預(yù)測07    數(shù)   列概率預(yù)測☆☆☆☆☆題型預(yù)測選擇題與填空題☆☆☆☆解答題☆☆☆☆☆考向預(yù)測2021年高考仍將考查：1、等差數(shù)列與等比數(shù)列定義、性質(zhì)、前項和公式。2、考查由遞推公式求通項公式與已知前項和或前項和與第項的關(guān)系式求通項為重點，特別是數(shù)列前項和與關(guān)系的應(yīng)用。1、等差數(shù)列與等比數(shù)列定義、性質(zhì)、前項和公式。2、考查由遞推公式求通項公式與已知前項和或前項和與第項的關(guān)系式求通項為重點，特別是數(shù)列前項和與關(guān)系的應(yīng)用。3、運算錯位相減法或者裂項相消法以及分組求和求數(shù)列的和4、數(shù)列與不等式等知識點的結(jié)合 數(shù)列是高考重點考查的內(nèi)容之一，命題形式多種多樣，大小均有.其中，小題重點考查等差數(shù)列、等比數(shù)列基礎(chǔ)知識以及數(shù)列的遞推關(guān)系；解答題的難度中等或稍難，將穩(wěn)定在中等難度.往往在利用方程思想解決數(shù)列基本問題后，進一步數(shù)列求和，在求和后可與不等式、函數(shù)、最值等問題綜合.在考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和基礎(chǔ)上，進一步考查“裂項相消法”、“錯位相減法”等，與不等式結(jié)合，“放縮”思想及方法尤為重要． 等差數(shù)列1、定義：數(shù)列若從第二項開始，每一項與前一項的差是同一個常數(shù)，則稱是等差數(shù)列，這個常數(shù)稱為的公差，通常用表示2、等差數(shù)列的通項公式：，此通項公式存在以下幾種變形：（1），其中：已知數(shù)列中的某項和公差即可求出通項公式（2）：已知等差數(shù)列的兩項即可求出公差，即項的差除以對應(yīng)序數(shù)的差（3）：已知首項，末項，公差即可計算出項數(shù)3、等差中項：如果成等差數(shù)列，則稱為的等差中項（1）等差中項的性質(zhì)：若為的等差中項，則有即（2）如果為等差數(shù)列，則，均為的等差中項（3）如果為等差數(shù)列，則4、等差數(shù)列通項公式與函數(shù)的關(guān)系：，所以該通項公式可看作關(guān)于的一次函數(shù)，從而可通過函數(shù)的角度分析等差數(shù)列的性質(zhì)。5、等差數(shù)列前項和公式：，此公式可有以下變形：（1）由可得：，作用：在求等差數(shù)列前項和時，不一定必須已知，只需已知序數(shù)和為的兩項即可（2）由通項公式可得：作用：① 這個公式也是計算等差數(shù)列前項和的主流公式② ，即是關(guān)于項數(shù)的二次函數(shù)，且不含常數(shù)項，可記為的形式。從而可將的變化規(guī)律圖像化。（3）當(dāng)時，    因為     而是的中間項，所以此公式體現(xiàn)了奇數(shù)項和與中間項的聯(lián)系當(dāng)時，即偶數(shù)項和與中間兩項和的聯(lián)系6、等差數(shù)列前項和的最值問題：此類問題可從兩個角度分析，一個角度是從數(shù)列中項的符號分析，另一個角度是從前項和公式入手分析等比數(shù)列1、定義：數(shù)列從第二項開始，后項與前一項的比值為同一個常數(shù)，則稱為等比數(shù)列，這個常數(shù)稱為數(shù)列的公比注：非零常數(shù)列既可視為等差數(shù)列，也可視為的等比數(shù)列，而常數(shù)列只是等差數(shù)列2、等比數(shù)列通項公式：，也可以為：3、等比中項：若成等比數(shù)列，則稱為的等比中項（1）若為的等比中項，則有（2）若為等比數(shù)列，則，均為的等比中項（3）若為等比數(shù)列，則有4、等比數(shù)列前項和公式：設(shè)數(shù)列的前項和為當(dāng)時，則為常數(shù)列，所以當(dāng)時，則可變形為：，設(shè)，可得：5、由等比數(shù)列生成的新等比數(shù)列（1）在等比數(shù)列中，等間距的抽取一些項組成的新數(shù)列仍為等比數(shù)列（2）已知等比數(shù)列，則有① 數(shù)列（為常數(shù)）為等比數(shù)列② 數(shù)列（為常數(shù)）為等比數(shù)列，特別的，當(dāng)時，即為等比數(shù)列③ 數(shù)列為等比數(shù)列④ 數(shù)列為等比數(shù)列6、等比數(shù)列的判定：（假設(shè)不是常數(shù)列）（1）定義法（遞推公式）：（2）通項公式：（指數(shù)類函數(shù)）（3）前項和公式：數(shù)列的求和的方法（1）等差數(shù)列求和公式：                         （2）等比數(shù)列求和公式： （3）錯位相減法：通項公式的特點在錯位相減法的過程中體現(xiàn)了怎樣的作用？