A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
首先求出的定義域，然后求出的單調(diào)遞增區(qū)間即可.
【詳解】
由得或
所以的定義域?yàn)?br>因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增
所以在上單調(diào)遞增
所以
故選：D
【點(diǎn)睛】
在求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)一定要先求函數(shù)的定義域.
2．（2020·全國高考真題（文））Lgistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域．有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計(jì)確診病例數(shù)I(t)(t的單位：天)的Lgistic模型：，其中K為最大確診病例數(shù)．當(dāng)I()=0.95K時(shí)，標(biāo)志著已初步遏制疫情，則約為（ ）（ln19≈3）
A．60B．63C．66D．69
【答案】C
【分析】
將代入函數(shù)結(jié)合求得即可得解.
【詳解】
，所以，則，
所以，，解得.
故選：C.
【點(diǎn)睛】
本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算，考查指數(shù)與對(duì)數(shù)的互化，考查計(jì)算能力，屬于中等題
1.在對(duì)數(shù)運(yùn)算中，先利用冪的運(yùn)算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡，然后正用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則化簡合并.
2.先將對(duì)數(shù)式化為同底數(shù)對(duì)數(shù)的和、差、倍數(shù)運(yùn)算，然后逆用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，轉(zhuǎn)化為同底對(duì)數(shù)真數(shù)的積、商、冪再運(yùn)算.
3.ab＝N?b＝lgaN(a>0，且a≠1)是解決有關(guān)指數(shù)、對(duì)數(shù)問題的有效方法，在運(yùn)算中應(yīng)注意互化.
4.識(shí)別對(duì)數(shù)函數(shù)圖象時(shí)，要注意底數(shù)a以1為分界：當(dāng)a＞1時(shí)，是增函數(shù)；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，是減函數(shù)．注意對(duì)數(shù)函數(shù)圖象恒過定點(diǎn)(1,0)，且以y軸為漸近線．
5.一些對(duì)數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解．
6. 比較對(duì)數(shù)值的大小
（1）若對(duì)數(shù)值同底數(shù)，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較
（2）若對(duì)數(shù)值同真數(shù)，利用圖象法或轉(zhuǎn)化為同底數(shù)進(jìn)行比較
（3）若底數(shù)、真數(shù)均不同，引入中間量進(jìn)行比較
7.解決對(duì)數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用有以下三個(gè)步驟：
(1)求出函數(shù)的定義域；
(2)判斷對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)與1的大小關(guān)系，當(dāng)?shù)讛?shù)是含字母的代數(shù)式(包含單獨(dú)一個(gè)字母)時(shí)，若涉及其單調(diào)性，就必須對(duì)底數(shù)進(jìn)行分類討論；
(3)判斷內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)的單調(diào)性，運(yùn)用復(fù)合函數(shù)“同增異減”原則判斷函數(shù)的單調(diào)性
1.對(duì)數(shù)的概念
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作x＝lgaN，其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).
2.對(duì)數(shù)的性質(zhì)、換底公式與運(yùn)算性質(zhì)
(1)對(duì)數(shù)的性質(zhì)：①algaN＝N；②lgaab＝b(a>0，且a≠1).
(2)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則：如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①lga(MN)＝lgaM＋lgaN；②lgaeq \f(M,N)＝lgaM－lgaN；③lgaMn＝nlgaM(n∈R)；④lgamMn＝eq \f(n,m)lgaM(m，n∈R，且m≠0).
(3)換底公式：lgbN＝eq \f(lgaN,lgab)(a，b均大于零且不等于1).
3.對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)
(1)概念：函數(shù)y＝lgax(a＞0，且a≠1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是(0，＋∞).
(2)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)
4.反函數(shù)
指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝lgax(a>0，且a≠1)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱.
