考向10  指數(shù)與指數(shù)函數(shù) 【2022·北京·高考真題】已知函數(shù)，則對任意實(shí)數(shù)x，有（       ）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】直接代入計(jì)算，注意通分不要計(jì)算錯(cuò)誤．【詳解】，故A錯(cuò)誤，C正確；，不是常數(shù)，故BD錯(cuò)誤；故選：C．【2022·全國·高考真題（文）】已知，則（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)指對互化以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可知，再利用基本不等式，換底公式可得，，然后由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可解出．【詳解】由可得，而，所以，即，所以．又，所以，即，所以．綜上，．故選：A. 1.指數(shù)冪的運(yùn)算首先將根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪統(tǒng)一為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，以便利用法則計(jì)算，但應(yīng)注意：(1)必須同底數(shù)冪相乘，指數(shù)才能相加；(2)運(yùn)算的先后順序.2.當(dāng)?shù)讛?shù)是負(fù)數(shù)時(shí)，先確定符號，再把底數(shù)化為正數(shù).3.運(yùn)算結(jié)果不能同時(shí)含有根號和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù).4.有關(guān)指數(shù)函數(shù)圖象問題的解題思路(1)已知函數(shù)解析式判斷其圖象，一般是取特殊點(diǎn)，判斷選項(xiàng)中的圖象是否過這些點(diǎn)，若不滿足則排除．(2)對于有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的圖象問題，一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過平移、伸縮、對稱變換而得到．特別地，當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時(shí)應(yīng)注意分類討論．(3)有關(guān)指數(shù)方程、不等式問題的求解，往往是利用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合求解．(4)根據(jù)指數(shù)函數(shù)圖象判斷底數(shù)大小的問題，可以通過直線x＝1與圖象的交點(diǎn)進(jìn)行判斷．5.利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較冪值的大小，先看能否化成同底數(shù)，能化成同底數(shù)的先化成同底數(shù)冪，再利用函數(shù)單調(diào)性比較大小，不能化成同底數(shù)的，一般引入“1”等中間量比較大小；6.利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解簡單的指數(shù)方程或不等式，先利用冪的運(yùn)算性質(zhì)化為同底數(shù)冪，再利用函數(shù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化為一般不等式求解；7.解答指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，首先判斷指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)，再利用其性質(zhì)求解。 1.畫指數(shù)函數(shù)，且的圖象，應(yīng)抓住三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn):2.在第一象限內(nèi)，指數(shù)函數(shù)且的圖象越高，底數(shù)越大.3.有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)(1)求復(fù)合函數(shù)的定義域與值域形如的函數(shù)的定義域就是的定義域.求形如的函數(shù)的值域，應(yīng)先求出的值域，再由單調(diào)性求出的值域.若的范圍不確定，則需對進(jìn)行討論.求形如的函數(shù)的值域，要先求出的值域，再結(jié)合的性質(zhì)確定出的值域.(2)判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性令，如果復(fù)合的兩個(gè)函數(shù)與的單調(diào)性相同，那么復(fù)合后的函數(shù)在上是增函數(shù)；如果兩者的單調(diào)性相異(即一增一減)，那么復(fù)合函數(shù)在上是減函數(shù).(3)研究函數(shù)的奇偶性一是定義法，即首先是定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，然后分析式子與的關(guān)系，最后確定函數(shù)的奇偶性.二是圖象法，作出函數(shù)的圖象或從已知函數(shù)圖象觀察，若圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)或軸對稱，則函數(shù)具有奇偶性.1.指數(shù)及指數(shù)運(yùn)算(1)根式的定義：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，記為，稱為根指數(shù)，稱為根底數(shù)．(2)根式的性質(zhì)：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的次方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的次方根是一個(gè)負(fù)數(shù).