考向08 函數(shù)的奇偶性、周期性與對稱性（重點）-備戰(zhàn)2023年高考數(shù)學一輪復(fù)習考點微專題（新高考地區(qū)專用）（原卷版）-試卷下載-教習網(wǎng)

?考向08 函數(shù)的奇偶性、周期性與對稱性

【2022年新高考全國Ⅰ卷】（多選題）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，若，均為偶函數(shù)，則（???????）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】
【分析】
轉(zhuǎn)化題設(shè)條件為函數(shù)的對稱性，結(jié)合原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象的關(guān)系，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)逐項判斷即可得解.
【詳解】
因為，均為偶函數(shù)，
所以即，，
所以，，則，故C正確；
函數(shù)，的圖象分別關(guān)于直線對稱，
又，且函數(shù)可導(dǎo)，
所以，
所以，所以，
所以，，故B正確，D錯誤；
若函數(shù)滿足題設(shè)條件，則函數(shù)（C為常數(shù)）也滿足題設(shè)條件，所以無法確定的函數(shù)值，故A錯誤.
故選：BC.
【點睛】
關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化題干條件為抽象函數(shù)的性質(zhì)，準確把握原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象間的關(guān)系，準確把握函數(shù)的性質(zhì)（必要時結(jié)合圖象）即可得解.

【2022年新高考全國II卷】已知函數(shù)的定義域為R，且，則（???????）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)題意賦值即可知函數(shù)的一個周期為，求出函數(shù)一個周期中的的值，即可解出．
【詳解】
因為，令可得，，所以，令可得，，即，所以函數(shù)為偶函數(shù)，令得，，即有，從而可知，，故，即，所以函數(shù)的一個周期為．
因為，，，，，所以
一個周期內(nèi)的．由于22除以6余4，
所以．
故選：A．

1.奇偶性技巧
(1)函數(shù)具有奇偶性的必要條件是其定義域關(guān)于原點對稱.
(2)奇偶函數(shù)的圖象特征.
函數(shù)是偶函數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱；
函數(shù)是奇函數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于原點中心對稱.
(3)若奇函數(shù)在處有意義，則有；
偶函數(shù)必滿足.
(4)偶函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上單調(diào)性相反；奇函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上單調(diào)性相同.
(5)若函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，則函數(shù)能表示成一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)的和的形式.記，，則.
(6)運算函數(shù)的奇偶性規(guī)律：運算函數(shù)是指兩個（或多個）函數(shù)式通過加、減、乘、除四則運算所得的函數(shù)，如.
對于運算函數(shù)有如下結(jié)論：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；
奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶.
(7)復(fù)合函數(shù)的奇偶性原來：內(nèi)偶則偶，兩奇為奇.
(8)常見奇偶性函數(shù)模型
奇函數(shù)：①函數(shù)或函數(shù)．
②函數(shù)．
③函數(shù)或函數(shù)
④函數(shù)或函數(shù)．
注意：關(guān)于①式，可以寫成函數(shù)或函數(shù)．
偶函數(shù)：①函數(shù)．
②函數(shù)．
③函數(shù)類型的一切函數(shù)．
④常數(shù)函數(shù)
2.周期性技巧

3.函數(shù)的的對稱性與周期性的關(guān)系
（1）若函數(shù)有兩條對稱軸，，則函數(shù)是周期函數(shù)，且；
（2）若函數(shù)的圖象有兩個對稱中心，則函數(shù)是周期函數(shù)，且；
（3）若函數(shù)有一條對稱軸和一個對稱中心，則函數(shù)是周期函數(shù)，且.
4.對稱性技巧
（1）若函數(shù)關(guān)于直線對稱，則．
（2）若函數(shù)關(guān)于點對稱，則．
（3）函數(shù)與關(guān)于軸對稱，函數(shù)與關(guān)于原點對稱．

1.(1)如果一個奇函數(shù)在原點處有定義，即有意義，那么一定有.
(2)如果函數(shù)是偶函數(shù)，那么.
2.奇函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性
3.函數(shù)周期性常用結(jié)論
對定義域內(nèi)任一自變量的值:
(1)若，則.
(2)若，則.
(3)若，則.
4.對稱性的三個常用結(jié)論
(1)若函數(shù)是偶函數(shù)，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.
(2)若對于上的任意都有或，則的圖象關(guān)于直線對稱.
(3)若函數(shù)是奇函數(shù)，則函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱.
5.兩個奇偶函數(shù)四則運算的性質(zhì)
（1）兩個奇函數(shù)的和仍為奇函數(shù)；
（2）兩個偶函數(shù)的和仍為偶函數(shù)；
（3）兩個奇函數(shù)的積是偶函數(shù)；
（4）兩個偶函數(shù)的積是偶函數(shù)；
（5）一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的積是奇函數(shù)。

