高中數(shù)學高考專題11 統(tǒng)計-備戰(zhàn)2019年高考數(shù)學（理）之糾錯筆記系列（解析版）-試卷下載-教習網(wǎng)

?
易錯點1 不能正確區(qū)分總體、樣本、樣本容量

為了了解2016年參加市運動會的240名運動員的身高情況，從中抽取40名運動員進行測量．下列說法正確的是
A．總體是240名運動員
B．個體是每一名運動員
C．40名運動員的身高是一個個體
D．樣本容量是40
【錯解】選擇A、B、C中的一個.
【錯因分析】對于選項A、B，對總體、個體、樣本的概念把握不準，誤將考察的對象當作運動員；對于選項C，把個體和樣本混淆致誤．學科*網(wǎng)
【試題解析】選D．根據(jù)統(tǒng)計的相關概念并結合題意可得，此題的總體、個體、樣本這三個概念的考察對象都是運動員的身高，而不是運動員，并且一個個體是指一名運動員的身高，選項A，B表達的對象都是運動員，選項C未將個體和樣本理解透徹．在這個問題中，總體是240名運動員的身高，個體是每名運動員的身高，樣本是40名運動員的身高，樣本容量是40.因此選D．
【參考答案】D．

1．明確相關概念
對總體、個體、樣本、樣本容量的概念要熟練把握，要明確總體與樣本的包含關系及樣本與樣本容量的區(qū)別，如本例選項C，是對概念把握不準．
2．注意考察對象
解決考查總體、個體、樣本、樣本容量的概念問題時，關鍵是明確考察對象，根據(jù)相關的概念可知總體、個體與樣本的考察對象是相同的，如本例中選項A，B表達的對象都是運動員的身高而不是運動員．

1．某校期末考試后，為了分析該校高一年級1000名學生的學習成績，從中隨機抽取了100名學生的成績單，就這個問題來說，下面說法中正確的是
A．1000名學生是總體 B．每名學生是個體
C．每名學生的成績是所抽取的一個樣本 D．樣本的容量是100
【答案】D

【名師點睛】本題主要考查總體、個體與樣本的概念，解決成立問題的關鍵是明確考查的對象，根據(jù)有關的概念可得總體、個體與樣本的考查對象是相同的，此題屬于基礎題．
易錯點2 對隨機抽樣的概念理解不透徹

對于下列抽樣方法:
①運動員從8個跑道中隨機抽取1個跑道;②從20個零件中一次性拿出3個來檢驗質(zhì)量;③某班50名學生,指定其中成績優(yōu)異的2名學生參加一次學科競賽;④為了保證食品安全,從某廠提供的一批月餅中,拿出一個檢查后放回,再拿一個檢查,反復5次,拿了5個月餅進行檢查.其中,屬于簡單隨機抽樣的是_______.(把正確的序號都填上)
【錯解】②③④
【錯因分析】對簡單隨機抽樣的概念理解不透徹.
【試題解析】對于②,一次性拿出3個來檢驗質(zhì)量,違背簡單隨機抽樣特征中的“逐個”抽取;對于③,指定其中成績優(yōu)異的2名學生,不滿足等可能抽樣的要求;對于④,不滿足不放回抽樣的要求.故填①.
【參考答案】①

1．簡單隨機抽樣是不放回抽樣，抽樣過程中，每個個體被抽到的機會(概率)相等.
2．應用簡單隨機抽樣應注意的問題：
(1)一個抽樣試驗能否用抽簽法，關鍵看兩點：
一是抽簽是否方便；
二是號簽是否易攪勻．
一般地，當總體容量和樣本容量都較小時可用抽簽法．
(2)在使用隨機數(shù)表時，如遇到三位數(shù)或四位數(shù)時，可從選擇的隨機數(shù)表中的某行某列的數(shù)字計起，每三個或四個作為一個單位，自左向右選取，有超過總體號碼或出現(xiàn)重復號碼的數(shù)字舍去．
(3)簡單隨機抽樣需滿足：
①被抽取的樣本總體的個體數(shù)有限；
②逐個抽取；
③是不放回抽取；
④是等可能抽取．

