考向11 對數(shù)與對數(shù)函數(shù) 【2022·全國·高考真題（文）】已知，則（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)指對互化以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可知，再利用基本不等式，換底公式可得，，然后由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可解出．【詳解】由可得，而，所以，即，所以．又，所以，即，所以．綜上，．故選：A.【2022·全國·高考真題】設(shè)，則（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)， 導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，由此確定的大小.【詳解】設(shè)，因?yàn)?/span>，當(dāng)時，，當(dāng)時，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，故，即，所以，所以，故，所以，故，設(shè)，則,令，，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時，，所以當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，即，所以故選：C. 1.在對數(shù)運(yùn)算中，先利用冪的運(yùn)算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡，然后正用對數(shù)運(yùn)算法則化簡合并.2.先將對數(shù)式化為同底數(shù)對數(shù)的和、差、倍數(shù)運(yùn)算，然后逆用對數(shù)的運(yùn)算法則，轉(zhuǎn)化為同底對數(shù)真數(shù)的積、商、冪再運(yùn)算.|3.，且是解決有關(guān)指數(shù)、對數(shù)問題的有效方法，在運(yùn)算中應(yīng)注意互化.4.識別對數(shù)函數(shù)圖象時，要注意底數(shù)以1為分界：當(dāng)時，是增函數(shù)；當(dāng)時，是減函數(shù).注意對數(shù)函數(shù)圖象恒過定點(diǎn)，且以軸為漸近線.5.一些對數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解.6.比較對數(shù)值的大小(1)若對數(shù)值同底數(shù)，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較(2)若對數(shù)值同真數(shù)，利用圖象法或轉(zhuǎn)化為同底數(shù)進(jìn)行比較(3)若底數(shù)、真數(shù)均不同，引入中間量進(jìn)行比較7.解決對數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用有以下三個步驟:(1)求出函數(shù)的定義域；(2)判斷對數(shù)函數(shù)的底數(shù)與1的大小關(guān)系，當(dāng)?shù)讛?shù)是含字母的代數(shù)式(包含單獨(dú)一個字母)時，若涉及其單調(diào)性，就必須對底數(shù)進(jìn)行分類討論；(3)判斷內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)的單調(diào)性，運(yùn)用復(fù)合函數(shù)“同增異減”原則判斷函數(shù)的單調(diào)性 1.換底公式的兩個重要結(jié)論(1)(2).其中，且，且.2.在第一象限內(nèi)，不同底的對數(shù)函數(shù)的圖象從左到右底數(shù)逐漸增大3.對數(shù)函數(shù)，且的圖象過定點(diǎn)，且過點(diǎn)，函數(shù)圖象只在第一、四象限.1.對數(shù)式的運(yùn)算(1)對數(shù)的定義：一般地，如果且，那么數(shù)叫做以為底的對數(shù)，記作，讀作以為底的對數(shù)，其中叫做對數(shù)的底數(shù)，叫做真數(shù)．(2)常見對數(shù)：①一般對數(shù)：以且為底，記為，讀作以為底的對數(shù)；②常用對數(shù)：以為底，記為；③自然對數(shù)：以為底，記為；(3) 對數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)算法則：①；；其中且；②(其中且，)；③對數(shù)換底公式：；④；       ⑤；⑥，；    ⑦和； ⑧；2.對數(shù)函數(shù)的定義及圖像(1)對數(shù)函數(shù)的定義：函數(shù) 且叫做對數(shù)函數(shù)．