預(yù)測11  空間向量與立體幾何概率預(yù)測☆☆☆☆☆題型預(yù)測選擇題、填空題☆☆☆☆解答題☆☆☆☆☆考向預(yù)測1、重點(diǎn)考簡單幾何體的表面積或體積；2、球與簡單幾何體的切接問題或與之有關(guān)的最大值；3、幾何體的點(diǎn)面距離等問題；1、線線、線面、面面垂直的判定與性質(zhì)；2、第二小題重點(diǎn)考查利用向量計(jì)算線面角或二面角； 從近幾年的高考試題來看,所考的主要內(nèi)容是:(1)有關(guān)線面位置關(guān)系的組合判斷,試題通常以選擇題的形式出現(xiàn),主要是考查空間線線、線面、面面位置關(guān)系的判定與性質(zhì);(2)有關(guān)線線、線面和面面的平行與垂直的證明,試題以解答題中的第一問為主,常以多面體為載體,突出考查學(xué)生的空間想象能力及推理論證能力;(3)線線角、線面角和二面角是高考的熱點(diǎn),選擇題、填空題皆有，解答題中第二問必考,一般為中檔題,在全卷的位置相對穩(wěn)定，主要考查空間想象能力、邏輯思維能力和轉(zhuǎn)化與化歸的應(yīng)用能力. 1.平面的基本性質(zhì)(1)熟悉三個(gè)公理的三種語言的描述（自然語言、圖形語言、符號語言），明白各自的作用，能夠依據(jù)這三個(gè)公理及其推論對點(diǎn)與平面、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系作簡單的判斷.(2)掌握確定一個(gè)平面的依據(jù)：不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面、直線與直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面、兩相交直線確定一個(gè)平面、兩平行直線確定一個(gè)平面.2.空間直線、平面的位置關(guān)系(1)空間兩條直線與直線的位置關(guān)系：相交、平行、異面.判斷依據(jù)：是否在同一個(gè)平面上；公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)情況.理解平行公理與等角定理：平行公理：平行于同一條直線的兩條直線平行；等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).(2)直線與平面的位置關(guān)系：直線在平面內(nèi)、直線與平面平行或相交判斷依據(jù)：直線與平面的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù).理解直線與平面平行的定義.(3)空間兩個(gè)平面的位置關(guān)系：相交、平行判斷依據(jù)：沒有公共點(diǎn)則平行，有一條公共直線則相交.3.空間直線、平面平行的判定定理與性質(zhì)定理(1)線面平行的判定定理與性質(zhì)定理1)線面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則直線與平面平行.符號語言：.要判定直線與平面平行，只需證明直線平行于平面內(nèi)的一條直線.2)線面平行的性質(zhì)定理：一條直線與一個(gè)平面平行，則過這條直線的平面與已知平面的交線與該直線平行.符號語言：.當(dāng)直線與平面平行時(shí)，直線與平面內(nèi)的直線不一定平行，只有在兩條直線共面時(shí)才平行.3)面面平行的判定定理：一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行.符號語言：.要使兩個(gè)平面平行，只需證明其中一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行即可，這里的直線需是相交直線.4)面面平行的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行.符號語言：.5)平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化(2)直線、平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理1)線面垂直的判定定理：如果直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，則直線與平面垂直.符號語言：.要判定直線與平面垂直，只需判定直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線即可.2)線面垂直的性質(zhì)定理：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行.符號語言：.此性質(zhì)反映了平行、垂直之間的關(guān)系，也可以獲得以下推論：兩直線平行，若其中一條直線與一個(gè)平面垂直，則另一條直線也與該平面垂直.3)面面垂直的判定定理：若直線垂直于平面，則過該直線的平面與已知平面垂直.符號語言：.要證明平面與平面垂直，關(guān)鍵是在其中一個(gè)平面內(nèi)找到一條與另一個(gè)平面垂直的直線.4)面面垂直的性質(zhì)定理：兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直.符號語言：.