通過解題過程我們可以發(fā)現(xiàn)：等比的部分使得每項的次數(shù)逐次遞增，才保證在兩邊同乘公比時實現(xiàn)了“錯位”的效果。而等差的部分錯位部分“相減”后保持系數(shù)一致（其系數(shù)即為等差部分的公差），從而可圈在一起進行等比數(shù)列求和。體會到“錯位”與“相減”所需要的條件，則可以讓我們更靈活的使用這一方法進行數(shù)列求和（4）裂項相消：的表達式能夠拆成形如的形式（），從而在求和時可以進行相鄰項（或相隔幾項）的相消。從而結(jié)果只存在有限幾項，達到求和目的。其中通項公式為分式和根式的居多（5）分組求和    如果數(shù)列無法求出通項公式，或者無法從通項公式特點入手求和，那么可以考慮觀察數(shù)列中的項，通過合理的分組進行求和（1）利用周期性求和：如果一個數(shù)列的項按某個周期循環(huán)往復(fù)，則在求和時可將一個周期內(nèi)的項歸為一組求和，再統(tǒng)計前項和中含多少個周期即可（2）通項公式為分段函數(shù)（或含有 ，多為奇偶分段。若每段的通項公式均可求和，則可以考慮奇數(shù)項一組，偶數(shù)項一組分別求和，但要注意兩點：一是序數(shù)的間隔（等差等比求和時會影響公差公比），二是要對項數(shù)的奇偶進行分類討論（可見典型例題）；若每段的通項公式無法直接求和，則可以考慮相鄰項相加看是否存在規(guī)律，便于求和（3）倒序相加：若數(shù)列中的第項與倒數(shù)第項的和具備規(guī)律，在求和時可以考慮兩項為一組求和，如果想避免項數(shù)的奇偶討論，可以采取倒序相加的特點，1、對于選擇題中的選項，可以運用代入法進行排除。2、對于解答題若涉及到求和問題一定眼驗證，確保答案的正確。1、【2019年高考全國I卷理數(shù)】記為等差數(shù)列的前n項和．已知，則A．  B． C．  D．2、【2019年高考全國III卷理數(shù)】已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前4項和為15，且，則A．16  B．8 C．4  D．23、【2019年高考全國III卷理數(shù)】已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前4項和為15，且，則A．16  B．8 C．4  D．2 4、【2020年高考浙江】已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，公差，且．記，，，下列等式不可能成立的是A．    B． C．   D．5、【2020年高考北京】在等差數(shù)列中，，．記，則數(shù)列A．有最大項，有最小項   B．有最大項，無最小項C．無最大項，有最小項 D．無最大項，無最小項6、【2019年高考浙江卷】設(shè)a，b∈R，數(shù)列{an}滿足a1=a，an+1=an2+b，，則A． 當(dāng) B． 當(dāng)C． 當(dāng) D． 當(dāng)7、【2020年高考全國II卷理數(shù)】北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)A．3699塊 B．3474塊 C．3402塊 D．3339塊8、【2020年高考浙江】我國古代數(shù)學(xué)家楊輝，朱世杰等研究過高階等差數(shù)列的求和問題，如數(shù)列就是二階等差數(shù)列．?dāng)?shù)列的前3項和是_______．9、【2020年高考江蘇】設(shè){an}是公差為d的等差數(shù)列，{bn}是公比為q的等比數(shù)列．已知數(shù)列{an+bn}的前n項和，則d+q的值是   ▲    ．