對數(shù)函數(shù)的圖象 圖象      性質(zhì)定義域：值域：過定點(diǎn)，即時，在上增函數(shù)在上是減函數(shù)當(dāng)時，，當(dāng)時，當(dāng)時，，當(dāng)時， 1．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（       ）A． B． C． D．2．（2022·河南·模擬預(yù)測（文））已知，，，則（       ）A． B． C． D．3．（2022·全國·模擬預(yù)測（文））已知，用科學(xué)記數(shù)法表示為，則的值約為（       ）A．8 B．9 C．10 D．114．（2022·黑龍江·雞西市第四中學(xué)三模（理））若兩個函數(shù)的圖象經(jīng)過若干次平移后能夠重合，則稱這兩個函數(shù)為“同形”函數(shù)，給出下列三個函數(shù)：，，，則（       ）A．，，為“同形”函數(shù)B．，為“同形”函數(shù)，且它們與不為“同形”函數(shù)C．，為“同形”函數(shù)，且它們與不為“同形”函數(shù)D．，為“同形”函數(shù)，且它們與不為“同形”函數(shù)5．（2022·山東·德州市教育科學(xué)研究院三模）已知對數(shù)函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)與點(diǎn)，，，，則（       ）A． B． C． D．6．（2022·河南·平頂山市第一高級中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知函數(shù)，若，則（       ）A． B． C． D．7．（2022·青海·海東市第一中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知函數(shù)，若是奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)a=______．8．（2022·福建·三明一中模擬預(yù)測）寫出一個滿足對定義域內(nèi)的任意x，y，都有的函數(shù)：___________．  1．（2022·河南安陽·模擬預(yù)測（理））已知，則（       ）A． B． C． D．2．（2022·青海·模擬預(yù)測（理））設(shè)，，，則a、b、c的大小關(guān)系為（       ）A． B．C． D．3．（2022·江蘇無錫·模擬預(yù)測）已知，則，，的大小為（       ）A． B． C． D．4．（2022·全國·模擬預(yù)測）“熵”是用來形容系統(tǒng)混亂程度的統(tǒng)計量，其計算公式為，其中i表示所有可能的微觀態(tài)，表示微觀態(tài)i出現(xiàn)的概率，為大于0的常數(shù)．則在以下四個系統(tǒng)中，混亂程度最高的是（       ）A． B．，C． D．，，5．（2022·遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測）已知實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為（       ）A． B． C． D．不存在6．（2022·全國·模擬預(yù)測（理））已知，則下列結(jié)論正確的是（       ）A． B．C． D．7．（2022·北京·北大附中三模）已知函數(shù)，則不等式的解集是（       ）A． B．C． D．8．（2022·湖北省仙桃中學(xué)模擬預(yù)測）已知是奇函數(shù)，當(dāng)時，，則的解集為（       ）A． B．C． D．9．（2022·全國·哈師大附中模擬預(yù)測（理））函數(shù)，其中，記，則（       ）A． B．C． D．10．（2022·吉林·東北師大附中模擬預(yù)測（理））已知函數(shù)，若，且，則的取值范圍是______．11．（2022·青海·大通回族土族自治縣教學(xué)研究室三模（文））若，，，則的最小值為___________.12．（2022·云南師大附中模擬預(yù)測（理））給出下列命題：①；②；③；④，其中真命題的序號是______.13．（2022·浙江紹興·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若對任意，存在使得恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為____________．14．（2022·四川·內(nèi)江市教育科學(xué)研究所三模（文））已知函數(shù)，數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，若，則數(shù)列的前項和___________.15．（2022·山西運(yùn)城·模擬預(yù)測（文））若，則__________.  1．