當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的次方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù).(3)指數(shù)的概念：指數(shù)是冪運(yùn)算中的一個(gè)參數(shù)，為底數(shù)，為指數(shù)，指數(shù)位于底數(shù)的右上角，冪運(yùn)算表示指數(shù)個(gè)底數(shù)相乘.(4)有理數(shù)指數(shù)冪的分類①正整數(shù)指數(shù)冪；②零指數(shù)冪；③負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，；④的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于，的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義．(5)有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)①，，；②，，；③，，；④，，．2.指數(shù)函數(shù)  圖象  性質(zhì)①定義域，值域②，即時(shí)，，圖象都經(jīng)過點(diǎn)③，即時(shí)，等于底數(shù)④在定義域上是單調(diào)減函數(shù)在定義域上是單調(diào)增函數(shù)⑤時(shí)，；時(shí)，時(shí)，；時(shí)，⑥既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù) 1．（2022·甘肅·高臺(tái)縣第一中學(xué)模擬預(yù)測（文））設(shè)，且，則=（       ）A．4 B．5 C．6 D．72．（2022·青海·大通回族土族自治縣教學(xué)研究室三模（文））已知，，，則正數(shù)，，的大小關(guān)系為（       ）A． B． C． D．3．（2022·上海交大附中模擬預(yù)測）設(shè)實(shí)數(shù)且，已知函數(shù)，則__________．4．（2022·全國·模擬預(yù)測（理））已知函數(shù)為偶函數(shù)，則______．5．（2022·上海市七寶中學(xué)模擬預(yù)測）已知集合，，則_______.6．（2022·湖北·黃岡中學(xué)三模）已知函數(shù)，則________.  1．（2022·河南·通許縣第一高級中學(xué)模擬預(yù)測（文））定義：設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，如果，使得在上的值域?yàn)?/span>，則稱函數(shù)在上為“等域函數(shù)”，若定義域?yàn)?/span>的函數(shù)（，）在定義域的某個(gè)閉區(qū)間上為“等域函數(shù)”，則的取值范圍為（       ）A． B． C． D．2．（2022·全國·鄭州一中模擬預(yù)測（理））在科學(xué)研究中，常用高德納箭頭來表示很大的數(shù).對正整數(shù)a，b，c，把記作，并規(guī)定，，則的數(shù)量級為（       ）（參考數(shù)據(jù)：）A． B． C． D．3．（2022·山東師范大學(xué)附中模擬預(yù)測）已知某電子產(chǎn)品電池充滿時(shí)的電量為3000毫安時(shí)，且在待機(jī)狀態(tài)下有兩種不同的耗電模式可供選擇.模式A：電量呈線性衰減，每小時(shí)耗電300毫安時(shí)；模式B：電量呈指數(shù)衰減，即：從當(dāng)前時(shí)刻算起，t小時(shí)后的電量為當(dāng)前電量的倍.現(xiàn)使該電子產(chǎn)品處于滿電量待機(jī)狀態(tài)時(shí)開啟A模式，并在x小時(shí)后，切換為B模式，若使其在待機(jī)10小時(shí)后有超過5％的電量，則x的取值范圍是（       ）A． B． C． D．4．（2022·江西·上饒市第一中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知，若，則n的最大值為（       ）A．9 B．10 C．11 D．125．（2022·江西·臨川一中模擬預(yù)測（理））已知函數(shù)，設(shè)為實(shí)數(shù)，且．下列結(jié)論正確的是（       ）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則6．（2022·安徽·肥東縣第二中學(xué)模擬預(yù)測（文））若，，，，則，，這三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系為（       ）A． B．C． D．7．（2022·安徽·合肥一中模擬預(yù)測（理））設(shè)函數(shù)（），若，則x的取值范圍是（       ）A． B． C． D．8．（2022·上海交大附中模擬預(yù)測）設(shè)實(shí)數(shù)且，已知函數(shù)，則__________．9．（2022·四川·成都市錦江區(qū)嘉祥外國語高級中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知函數(shù)，，記與圖像的交點(diǎn)橫，縱坐標(biāo)之和分別為與，則的值為________.10．（2022·河南·模擬預(yù)測（文））函數(shù)在的值域?yàn)?/span>______．11．（2022·新疆阿勒泰·三模（理））函數(shù)圖象過定點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，則最小值為___________.12．（2022·山西·二模（理））已知函數(shù)給出下列結(jié)論：①是偶函數(shù)；②在上是增函數(shù)；③若，則點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率恒為正．其中正確結(jié)論的序號為______．13．（2022·江蘇南通·模擬預(yù)測）若，則的最小值為_________．