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易錯點1 忽略了n的取值

已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式．
【錯解】由，可得兩式相除可得．
【錯因分析】僅適用于且時的情況，故不能就此斷定就是數(shù)列的通項公式．
【試題解析】當時，；當時，由，可得兩式相除可得，故

已知數(shù)列的遞推公式求通項公式的常見類型及解法
(1)形如an＋1＝anf(n)，常用累乘法，即利用恒等式an＝a1···…·求通項公式．
(2)形如an＋1＝an＋f(n)，常用累加法．即利用恒等式an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)求通項公式．
(3)形如an＋1＝ban＋d(其中b，d為常數(shù)，b≠0,1)的數(shù)列，常用構造法．其基本思路是：構造an＋1＋x＝b(an＋x)(其中x＝)，則{an＋x}是公比為b的等比數(shù)列，利用它即可求出an.
(4)形如an＋1＝(p，q，r是常數(shù))的數(shù)列，將其變形為＝·＋.
若p＝r，則是等差數(shù)列，且公差為，可用公式求通項；
若p≠r，則采用(3)的辦法來求．
(5)形如an＋2＝pan＋1＋qan(p，q是常數(shù)，且p＋q＝1)的數(shù)列，構造等比數(shù)列．將其變形為an＋2－an＋1＝(－q)·(an＋1－an)，則{an－an－1}(n≥2，n∈N*)是等比數(shù)列，且公比為－q，可以求得an－an－1＝f(n)，然后用累加法求得通項．
(6)形如a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝f(n)的式子，
由a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝f(n)，①
得a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝f(n－1)，②
再由①－②可得an.
(7)形如an＋1＋an＝f(n)的數(shù)列，可將原遞推關系改寫成an＋2＋an＋1＝f(n＋1)，兩式相減即得an＋2－an＝f(n＋1)－f(n)，然后按奇偶分類討論即可．
(8)形如an·an＋1＝f(n)的數(shù)列，可將原遞推關系改寫成an＋2·an＋1＝f(n＋1)，兩式作商可得，然后分奇、偶討論即可．
(9)an＋1－an＝qan＋1an(q≠0)型，將方程的兩邊同時除以an＋1an，可構造一個等差數(shù)列．
具體步驟：對an＋1－an＝qan＋1an(q≠0)兩邊同時除以an＋1an，得到－＝q，即
－＝－q，
令bn＝，則{bn}是首項為，公差為－q的等差數(shù)列.
(10)an＝pa(n≥2，p>0)型，一般利用取對數(shù)構造等比數(shù)列．
具體步驟：對an＝pa兩邊同取常用對數(shù)，得到lg an＝rlg an－1＋lg p，令bn＝lg an，則{bn}可歸為an＋1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0)型.

1．數(shù)列的前項和滿足，則數(shù)列的通項公式為_____________.
【答案】
【解析】∵數(shù)列的前項和，
∴當時，，
又∵當時，，故，故答案為.
【名師點睛】本題考查的知識點是數(shù)列的通項公式，其中正確理解由數(shù)列的前n項和Sn，求通項公式的方法：和步驟是解答本題的關鍵．由已知中的前項和，結合，分別討論時與時的通項公式，并由時，的值不滿足時的通項公式，故要將數(shù)列的通項公式寫成分段函數(shù)的形式．
易錯點2 忽略數(shù)列中為0的項


設等差數(shù)列的前n項和為，公差為d，且滿足，，則當最大時，__________．
【錯解】由，得，即，由可知，解不等式組即得．又，故當時最大．
【錯因分析】由于，所以，當或時最大，錯解中忽略了數(shù)列中為0的項．
【試題解析】 【正解1】由，得，即，由可知，解不等式組即得．故當或時最大．
【正解2】由，可得，所以，由并結合對應的二次函數(shù)的圖象知，當或時最大．
【正解3】由，得，即，，由可知，故當或時最大．