【知識(shí)拓展】
1.換底公式的兩個(gè)重要結(jié)論
(1)lgab＝eq \f(1,lgba)；(2)lgambn＝eq \f(n,m)lgab.其中a>0，且a≠1，b>0，且b≠1，m，n∈R.
2.在第一象限內(nèi)，不同底的對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象從左到右底數(shù)逐漸增大.
3.對(duì)數(shù)函數(shù)y＝lgax(a>0，且a≠1)的圖象過定點(diǎn)(1，0)，且過點(diǎn)(a，1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)，－1))，函數(shù)圖象只在第一、四象限.
1．（2021·新沂市第一中學(xué)高三其他模擬）函數(shù)的定義域是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2021·合肥市第六中學(xué)高三其他模擬（理））已知，則（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·全國高三其他模擬（理））已知，，，則（ ）
A．B．C．D．
4．（2021·廣東茂名市·高三二模）（多選題）已知函數(shù)若函數(shù)有且只有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值可以是（ ）
A．-1B．0C．1D．2
1．（2021·四川遂寧市·高三三模（理））已知函數(shù)為上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，；若，，，則（ ）
A．B．
C．D．
2．（2021·四川成都市·石室中學(xué)高三三模）已知函數(shù)的圖像關(guān)于對(duì)稱，滿足，且在上遞減，若，，，則，，的大小關(guān)系為（ ）
A．B．
C．D．
3．（2021·新安縣第一高級(jí)中學(xué)高三其他模擬（文））被譽(yù)為信息論之父的香農(nóng)提出了一個(gè)著名的公式：，其中為最大數(shù)據(jù)傳輸速率，單位為bit/s：為信道帶寬，單位為：為信噪比.香農(nóng)公式在5G技術(shù)中發(fā)揮著舉足輕重的作用.當(dāng)，時(shí)，最大數(shù)據(jù)傳輸速率記為；在信道帶寬不變的情況下，若要使最大數(shù)據(jù)傳輸速率翻一番，則信噪比變?yōu)樵瓉淼亩嗌俦叮? ）
A．2B．99C．101D．9999
4．（2021·濟(jì)南市·山東師范大學(xué)附中高三其他模擬）若函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
5．（2021·廣東佛山市·高三其他模擬）（多選題）函數(shù)，下列說法正確的是（ ）
A．的定義域?yàn)?br>B．在定義域內(nèi)單調(diào)遞増
C．不等式的解集為
D．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
6．（2021·黑龍江哈爾濱市·哈九中高三月考（文））已知函數(shù)，則不等式的解集為___________.
8．（2021·全國高三其他模擬）已知不為的正實(shí)數(shù)滿足則下列不等式中一定成立的是 _____.（將所有正確答案的序號(hào)都填在橫線上）
①；② ；③；④；⑤．
9．（2019·吉林高三其他模擬（理））已知等比數(shù)列滿足，等差數(shù)列滿足，則___________.
10．（2021·山東高三其他模擬）已知數(shù)列滿足．給出定義：使數(shù)列的前項(xiàng)和為正整數(shù)的叫做“好數(shù)”，則在內(nèi)的所有“好數(shù)”的和為______．
11．（2021·遼寧鐵嶺市·高三二模）設(shè)定義域?yàn)?，已知在上單調(diào)遞減，是奇函數(shù)，則使得不等式成立的取值范圍為___________.
