?2013年天津市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）
　
一．選擇題：(每題5分，共40分）在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1．（5分）已知集合A={x∈R||x|≤2}，B={x∈R|x≤1}，則A∩B=（　?。?br /> A．（﹣∞，2] B．[1，2] C．[﹣2，2] D．[﹣2，1]
2．（5分）設(shè)變量x，y滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)z=y﹣2x的最小值為（　?。?br /> A．﹣7 B．﹣4 C．1 D．2
3．（5分）閱讀右邊的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，若輸入x的值為1，則輸出S的值為（　　）
A．64 B．73 C．512 D．585
4．（5分）已知下列三個(gè)命題：
①若一個(gè)球的半徑縮小到原來的，則其體積縮小到原來的；
②若兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等，則它們的標(biāo)準(zhǔn)差也相等；
③直線x+y+1=0與圓相切．
其中真命題的序號(hào)是（　　）
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
5．（5分）已知雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線與拋物線y2=2px（p＞0）的準(zhǔn)線分別交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若雙曲線的離心率為2，△AOB的面積為，則p=（　?。?br /> A．1 B． C．2 D．3
6．（5分）在△ABC中，∠ABC=，AB=，BC=3，則sin∠BAC=（　　）
A． B． C． D．
7．（5分）函數(shù)f（x）=2x|log0.5x|﹣1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（　?。?br /> A．1 B．2 C．3 D．4
8．（5分）已知函數(shù)f（x）=x（1+a|x|）．設(shè)關(guān)于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集為A，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　?。?br /> A． B．
C． D．
　
二．填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.
9．（5分）已知a，b∈R，i是虛數(shù)單位．若（a+i）（1+i）=bi，則a+bi=　 ?。?br /> 10．（5分）的二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)為　 ?。?br /> 11．（5分）已知圓的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ，圓心為C，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為，則|CP|=　 　．
12．（5分）在平行四邊形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E為CD的中點(diǎn)．若，則AB的長(zhǎng)為　 　．
13．（5分）如圖，△ABC為圓的內(nèi)接三角形，BD為圓的弦，且BD∥AC．過點(diǎn)A做圓的切線與DB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，AD與BC交于點(diǎn)F．若AB=AC，AE=6，BD=5，則線段CF的長(zhǎng)為　 ?。?br />
14．（5分）設(shè)a+b=2，b＞0，則當(dāng)a=　 　時(shí)，取得最小值．
　
三．解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
15．（13分）已知函數(shù)f（x）=﹣sin（2x+）+6sinxcosx﹣2cos2x+1，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間上的最大值和最小值．
16．（13分）一個(gè)盒子里裝有7張卡片，其中有紅色卡片4張，編號(hào)分別為1，2，3，4； 白色卡片3張，編號(hào)分別為2，3，4．從盒子中任取4張卡片 （假設(shè)取到任何一張卡片的可能性相同）．
（Ⅰ）求取出的4張卡片中，含有編號(hào)為3的卡片的概率．
（Ⅱ）在取出的4張卡片中，紅色卡片編號(hào)的最大值設(shè)為X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
17．（13分）如圖，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，側(cè)棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E為棱AA1的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明B1C1⊥CE；
（Ⅱ）求二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值．
（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)M在線段C1E上，且直線AM與平面ADD1A1所成角的正弦值為，求線段AM的長(zhǎng)．

18．（13分）設(shè)橢圓=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)為F，離心率為，過點(diǎn)F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)A，B分別為橢圓的左，右頂點(diǎn)，過點(diǎn)F且斜率為k的直線與橢圓交于C，D兩點(diǎn)．若=8，求k的值．