要通過平面與平面垂直推理得到直線與平面垂直，必須滿足直線垂直于這兩個(gè)平面的交線.5)垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化4.空間向量在立體幾何中的應(yīng)用(1)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算設(shè)，則，，，，，，.5. 直線的方向向量和平面的法向量(1)直線的方向向量：如果表示非零向量a的有向線段所在直線與直線l平行或重合，則稱此向量a為直線l的方向向量．(2)平面的法向量：直線l⊥α，取直線l的方向向量a，則向量a叫做平面α的法向量．6. 空間位置關(guān)系的向量表示 位置關(guān)系向量表示直線l1，l2的方向向量分別為n1，n2 l1∥l2n1∥n2?n1＝λn2l1⊥l2n1⊥n2?n1·n2＝0 直線l的方向向量為n，平面α的法向量為m,l∥α,n⊥m?n·m＝0l⊥α,n∥m?n＝λm平面α，β的法向量分別為n，m,α∥β,n∥m?n＝λmα⊥β,n⊥m?n·m＝03. 異面直線所成的角7·.設(shè)a，b分別是兩異面直線l1，l2的方向向量，則 a與b的夾角βl1與l2所成的角θ范圍(0，π)  a與b的夾角βl1與l2所成的角θ求法cosβ＝cosθ＝|cos β|＝8 求直線與平面所成的角設(shè)直線l的方向向量為a，平面α的法向量為n，直線l與平面α所成的角為θ，則sinθ＝|cos〈a，n〉|＝.5. 求二面角的大小(1)如圖①，AB，CD是二面角α－l－β的兩個(gè)面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大小θ＝〈，〉①　②　③ (2)如圖②③，n1，n2 分別是二面角α－l－β的兩個(gè)半平面α，β的法向量，則二面角的大小θ滿足|cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1與n2的夾角(或其補(bǔ)角)．利用空間向量計(jì)算二面角大小的常用方法(1)找法向量：分別求出二面角的兩個(gè)半平面所在平面的法向量，然后通過兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角的大?。?/span>(2)找與棱垂直的方向向量：分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點(diǎn)的兩個(gè)向量，則這兩個(gè)向量的夾角的大小就是二面角的大?。?/span>二、探索性問題對于探索性問題常見的是是否存在點(diǎn)的位置問題，此類問題主要是有兩種方法：一是直接通過參數(shù)設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，二是通過向量之間的關(guān)系，引入?yún)?shù)，然后表示點(diǎn)坐標(biāo)。特別要注意引入?yún)?shù)的范圍。1、【2020年高考全國Ⅰ卷理數(shù)】埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐.以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為A．  B． C． D．2、【2020年高考全國II卷理數(shù)】已知△ABC是面積為的等邊三角形，且其頂點(diǎn)都在球O的球面上.若球O的表面積為16，則O到平面ABC的距離為A． B． C．1 D．3、【2020年高考全國Ⅰ卷理數(shù)】已知為球的球面上的三個(gè)點(diǎn)，⊙為的外接圓，若⊙的面積為，，則球的表面積為A．   B．   C．    D．4、【2020年高考天津】若棱長為的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為A．      B．     C．      D．5、【2020年高考浙江】已知空間中不過同一點(diǎn)的三條直線l，m，n．“l ，m，n共面”是“l ，m，n兩兩相交”的A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件6、【2020年新高考全國Ⅰ卷】日晷是中國古代用來測定時(shí)間的儀器，利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來測定時(shí)間．把地球看成一個(gè)球(球心記為O)，地球上一點(diǎn)A的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成角，點(diǎn)A處的水平面是指過點(diǎn)A且與OA垂直的平面.在點(diǎn)A處放置一個(gè)日晷，若晷面與赤道所在平面平行，點(diǎn)A處的緯度為北緯40°，則晷針與點(diǎn)A處的水平面所成角為A．20°  B．40°C．50°  D．90°7、【2019年高考全國Ⅰ卷理數(shù)】已知三棱錐P?ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E，F分別是PA，AB的中點(diǎn)，∠CEF=90°，則球O的體積為A．  B．C．  D． 8、【2019年高考全國Ⅱ卷理數(shù)】設(shè)α，β為兩個(gè)平面，則α∥β的充要條件是A．α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行 B．α內(nèi)有兩條相交直線與β平行     C．α，β平行于同一條直線 D．α，β垂直于同一平面 9、【2019年高考全國Ⅲ卷理數(shù)】如圖，點(diǎn)N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線段ED的中點(diǎn)，則A．BM=EN，且直線BM，EN 是相交直線