數(shù)列是特殊的函數(shù)關系，因此常利用函數(shù)的思想解決數(shù)列中最值問題
1．等差數(shù)列的前n項和與函數(shù)的關系
等差數(shù)列的前n項和公式為可變形為Sn＝n2＋n，令A＝，B＝a1－，則Sn＝An2＋Bn.
當A≠0，即d≠0時，Sn是關于n的二次函數(shù)，(n，Sn)在二次函數(shù)y＝Ax2＋Bx的圖象上，為拋物線y＝Ax2＋Bx上一群孤立的點．利用此性質可解決前n項和Sn的最值問題．
2．等差數(shù)列前n項和的最值
(1)若等差數(shù)列的首項a1>0，公差d0，d0，q≠1.
∵，
則，
∴
當且僅當q3=2,即時取等號.
∴S9?S6的最小值為20.
15．已知等差數(shù)列，若，，且，則公差__________．
【答案】或
【解析】若①，②，
②-①得.
（1）若，顯然，則 又，所以，解得，滿足題意．
（2）若，則
又，
，得，．
故答案為0或6．
16．[2018全國I文]已知數(shù)列滿足，，設．
（1）求；
（2）判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，并說明理由；
（3）求的通項公式．
【答案】（1）b1=1，b2=2，b3=4；（2）見解析；（3）an=n·2n-1．
【解析】（1）由條件可得an+1=．
將n=1代入得，a2=4a1，而a1=1，所以，a2=4．
將n=2代入得，a3=3a2，所以，a3=12．
從而b1=1，b2=2，b3=4．
（2）{bn}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列．
由條件可得，即bn+1=2bn，
又b1=1，
所以{bn}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列．
（3）由（2）可得，
所以an=n·2n-1．
【名師點睛】該題考查的是有關數(shù)列的問題，涉及到的知識點有根據(jù)數(shù)列的遞推公式確定數(shù)列的項，根據(jù)不同數(shù)列的項之間的關系，確定新數(shù)列的項，利用遞推關系整理得到相鄰兩項之間的關系確定數(shù)列是等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列通項公式求得數(shù)列的通項公式，借助于的通項公式求得數(shù)列的通項公式，從而求得最后的結果.
17．[2018全國Ⅲ文]等比數(shù)列中，．
（1）求的通項公式；
（2）記為的前項和．若，求．
【答案】（1）或；（2）6.
【解析】（1）設的公比為，由題設得．
由已知得，解得（舍去），或．
故或．
（2）若，則．由得，此方程沒有正整數(shù)解．
若，則．由得，解得．
綜上，．
18．[2018北京文]設是等差數(shù)列，且.
（1）求的通項公式；
（2）求.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）設等差數(shù)列的公差為，
∵，
∴，
又，
∴.
∴.
（2）由（1）知，
∵，
∴是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列.
∴.
∴.
【名師點睛】等差數(shù)列的通項公式及前項和共涉及五個基本量，知道其中三個可求另外兩個，體現(xiàn)了用方程組解決問題的思想.（1）設公差為，根據(jù)題意可列關于的方程組，求解，代入通項公式可得；（2）由（1）可得，進而可利用等比數(shù)列求和公式進行求解.
19．已知等差數(shù)列滿足，前項和為．
（1）求的通項公式；
（2）設等比數(shù)列滿足，，求數(shù)列的前項和．
【答案】（1）；（2） ．
【解析】（1）設的公差為，則由已知條件得，．
化簡得解得故通項公式，即．
（2）由（1）得．設的公比為,則,從而．
故的前項和．
20．設，，數(shù)列滿足：且.
（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列的通項公式.
【答案】（1）證明見解析；（2） .
【解析】（1）由題意知： ，
又，∴，
∴是以4為首項， 2為公比的等比數(shù)列.
（2）由（1）可得，故.
，
∴，
，
，
……
.
累加得： ，


，
即.
而，∴.
21．[2018浙江]已知等比數(shù)列{an}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中項．數(shù)列{bn}滿足b1=1，數(shù)列{（bn+1?bn）an}的前n項和為2n2+n．
（1）求q的值；
（2）求數(shù)列{bn}的通項公式．
【答案】（1）；（2）.
【解析】本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列、數(shù)列求和等基礎知識，同時考查運算求解能力和綜合應用能力.
（1）由是的等差中項得，
所以，解得.
由得，
因為，
所以.
（2）設，數(shù)列前n項和為.
由解得.
由（1）可知，
所以，
故，
.
設，
所以，
因此，
又，所以.
【名師點睛】用錯位相減法求和應注意的問題：(1)要善于識別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負數(shù)的情形；(2)在寫出“”與“”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準確寫出“”的表達式；(3)在應用錯位相減法求和時，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應分公比等于1和不等于1兩種情況求解.

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