19．（14分）已知首項(xiàng)為的等比數(shù)列{an}不是遞減數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn（n∈N*），且S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)Tn=Sn﹣（n∈N*），求數(shù)列{Tn}的最大項(xiàng)的值與最小項(xiàng)的值．
20．（14分）已知函數(shù)f（x）=x2lnx．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）證明：對(duì)任意的t＞0，存在唯一的s，使t=f（s）．
（Ⅲ）設(shè)（Ⅱ）中所確定的s關(guān)于t的函數(shù)為s=g（t），證明：當(dāng)t＞e2時(shí)，有．
　

2013年天津市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）
參考答案與試題解析
　
一．選擇題：(每題5分，共40分）在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1．（5分）已知集合A={x∈R||x|≤2}，B={x∈R|x≤1}，則A∩B=（　?。?br /> A．（﹣∞，2] B．[1，2] C．[﹣2，2] D．[﹣2，1]
【分析】先化簡(jiǎn)集合A，解絕對(duì)值不等式可求出集合A，然后根據(jù)交集的定義求出A∩B即可．
【解答】解：∵A={x||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2}
∴A∩B={x|﹣2≤x≤2}∩{x|x≤1，x∈R}={x|﹣2≤x≤1}
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了絕對(duì)值不等式，以及交集及其運(yùn)算，同時(shí)考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題．
　
2．（5分）設(shè)變量x，y滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)z=y﹣2x的最小值為（　　）
A．﹣7 B．﹣4 C．1 D．2
【分析】先根據(jù)條件畫出可行域，設(shè)z=y﹣2x，再利用幾何意義求最值，將最小值轉(zhuǎn)化為y軸上的截距最小，只需求出直線z=y﹣2x，過可行域內(nèi)的點(diǎn)B（5，3）時(shí)的最小值，從而得到z最小值即可．
【解答】解：設(shè)變量x、y滿足約束條件 ，
在坐標(biāo)系中畫出可行域三角形，
平移直線y﹣2x=0經(jīng)過點(diǎn)A（5，3）時(shí)，y﹣2x最小，最小值為：﹣7，
則目標(biāo)函數(shù)z=y﹣2x的最小值為﹣7．
故選：A．

【點(diǎn)評(píng)】借助于平面區(qū)域特性，用幾何方法處理代數(shù)問題，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想．線性規(guī)劃中的最優(yōu)解，通常是利用平移直線法確定．
　
3．（5分）閱讀右邊的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，若輸入x的值為1，則輸出S的值為（　?。?br /> A．64 B．73 C．512 D．585
【分析】結(jié)合流程圖寫出前幾次循環(huán)的結(jié)果，經(jīng)過每一次循環(huán)判斷是否滿足判斷框中的條件，直到滿足條件輸出S，結(jié)束循環(huán)，得到所求．
【解答】解：經(jīng)過第一次循環(huán)得到S=0+13，不滿足S≥50，x=2，
執(zhí)行第二次循環(huán)得到S=13+23，不滿足S≥50，x=4，
執(zhí)行第三次循環(huán)得到S=13+23+43=73，
滿足判斷框的條件，退出循環(huán)，執(zhí)行“是”，輸出S=73．
故選：B．

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)，先執(zhí)行后判定是直到型循環(huán)，解決程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)時(shí)，常采用寫出前幾次循環(huán)的結(jié)果，找規(guī)律．
　
4．（5分）已知下列三個(gè)命題：
①若一個(gè)球的半徑縮小到原來的，則其體積縮小到原來的；
②若兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等，則它們的標(biāo)準(zhǔn)差也相等；
③直線x+y+1=0與圓相切．
其中真命題的序號(hào)是（　?。?br /> A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
【分析】對(duì)于①由球的體積公式V=可知①正確；對(duì)于②通過舉反例，如2，2，2和1，2，3；這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等，它們的標(biāo)準(zhǔn)差不相等，故②錯(cuò)；對(duì)于③利用圓的圓心到直線x+y+1=0的距離與圓的半徑之間的關(guān)系進(jìn)行判斷即可．
【解答】解：①由球的體積公式V=可知，若一個(gè)球的半徑縮小到原來的，則其體積縮小到原來的；故①正確；
②若兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等，則它們的標(biāo)準(zhǔn)差不一定相等，如2，2，2和1，2，3；這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等，它們的標(biāo)準(zhǔn)差不相等，故②錯(cuò)；
③圓的圓心到直線x+y+1=0的距離d==半徑r，故直線x+y+1=0與圓相切，③正確．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，主要考查了球的體積公式、平均數(shù)和方差、直線與圓的位置關(guān)系等，屬于基礎(chǔ)題．
　