2．某班50名學生中有30名男生,20名女生,用簡單隨機抽樣抽取1名學生參加某項活動,則抽到女生的可能性為
A．40% B．50%
C．60% D．
【答案】A

簡單隨機抽樣在抽樣過程中每一個個體被抽取的機會都相等(隨機抽樣的等可能性).若樣本容量為n,總體的個體數(shù)為N,則用簡單隨機抽樣時,每一個個體被抽到的可能性都是,體現(xiàn)了這種抽樣方法的客觀性和公平性.
易錯點3 對系統(tǒng)抽樣的特點理解不到位

從2003名學生中抽取一個容量為40的樣本,應如何抽取?
【錯解】將2003名學生按0001到2003編上號;將號碼隨機分成40份,每一份再用抽簽法隨機抽取一名學生,即得到了一個容量為40的樣本.學科@網(wǎng)
【錯因分析】由于2003不能被40整除,誤以為只能用簡單隨機抽樣進行抽取,對兩種抽樣方法的特點理解不到位.
【試題解析】先將2003名學生按0001到2003編上號,利用隨機數(shù)表法從中剔除3名學生,再對剩余的2000名學生重新從0001到2000編號,按編號順序分成40組,每組50人,先在第一組中用抽簽法抽出某一號,如0006,依次在其他組抽取0056,0106,…,1956,這樣就得到了一個容量為40的樣本.
【參考答案】見試題解析

1．當總體容量較大,總體可以分為均勻的幾個部分時,用系統(tǒng)抽樣較為合理,但當總體容量除以樣本容量不是整數(shù)時,要先在總體中剔除部分個體.
2．系統(tǒng)抽樣的操作步驟：
第一步編號：先將總體的N個個體編號；
第二步分段：確定分段間隔k，對編號進行分段，當(n是樣本容量)是整數(shù)時，取k=；
第三步確定首個個體：在第1段用簡單隨機抽樣確定第一個個體編號l(l≤k)；
第四步獲取樣本：按照一定的規(guī)則抽取樣本，通常是將l加上間隔k得到第2個個體編號，再加k得到第3個個體編號，依次進行下去，直到獲取整個樣本．

系統(tǒng)抽樣是等距抽樣，用系統(tǒng)抽樣法抽取樣本，當不為整數(shù)時，取，即先從總體中用簡單隨機抽樣的方法剔除(N－nk)個個體，且剔除多余的個體不影響抽樣的公平性．

3．滴滴公司為了調(diào)查消費者對滴滴打車出行的真實評價，采用系統(tǒng)抽樣方法從2000人中抽取100人做問卷調(diào)查，為此將他們隨機編號1,2，，2000，適當分組后在第一組采用簡單隨機抽樣的方法抽到的號碼為9，抽到的100人中，編號落入?yún)^(qū)間的人做問卷，編號落入?yún)^(qū)間的人做問卷，其余的人做問卷，則抽到的人中，做問卷的人數(shù)為
A． B．
C． D．
【答案】B

【名師點睛】本題主要考查系統(tǒng)抽樣的方法，屬于簡單題. 系統(tǒng)抽樣適合抽取樣本較多且個體之間沒有明顯差異的總體，系統(tǒng)抽樣最主要的特征是，所抽取的樣本相鄰編號等距離，可以利用等差數(shù)列的性質(zhì)解答.
易錯點4 對個體的入樣可能性與抽樣間隔理解不透

中央電視臺動畫城節(jié)目為了對本周的熱心觀眾給予獎勵，要從2014名小觀眾中抽取50名幸運小觀眾．先用簡單隨機抽樣從2014人中剔除14人，剩下的2000人再按系統(tǒng)抽樣方法抽取50人，則在2014人中，每個人被抽取的可能性
A．均不相等 B．不全相等
C．都相等，且為 D．都相等，且為
【錯解】選A或D.
【錯因分析】對于選項A，誤認為剔除14人，被抽取到的機會就不相等了，錯選A；
對于選項D，認為被抽取的機會相等，但利用了剔除后的數(shù)據(jù)計算，錯選D．
【試題解析】選C．因為在系統(tǒng)抽樣中，若所給的總體個數(shù)不能被樣本容量整除，則應先剔除幾個個體，本題先剔除14人，然后再分組，在剔除過程中，每個個體被剔除的機會相等．所以，每個個體被抽到的機會都相等，均為＝.學科*網(wǎng)
【參考答案】C．