（2022·全國·高考真題（文））已知，則（       ）A． B． C． D．2．（2022·全國·高考真題）設(shè)，則（       ）A． B． C． D．3．（2022·浙江·高考真題）已知，則（       ）A．25 B．5 C． D．4．（2021·天津·高考真題）設(shè)，則a，b，c的大小關(guān)系為（       ）A． B． C． D．5．（2020·全國·高考真題（理））若，則（       ）A． B． C． D．6．（2020·全國·高考真題（文））設(shè)，則（       ）A． B． C． D．7．（2019·天津·高考真題（理））已知，，，則的大小關(guān)系為A． B．C． D．8．（2019·全國·高考真題（文））已知，則A． B． C． D．9．（2019·全國·高考真題（理））若a>b，則A．ln(a?b)>0 B．3a<3bC．a3?b3>0 D．│a│>│b│10．（2016·全國·高考真題（理））已知，，，則A． B．C． D．11．（2018·天津·高考真題（文））已知，則的大小關(guān)系為A． B． C． D．12．（2016·全國·高考真題（文））已知，則A． B．C． D．13．（2016·全國·高考真題（文））若a＞b＞0，0＜c＜1，則A．logac＜logbc B．logca＜logcb C．ac＜bc  D．ca＞cb14．（2016·浙江·高考真題（理））已知a＞b＞1.若logab+logba=，ab=ba，則a=___，b=____.15．（2015·北京·高考真題（文）），，三個數(shù)中最大數(shù)的是         ． 1．【答案】C【解析】由，，可得.故選：C.2．【答案】D【解析】因?yàn)?/span>，，，所以.故選：D.3．【答案】B【解析】因?yàn)?/span>，，所以，所以，所以，又無限接近于，所以.故選：B.4．【答案】A【解析】解：，，故，的圖象可分別由的圖象向左平移個單位、向右平移1個單位得到，故，，為“同形”函數(shù)．故選：A．5．【答案】C【解析】設(shè)，由題意可得：，則∴，，∴故選：C．6．【答案】A【解析】令，，是R上的奇函數(shù)，，即，又，所以．故選：A．7．【答案】1【解析】由題意，，即，所以，化簡得，解得．故答案為：18．【答案】（答案不唯一）【解析】若函數(shù)，則滿足題意，故答案為：（答案不唯一）  1．【答案】D【解析】函數(shù)在上單調(diào)遞增，，則，函數(shù)在R上單調(diào)遞減，，，而，所以.故選：D2．【答案】A【解析】函數(shù)在上都是增函數(shù)，，即，，則，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，而，則，所以.故選：A3．【答案】C【解析】令函數(shù)，當(dāng)時，求導(dǎo)得：，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，，，顯然，則有，所以.故選：C4．【答案】C【解析】對選項逐一驗(yàn)證（不考慮負(fù)號和玻爾茲曼常數(shù)）．A選項：系統(tǒng)的混亂程度；B選項：系統(tǒng)的混亂程度；C選項：系統(tǒng)的混亂程度；D選項：系統(tǒng)的混亂程度，所以，，，所以最小，從而C選項對應(yīng)的系統(tǒng)混亂程度最高．故選：C.5．【答案】A【解析】又，則當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號故選：A6．【答案】D【解析】因?yàn)?/span>，所以，對于A：，，所以，故A錯誤；對于B：，所以在上為增函數(shù)，又，所以，故B錯誤；對于C：，因?yàn)?/span>，，所以，所以，故C錯誤；對于D：，因?yàn)?/span>，，所以，即，故D正確.故選：D7．【答案】D【解析】解：依題意，等價于，在同一坐標(biāo)系中作出，的圖象，如圖所示：  如圖可得的解集為：.故選：D.8．【答案】C【解析】因?yàn)?/span>是奇函數(shù)，當(dāng)時，；所以當(dāng)時，；當(dāng)時，則，所以.因?yàn)?/span>是奇函數(shù)，所以，所以.即當(dāng)時，.綜上所述：.令，則，所以不等式可化為：.當(dāng)時，不合題意舍去.當(dāng)時，對于.因?yàn)?/span>在上遞增，在上遞增，所以在上遞增.又，所以由可解得：，即，解得：.故選：C9．【答案】A【解析】，∴， ，∴，故選：A．10．【答案】【解析】的圖象如圖，因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>，所以，，所以，所以，所以，所以，所以，則，所以，令，則，當(dāng)時，，所以在上遞減，所以，所以，所以的取值范圍為，故答案為：11．【答案】【解析】∵，∴，，，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號，∴的最小值為,故答案為：12．