B．BM≠EN，且直線BM，EN 是相交直線
C．BM=EN，且直線BM，EN 是異面直線D．BM≠EN，且直線BM，EN 是異面直線10、【2020年高考全國Ⅲ卷理數(shù)】已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為_________． 11、【2020年高考浙江】已知圓錐的側(cè)面積（單位：cm2）為，且它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則這個(gè)圓錐的底面半徑（單位：cm）是_______．12、【2020年高考江蘇】如圖，六角螺帽毛坯是由一個(gè)正六棱柱挖去一個(gè)圓柱所構(gòu)成的．已知螺帽的底面正六邊形邊長為2 cm，高為2 cm，內(nèi)孔半輕為0.5 cm，則此六角螺帽毛坯的體積是   ▲    cm.13、【2020年新高考全國Ⅰ卷】已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱長均為2，∠BAD=60°．以為球心，為半徑的球面與側(cè)面BCC1B1的交線長為________．14、【2019年高考全國Ⅲ卷理數(shù)】學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐，利用3D打印技術(shù)制作模型.如圖，該模型為長方體挖去四棱錐O­—EFGH后所得的幾何體，其中O為長方體的中心，E，F，G，H分別為所在棱的中點(diǎn)，，3D打印所用原料密度為0.9 g/cm3，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為___________g. 15、【2019年高考北京卷理數(shù)】已知l，m是平面外的兩條不同直線．給出下列三個(gè)論斷：①l⊥m； ②m∥；  ③l⊥．以其中的兩個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出一個(gè)正確的命題：__________．16、【2019年高考天津卷理數(shù)】已知四棱錐的底面是邊長為的正方形，側(cè)棱長均為．若圓柱的一個(gè)底面的圓周經(jīng)過四棱錐四條側(cè)棱的中點(diǎn)，另一個(gè)底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的體積為_____________．17、【2019年高考江蘇卷】如圖，長方體的體積是120，E為的中點(diǎn)，則三棱錐E?BCD的體積是  ▲   . 18、【2020年高考全國Ⅰ卷理數(shù)】如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面的圓心，為底面直徑，．是底面的內(nèi)接正三角形，為上一點(diǎn)，．（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值．    19、【2020年高考全國Ⅱ卷理數(shù)】如圖，在長方體中，點(diǎn)分別在棱上，且，．（1）證明：點(diǎn)在平面內(nèi)；（2）若，，，求二面角的正弦值．      20、【2020年高考浙江】如圖，在三棱臺ABC—DEF中，平面ACFD⊥平面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC =2BC．（Ⅰ）證明：EF⊥DB；（Ⅱ）求直線DF與平面DBC所成角的正弦值．    21、【2019年高考全國Ⅰ卷理數(shù)】如圖，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點(diǎn)．（1）證明：MN∥平面C1DE；（2）求二面角A?MA1?N的正弦值．22、【2019年高考全國Ⅱ卷理數(shù)】如圖，長方體ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點(diǎn)E在棱AA1上，BE⊥EC1．（1）證明：BE⊥平面EB1C1；（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值．     一、單選題1、（2021·山東青島市·高三期末）設(shè)，是兩個(gè)不同的平面，是一條直線，以下結(jié)論正確的是（    ）A．若，，則B．若，，則C．若，，則D．若，，則2、（2020屆山東省濰坊市高三上學(xué)期統(tǒng)考）已知邊長為2的等邊三角形，為的中點(diǎn)，以為折痕進(jìn)行折疊，使折后的，則過，，，四點(diǎn)的球的表面積為（   ）A． B． C． D．