1．函數(shù)的奇偶性
函數(shù)奇偶性的定義及圖象特點
奇偶性
定義
圖象特點
偶函數(shù)
如果對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個，都有，那么函數(shù)就叫做偶函數(shù)
關(guān)于軸對稱
奇函數(shù)
如果對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個，都有，那么函數(shù)就叫做奇函數(shù)
關(guān)于原點對稱
判斷與的關(guān)系時，也可以使用如下結(jié)論：如果或，則函數(shù)為偶函數(shù)；如果或，則函數(shù)為奇函數(shù)．
注意：由函數(shù)奇偶性的定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個前提條件是：對于定義域內(nèi)的任意一個，也在定義域內(nèi)(即定義域關(guān)于原點對稱)．
2．函數(shù)的對稱性
(1)若函數(shù)為偶函數(shù)，則函數(shù)關(guān)于對稱．
(2)若函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)關(guān)于點對稱．
(3)若，則函數(shù)關(guān)于對稱．
(4)若，則函數(shù)關(guān)于點對稱．
3.函數(shù)的周期性
（1）周期函數(shù)：
對于函數(shù)，如果存在一個非零常數(shù)，使得當取定義域內(nèi)的任何值時，都有，那么就稱函數(shù)為周期函數(shù)，稱為這個函數(shù)的周期.
（2）最小正周期：
如果在周期函數(shù)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么稱這個最小整數(shù)叫做的最小正周期.

1．（2022·全國·模擬預(yù)測（理））若冪函數(shù)滿足，則下列關(guān)于函數(shù)的說法正確的是（???????）
①不是周期函數(shù)?????????????②是單調(diào)函數(shù)?????????????③關(guān)于原點對稱?????????????④關(guān)于點對稱
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
2．（2022·吉林吉林·模擬預(yù)測（文））定義在R上的函數(shù)滿足，且函數(shù)為奇函數(shù)．當時，，則（???????）
A．－2 B．2 C．3 D．
3．（2022·河南·平頂山市第一高級中學模擬預(yù)測（文））已知函數(shù)，若，則（???????）
A． B． C． D．
4．（2022·青?！ご笸ɑ刈逋磷遄灾慰h教學研究室三模（文））若函數(shù)滿足，且當時，，則（???????）
A． B．10 C．4 D．2
5．（2022·江西省豐城中學模擬預(yù)測（文））已知定義域為的奇函數(shù)，則的值為（???????）
A．0 B．1 C．2 D．不能確定
6．（2022·青?！ず|市第一中學模擬預(yù)測（理））已知函數(shù)，若是奇函數(shù)，則實數(shù)a=______．
7．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，①，②，請寫出一個同時滿足條件①②的函數(shù)的解析式為______．