1．明確系統(tǒng)抽樣的操作要領
系統(tǒng)抽樣操作要領是先將個體數(shù)較多的總體分成均衡的若干部分，然后按照預先指定的規(guī)則，從每一部分中抽取一個個體，得到所需樣本．系統(tǒng)抽樣是等距離抽樣，每個個體被抽到的機會是相等的，如本題中2000人要分為50段．
2．對系統(tǒng)抽樣合理分段
在系統(tǒng)抽樣過程中，為將整個編號分段，要確定分段間隔，當在系統(tǒng)抽樣過程中比值不是整數(shù)時，要從總體中剔除一些個體(用簡單隨機抽樣)，但每一個個體入樣的機會仍然相等．如本題中剔除14人后，每個人被抽取的可能性不變．

4．為了了解參加某次知識競賽的1252名學生的成績，決定采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量為50的樣本，那么從總體中應隨機剔除的個體數(shù)目為
A．2 B．3
C．4 D．5
【答案】A

【名師點睛】本題考查系統(tǒng)抽樣，系統(tǒng)抽樣的步驟，得到總數(shù)不能被容量整除時，應從總體中隨機剔除個體，保證整除是解題的關鍵.學科!網(wǎng)

在系統(tǒng)抽樣中,總體的每個個體被剔除的機會是均等的,也就是每個個體不被剔除的機會也是均等的,由此可知在整個抽樣過程中每個個體被抽到的機會仍然相等. 若計算為：每名志愿者被抽到的可能性為，則是錯誤的.
易錯點5 忽略分層抽樣的特點

某單位有老年人28人,中年人54人,青年人81人,為了調(diào)查他們的身體情況,需從中抽取一個容量為36的樣本,則適合的抽樣方法是
A．簡單隨機抽樣 B．系統(tǒng)抽樣
C．直接運用分層抽樣 D．先從老年人中剔除1人,再用分層抽樣
【錯解】因為總體由差異明顯的三部分組成,所以考慮用分層抽樣.因為總人數(shù)為28+54+81=163,樣本容量為36,由于按抽樣,無法得到整數(shù)解,因此考慮先剔除1人,將抽樣比變?yōu)?若從老年人中隨機地剔除1人,則老年人應抽取27×=6(人),中年人應抽取54×=12(人),青年人應抽取81×=18(人),從而組成容量為36的樣本.故選D．
【錯因分析】如果用簡單隨機抽樣先從老年人中剔除1人的話,老年人被抽到的概率顯然比其他人群小了,這不符合隨機抽樣的特征——每個個體入樣的幾率相等.注意題干明確地說“先從老年人中剔除1人”,這和以前做的從總體中隨機剔除1人是不一樣的.
【試題解析】直接運用分層抽樣,老年人、中年人和青年人中應抽取的人數(shù)分別為×28≈6,×54≈12,×81≈18,故選C．
【方法點睛】分層抽樣的一個很重要的特點是每個個體被抽到的概率是一樣的.當按照比例計算出的值不是整數(shù)時,一般是采用四舍五入的方法取值,若四舍五入后得到的樣本容量與要求的不盡相同,則可根據(jù)問題的實際意義適當處理,使之相同,這只是細節(jié)性問題,并未改變分層抽樣的本質(zhì).
【參考答案】C.

1．分層抽樣的前提和遵循的兩條原則
(1)前提：分層抽樣使用的前提是總體可以分層，層與層之間有明顯區(qū)別，而層內(nèi)個體間差異較小，每層中所抽取的個體數(shù)可按各層個體數(shù)在總體的個體數(shù)中所占比例抽取．
(2)遵循的兩條原則：
①將相似的個體歸入一類，即為一層，分層要求每層的各個個體互不交叉，即遵循不重復、不遺漏的原則；
②分層抽樣為保證每個個體等可能入樣，需遵循在各層中進行簡單隨機抽樣，每層樣本數(shù)量與每層個體數(shù)量的比等于抽樣比．
2．與分層抽樣有關問題的常見類型及解題策略：
(1)求某一層的樣本數(shù)或總體個數(shù)．可依據(jù)題意求出抽樣比，再由某層總體個數(shù)(或樣本數(shù))確定該層的樣本(或總體)數(shù)．
(2)求各層的樣本數(shù)．可依據(jù)題意，求出各層的抽樣比，再求出各層樣本數(shù)．

進行分層抽樣時應注意以下幾點：
(1)分層抽樣中分多少層、如何分層要視具體情況而定，總的原則是層內(nèi)樣本的差異要小，兩層之間的樣本差異要大，且互不重疊．
(2)為了保證每個個體等可能入樣，所有層中每個個體被抽到的可能性相同．
(3)在每層抽樣時，應采用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣的方法進行抽樣．

