高中數(shù)學(xué)高考專題06 數(shù)列-備戰(zhàn)2019年高考數(shù)學(xué)（理）之糾錯筆記系列（解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

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易錯點1 忽略了n的取值

已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式．
【錯解】由，可得兩式相除可得．
【錯因分析】僅適用于且時的情況，故不能就此斷定就是數(shù)列的通項公式．
【試題解析】當(dāng)時，；當(dāng)時，由，可得兩式相除可得，故

已知數(shù)列的遞推公式求通項公式的常見類型及解法
(1)形如an＋1＝anf(n)，常用累乘法，即利用恒等式an＝a1···…·求通項公式．
(2)形如an＋1＝an＋f(n)，常用累加法．即利用恒等式an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)求通項公式．
(3)形如an＋1＝ban＋d(其中b，d為常數(shù)，b≠0,1)的數(shù)列，常用構(gòu)造法．其基本思路是：構(gòu)造an＋1＋x＝b(an＋x)(其中x＝)，則{an＋x}是公比為b的等比數(shù)列，利用它即可求出an.學(xué)科&網(wǎng)
(4)形如an＋1＝(p，q，r是常數(shù))的數(shù)列，將其變形為＝·＋.
若p＝r，則是等差數(shù)列，且公差為，可用公式求通項；
若p≠r，則采用(3)的辦法來求．
(5)形如an＋2＝pan＋1＋qan(p，q是常數(shù)，且p＋q＝1)的數(shù)列，構(gòu)造等比數(shù)列．將其變形為an＋2－an＋1＝(－q)·(an＋1－an)，則{an－an－1}(n≥2，n∈N*)是等比數(shù)列，且公比為－q，可以求得an－an－1＝f(n)，然后用累加法求得通項．
(6)形如a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝f(n)的式子，
由a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝f(n)，①
得a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝f(n－1)，②
再由①－②可得an.
(7)形如an＋1＋an＝f(n)的數(shù)列，可將原遞推關(guān)系改寫成an＋2＋an＋1＝f(n＋1)，兩式相減即得an＋2－an＝f(n＋1)－f(n)，然后按奇偶分類討論即可．
(8)形如an·an＋1＝f(n)的數(shù)列，可將原遞推關(guān)系改寫成an＋2·an＋1＝f(n＋1)，兩式作商可得，然后分奇、偶討論即可．
(9)an＋1－an＝qan＋1an(q≠0)型，將方程的兩邊同時除以an＋1an，可構(gòu)造一個等差數(shù)列．
具體步驟：對an＋1－an＝qan＋1an(q≠0)兩邊同時除以an＋1an，得到－＝q，即
－＝－q，
令bn＝，則{bn}是首項為，公差為－q的等差數(shù)列.
(10)an＝pa(n≥2，p>0)型，一般利用取對數(shù)構(gòu)造等比數(shù)列．
具體步驟：對an＝pa兩邊同取常用對數(shù)，得到lg an＝rlg an－1＋lg p，令bn＝lg an，則{bn}可歸為an＋1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0)型.

1．?dāng)?shù)列的前項和滿足，則數(shù)列的通項公式為_____________.
【答案】

【名師點睛】本題考查的知識點是數(shù)列的通項公式，其中正確理解由數(shù)列的前n項和Sn，求通項公式的方法：和步驟是解答本題的關(guān)鍵．由已知中的前項和，結(jié)合，分別討論時與時的通項公式，并由時，的值不滿足時的通項公式，故要將數(shù)列的通項公式寫成分段函數(shù)的形式．學(xué).科網(wǎng)
易錯點2 忽略數(shù)列中為0的項