12．（2021·全國高三其他模擬）已知函數(shù)，函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)Q的軌跡恰好是函數(shù)的圖象．
（1）寫出的解析式：
（2）若，時(shí)，總有成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
1．（2020·全國高考真題（文））設(shè)，，，則（ ）
A．B．C．D．
2．（2008·山東高考真題（文））已知函數(shù)的圖象如圖所示，則滿足的關(guān)系是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2013·遼寧高考真題（文））已知函數(shù)
A．B．C．D．
4．（2019·北京高考真題（理））在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足，其中星等為mk的星的亮度為Ek（k=1,2）.已知太陽的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，則太陽與天狼星的亮度的比值為
A．1010.1B．10.1C．lg10.1D．
5．（2020·海南高考真題）（多選題）信息熵是信息論中的一個(gè)重要概念.設(shè)隨機(jī)變量X所有可能的取值為，且，定義X的信息熵.（ ）
A．若n=1，則H(X)=0
B．若n=2，則H(X)隨著的增大而增大
C．若，則H(X)隨著n的增大而增大
D．若n=2m，隨機(jī)變量Y所有可能的取值為，且，則H(X)≤H(Y)
6．（2020·北京高考真題）函數(shù)的定義域是____________．
7．（2019·上海高考真題）函數(shù)的反函數(shù)為___________
8．（2014·重慶高考真題（理））函數(shù)的最小值為__________．
9．（2014·廣東高考真題（理））若等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則 .
10．（2017·上海高考真題）已知數(shù)列和，其中，，的項(xiàng)是互不相等的正整數(shù)，若對(duì)于任意，的第項(xiàng)等于的第項(xiàng)，則________
1．【答案】C
【分析】
根據(jù)題意列不等式組，化簡得出結(jié)論.
【詳解】
由題意得解得或.
所以原函數(shù)的定義域?yàn)?
故選：C.
2．【答案】A
【分析】
運(yùn)用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則和換底公式進(jìn)行求解.
【詳解】
由，可得，
所以
.
故選：A
3．【答案】A
【分析】
先由對(duì)數(shù)的性質(zhì)可得，，，然后利用作差法判斷的大小即可
【詳解】
首先，，
因?yàn)?，，所以，所以，因?yàn)?，所?
故選：A.
4．【答案】BCD
【分析】
作出函數(shù)的圖象如下圖所示，將原問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，根據(jù)圖示可得實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】
根據(jù)題意，作出的圖像如下所示：
令，得，
所以要使函數(shù)有且只有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，
所以只需函數(shù)的圖像與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
根據(jù)圖形可得實(shí)數(shù)的取值范圍為，
故選：．
【點(diǎn)睛】
方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；
（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；
（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解．
1．【答案】D
【分析】
由奇函數(shù)性質(zhì)及的解析式，求得，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)單調(diào)遞減，比較數(shù)的大小，從而有.
【詳解】
當(dāng)時(shí)，，由奇函數(shù)的性質(zhì)知，
，，函數(shù)單調(diào)遞減；
又，，
則
由函數(shù)單減知，
故選：D
2．【答案】A
【分析】
根據(jù)題意得出是以2為周期的周期函數(shù)，且在上遞增函數(shù)，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求得，結(jié)合單調(diào)性，即可求解.
【詳解】
由函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，可得函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，即，
又由函數(shù)滿足，可得，即，
所以函數(shù)是以2為周期的周期函數(shù)，
則，，，
又由，且，
因?yàn)樵谏线f減，可得函數(shù)在上遞增函數(shù)，
所以，即.
故選：A.
3．【答案】C
【分析】
利用香農(nóng)公式求的值，根據(jù)的值求的值，從而就能求出信噪比變?yōu)樵瓉淼亩嗌俦?
【詳解】
當(dāng)，時(shí)，，
由，得，所以，
所以，即信噪比變?yōu)樵瓉淼?01倍.
故選：.
4．【答案】A
【分析】
由分段函數(shù)單調(diào)遞增的特性結(jié)合單調(diào)增函數(shù)的圖象特征列出不等式組求解即得.
【詳解】
因函數(shù)在R上單調(diào)遞增，
則有在上遞增，在上也遞增，
根據(jù)增函數(shù)圖象特征知，點(diǎn)不能在點(diǎn)上方，
于是得 ，解得，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
故選：A
5．【答案】AD
【分析】
分別考慮函數(shù)的定義域、單調(diào)性及對(duì)稱性就可以對(duì)每一個(gè)選項(xiàng)作出判斷.