5．某學校老師中，型血有36人、型血有24人、型血有12人，現(xiàn)需要從這些老師中抽取一個容量為的樣本.如果采用系統(tǒng)抽樣和分層抽樣方法抽取，都不用剔除個體；如果樣本容量減少一個，則在采用系統(tǒng)抽樣時，需要在總體中剔除2個個體，則樣本容量可能為
A． B．
C． D．
【答案】C

在分層抽樣中,確定抽樣比k是抽樣的關鍵.一般地,抽樣比k=(N為總體容量,n為樣本容量),再按抽樣比k
在各層中抽取個體,就能確保抽樣的公平性.在每層抽樣時,應采用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣的方法進行.
易錯點6 誤將頻率分布直方圖的縱坐標當作頻率

中小學生的視力狀況受到社會的關注.某市有關部門從全市6萬名高一學生中隨機抽取400名學生,對他們的視力狀況進行一次調(diào)查統(tǒng)計,將所得到的有關數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖,如圖所示,從左至右五個小組的頻率之比為5∶7∶12∶10∶6,則該市6萬名高一學生中視力在[3.95,4.25)范圍內(nèi)的學生約有多少人?

【錯解】由圖可知,第五小組的頻率為0.5,所以第一小組的頻率為0.5×.
所以該市6萬名高一學生中視力在[3.95,4.25)范圍內(nèi)的學生約有60000×=25000(人).
【錯因分析】表面上看本題的回答似乎正確無誤,其實答案是錯誤的,其錯因在于沒有看懂所提供的頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)的含義,誤將該頻率分布直方圖中的縱坐標(頻率與組距的比)看成了頻率,從而導致問題的解答出錯.學科*網(wǎng)
【試題解析】由圖可知,第五小組的頻率為0.5×0.3=0.15,
所以第一小組的頻率為0.15×=0.125.
所以該市6萬名高一學生中視力在[3.95,4.25)范圍內(nèi)的學生約有60000×0.125=7500(人).
【參考答案】7500.

在數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中,縱坐標表示的是頻率與組距的比, 每個小長方形的面積＝組距×＝頻率，將頻率與組距的比錯認成頻率是初學者經(jīng)常犯的錯誤之一,解題過程中要引起足夠的重視.

1．畫頻率分布直方圖的步驟
（1）求極差(即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差)；
（2）決定組距與組數(shù)；
（3）將數(shù)據(jù)分組；
（4）列頻率分布表；
（5）畫頻率分布直方圖(以橫軸表示樣本分組，縱軸表示頻率與組距的比值).
2．頻率分布直方圖的性質(zhì)
（1）落在各小組內(nèi)的頻率用各小長方形的面積表示，且各小長方形的面積的和等于1.
（2）頻率分布直方圖與眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)的關系
①最高的小長方形中的某個（些）點的橫坐標即是眾數(shù)；
②中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的；
③平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中點的橫坐標之和．

繪制頻率分布直方圖的注意事項：
(1)計算極差，需要找出這組數(shù)的最大值和最小值，當數(shù)據(jù)很多時，可選一個數(shù)當參照．
(2)將一批數(shù)據(jù)分組，目的是要描述數(shù)據(jù)分布規(guī)律，要根據(jù)數(shù)據(jù)多少來確定分組數(shù)目，一般來說，數(shù)據(jù)越多，分組越多．學科!網(wǎng)
(3)將數(shù)據(jù)分組，決定分點時，一般使分點比數(shù)據(jù)多一位小數(shù)，并且把第一組的起點稍微減小一點．
(4)列頻率分布表時，可通過逐一判斷各個數(shù)據(jù)落在哪個小組內(nèi)，以“正”字確定各個小組內(nèi)數(shù)據(jù)的個數(shù)．
(5)畫頻率分布直方圖時，縱坐標表示頻率與組距的比值，一定不能標成頻率．

6．我國是世界嚴重缺水的國家，城市缺水問題較為突出，某市政府為了鼓勵居民節(jié)約用水，計劃在本市試行居民生活用水定額管理，即確定一個合理的居民月用水量標準（噸），用水量不超過的部分按平價收費，超過的部分按議價收費，為了了解全市民月用水量的分布情況，通過抽樣，獲得了100位居民某年的月用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）求直方圖中的值；
（2）已知平價收費標準為元/噸，議價收費標準為元/噸，當時，估計該市居民的月平均水費.（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替）
【答案】（1）；（2）8.42.

