?考向09 冪函數(shù)與二次函數(shù)

【2022·全國(guó)·高考真題（文）】已知，則（???????）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)指對(duì)互化以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可知，再利用基本不等式，換底公式可得，，然后由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可解出．
【詳解】
由可得，而，所以，即，所以．
又，所以，即，
所以．綜上，．
故選：A.
【2022·上海·高考真題】下列冪函數(shù)中，定義域?yàn)榈氖牵???????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
直接根據(jù)冪函數(shù)的定義域可直接判斷，偶次根式被開方式必須大于等于0才有意義，分式則必須分母不為0
【詳解】
對(duì)選項(xiàng)，則有：
對(duì)選項(xiàng)，則有：
對(duì)選項(xiàng)，定義域?yàn)椋?br /> 對(duì)選項(xiàng)，則有：
故答案選：

1、根據(jù)圖象高低判斷冪指數(shù)大小的方法
冪函數(shù)的冪指數(shù)的大小，大都可通過冪函數(shù)的圖象與直線的交點(diǎn)縱坐標(biāo)的大小反映.一般地，在區(qū)間上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越靠近軸(簡(jiǎn)記為“指大、圖低”)，在區(qū)間上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，圖象越遠(yuǎn)離軸(不包括冪函數(shù)，在區(qū)間上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越靠近軸(簡(jiǎn)記為“指大圖低")，在區(qū)間上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越遠(yuǎn)離軸.
2、對(duì)于函數(shù)，若是二次函數(shù)，就隱含，當(dāng)題目未說明是二次函數(shù)時(shí)，就要分和兩種情況討論.在二次函數(shù)中，的正負(fù)決定拋物線開口的方向的大小決定開口大小)確定拋物線在軸上的截距，與確定頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)(或?qū)ΨQ軸的位置).
3、根據(jù)二次函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸與單調(diào)區(qū)間的位置關(guān)系，若二次函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)，則該區(qū)間在對(duì)稱軸的一側(cè)，若二次函數(shù)在某區(qū)間上不單調(diào)，則對(duì)稱軸在該區(qū)間內(nèi)（非端點(diǎn)），
4、二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值
二次函數(shù)在閉區(qū)間上必有最大值和最小值.它只能在區(qū)間的端點(diǎn)或二次函數(shù)的頂點(diǎn)處取得，可分別求值再比較大小，最后確定最值.

1.冪函數(shù)在第一象限內(nèi)圖象的畫法如下：
①當(dāng)時(shí)，其圖象可類似畫出；
②當(dāng)時(shí)，其圖象可類似畫出；
③當(dāng)時(shí)，其圖象可類似畫出．
2．實(shí)系數(shù)一元二次方程的實(shí)根符號(hào)與系數(shù)之間的關(guān)系
（1）方程有兩個(gè)不等正根
（2）方程有兩個(gè)不等負(fù)根
（3）方程有一正根和一負(fù)根，設(shè)兩根為
3.一元二次方程的根的分布問題
一般情況下需要從以下4個(gè)方面考慮：
（1）開口方向；（2）判別式；（3）對(duì)稱軸與區(qū)間端點(diǎn)的關(guān)系；（4）區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值的正負(fù).
設(shè)為實(shí)系數(shù)方程的兩根，則一元二次的根的分布與其限定條件如表所示.
根的分布
圖像
限定條件












在區(qū)間內(nèi)
沒有實(shí)根











在區(qū)間內(nèi)
有且只有一個(gè)實(shí)根




在區(qū)間內(nèi)
有兩個(gè)不等實(shí)根


4.有關(guān)二次函數(shù)的問題，關(guān)鍵是利用圖像.
（1）要熟練掌握二次函數(shù)在某區(qū)間上的最值或值域的求法，特別是含參數(shù)的兩類問題——?jiǎng)虞S定區(qū)間和定軸動(dòng)區(qū)間，解法是抓住“三點(diǎn)一軸”，三點(diǎn)指的是區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)和區(qū)間中點(diǎn)，一軸指對(duì)稱軸.即注意對(duì)對(duì)稱軸與區(qū)間的不同位置關(guān)系加以分類討論，往往分成：①軸處在區(qū)間的左側(cè)；②軸處在區(qū)間的右側(cè)；③軸穿過區(qū)間內(nèi)部（部分題目還需討論軸與區(qū)間中點(diǎn)的位置關(guān)系），從而對(duì)參數(shù)值的范圍進(jìn)行討論.
（2）對(duì)于二次方程實(shí)根分布問題，要抓住四點(diǎn)，即開口方向、判別式、對(duì)稱軸位置及區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值正負(fù).