1．（2022·上?！の挥袑W模擬預(yù)測）定義在上的任意函數(shù) 都可以表示成一個奇函數(shù) 和一個偶函數(shù) 之和，若，則（???????）
A．
B．
C．
D．
2．（2022·全國·模擬預(yù)測（理））已知定義在上的函數(shù)，對任意的，都有，且，則下列說法正確的是（???????）
A．是以2為周期的偶函數(shù) B．是以2為周期的奇函數(shù)
C．是以4為周期的偶函數(shù) D．是以4為周期的奇函數(shù)
3．（2022·河南·開封市東信學校模擬預(yù)測（文））已知是上的奇函數(shù)，當時，，則滿足的m的取值范圍是（???????）
A． B． C． D．
4．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知定義在R上的函數(shù)滿足，且是奇函數(shù)，則（???????）
A．是偶函數(shù) B．的圖象關(guān)于直線對稱
C．是奇函數(shù) D．的圖象關(guān)于點對稱
5．（2022·貴州·貴陽一中模擬預(yù)測（文））已知函數(shù)是偶函數(shù)，且函數(shù)的圖象關(guān)于點（1，0）對稱，當時，則（???????）
A． B． C．0 D．2
6．（2022·湖南·雅禮中學二模）函數(shù)的定義域為，若是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則（???????）
A．是奇函數(shù) B．是偶函數(shù)
C． D．
7．（2022·重慶八中模擬預(yù)測）定義域為的偶函數(shù)，滿足．設(shè)，若是偶函數(shù)，則（???????）
A． B． C．2021 D．2022
8．（2022·重慶市涪陵高級中學校模擬預(yù)測）定義在R上的奇函數(shù)滿足，當時，，則（???????）
A．4 B．6 C．8 D．10
9．（2022·海南?？凇ざ＃┮阎瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，若，則（???????）
A． B． C． D．
10．（2022·河南省蘭考縣第一高級中學模擬預(yù)測（理））已知定義在上的函數(shù)在上單調(diào)遞增，若，且函數(shù)為偶函數(shù)，則不等式的解集為（???????）
A． B．
C． D．
11．（2022·遼寧·撫順市第二中學三模）函數(shù)是R上的奇函數(shù)，函數(shù)圖像與函數(shù)關(guān)于對稱，則（???????）
A．0 B．-1 C．2 D．1
12．（2022·廣西·南寧三中二模（文））若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則_______．
13．（2022·山東·勝利一中模擬預(yù)測）已知函數(shù)滿足對任意恒成立，又函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，且，則_________．
14．（2022·江蘇·南京市天印高級中學模擬預(yù)測）已知是定義在上的函數(shù)，若對任意，都有，且函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，，則_______.
15．（2022·湖南·邵陽市第二中學模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若不等式對恒成立，則實數(shù)的取值范圍______．
16．（2022·全國·哈師大附中模擬預(yù)測（文））已知函數(shù)（其中是自然對數(shù)的底數(shù)），若在平面直角坐標系中，所有滿足的點都不在直線上，則直線的方程可以是__________（寫出滿足條件一個直線的方程即可）.
17．（2022·全國·高三專題練習）對于三次函數(shù)，給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱點為函數(shù)的“拐點”，同學經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且拐點就是對稱中心，若，請你根據(jù)這一發(fā)現(xiàn)，求：（1）函數(shù)的對稱中心為___________；（2）計算___________.

1．（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)的定義域為R，且，則（???????）
A． B． C．0 D．1
2．（2022·全國·高考真題（理））已知函數(shù)的定義域均為R，且．若的圖像關(guān)于直線對稱，，則（???????）
A． B． C． D．
3．（2021·全國·高考真題）已知函數(shù)的定義域為，為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則（???????）
A． B． C． D．
4．（2021·全國·高考真題（理））設(shè)函數(shù)的定義域為R，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當時，．若，則（???????）
A． B． C． D．
5．（2021·全國·高考真題（文））設(shè)是定義域為R的奇函數(shù)，且.若，則（???????）
A． B． C． D．
6．（2021·全國·高考真題（理））設(shè)函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（???????）
A． B． C． D．
7．（2020·海南·高考真題）若定義在的奇函數(shù)f(x)在單調(diào)遞減，且f(2)=0，則滿足的x的取值范圍是（???????）
A． B．
C． D．
8．（2020·全國·高考真題（文））已知函數(shù)f(x)=sinx+，則（）
A．f(x)的最小值為2 B．f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱
C．f(x)的圖象關(guān)于直線對稱 D．f(x)的圖象關(guān)于直線對稱
9．（多選題）（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，若，均為偶函數(shù)，則（???????）
A． B． C． D．
10．（2021·全國·高考真題）寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)_______．
①；②當時，；③是奇函數(shù)．
11．（2021·全國·高考真題）已知函數(shù)是偶函數(shù)，則______.
12．（2020·全國·高考真題（理））關(guān)于函數(shù)f（x）=有如下四個命題：
①f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱．
②f（x）的圖象關(guān)于原點對稱．
③f（x）的圖象關(guān)于直線x=對稱．
④f（x）的最小值為2．
其中所有真命題的序號是__________．
13．（2022·全國·高考真題（文））若是奇函數(shù)，則_____，______．