（2）設居民月用水量為噸，相應的水費為元，
則即，
由題設條件及月均用水量的頻率分布直方圖，得居民每月的水費數(shù)據(jù)分組與頻率分布表如下：
組號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
分組

頻率
0.04
0.08
0.15
0.20
0.26
0.15
0.06
0.04
0.02
根據(jù)題意，該市居民的月平均水費估計為
.
【名師點睛】本題考查的知識點是頻率分布直方圖，用樣本估計總體，考查計算能力，難度不大，屬于中檔題．有關頻率分布直方圖的考查常見的有:眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)的計算等，眾數(shù)即出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，中位數(shù)即最中間的數(shù)據(jù)，平均數(shù)即將所有數(shù)據(jù)加到一起，除以數(shù)據(jù)個數(shù).

頻率分布直方圖是用樣本估計總體的一種重要方法，是高考命題的一個熱點，多以選擇題或填空題的形式呈現(xiàn)，試題難度不大，多為容易題或中檔題，且主要有以下幾個命題角度：
(1)已知頻率分布直方圖中的部分數(shù)據(jù)，求其他數(shù)據(jù)．可根據(jù)頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)求出樣本與總體的關系，利用頻率和等于1就可求出其他數(shù)據(jù)．
(2)已知頻率分布直方圖，求某種范圍內(nèi)的數(shù)據(jù)．可利用圖形及某范圍結合求解．
(3)與概率有關的綜合問題，可先求出頻率，再利用古典概型等知識求解.
易錯點7 對莖葉圖的畫法規(guī)則認識不夠

某市對上下班情況作了抽樣調(diào)查,上下班時間各抽測了12輛機動車的車速如下(單位:km/h):
上班時間:30,33,18,27,32,40,26,28,21,28,35,20;
下班時間:27,19,32,29,36,29,30,22,25,16,17,30.用莖葉圖表示以上數(shù)據(jù).
【錯解】機動車行駛速度的莖葉圖如圖所示.

【錯因分析】莖葉圖對于重復出現(xiàn)的數(shù)據(jù)要重復記錄.
【試題解析】機動車行駛速度的莖葉圖如圖.

【方法點睛】畫莖葉圖需要注意,將每個數(shù)據(jù)分為莖和葉兩部分,將表示莖的數(shù)字按照大小順序由上到下排列,在寫每行葉子的時候,重復出現(xiàn)的數(shù)字應該按原次數(shù)寫入葉子部位,不能只按一次寫入.學科*網(wǎng)
【參考答案】見試題解析.

1．莖葉圖將所有兩位數(shù)的十位數(shù)字作為莖，個位數(shù)字作為葉，莖相同者共用一個莖，莖按從小到大的順序從上向下列出，共莖的葉可以按從大到小(或從小到大)的順序同行列出(也可以沒有大小順序)．
2．繪制莖葉圖的關鍵是分清莖和葉．一般地說，當數(shù)據(jù)是兩位數(shù)時，十位上的數(shù)字為“莖”，個位上的數(shù)字為“葉”；如果是小數(shù)，通常把整數(shù)部分作為“莖”，小數(shù)部分作為“葉”．解題時要根據(jù)數(shù)據(jù)的特點合理地選擇莖和葉．
3．應用莖葉圖對兩組數(shù)據(jù)進行比較時，要從數(shù)據(jù)分布的對稱性、中位數(shù)、穩(wěn)定性等幾方面來比較．
4．莖葉圖只適用于樣本數(shù)據(jù)較少的情況．

在樣本數(shù)據(jù)較少時，用莖葉圖表示數(shù)據(jù)的效果較好．它不但可以保留所有信息，而且可以隨時記錄，這對數(shù)據(jù)的記錄和表示都能帶來方便．但是當樣本數(shù)據(jù)較多時，莖葉圖就顯得不太方便，因為每一個數(shù)據(jù)都要在圖中占據(jù)一個空間，如果數(shù)據(jù)很多，枝葉就會很長．