1.冪函數(shù)的定義
一般地，(為有理數(shù))的函數(shù)，即以底數(shù)為自變量，冪為因變量，指數(shù)為常數(shù)的函數(shù)稱為冪函數(shù).
2.冪函數(shù)的特征：同時(shí)滿足一下三個(gè)條件才是冪函數(shù)
①的系數(shù)為1； ②的底數(shù)是自變量； ③指數(shù)為常數(shù).
(3)冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)
3.常見的冪函數(shù)圖像及性質(zhì)：
函數(shù)





圖象





定義域





值域





奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
單調(diào)性
在上單調(diào)遞增
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增
在上單調(diào)遞增
在上單調(diào)遞增
在和上單調(diào)遞減
公共點(diǎn)

4.二次函數(shù)解析式的三種形式
（1）一般式：；
（2）頂點(diǎn)式：；其中，為拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)，為對(duì)稱軸方程.
（3）零點(diǎn)式：，其中，是拋物線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).
5．二次函數(shù)的圖像
二次函數(shù)的圖像是一條拋物線，對(duì)稱軸方程為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為.
（1）單調(diào)性與最值
①當(dāng)時(shí)，如圖所示，拋物線開口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增，當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，如圖所示，拋物線開口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減，當(dāng)時(shí)，；.

（2）與軸相交的弦長(zhǎng)
當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的圖像與軸有兩個(gè)交點(diǎn)和，.
6.二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值
閉區(qū)間上二次函數(shù)最值的取得一定是在區(qū)間端點(diǎn)或頂點(diǎn)處.
對(duì)二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上的最大值是，最小值是，令：
（1）若，則；
（2）若，則；
（3）若，則；
（4）若，則.


1．（2022·湖北·黃岡中學(xué)三模）已知二次函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t的最小值為（???????）
A． B． C． D．
2．（2022·寧夏·銀川一中模擬預(yù)測(cè)（文））若函數(shù)的值域?yàn)?，則 的取值范圍是（???????）
A． B． C． D．
3．（2022·山東濟(jì)南·二模）若二次函數(shù)，滿足，則下列不等式成立的是（???????）
A． B．
C． D．
4．（2022·安徽·合肥市第六中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））已知關(guān)于x的方程在區(qū)間上有實(shí)根，那么的最小值為________．
5．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·模擬預(yù)測(cè)（文））寫出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)______．
①；
②當(dāng)時(shí)，；
③；
6．（2022·四川瀘州·模擬預(yù)測(cè)（文））已知當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.



1．（2022·河北·石家莊二中模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，函數(shù)，若的最小值為，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（???????）
A． B． C． D．
2．（2022·北京昌平·二模）已知函數(shù)，則關(guān)于的不等式的解集是（???????）
A． B． C． D．
3．（2022·湖北·宜城市第一中學(xué)高三階段練習(xí)）若過點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則（???????）
A． B．
C． D．且
4．（2022·四川·宜賓市教科所三模（文））若函數(shù)的值域?yàn)?，則的取值范圍是(???????)
A． B． C． D．
5．（2022·廣東佛山·二模）設(shè)且，函數(shù)，若，則下列判斷正確的是（　　）
A．的最大值為-a B．的最小值為-a
C． D．
6．（2022·北京市第十二中學(xué)三模）若函數(shù)的值域?yàn)镽，則a的取值范圍是（???????）
A． B．
C． D．
7．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（???????）
A． B． C． D．
8．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)是冪函數(shù)，直線過點(diǎn)，則的取值范圍是（???????）
A． B． C． D．
9．（2022·北京·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)是冪函數(shù)，對(duì)任意，，且，滿足，若，，且，則的值（???????）
A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．無法判斷
10．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的值是（???????）
A．1 B． C．1或 D．
二、填空題
11．（2022·廣東·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的最大值為，若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．
12．（2022·江蘇南通·高三期末）已知函數(shù)若，則的最大值為_________．
13．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)，，，當(dāng)時(shí)，，且的最大值為，則_______．
14．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知為常數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，則____．
15．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)二次函數(shù)的值域?yàn)?，則的最大值為__________.
16．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））已知函數(shù)，若函數(shù)的值域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______________．
17．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，若在區(qū)間上的最大值是3，則的取值范圍是______.