1．【答案】C
【解析】∵，即，則
構(gòu)建，則
令，則
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增
則當且僅當時等號成立
∴，則，
若是周期函數(shù)，則存在非零實數(shù)，使得對任意的總成立，
但時，無意義，，故兩者不相等，故不是周期函數(shù)，
①正確；
不是單調(diào)函數(shù)，②錯誤；
，不是奇函數(shù)，③錯誤；
關(guān)于點對稱，④正確；
故選：C．
2．【答案】D
【解析】由可得，函數(shù)關(guān)于對稱，函數(shù)為奇函數(shù)，所以，所以函數(shù)關(guān)于對稱，則有，即，又，
，的周期為4.
.
故選：D.
3．【答案】A
【解析】令，
，是R上的奇函數(shù)，，即，
又，所以．
故選：A．
4．【答案】B
【解析】解：由，得，
∴函數(shù)是周期函數(shù)，且4是它的一個周期，
又當時，，
∴；
故選：B.
5．【答案】A
【解析】依題意得，解得，
由，得，
所以.
故選：A.
6．【答案】1
【解析】由題意，，即，
所以，化簡得，解得．
故答案為：1
7．【答案】
【解析】由①知的圖象關(guān)于直線對稱，由②知為偶函數(shù)，所以，故為周期為2的周期函數(shù)，符合該條件的函數(shù)可以為．
故答案為：（答案不唯一，只要符合條件即可）

1．【答案】C
【解析】設(shè)，
則，
因為為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，化簡得：
，解得：
.
故選：C.
2．【答案】D
【解析】即①，
在①中將變換為，則，則，
又因為，所以，所以②，
在②將變換為，所以，所以，
所以的周期為.
因為，所以，
所以為奇函數(shù).
故選：D.
3．【答案】D
【解析】因為函數(shù)在上均為減函數(shù)，
∴在上為減函數(shù).又，且是上的奇函數(shù)，∴在上為減函數(shù).
又，得或，解得或.
所以實數(shù)m的取值范圍是.
故選：D.
4．【答案】C
【解析】由可得2是函數(shù)的周期，
因為是奇函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，
所以，，所以是奇函數(shù)，
故選：C.
5．【答案】B
【解析】根據(jù)題意，函數(shù)是偶函數(shù)，
則函數(shù)的對稱軸為，
則有，
又由函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱，
則，
則有，即，
變形可得，
則函數(shù)是周期為8的周期函數(shù)，
，
故選：B.
6．【答案】B
【解析】因為是奇函數(shù)，
∴，
∵是偶函數(shù)，
∴，即，
，
則，即周期為8；
另一方面，
∴，即是偶函數(shù).
故選：B.
7．【答案】C
【解析】∵，
∴，又為偶函數(shù)，
∴，即，
∴，又是定義域為R偶函數(shù)，
∴，
∴周期為4，又，
∴，
∴.
故選：C.
8．【答案】A
【解析】因為，且為奇函數(shù)，
所以，
所以，
故為周期為8的周期函數(shù)，
所以
又當時，，
所以，
所以，
故選：A
9．【答案】B
【解析】因為的圖象關(guān)于對稱，則是偶函數(shù)，
，且，
所以，對任意的恒成立，所以，，
因為且為奇函數(shù)，所以，，
因此，.
故選：B.
10．【答案】D
【解析】因為函數(shù)為偶函數(shù)，則，故函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，
因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，
因為，則，
所以，由可得，由可得或，
解不等式，可得或，解得或，
故不等式的解集為.
故選：D.
11．【答案】C
【解析】函數(shù)是R上的奇函數(shù)，則
設(shè)，則，則函數(shù)的圖像關(guān)于點對稱
函數(shù)圖像與函數(shù)關(guān)于對稱，
所以函數(shù)的圖像關(guān)于對稱，所以
故選：C
12．【答案】7
【解析】由題意，即，
所以，即，解得，
此時，

，滿足題意．
所以，．
故答案為：7．
13．【答案】
【解析】因為函數(shù)滿足對任意恒成立，
所以令，即，解得，所以對任意恒成立，
又函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，將函數(shù)向右平移個單位得到，
所以關(guān)于點，即為上的奇函數(shù)，所以，
又對任意恒成立，令，得，
即，再令，得，分析得，
所以函數(shù)的周期為，因為，所以在中，
令，得，所以.
故答案為：.
14．【答案】3
【解析】因為函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，所以函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，即函數(shù)是偶函數(shù)，則有；
因為對任意，都有，
令，得，
所以對任意，都有，即函數(shù)的周期為，
則，
故答案為：.
15．【答案】
【解析】，
因為在上為增函數(shù)，
所以在上為增函數(shù)，
因為，
所以可化為，
因為在上為增函數(shù)，
所以對恒成立，
所以對恒成立，
因為，所以，當且僅當，即時取等號，
所以，即實數(shù)的取值范圍，
故答案為：
16．【答案】（不唯一）
【解析】在上單調(diào)遞增，
，，
曲線關(guān)于點中心對稱，

