范圍，誰(shuí)就是主元，求誰(shuí)的范圍，誰(shuí)就是參數(shù).
易錯(cuò)點(diǎn)4 解含參不等式時(shí)不能正確分類導(dǎo)致錯(cuò)誤

解不等式．
【錯(cuò)解】原不等式可化為，即，
等價(jià)于，即，
因?yàn)?，所?br /> 當(dāng)，即或時(shí)，；
當(dāng)，即時(shí)，；
當(dāng)，即時(shí)，．
綜上，當(dāng)或時(shí)，原不等式的解集為或；
當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；學(xué).科網(wǎng)
當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為或．
【錯(cuò)因分析】顯然當(dāng)a＝0時(shí)，原不等式是不成立的，故上述求解過(guò)程是錯(cuò)誤的．實(shí)際上錯(cuò)解中的變形非同解變形，因?yàn)閍－1的符號(hào)是不確定的，錯(cuò)解中僅考慮了當(dāng)a－1＞0時(shí)的情況．
【試題解析】顯然當(dāng)時(shí)，原不等式是不成立的．
當(dāng)a≠0時(shí)原不等式可化為，即，
等價(jià)于(*)，
當(dāng)時(shí)，(*)式可轉(zhuǎn)化為，即，即．
當(dāng)時(shí)，(*)式可轉(zhuǎn)化為．
當(dāng)時(shí)，(*)式可轉(zhuǎn)化為．
又當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)或時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，．
綜上，當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為或；
當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；
當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；
當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；
當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為．

在求解此類問(wèn)題時(shí)，既要討論不等式中相關(guān)系數(shù)的符號(hào)，也要討論相應(yīng)方程兩個(gè)根的大?。诓坏仁睫D(zhuǎn)化的過(guò)程中，要特別注意等價(jià)性；在比較兩根的大小時(shí)，也要注意等價(jià)性，否則將導(dǎo)致分類討論不完全而出錯(cuò)．

4．已知，其中.
（1）解關(guān)于的不等式；
（2）若時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的范圍.
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）.

（2）時(shí),不等式恒成立即為恒成立,
∴，
∴，
∴.
【名師點(diǎn)睛】（1）本題主要考查一元二次不等式的解法和不等式的恒成立問(wèn)題，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理轉(zhuǎn)化能力.
（2）解答第2問(wèn)的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化，先轉(zhuǎn)化為恒成立，再轉(zhuǎn)化為恒成立，即得m的取值范圍.

解含有參數(shù)的一元二次不等式的步驟：
(1)二次項(xiàng)系數(shù)若含有參數(shù)應(yīng)討論是等于0，小于0，還是大于0，然后將不等式轉(zhuǎn)化為二次項(xiàng)系數(shù)為正的形式．學(xué)科@網(wǎng)
(2)判斷方程的根的個(gè)數(shù)，討論判別式Δ與0的關(guān)系．
(3)確定無(wú)根時(shí)可直接寫出解集，確定方程有兩個(gè)根時(shí)，要討論兩根的大小關(guān)系，從而確定解集形式.
易錯(cuò)點(diǎn)5 不能準(zhǔn)確把握目標(biāo)函數(shù)的幾何意義致誤

設(shè)變量x，y滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)z=3x?2y的最小值為
A．?5 B．?4
C．?2 D．3
【錯(cuò)解】不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，由圖可知，當(dāng)直線z=3x?2y平移到過(guò)點(diǎn)(1,0)時(shí)取得最小值，即zmin=3×1?2×0=3.故選D.

【錯(cuò)因分析】本題易出現(xiàn)以下兩個(gè)錯(cuò)誤：一是理所當(dāng)然地把目標(biāo)函數(shù)“z”跟“截距”畫(huà)上等號(hào)，沒(méi)有正確理解目標(biāo)函數(shù)的意義致錯(cuò)；二是不能正確區(qū)分直線斜率的“陡峭”程度，導(dǎo)致最優(yōu)解不正確，相應(yīng)地導(dǎo)致目標(biāo)函數(shù)的最小值求解錯(cuò)誤．
【試題解析】不等式組表示的平面區(qū)域是如圖所示的陰影部分，結(jié)合圖形，可知當(dāng)直線3x?2y=z平移到過(guò)點(diǎn)(0,2)時(shí)，z=3x?2y的值最小，最小值為?4，故選B.


形如z=Ax＋By(B≠0)，即，為該直線在y軸上的截距，z的幾何意義就是該直線在y軸上截距的B倍，至于z與截距能否同時(shí)取到最值，還要看B的符號(hào)．

5．若實(shí)數(shù)，滿足約束條件則的最大值是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由實(shí)數(shù)，滿足約束條件作出可行域，如圖.


【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃和二元一次不等式組，在求目標(biāo)函數(shù)的最值時(shí)根據(jù)的幾何意義，將其轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到點(diǎn)距離的平方，從而得到結(jié)果。學(xué)科/網(wǎng)
易錯(cuò)點(diǎn)6 忽略等號(hào)成立的一致性導(dǎo)致錯(cuò)誤

若x＞0，y＞0，且x＋2y＝1，則的最小值為_(kāi)______________．
【錯(cuò)解】因?yàn)閤＞0，y＞0，所以1＝x＋2y≥，即8xy≤1，即xy≤，故≥8．
因?yàn)椤?，所以≥．故的最小值為?br /> 【錯(cuò)因分析】在求解過(guò)程中使用了兩次基本不等式：x＋2y≥，≥，但這兩次取“＝”需滿足x＝2y與x＝y(tǒng)，互相矛盾，所以“＝”不能同時(shí)取到，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤．
【試題解析】因?yàn)閤＋2y＝1，x＞0，y＞0，所以＝，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時(shí)取等號(hào)．故的最小值為．