1．（2021·湖南·高考真題）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（???????）
A． B． C． D．
2．（2015·山東·高考真題）關(guān)于函數(shù)，以下表達(dá)錯(cuò)誤的選項(xiàng)是（???????）
A．函數(shù)的最大值是1 B．函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是直線
C．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是 D．函數(shù)圖象過點(diǎn)
3．（2013·浙江·高考真題（文））已知a，b，c∈R，函數(shù)f (x)＝ax2＋bx＋c.若f (0)＝f （4）>f （1），則（???????）
A．a(chǎn)>0，4a＋b＝0 B．a(chǎn)0，2a＋b＝0 D．a(chǎn)f （1），f （4）>f （1），∴f (x)先減后增，于是a>0，
故選：A.
4．【答案】B
【解析】
【詳解】
因?yàn)樽钪翟谥腥?，所以最值之差一定與無關(guān)，選B．
5．【答案】D
【解析】
【詳解】
由于當(dāng)時(shí)，在時(shí)取得最小值，由題意當(dāng)時(shí)，應(yīng)該是遞減的，則，此時(shí)最小值為，因此，解得，選D．
【考點(diǎn)】分段函數(shù)的單調(diào)性與最值問題．
6．【答案】A
【解析】由可得，而，所以，即，所以．
又，所以，即，
所以．綜上，．
故選：A.
7．【答案】C
【解析】對(duì)選項(xiàng)，則有：
對(duì)選項(xiàng)，則有：
對(duì)選項(xiàng)，定義域?yàn)椋?br /> 對(duì)選項(xiàng)，則有：
故答案選：
8．【答案】9．
【解析】
【詳解】
的值域?yàn)椋?br /> ，

又的解集為，
是方程的兩根.
由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得，解得.
9．【答案】
【解析】
【詳解】
試題分析：，所以當(dāng)時(shí)，取最大值1；當(dāng) 時(shí)，取最小值.因此的取值范圍為.
10．【答案】．
【解析】
【詳解】
因?yàn)楹瘮?shù)，所以分以下幾種情況對(duì)其進(jìn)行討論：
①當(dāng)時(shí)，函數(shù)
在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以；
②當(dāng)時(shí)，此時(shí)
，，而，所以；
③當(dāng)
時(shí)，在區(qū)間上遞增，在上遞減．當(dāng)時(shí)，取得最
大值；
④當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上遞增，當(dāng)時(shí)，取得最
大值，
則在上遞減，上遞增，即當(dāng)
時(shí)，的值最小．
故答案為：．
考點(diǎn)：本題考查分段函數(shù)的最值問題和函數(shù)在區(qū)間上的最值問題，屬高檔題．
11．【答案】
【解析】，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以
故答案為：
12．【答案】（1）年產(chǎn)量為100噸時(shí)，平均成本最低為16萬元；（2）年產(chǎn)量為110噸時(shí)，最大利潤(rùn)為860萬元.
【解析】（1），

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即取“=”，符合題意；
∴年產(chǎn)量為100噸時(shí)，平均成本最低為16萬元.
（2）
又，∴當(dāng)時(shí)，.
答：年產(chǎn)量為110噸時(shí)，最大利潤(rùn)為860萬元.



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