【答案】①②④【解析】構(gòu)造函數(shù)，所以，得，當(dāng)時，；當(dāng)時，，于是在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減. 對于①，，即，又，據(jù)的單調(diào)性知成立，故①正確；對于②，，因?yàn)?/span>，所以，即，又，據(jù)的單調(diào)性知成立，故②正確；對于③，，即，又，據(jù)的單調(diào)性知成立，故③錯誤；對于④，，即，又，據(jù)的單調(diào)性可知成立，故④正確. 故答案為：①②④．13．【答案】【解析】根據(jù)題意可得只需即可，由題可知a為對數(shù)底數(shù)且或.當(dāng)時，此時在各自定義域內(nèi)都有意義，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，所以，，所以，即，可得；當(dāng)時，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，，所以，即，可得.綜上：.故答案為：.14．【答案】【解析】由且定義域?yàn)?/span>R，所以為偶函數(shù)，而，當(dāng)時等號成立，所以在R上恒成立，故要使，又是公差為2的等差數(shù)列，所以，則，故.故答案為：.15．【答案】##【解析】由，兩邊取以為底的對數(shù)，得，即.由，令，則，所以，即.設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增.由以及，則，又，所以.故答案為：.  1．【答案】A【解析】由可得，而，所以，即，所以．又，所以，即，所以．綜上，．故選：A.2．【答案】C【解析】設(shè)，因?yàn)?/span>，當(dāng)時，，當(dāng)時，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，故，即，所以，所以，故，所以，故，設(shè)，則,令，，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時，，所以當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，即，所以故選：C.3．【答案】C【解析】因?yàn)?/span>，，即，所以．故選：C.4．【答案】D【解析】，，，，，，.故選：D.5．【答案】A【解析】由得：，令，為上的增函數(shù)，為上的減函數(shù)，為上的增函數(shù)，，，，，則A正確，B錯誤；與的大小不確定，故CD無法確定.故選：A.6．【答案】B【解析】由可得，所以，所以有，故選：B.7．【答案】A【解析】利用等中間值區(qū)分各個數(shù)值的大?。?/span>【詳解】，，，故，所以．故選A．8．【答案】B【解析】則．故選B．9．【答案】C【解析】取，滿足，，知A錯，排除A；因?yàn)?/span>，知B錯，排除B；取，滿足，，知D錯，排除D，因?yàn)閮绾瘮?shù)是增函數(shù)，，所以，故選C．10．【答案】A【解析】【詳解】因?yàn)?/span>，，，因?yàn)閮绾瘮?shù)在R上單調(diào)遞增，所以，因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)在R上單調(diào)遞增，所以，即b<a<c.故選：A.11．【答案】D【解析】【詳解】分析：由題意結(jié)合對數(shù)的性質(zhì)，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和指數(shù)的性質(zhì)整理計算即可確定a,b,c的大小關(guān)系.詳解：由題意可知：，即，，即，，即，綜上可得：.本題選擇D選項.12．【答案】A【解析】【詳解】因?yàn)?/span>，且冪函數(shù)在 上單調(diào)遞增，所以b<a<c.故選A.13．【答案】B【解析】【詳解】試題分析：對于選項A，，，，而，所以，但不能確定的正負(fù)，所以它們的大小不能確定;對于選項B，,，兩邊同乘以一個負(fù)數(shù)改變不等號方向，所以選項B正確;對于選項C，利用在第一象限內(nèi)是增函數(shù)即可得到，所以C錯誤;對于選項D，利用在上為減函數(shù)易得，所以D錯誤.所以本題選B. 【考點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)14．【答案】          【解析】【詳解】試題分析：設(shè)，因?yàn)?/span>，因此指數(shù)運(yùn)算，對數(shù)運(yùn)算．在解方程時，要注意，若沒注意到，方程的根有兩個，由于增根導(dǎo)致錯誤15．【答案】【解析】【詳解】，，，所以最大. 
 

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