10、【2020年高考山東】將數(shù)列{2n–1}與{3n–2}的公共項從小到大排列得到數(shù)列{an}，則{an}的前n項和為________．11、【2019年高考全國I卷理數(shù)】記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和．若，則S5=___________．12、【2019年高考全國III卷理數(shù)】記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，，則___________．13、【2019年高考北京卷理數(shù)】設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a2=?3，S5=?10，則a5=__________，Sn的最小值為___________．14、【2019年高考江蘇卷】已知數(shù)列是等差數(shù)列，是其前n項和.若，則的值是___________．15、【2020年高考全國Ⅰ卷理數(shù)】設(shè)是公比不為1的等比數(shù)列，為，的等差中項．（1）求的公比；（2）若，求數(shù)列的前項和．    16、【2020年高考全國III卷理數(shù)】設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=3，．（1）計算a2，a3，猜想{an}的通項公式并加以證明；（2）求數(shù)列{2nan}的前n項和Sn．   17、【2020年高考山東】已知公比大于的等比數(shù)列滿足．（1）求的通項公式；（2）記為在區(qū)間中的項的個數(shù)，求數(shù)列的前項和．   18、【2020年高考天津】已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，．（Ⅰ）求和的通項公式；（Ⅱ）記的前項和為，求證：；（Ⅲ）對任意的正整數(shù)，設(shè)求數(shù)列的前項和．    19、【2020年高考浙江】已知數(shù)列{an}，{bn}，{cn}滿足．（Ⅰ）若{bn}為等比數(shù)列，公比，且，求q的值及數(shù)列{an}的通項公式；（Ⅱ）若{bn}為等差數(shù)列，公差，證明：．    一、單選題1、（2021·山東青島市·高三期末）《萊茵德紙草書》（）是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一.書中有這樣一道題目：把個面包分給個人，使每個人所得面包個數(shù)成等比數(shù)列，且使較小的兩份之和等于中間一份的四分之三，則最小的一份為（    ）A． B． C． D．2、（2020屆山東省棗莊市高三上學(xué)期統(tǒng)考）已知等差數(shù)列的前項和為，若，則等差數(shù)列公差（　?。?/span>A．2 B． C．3 D．43、（2020屆山東師范大學(xué)附中高三月考）已知數(shù)列滿足且，則（    ）A．-3 B．3 C． D．4、（2021·山東泰安市·高三期末）在公差不為0的等差數(shù)列中，，，，，成公比為4的等比數(shù)列，則（    ）A．84 B．86 C．88 D．965、（2021·山東菏澤市·高三期末）已知數(shù)列的前項和是，且，若，則稱項為“和諧項”，則數(shù)列的所有“和諧項”的和為（    ）A．1022 B．1023 C．2046 D．20476、（2021·江蘇常州市·高三期末）已知數(shù)列滿足，設(shè)，且，則數(shù)列的首項的值為（    ）A． B． C． D．7、（2021·江蘇省新海高級中學(xué)高三期末）在“全面脫貧”行動中，貧困戶小王2020年1月初向銀行借了扶貧免息貸款10000元，用于自己開發(fā)的農(nóng)產(chǎn)品、土特產(chǎn)品加工廠的原材料進貨，因產(chǎn)品質(zhì)優(yōu)價廉，上市后供不應(yīng)求，據(jù)測算：每月獲得的利潤是該月初投入資金的20%，每月底街繳房租800元和水電費400元，余款作為資金全部用于再進貨，如此繼續(xù)，預(yù)計2020年小王的農(nóng)產(chǎn)品加工廠的年利潤為（    ）（取，）A．25000元 B．26000元 C．32000元 D．