連續(xù)應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，要注意各不等式取等號(hào)時(shí)的條件是否一致，若不能同時(shí)取等號(hào)，則連續(xù)用基本不等式是求不出最值的，此時(shí)要對(duì)原式進(jìn)行適當(dāng)?shù)牟鸱只蚝喜?，直到取等?hào)的條件成立．

6．若正數(shù)滿足，則的最大值為
A． B．
C． D．
【答案】A

故選A.學(xué)#科網(wǎng)
【名師點(diǎn)睛】本題考查了基本不等式的簡(jiǎn)單應(yīng)用，關(guān)鍵要注意“1”的靈活應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

一、不等關(guān)系與不等式
1．比較大小的常用方法
（1）作差法的一般步驟是：作差，變形，定號(hào)，得出結(jié)論．
注意：只需要判斷差的符號(hào)，至于差的值究竟是什么無(wú)關(guān)緊要，通常將差化為完全平方式的形式或者多個(gè)因式的積的形式.
（2）作商法的一般步驟是：作商，變形，判斷商與1的大小，得出結(jié)論．
注意：作商時(shí)各式的符號(hào)為正，若都為負(fù)，則結(jié)果相反.
（3）介值比較法：
①介值比較法的理論根據(jù)是：若a>b,b>c,則a>c，其中b是a與c的中介值.
②介值比較法的關(guān)鍵是通過(guò)不等式的恰當(dāng)放縮，找出一個(gè)比較合適的中介值.
2．不等式的性質(zhì)及應(yīng)用
（1）應(yīng)用不等式性質(zhì)解題的指導(dǎo)思想：理解不等式的性質(zhì)時(shí)，首先要把握不等式性質(zhì)成立的條件，特別是實(shí)數(shù)的正負(fù)和不等式的可逆性；其次，要關(guān)注常見(jiàn)函數(shù)的單調(diào)性對(duì)于理解不等式性質(zhì)的指導(dǎo)性.
（2）解決此類問(wèn)題常用的兩種方法：一是直接使用不等式的性質(zhì)逐個(gè)驗(yàn)證；二是利用特殊值法排除錯(cuò)誤答案．利用不等式的性質(zhì)判斷不等式是否成立時(shí)要特別注意前提條件．
3．求代數(shù)式的取值范圍的一般思路
（1）借助性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為同向不等式相加進(jìn)行解答；
（2）借助所給條件整體使用，切不可隨意拆分所給條件；
（3）結(jié)合不等式的傳遞性進(jìn)行求解；
（4）要注意不等式同向可乘性的適用條件及整體思想的運(yùn)用.
二、一元二次不等式及其解法
1．解一元二次不等式的一般步驟
（1）一化：把不等式變形為二次項(xiàng)系數(shù)大于零的標(biāo)準(zhǔn)形式．
（2）二判：計(jì)算對(duì)應(yīng)方程的判別式．
（3）三求：求出對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根，或根據(jù)判別式說(shuō)明方程有沒(méi)有實(shí)根．
（4）四寫：利用“大于取兩邊，小于取中間”寫出不等式的解集．
2．解含有參數(shù)的一元二次不等式的步驟
（1）二次項(xiàng)系數(shù)若含有參數(shù)應(yīng)討論是等于0，小于0，還是大于0，然后將不等式轉(zhuǎn)化為二次項(xiàng)系數(shù)為正的形式．
（2）判斷方程的根的個(gè)數(shù)，討論判別式Δ與0的關(guān)系．
（3）確定無(wú)根時(shí)可直接寫出解集，確定方程有兩個(gè)根時(shí)，要討論兩根的大小關(guān)系，從而確定解集形式.
3．解不等式恒成立問(wèn)題的技巧
（1）對(duì)于一元二次不等式恒成立問(wèn)題，恒大于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸上方，恒小于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸下方．另外常轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值或用分離參數(shù)法求最值．即
①若在定義域內(nèi)存在最大值，則(或)恒成立(或);
②若在定義域內(nèi)存在最小值，則(或)恒成立(或);
③若在其定義域內(nèi)不存在最值，只需找到在定義域內(nèi)的最大上界(或最小下界)，即在定義域內(nèi)增大(或減小)時(shí)無(wú)限接近但永遠(yuǎn)取不到的那個(gè)值，來(lái)代替上述兩種情況下的，只是等號(hào)均可以取到.
（2）解決恒成立問(wèn)題一定要搞清誰(shuí)是主元，誰(shuí)是參數(shù)．一般地，知道誰(shuí)的范圍，誰(shuí)就是主元，求誰(shuí)的范圍，誰(shuí)就是參數(shù).
4．已知不等式的解集求參數(shù)的解題方法
已知不等式的解集求參數(shù)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是考查三個(gè)“二次”間的關(guān)系.其解題的一般思路為:
（1）根據(jù)所給解集確定相應(yīng)方程的根和二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào);
（2）由根與系數(shù)的關(guān)系，或直接代入方程，求出參數(shù)值或參數(shù)之間的關(guān)系，進(jìn)而求解.
5．簡(jiǎn)單分式不等式的解法
若與是關(guān)于的多項(xiàng)式，則不等式(或b>c,則a+b>c”是假命題,則它的否定“設(shè)存在實(shí)數(shù)a,b,c．若a>b>c,則a+b≤c”是真命題.
由于a>b>c,所以a+b>2c,又a+b≤c,所以c

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