14．（2022·北京·一模）若函數(shù)的值域?yàn)?/span>，則實(shí)數(shù)的一個(gè)取值可以為___________.15．（2022·河北邯鄲·一模）不等式的解集為___________.16．（2022··模擬預(yù)測（理））已知函數(shù)，則不等式的解集為___________.17．（2022·遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測）偶函數(shù)的值域?yàn)?/span>______．18．（2022·福建龍巖·一模）已知函數(shù)，若方程有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________．19．（2022·山東臨沂·一模）已知函數(shù)，則不等式的解集是______.20．（2022·上海市七寶中學(xué)模擬預(yù)測）已知不等式，對于恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________．  1．（2022·北京·高考真題）己知函數(shù)，則對任意實(shí)數(shù)x，有（       ）A． B．C． D．2．（2022·全國·高考真題（文））已知，則（       ）A． B． C． D．3．（2020·全國·高考真題（理））若，則（       ）A． B． C． D．4．（2020·全國·高考真題（文））設(shè)，則（       ）A． B． C． D．5．（2016·全國·高考真題（理））已知，，，則A． B．C． D．6．（2014·江西·高考真題（文））已知函數(shù)f(x)=(a∈R)，若，則a=（       ）A． B． C．1 D．27．（2016·全國·高考真題（文））已知，則A． B．C． D．8．（2015·山東·高考真題（文））設(shè)則的大小關(guān)系是A． B． C． D．9．（2011·山東·高考真題（理））若點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，則的值為A．0 B． C．1 D．10．（2017·全國·高考真題（理））設(shè)函數(shù)則滿足的x的取值范圍是____________.11．（2015·山東·高考真題（理））已知函數(shù) 的定義域和值域都是 ，則_____________.12．（2015·福建·高考真題（文））若函數(shù)滿足，且在單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的最小值等于_______．13．（2013·上海·高考真題（理））方程的實(shí)數(shù)解為_________. 1．【答案】B【解析】由題意，函數(shù)，因?yàn)?/span>，可得，解得，即，所以.故選：B.2．【答案】A【解析】由，得，由，得，因此，，即，由，得，于是得，所以正數(shù)，，的大小關(guān)系為.故選：A3．【答案】1【解析】，而，則；故答案為：14．【答案】1【解析】函數(shù)為偶函數(shù)，則有，即恒成立則恒成立即恒成立則，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.故答案為：15．【答案】.【解析】，；，；.故答案為：.6．【答案】【解析】因?yàn)?/span>，則.故答案為：.1．【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上為減函數(shù)，若在其定義域的某個(gè)閉區(qū)間上為“等域函數(shù)”，則存在，（）使得，所以，消去，得，令，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上是單調(diào)增函數(shù)，所以符合條件的，不存在.當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上為增函數(shù)，若在其定義域的某個(gè)閉區(qū)間上為“等域函數(shù)”，則存在，（）使得，，即方程在上有兩個(gè)不等實(shí)根，即在上有兩個(gè)不等實(shí)根，設(shè)函數(shù)（），則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，也是最大值，所以，又，，故，即.故選：C.2．【答案】C【解析】由題意可得，，∴.∵，∴.故選:C.3．【答案】C【解析】由題意得，小時(shí)后的電量為毫安，此時(shí)轉(zhuǎn)為B模式，可得10小時(shí)后的電量為，則由題意可得，化簡得，即令，則，由題意得，則，令分別為1，2時(shí)，這個(gè)不等式左右兩邊大小相等，由函數(shù)和的圖象可知，該不等式的解集為，所以，得，故選：C4．【答案】B【解析】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，又，所以，所以，，，所以若，則n的最大值為10，故選：B.5．【答案】D【解析】，因?yàn)?/span>，均為增函數(shù)，所以為增函數(shù)，易求值域?yàn)?/span>；又，所以是奇函數(shù)，圖像關(guān)于對稱.因?yàn)?/span>，，不妨設(shè)；作出簡圖如下:設(shè)點(diǎn)，此時(shí)直線的方程為，由圖可知，兩式相加可得；因?yàn)?/span>所以，即.故選：D.6．【答案】C【解析】因?yàn)?/span>， 所以取，則，，，所以.故選：C.7．【答案】A【解析】函數(shù)，，定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，且，所以是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，，則，，所以，即，所以函數(shù)單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)當(dāng)單調(diào)遞增所以令，，解得，令，則在上單調(diào)遞增，原不等式可化為，而，所以，解得，則，即解集為．故選：A．8．【答案】1【解析】，而，則；故答案為：19．