7．某大學為調(diào)查來自南方和北方的同齡大學生的身高差異，從2016級的年齡在18～19歲之間的大學生中隨機抽取了來自南方和北方的大學生各10名，測量他們的身高，量出的身高如下(單位：cm)：
南方：158，170，166，169，180，175，171，176，162，163.
北方：183，173，169，163，179，171，157，175，184，166.
(1)根據(jù)抽測結果，畫出莖葉圖，對來自南方和北方的大學生的身高作比較，寫出統(tǒng)計結論．
(2)設抽測的10名南方大學生的平均身高為x cm，將10名南方大學生的身高依次輸入如圖所示的程序框圖進行運算，問輸出的s大小為多少？并說明s的統(tǒng)計學意義．
(3)為進一步調(diào)查身高與生活習慣的關系，現(xiàn)從來自南方的這10名大學生中隨機抽取2名身高不低于170 cm的學生，求身高為176 cm的學生被抽中的概率．
【答案】(1)答案見解析；(2)答案見解析；(3).
【解析】(1)莖葉圖如圖所示．統(tǒng)計結論(給出下述四個結論供參考)：①北方大學生的平均身高大于南方大學生的平均身高；②南方大學生的身高比北方大學生的身高更整齊；③南方大學生的身高的中位數(shù)為169.5 cm，北方大學生的身高的中位數(shù)是172 cm； ④南方大學生的身高基本上是對稱的，而且大多數(shù)集中在均值附近，北方大學生的身高分布較為分散．

【名師點睛】這個題目考查了概率統(tǒng)計中的莖葉圖的應用，以及如何根據(jù)條件進行評價；一般情況下高考易在這道題目中出現(xiàn)新穎的背景及應用，面對這一特點，要靜下心來認真讀題，將題目中的問題，轉化為我們熟知的知識，應用數(shù)學工具來解決.學科@網(wǎng)
易錯點8 忽略方差的統(tǒng)計意義

甲、乙兩種冬小麥實驗品種連續(xù)5年的平均單位面積產(chǎn)量如下(單位:t /km2):
品種
第1年
第2年
第3年
第4年
第5年
甲
9.8
9.9
10.1
10
10.2
乙
9.4
10.3
10.8
9.7
9.8
若某村要從中引進一種冬小麥大量種植,給出你的建議.
【錯解】由題意得(9.8+9.9+10.1+10+10.2)=10,
(9.4+10.3+10.8+9.7+9.8)=10,
甲、乙兩種冬小麥的平均產(chǎn)量都等于10,所以引進兩種冬小麥的任意一種都可以.
【錯因分析】上述錯誤在于只對兩種冬小麥的平均產(chǎn)量做了比較,而忽略了對冬小麥產(chǎn)量穩(wěn)定性的討論.
【試題解析】由題意得(9.8+9.9+10.1+10+10.2)=10,
(9.4+10.3+10.8+9.7+9.8)=10,
×[(9.8-10)2+(9.9-10)2+(10.1-10)2+(10-10)2+(10.2-10)2]=0.02,
×[(9.4-10)2+(10.3-10)2+(10.8-10)2+(9.7-10)2+(9.8-10)2]=0.244,
甲、乙兩種冬小麥的平均產(chǎn)量都等于10,且,
所以產(chǎn)量比較穩(wěn)定的為甲種冬小麥,推薦引進甲種冬小麥大量種植.
【方法點睛】平均數(shù)反映的是樣本個體的平均水平,方差和標準差則反映了樣本的波動、離散程度.對于形如“誰發(fā)揮更好、誰更穩(wěn)定、誰更優(yōu)秀”之類的題目,除比較數(shù)據(jù)的平均值外,還應該比較方差或標準差的大小,以作出更為公正、合理的判斷.
【參考答案】推薦引進甲種冬小麥大量種植.

用樣本估計總體時,樣本的平均數(shù)、標準差只是總體的平均數(shù)、標準差的近似.實際應用中，當所得數(shù)據(jù)的平均數(shù)不相等時，需先分析平均水平，再計算標準差(方差)分析穩(wěn)定情況.