在平面直角坐標系中，所有滿足即的點都不在直線上.
所以，直線上的點都滿足，即直線在表示的半平面內(nèi)，
故直線斜率為，縱截距小于等于2，如等.
故答案為：（不唯一）
17．【答案】???? ????
【解析】（1），，
令，解得，
∴，
∴函數(shù)的對稱中心為；
（2）∵的對稱中心為，
∴，
∴，
，
故答案為：（1）；（2）.

1．【答案】A
【解析】因為，令可得，，所以，令可得，，即，所以函數(shù)為偶函數(shù)，令得，，即有，從而可知，，故，即，所以函數(shù)的一個周期為．
因為，，，，，所以
一個周期內(nèi)的．由于22除以6余4，
所以．
故選：A．
2．【答案】D
【解析】因為的圖像關(guān)于直線對稱，
所以，
因為，所以，即，
因為，所以，
代入得，即，
所以，
.
因為，所以，即，所以.
因為，所以，又因為，
聯(lián)立得，，
所以的圖像關(guān)于點中心對稱，因為函數(shù)的定義域為R，
所以
因為，所以.
所以.
故選：D
3．【答案】B
【解析】因為函數(shù)為偶函數(shù)，則，可得，
因為函數(shù)為奇函數(shù)，則，所以，，
所以，，即，
故函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，
因為函數(shù)為奇函數(shù)，則，
故，其它三個選項未知.
故選：B.
4．【答案】D
【解析】因為是奇函數(shù)，所以①；
因為是偶函數(shù)，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因為，所以，
令，由①得：，所以．
思路一：從定義入手．

所以．
思路二：從周期性入手
由兩個對稱性可知，函數(shù)的周期．
所以．
故選：D．
5．【答案】C
【解析】由題意可得：，
而，
故.
故選：C.
6．【答案】B
【解析】由題意可得，
對于A，不是奇函數(shù)；
對于B，是奇函數(shù)；
對于C，，定義域不關(guān)于原點對稱，不是奇函數(shù)；
對于D，，定義域不關(guān)于原點對稱，不是奇函數(shù).
故選：B
7．【答案】D
【解析】因為定義在上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，
所以在上也是單調(diào)遞減，且，，
所以當時，，當時，，
所以由可得：
或或
解得或，
所以滿足的的取值范圍是，
故選：D.
8．【答案】D
【解析】可以為負，所以A錯；
關(guān)于原點對稱；
故B錯；
關(guān)于直線對稱，故C錯，D對
故選：D
9．【答案】BC
【解析】因為，均為偶函數(shù)，
所以即，，
所以，，則，故C正確；
函數(shù)，的圖象分別關(guān)于直線對稱，
又，且函數(shù)可導(dǎo)，
所以，
所以，所以，
所以，，故B正確，D錯誤；
若函數(shù)滿足題設(shè)條件，則函數(shù)（C為常數(shù)）也滿足題設(shè)條件，所以無法確定的函數(shù)值，故A錯誤.
故選：BC.
10．【答案】（答案不唯一，均滿足）
【解析】取，則，滿足①，
，時有，滿足②，
的定義域為，
又，故是奇函數(shù)，滿足③.
故答案為：（答案不唯一，均滿足）
11．【答案】1
【解析】因為，故，
因為為偶函數(shù)，故，
時，整理得到，
故，
故答案為：1
12．【答案】②③
【解析】對于命題①，，，則，
所以，函數(shù)的圖象不關(guān)于軸對稱，命題①錯誤；
對于命題②，函數(shù)的定義域為，定義域關(guān)于原點對稱，
，
所以，函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，命題②正確；
對于命題③，，
，則，
所以，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，命題③正確；
對于命題④，當時，，則，
命題④錯誤.
故答案為：②③.
13．【答案】???? ；???? ．
【解析】因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以其定義域關(guān)于原點對稱．
由可得，，所以，解得：，即函數(shù)的定義域為，再由可得，．即，在定義域內(nèi)滿足，符合題意．
故答案為：；．

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