【答案】.【解析】在和上都單調(diào)遞減，且關(guān)于點(diǎn)成中心對稱，在上單調(diào)遞增，，所以的圖像也關(guān)于點(diǎn)成中心對稱，所以與圖像有兩個(gè)交點(diǎn)且關(guān)于點(diǎn)對稱，設(shè)這兩個(gè)交點(diǎn)為、，則，，所以，，所以.故答案為：.10．【答案】【解析】解：，設(shè)，當(dāng)時(shí)，，所以，所以在的值域?yàn)?/span>．故答案為：．11．【答案】##4.5【解析】當(dāng)時(shí)，，過定點(diǎn)，又點(diǎn)在直線上，，即，，，，（當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號），的最小值為.故答案為：.12．【答案】①③【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?/span>.對于①：因?yàn)?/span>，所以是偶函數(shù).故①正確；對于②：取特殊值：由，，得到，不符合增函數(shù)，可得②錯(cuò)誤；對于③：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率為.因?yàn)?/span>，所以，所以，所以.故③正確；所以正確結(jié)論的序號為①③．故答案為：①③13．【答案】【解析】依題意，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，此時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，取最小值.故答案為：14．【答案】1【解析】如果 ， ，其值域?yàn)?/span> ， ，不符合題意；如果 ，當(dāng) 時(shí)， ， 就是把函數(shù)的部分 以x軸為對稱軸翻折上去，∴此時(shí)的最小值為0，的最小值為-1，值域?yàn)?/span> ，所以 ，不妨取 ；故答案為：1.15．【答案】【解析】由，可得.令，因?yàn)?/span>均為上單調(diào)遞減函數(shù)則在上單調(diào)逆減，且，，故不等式的解集為.故答案為：.16．【答案】【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，，所以，函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，因?yàn)?/span>，則，所以，，所以，，所以，，因?yàn)?/span>，故恒成立，由可得，解得.因此，原不等式的解集為.故答案為：.17．【答案】【解析】由題設(shè)，，故，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，又，所以的值域?yàn)?/span>.故答案為：.18．【答案】【解析】由題意得：有解令有解，即有解，顯然無意義,當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等，故答案為：.19．【答案】，【解析】構(gòu)造函數(shù)，那么 是單調(diào)遞增函數(shù)，且向左移動(dòng)一個(gè)單位得到，的定義域?yàn)?/span>，且，所以 為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以 圖象關(guān)于對稱．不等式 等價(jià)于，等價(jià)于結(jié)合單調(diào)遞增可知，所以不等式的解集是，．故答案為：，．20．【答案】，，【解析】設(shè)，，則，對于，恒成立，即，對于，恒成立，∴，即，解得或，即或，解得或，綜上，的取值范圍為，，．故答案為：，，﹒1．【答案】C【解析】，故A錯(cuò)誤，C正確；，不是常數(shù)，故BD錯(cuò)誤；故選：C．2．【答案】A【解析】由可得，而，所以，即，所以．又，所以，即，所以．綜上，．故選：A.3．【答案】A【解析】由得：，令，為上的增函數(shù)，為上的減函數(shù)，為上的增函數(shù)，，，，，則A正確，B錯(cuò)誤；與的大小不確定，故CD無法確定.故選：A.4．【答案】B【解析】由可得，所以，所以有，故選：B.5．【答案】A【解析】【詳解】因?yàn)?/span>，，，因?yàn)閮绾瘮?shù)在R上單調(diào)遞增，所以，因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)在R上單調(diào)遞增，所以，即b<a<c.故選：A.6．【答案】A【解析】解：由題意得，所以，解得a=.故選：A7．【答案】A【解析】【詳解】因?yàn)?/span>，且冪函數(shù)在 上單調(diào)遞增，所以b<a<c.故選A.8．【答案】C【解析】【詳解】由在區(qū)間是單調(diào)減函數(shù)可知，，又，故選.考點(diǎn)：1.指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)；2.函數(shù)值比較大小.9．【答案】D【解析】【詳解】由題意知:9=，解得=2，所以，故選D.10．【答案】 【解析】【詳解】由題意得： 當(dāng)時(shí)，恒成立，即；當(dāng)時(shí)， 恒成立，即；當(dāng)時(shí)，，即.綜上，x的取值范圍是.11．【答案】【解析】【詳解】若 ，則 在上為增函數(shù)，所以 ，此方程組無解；若 ，則在上為減函數(shù)，所以 ，解得 ，所以.考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)的性質(zhì).12．【答案】【解析】【詳解】試題分析：根據(jù)可知函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，可知，從而可以確定函數(shù)在上是增函數(shù)，從而有，所以，故的最小值等于1.13．【答案】【解析】【詳解】試題分析：由題意有，令（），則，即.考點(diǎn)：1.換元法；2.指數(shù)，對數(shù)的運(yùn)算.  
 

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