1．平均數(shù)與方差都是重要的數(shù)字特征，是對總體的一種簡明的描述.
2．眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)集中趨勢的量，平均數(shù)是最重要的量.平均數(shù)反映的是樣本個體的平均水平，眾數(shù)和中位數(shù)則反映樣本中個體的“重心”.
3．數(shù)據(jù)的離散程度可以通過極差、方差或標準差來描述，極差反映了一組數(shù)據(jù)變化的最大幅度，它對一組數(shù)據(jù)中的極端值極為敏感.一般情況下,極差大,則數(shù)據(jù)波動性大;極差小,則數(shù)據(jù)波動性小.極差只需考慮兩個極端值,便于計算,但沒有考慮中間的數(shù)據(jù),可靠性較差.方差和標準差反映了數(shù)據(jù)波動程度的大?。畼藴什?、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，越波動；標準差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，越穩(wěn)定．

8．甲、乙兩種水稻試驗品種連續(xù)5年的平均單位面積產(chǎn)量如下(單位：t/hm2)，試根據(jù)這組數(shù)據(jù)估計哪一種水稻品種的產(chǎn)量比較穩(wěn)定.
品種
第1年
第2年
第3年
第4年
第5年
甲
9.8
9.9
10.1
10
10.2
乙
9.4
10.3
10.8
9.7
9.8
【答案】甲種水稻的產(chǎn)量比較穩(wěn)定
【解析】甲品種的樣本平均數(shù)為10，樣本方差為
[(9.8－10)2＋(9.9－10)2＋(10.1－10)2＋(10－10)2＋(10.2－10)2]÷5＝0.02.
乙品種的樣本平均數(shù)也為10，樣本方差為
[(9.4－10)2＋(10.3－10)2＋(10.8－10)2＋(9.7－10)2)＋(9.8－10)2]÷5＝0.244.
因為0.244＞0.02，所以，由這組數(shù)據(jù)可以認為甲種水稻的產(chǎn)量比較穩(wěn)定．
易錯點9 運用數(shù)字特征作評價時考慮不周

一次數(shù)學知識競賽中,兩組學生成績?nèi)缦?
分數(shù)
50
60
70
80
90
100
人數(shù)
甲組
2
5
10
13
14
6
乙組
4
4
16
2
12
12
經(jīng)計算,已知兩個組的平均分都是80分,請根據(jù)所學過的統(tǒng)計知識,進一步判斷這次競賽中哪個組更優(yōu)秀,并說明理由.
【錯解】由于乙組90分以上的人數(shù)比甲組90分以上的人數(shù)多,所以乙組更優(yōu)秀.
【錯因分析】對一組數(shù)據(jù)進行分析的時候,應從平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、方差、極差等多個角度進行判斷.
【試題解析】(1)甲組成績的眾數(shù)為90分,乙組成績的眾數(shù)為70分,從成績的眾數(shù)這一角度看,甲組成績好些.
(2)×[2×(50-80)2+5×(60-80)2+10×(70-80)2+13×(80-80)2+14×(90-80)2+6×(100-80)2]=172.
同理=256.
因為,所以甲組的成績比乙組的成績穩(wěn)定.
(3)甲、乙兩組成績的中位數(shù)、平均數(shù)都是80分,其中甲組成績在80分以上(含80分)的有33人,乙組成績在80分以上(含80分)的有26人,從這一角度看,甲組成績總體較好.學科/網(wǎng)
(4)從成績統(tǒng)計表看,甲組成績大于或等于90分的有20人,乙組成績大于或等于90分的有24人,所以乙組成績在高分段的人數(shù)多.同時,乙組滿分比甲組多6人,從這一角度看,乙組成績較好.
【參考答案】見解析.

1．平均數(shù)受個別極端數(shù)據(jù)(比其他數(shù)據(jù)大很多或小很多的數(shù)據(jù))的影響較大,因此若在數(shù)據(jù)中存在少量極端數(shù)據(jù)時,平均數(shù)對總體估計的可靠性較差,往往用眾數(shù)或中位數(shù)去估計總體.有時也采用剔除最大值與最小值后所得的平均數(shù)去估計總體.
2．運用數(shù)字特征進行評價時,要全面考慮各數(shù)字特征的優(yōu)缺點,從不同層面或兩兩綜合進行評價,才能得到較為可靠的估計.