【詳解】
要使函數(shù)有意義，則，故A正確；
，令，易知其在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，故B不正確；
由于在上單調(diào)遞減，所以對(duì)于，有，故C不正確；
令，解得，所以關(guān)于直線對(duì)稱，故D正確.
故選：AD
6．【答案】
【分析】
確定函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，然后由奇偶性與單調(diào)性解不等式．
【詳解】
函數(shù)定義域是，，是偶函數(shù)，
時(shí)，是減函數(shù)，
又，所以由得，且，解得且．
故答案為：
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查解函數(shù)不等式，解題關(guān)鍵是確定函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，然后利用函數(shù)的性質(zhì)解不等式，解題時(shí)注意函數(shù)的定義域，否則易出錯(cuò)．
7．【答案】6
【分析】
首先利用換底公式表示，再代入求值.
【詳解】
由條件得，所以.
故答案為：
8．【答案】④⑤.
【分析】
根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性先分析出的大小關(guān)系，然后結(jié)合函數(shù)性質(zhì)以及不等式的性質(zhì)逐項(xiàng)分析.
【詳解】
因?yàn)榍也粸?，由?duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，
①當(dāng)時(shí)，，所以，故①不一定成立；
②因?yàn)?，由指?shù)函數(shù)的單調(diào)性可知,故②不成立；
③當(dāng)時(shí)，，所以，故③不一定成立；
④因?yàn)?，所以，故④一定成立?br>⑤因?yàn)?，所以，故⑤一定成立?br>故答案為：④⑤.
9．【答案】10
【分析】
由已知結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)可求，然后結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解.
【詳解】
因?yàn)榈缺葦?shù)列中，，
所以，
因?yàn)椋?br>則由等差數(shù)列的性質(zhì)得.
故答案為：10.
10．【答案】2026
【分析】
先計(jì)算出數(shù)列的前項(xiàng)和，然后找到使其為正整數(shù)的，相加即可得到答案．
【詳解】
由題，
．
所以，．
因?yàn)闉檎麛?shù)，所以，即．
令，則．
因?yàn)?，所以?br>因?yàn)闉樵龊瘮?shù)，且
所以．
所以所有“好數(shù)”的和為．
故答案為：2026．
【點(diǎn)睛】
本題考查了數(shù)列的新定義、對(duì)數(shù)運(yùn)算法則，解題時(shí)應(yīng)認(rèn)真審題，找到規(guī)律，注意等比數(shù)列求前項(xiàng)和公式的靈活運(yùn)用．
11．【答案】
【分析】
根據(jù)是奇函數(shù)判斷函數(shù)的對(duì)稱中心，等價(jià)于，
等價(jià)于，即可得到關(guān)于x的不等式，求出x的范圍.
【詳解】
因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，故 圖像關(guān)于 對(duì)稱，
由題設(shè)，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，
所以等價(jià)于，
因此不等式等價(jià)于，
即 ，即 且 ，
解得取值范圍為.
故答案為：
12．【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）設(shè)是函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)，則P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)Q的坐標(biāo)在函數(shù)的圖象上得，再是函數(shù)圖象上的點(diǎn)，可得答案；
（2）求時(shí)，利用換元法求出的最小值可得答案．
【詳解】
（1）由題意，設(shè)是函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)，
則P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，
因?yàn)橐阎c(diǎn)Q在函數(shù)的圖象上，
所以，而，
所以，所以，
而是函數(shù)圖象上的點(diǎn)，
所以．
（2）當(dāng)時(shí)，
，
下面求當(dāng)時(shí)，的最小值，
令，則，
因?yàn)?，即，解得?br>所以，
又，所以，
所以，
所以時(shí)，的最小值為0，
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，總有成立，
所以，即所求m的取值范圍為．
1．【答案】A
【分析】
分別將,改寫為，，再利用單調(diào)性比較即可.