3、（2021·山東德州市·高三期末）阿基米德是偉大的古希臘數(shù)學(xué)家，他和高斯、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，他一生最為滿意的一個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)就是“圓柱容球”定理，即圓柱容器里放了一個(gè)球，該球頂天立地，四周碰邊（即球與圓柱形容器的底面和側(cè)面都相切），球的體積是圓柱體積的三分之二，球的表面積也是圓柱表面積的三分之二．今有一“圓柱容球”模型，其圓柱表面積為，則該模型中球的體積為（    ）A． B． C． D．4、（2021·江蘇泰州市·高三期末）我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中“開立圓術(shù)”曰：置積尺數(shù)，以十六乘之，九而一，所得開立方除之，即立圓徑意思是：球的體積V乘16，除以9，再開立方，即為球的直徑d，由此我們可以推測當(dāng)時(shí)球的表面積S計(jì)算公式為（    ）A． B． C． D．5、（2021·河北張家口市·高三期末）在四棱錐中，平面，四邊形是正方形，，，分別為，的中點(diǎn)，則與所成角的余弦值是（    ）A． B． C． D．6、（2020·湖北高三月考）《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有一個(gè)數(shù)學(xué)問題：“現(xiàn)有芻甍，下寬3丈，長4丈；上長2丈，無寬，高1丈.問：有體積多少？”本題中芻甍是如圖所示的幾何體，底面是矩形，， ， ， ，直線到底面的距離，則該幾何體的體積是（　?。?/span>A．5 B．10 C．15 D．7、（2020屆山東省日照市高三上期末聯(lián)考）已知四棱錐的體積是，底面是正方形，是等邊三角形，平面平面，則四棱錐外接球體積為（    ）A． B． C． D．二、多選題8、（2020屆山東省濰坊市高三上期末）等腰直角三角形直角邊長為1 ，現(xiàn)將該三角形繞其某一邊旋轉(zhuǎn)一周 ，則所形成的幾何體的表面積可以為（   ）A． B． C． D．9、（2020屆山東省泰安市高三上期末）已知是兩個(gè)不重合的平面，是兩條不重合的直線，則下列命題正確的是（    ）A．若則B．若則C．若，，則D．若，則10、（2021·山東泰安市·高三期末）如圖，在正方體中，是棱上的動(dòng)點(diǎn)．則下列結(jié)論正確的是（    ）A．平面B．C．直線與所成角的范圍為D．二面角的大小為11、（2021·山東威海市·高三期末）在棱長為的正方體中，分別為的中點(diǎn)，則（    ）A．B．平面C．平面D．過直線且與直線平行的平面截該正方體所得截面面積為12、（2021·江蘇蘇州市·高三期末）已知四邊形是等腰梯形（如圖1），，，，．將沿折起，使得（如圖2），連結(jié)，，設(shè)是的中點(diǎn).下列結(jié)論中正確的是（    ） A． B．點(diǎn)到平面的距離為C．平面 D．四面體的外接球表面積為三、填空題13（2021·湖北高三期末）若一個(gè)圓臺的側(cè)面展開圖是半圓面所在的扇環(huán)，且扇環(huán)的面積為，圓臺上、下底面圓的半徑分別為，則________.14、（2021·山東德州市·高三期末）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，底面，O為對角線與的交點(diǎn)，若，，則三棱錐的外接球表面積為_________． 15、（2020屆山東省濱州市三校高三上學(xué)期聯(lián)考）已知三棱錐，平面ABC，，，，直線SB和平面ABC所成的角大小為.若三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為________.16、（2020屆山東省棗莊、滕州市高三上期末）如圖，在三棱錐P-ABC中，，，則PA與平面ABC所成角的大小為________；三棱錐P-ABC外接球的表面積是________.五、解答題17、（2021·山東德州市·高三期末）在四棱錐中，為直角三角形，且，四邊形為直角梯形，且為直角，E為的中點(diǎn)，F為的四等分點(diǎn)且，M為中點(diǎn)且．（1）證明：平面；（2）設(shè)二面角的大小為，求的取值范圍．    18、（2021·山東青島市·高三期末）如圖，在直角梯形中，，，，，.將矩形沿翻折，使得平面平面.（1）若，證明：平面平面；（2）當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.      19、（2020屆山東省煙臺市高三上期末）如圖，在四棱錐中，為直角梯形，，，平面平面，是以為斜邊的等腰直角三角形，，為上一點(diǎn)，且.（1）證明：直線平面；（2）求二面角的余弦值.     20、（2020屆山東省泰安市高三上期末）如圖，在三棱錐P—ABC中，△PAC為等腰直角三角形，為正三角形，D為A的中點(diǎn)，AC=2．(1)證明：PB⊥AC；(2)若三棱錐的體積為，求二面角A—PC—B的余弦值     21、（2020屆山東省濰坊市高三上期中）如圖，在棱長均為的三棱柱中，平面平面，，為與的交點(diǎn)．（1）求證：；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值．

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