9．全國大學生機器人大賽是由共青團中央，全國學聯(lián)，深圳市人民政府聯(lián)合主辦的賽事，是中國最具影響力的機器人項目，是全球獨創(chuàng)的機器人競技平臺.全國大學生機器人大賽比拼的是參賽選手們的能力，堅持和態(tài)度，展現(xiàn)的是個人實力以及整個團隊的力量.2015賽季共吸引全國240余支機器人戰(zhàn)隊踴躍報名，這些參賽戰(zhàn)隊來自全國六大賽區(qū)，150余所高等院校，其中不乏北京大學，清華大學，上海交大，中國科大，西安交大等眾多國內(nèi)頂尖高校，經(jīng)過嚴格篩選，最終由111支機器人戰(zhàn)隊參與到2015年全國大學生機器人大賽的激烈角逐之中，某大學共有“機器人”興趣團隊1000個，大一、大二、大三、大四分別有100，200，300，400個，為挑選優(yōu)秀團隊，現(xiàn)用分層抽樣的方法，從以上團隊中抽取20個團隊.
（1）應從大三抽取多少個團隊？
（2）將20個團隊分為甲、乙兩組，每組10個團隊，進行理論和實踐操作考試（共150分），甲、乙兩組的分數(shù)如下：
甲：125，141，140，137，122，114，119，139，121，142
乙：127，116，144，127，144，116，140，140，116，140
從甲、乙兩組中選一組強化訓練，備戰(zhàn)機器人大賽.從統(tǒng)計學數(shù)據(jù)看，若選擇甲組，理由是什么？若選擇乙組，理由是什么？
【答案】(1)6個團隊;(2)見解析.

（2）甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，
甲組數(shù)據(jù)的方差，乙組數(shù)據(jù)的方差，
選甲隊理由：甲、乙兩隊平均數(shù)相差不大，且，甲組成績波動小.
選乙隊理由：，且乙隊中不低于140分的團隊多，在競技比賽中，高分團隊獲勝的概率大.

本題考查分層抽樣的方法，平均數(shù)、方差的計算方法以及應用，考查用樣本的數(shù)據(jù)特征估計總體的數(shù)據(jù)特征的方法，考查運算求解能力和數(shù)據(jù)處理能力，考查運用基本知識分析解決實際問題的能力.學科!網(wǎng)
平均數(shù)：能較好地反映一組數(shù)據(jù)的總體平均水平，但易受少數(shù)極端值的影響；
方差：反映數(shù)據(jù)的波動程度，方差值越大，數(shù)據(jù)的波動越大.
易錯點10 弄錯回歸方程中，的位置

某班5名學生的數(shù)學和物理成績?nèi)缦卤恚?br />
（1）畫出散點圖.
（2）求物理成績y對數(shù)學成績x的線性回歸方程.
【錯解】（1）散點圖如圖所示：

（2）計算得，，
，
，
所以，.
所以y對x的線性回歸方程是.學科*網(wǎng)
【錯因分析】錯解中回歸方程記憶錯誤，應為.
【試題解析】（1）散點圖如圖所示：

【參考答案】.

由回歸直線方程得到的預報值不是預報變量的精確值，事實上，它是預報變量的可能取值的平均值.

1．求回歸直線方程的一般步驟：
（1）作出散點圖，依據(jù)問題所給的數(shù)據(jù)在平面直角坐標系中描點，觀察點的分布是否呈條狀分布，即是否在一條直線附近，從而判斷兩變量是否具有線性相關關系．
（2）當兩變量具有線性相關關系時，求回歸系數(shù)，寫出回歸直線方程．
（3）根據(jù)方程進行估計.
2．不要受前面學習的直線方程的影響，而將回歸方程寫為，實際上，回歸方程應為.

10．是指空氣中直徑小于或等于微米的顆粒物（也稱可入肺顆粒物）.為了探究車流量與的濃度是否相關，現(xiàn)采集到某城市周一至周五某一時間段車流量與的數(shù)據(jù)如下表：
時間
周一
周二
周三
周四
周五
車流量（萬輛）

的濃度（微克/立方米）

（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，請在所給的坐標系中畫出散點圖；
（2）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出關于的線性回歸方程；
（3）若周六同一時間段的車流量是萬輛，試根據(jù)（Ⅱ）求出的線性回歸方程，預測此時的濃度為多少（保留整數(shù)）？
參考公式：由最小二乘法所得回歸直線的方程是：，
，.
其中，稱為樣本點的中心．
【答案】（1）見解析；（2）；（3）37.
【解析】（1）散點圖如下圖所示.

（3）當時，，
所以可以預測此時的濃度約為.

回歸系數(shù)的含義是：
（1）代表x每增加一個單位,y的平均增加單位數(shù),而不是增加單位數(shù).
（2）當>0時,兩個變量呈正相關關系,含義為：x每增加一個單位,y平均增加個單位數(shù)；
當0時，表明兩個變量正相關；當r

相關試卷

相關試卷更多

相關試卷

相關試卷 更多

相關試卷更多