設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，公差為d，且滿足，，則當(dāng)最大時，__________．
【錯解】由，得，即，由可知，解不等式組即得．又，故當(dāng)時最大．
【錯因分析】由于，所以，當(dāng)或時最大，錯解中忽略了數(shù)列中為0的項．
【試題解析】【正解1】由，得，即，由可知，解不等式組即得．故當(dāng)或時最大．
【正解2】由，可得，所以，由并結(jié)合對應(yīng)的二次函數(shù)的圖象知，當(dāng)或時最大．學(xué)科&網(wǎng)
【正解3】由，得，即，，由可知，故當(dāng)或時最大．

數(shù)列是特殊的函數(shù)關(guān)系，因此常利用函數(shù)的思想解決數(shù)列中最值問題
1．等差數(shù)列的前n項和與函數(shù)的關(guān)系
等差數(shù)列的前n項和公式為可變形為Sn＝n2＋n，令A(yù)＝，B＝a1－，則Sn＝An2＋Bn.
當(dāng)A≠0，即d≠0時，Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)，(n，Sn)在二次函數(shù)y＝Ax2＋Bx的圖象上，為拋物線y＝Ax2＋Bx上一群孤立的點．利用此性質(zhì)可解決前n項和Sn的最值問題．
2．等差數(shù)列前n項和的最值
(1)若等差數(shù)列的首項a1>0，公差d0，d0，q≠1.
∵，
則，
∴
當(dāng)且僅當(dāng)q3=2,即時取等號.
∴S9?S6的最小值為20.
15．在數(shù)列中，且，，則的通項公式為__________．
【答案】
【解析】在數(shù)列中，，，
，
，

，
上式相加：.
.學(xué)*科網(wǎng)
16．已知等差數(shù)列，若，，且，則公差__________．
【答案】或

（2）若，則
又，
，得，．
故答案為0或6．
17．（2018年理數(shù)全國卷II）記為等差數(shù)列的前項和，已知，．
（1）求的通項公式；
（2）求，并求的最小值．
【答案】（1）an=2n–9；（2）Sn=n2–8n，最小值為–16．
【解析】（1）設(shè){an}的公差為d，由題意得3a1+3d=–15．
由a1=–7得d=2．
所以{an}的通項公式為an=2n–9．
（2）由（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16．
所以當(dāng)n=4時，Sn取得最小值，最小值為–16．
【名師點睛】數(shù)列是特殊的函數(shù)，研究數(shù)列最值問題，可利用函數(shù)性質(zhì)，但要注意其定義域為正整數(shù)集這一限制條件.（1）根據(jù)等差數(shù)列前n項和公式，求出公差，再代入等差數(shù)列通項公式得結(jié)果；（2）根據(jù)等差數(shù)列前n項和公式得關(guān)于n的二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)對稱軸以及自變量為正整數(shù)求函數(shù)最值.
18．已知等差數(shù)列滿足，前項和為．
（1）求的通項公式；
（2）設(shè)等比數(shù)列滿足，，求數(shù)列的前項和．
【答案】（1）；（2）．

19．設(shè)，，數(shù)列滿足：且.
（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列的通項公式.
【答案】（1）證明見解析；（2） .
【解析】（1）由題意知：，
又，∴，
∴是以4為首項， 2為公比的等比數(shù)列.
（2）由（1）可得，故.
，
∴，
，
，
……
.
累加得：，

，
即.
而，∴. 學(xué)*科網(wǎng)
20．[2018浙江卷]已知等比數(shù)列{an}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中項．?dāng)?shù)列{bn}滿足b1=1，數(shù)列{（bn+1?bn）an}的前n項和為2n2+n．
（1）求q的值；
（2）求數(shù)列{bn}的通項公式．
【答案】（1）；（2）.
【解析】本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識，同時考查運算求解能力和綜合應(yīng)用能力.

（2）設(shè)，數(shù)列前n項和為.
由解得.

設(shè)，
所以，
因此，
又，所以.
【名師點睛】用錯位相減法求和應(yīng)注意的問題：(1)要善于識別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形；(2)在寫出“”與“”的表達(dá)式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“”的表達(dá)式；(3)在應(yīng)用錯位相減法求和時，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解.

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