36000元8、（2021·湖北高三期末）設(shè)等比數(shù)列的前n項和為，首項，且，已知，若存在正整數(shù)，使得、、成等差數(shù)列，則的最小值為（    ）A．16 B．12 C．8 D．6二、多選題9、（2020屆山東省濰坊市高三上期末）已知等比數(shù)列的公比，等差數(shù)列的首項，若且，則以下結(jié)論正確的有（   ）A． B． C． D．10、（2021·河北張家口市·高三期末）已知數(shù)列的前項和為，下列說法正確的是（    ）A．若，則是等差數(shù)列B．若，則是等比數(shù)列C．若是等差數(shù)列，則D．若是等比數(shù)列，且，，則11、（2021·江蘇省新海高級中學(xué)高三期末）等差數(shù)列的前項和為，若，公差，則（    ）A．若，則 B．若，則是中最大的項C．若，則 D．若，則12、（2020屆山東省濟寧市高三上期末）設(shè)等比數(shù)列的公比為q,其前n項和為,前n項積為,并滿足條件,,下列結(jié)論正確的是(    )A．S2019<S2020 B．C．T2020是數(shù)列中的最大值 D．?dāng)?shù)列無最大值13、（2020·河北邯鄲市·高三期末）已知數(shù)列的前項和為，且滿足，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．若，則是等差數(shù)列B．若，則數(shù)列的前項和為C．若，則是等比數(shù)列D．若，則三、填空題14、（2020·山東省招遠第一中學(xué)高三月考）設(shè)等比數(shù)列滿足，，則______.15、（2021·江蘇蘇州市·高三期末）已知數(shù)列的前項和，則數(shù)列的前10項和為______．16、（2021·河北張家口市·高三期末）若數(shù)列滿足：，，則________________.17、（2020·山東青島·高三開學(xué)考試）把數(shù)列中的各項依次按第一個括號一個數(shù)，第二個括號兩個數(shù)，第三個括號三個數(shù)，第四個括號四個數(shù)，第五個括號一個數(shù)，…，進行排列，得到如下排列：（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27），（29，31，33），（35，37，39，41），（43），…，則第100個括號內(nèi)各數(shù)之和為_______.四、解答題18、（2020屆山東省濰坊市高三上期末）已知各項均不相等的等差數(shù)列的前項和為，且是等比數(shù)列的前項.(1)求;(2)設(shè)，求的前項和.      19、（2021·山東泰安市·高三期末）已知公比大于1的等比數(shù)列的前項和為，且，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）在與之間插入個數(shù)，使這個數(shù)組成一個公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列的前項和．   20、（2020屆山東省泰安市高三上期末）已知等差數(shù)列的前n項和為．(1)求的通項公式；(2)數(shù)列滿足為數(shù)列的前n項和，是否存在正整數(shù)m，，使得?若存在，求出m，k的值；若不存在，請說明理由．    21、（2021·湖北高三期末）已知數(shù)列滿足，且.（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）記，是數(shù)列前項的和，求證：.    22、（2021·山東菏澤市·高三期末）已知數(shù)列的前項和是.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，設(shè)的前項和是，求使得的最小正整數(shù)．    23、（2021·山東青島市·高三期末）在①，②，這兩個條件中任選一個，補充到下面橫線處，并解答.已知正項數(shù)列的前項和為，          ．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，且，求數(shù)列的前項和.注：如果選擇多個條件分別進行解答，按第一個解答進行計分.

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