【詳解】
因?yàn)?，?br>所以.
故選：A.
【點(diǎn)晴】
本題考查對(duì)數(shù)式大小的比較，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸的思想，是一道中檔題.
2．【答案】A
【解析】
本小題主要考查正確利用對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象來比較大?。?br>由圖易得，；取特殊點(diǎn)，
，．選A．
3．【答案】D
【詳解】
試題分析：設(shè)，則，
，所以，所以答案為D.
考點(diǎn)：1.對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算律；2.換元法.
4．【答案】A
【分析】
由題意得到關(guān)于的等式，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則可得亮度的比值.
【詳解】
兩顆星的星等與亮度滿足,令,
.
故選A.
【點(diǎn)睛】
本題以天文學(xué)問題為背景,考查考生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)?信息處理能力?閱讀理解能力以及指數(shù)對(duì)數(shù)運(yùn)算.
5．【答案】AC
【分析】
對(duì)于A選項(xiàng)，求得，由此判斷出A選項(xiàng)；對(duì)于B選項(xiàng)，利用特殊值法進(jìn)行排除；對(duì)于C選項(xiàng)，計(jì)算出，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可判斷出C選項(xiàng)；對(duì)于D選項(xiàng)，計(jì)算出 ，利用基本不等式和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷出D選項(xiàng).
【詳解】
對(duì)于A選項(xiàng)，若，則，所以，所以A選項(xiàng)正確.
對(duì)于B選項(xiàng)，若，則，，
所以，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
兩者相等，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.
對(duì)于C選項(xiàng)，若，則
，
則隨著的增大而增大，所以C選項(xiàng)正確.
對(duì)于D選項(xiàng)，若，隨機(jī)變量的所有可能的取值為，且 （ ）.
.
由于，所以 ，所以 ，
所以，
所以，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：AC
【點(diǎn)睛】
本小題主要考查對(duì)新定義“信息熵”的理解和運(yùn)用，考查分析、思考和解決問題的能力，涉及對(duì)數(shù)運(yùn)算和對(duì)數(shù)函數(shù)及不等式的基本性質(zhì)的運(yùn)用，屬于難題.
6．【答案】
【分析】
根據(jù)分母不為零、真數(shù)大于零列不等式組，解得結(jié)果.
【詳解】
由題意得，
故答案為：
【點(diǎn)睛】
本題考查函數(shù)定義域，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.
7．【答案】
【分析】
求解出原函數(shù)的值域，得到反函數(shù)的定義域，再求解出反函數(shù)的解析式，得到結(jié)果.
【詳解】
當(dāng)時(shí)，，即
又
反函數(shù)為：，
【點(diǎn)睛】
本題考查反函數(shù)的求解，易錯(cuò)點(diǎn)為忽略反函數(shù)的定義域.
8．【答案】
【解析】
試題分析：
所以，當(dāng)，即時(shí)，取得最小值.
所以答案應(yīng)填：.
考點(diǎn)：1、對(duì)數(shù)的運(yùn)算；2、二次函數(shù)的最值.
9．【答案】.
【詳解】
由得，
所以
【點(diǎn)睛】
等差、等比數(shù)列的性質(zhì)是兩種數(shù)列基本規(guī)律的深刻體現(xiàn)，是解決等差、等比數(shù)列問題既快捷又方便的工具，應(yīng)有意識(shí)地去應(yīng)用.但在應(yīng)用性質(zhì)時(shí)要注意性質(zhì)的前提條件，有時(shí)需要進(jìn)行適當(dāng)變形. 在解決等差、等比數(shù)列的運(yùn)算問題時(shí)，經(jīng)常采用“巧用性質(zhì)、整體考慮、減少運(yùn)算量”的方法.
10．【答案】2
【詳解】
由，若對(duì)于任意的第項(xiàng)等于的第項(xiàng)，
則，則
所以，
所以.
a>1
00；
當(dāng)0

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