5．（5分）已知雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線與拋物線y2=2px（p＞0）的準(zhǔn)線分別交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若雙曲線的離心率為2，△AOB的面積為，則p=（　?。?br /> A．1 B． C．2 D．3
【分析】求出雙曲線的漸近線方程與拋物線y2=2px（p＞0）的準(zhǔn)線方程，進(jìn)而求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再由雙曲線的離心率為2，△AOB的面積為，列出方程，由此方程求出p的值．
【解答】解：∵雙曲線，
∴雙曲線的漸近線方程是y=±x
又拋物線y2=2px（p＞0）的準(zhǔn)線方程是x=﹣，
故A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別是y=±，雙曲線的離心率為2，所以，
∴則，
A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別是y=±=，
又，△AOB的面積為，x軸是角AOB的角平分線
∴，得p=2．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓錐曲線的共同特征，解題的關(guān)鍵是求出雙曲線的漸近線方程，解出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，列出三角形的面積與離心率的關(guān)系也是本題的解題關(guān)鍵，有一定的運(yùn)算量，做題時(shí)要嚴(yán)謹(jǐn)，防運(yùn)算出錯(cuò)．
　
6．（5分）在△ABC中，∠ABC=，AB=，BC=3，則sin∠BAC=（　?。?br /> A． B． C． D．
【分析】由AB，BC及cos∠ABC的值，利用余弦定理求出AC的長(zhǎng)，再由正弦定理即可求出sin∠BAC的值．
【解答】解：∵∠ABC=，AB=，BC=3，
∴由余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB?BC?cos∠ABC=2+9﹣6=5，
∴AC=，
則由正弦定理=得：sin∠BAC==．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了正弦、余弦定理，熟練掌握正弦、余弦定理是解本題的關(guān)鍵．
　
7．（5分）函數(shù)f（x）=2x|log0.5x|﹣1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（　?。?br /> A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】通過令f（x）=0，將方程的解轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，從而判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．
【解答】解：函數(shù)f（x）=2x|log0.5x|﹣1，令f（x）=0，
在同一坐標(biāo)系中作出y=（）x．與y=|log0.5x|，如圖，
由圖可得零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2．
故選：B．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)，函數(shù)的圖象的作法，考查數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化思想．
　
8．（5分）已知函數(shù)f（x）=x（1+a|x|）．設(shè)關(guān)于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集為A，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　?。?br /> A． B．
C． D．
【分析】排除法：取a=﹣，由f（x+a）＜f（x），得（x﹣）|x﹣|+1＞x|x|，分x＜0，0≤x≤，x＞討論，可得A，檢驗(yàn)是否符合題意，可排除B、D；取a=1，由f（x+a）＜f（x），得（x+1）|x+1|+1＞x|x|，分x＜﹣1，﹣1≤x≤0，x＞0進(jìn)行討論，檢驗(yàn)是否符合題意，排除C．
【解答】解：取a=﹣時(shí)，f（x）=﹣x|x|+x，
∵f（x+a）＜f（x），
∴（x﹣）|x﹣|+1＞x|x|，
（1）x＜0時(shí)，解得﹣＜x＜0；
（2）0≤x≤時(shí)，解得0；
（3）x＞時(shí)，解得，
綜上知，a=﹣時(shí)，A=（﹣，），符合題意，排除B、D；
取a=1時(shí)，f（x）=x|x|+x，
∵f（x+a）＜f（x），∴（x+1）|x+1|+1＜x|x|，
（1）x＜﹣1時(shí)，解得x＞0，矛盾；
（2）﹣1≤x≤0，解得x＜0，矛盾；
（3）x＞0時(shí)，解得x＜﹣1，矛盾；
綜上，a=1，A=?，不合題意，排除C，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的單調(diào)性、二次函數(shù)的性質(zhì)、不等式等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，注意排除法在解決選擇題中的應(yīng)用．
　
二．填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.
9．（5分）已知a，b∈R，i是虛數(shù)單位．若（a+i）（1+i）=bi，則a+bi=　1+2i?。?br /> 【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法展開等式的左邊，通過復(fù)數(shù)的相等，求出a，b的值即可得到結(jié)果．
【解答】解：因?yàn)椋╝+i）（1+i）=bi，
所以a﹣1+（a+1）i=bi，
所以，解得a=1，b=2，
所以a+bi=1+2i．
故答案為：1+2i．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算，復(fù)數(shù)相等條件的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．
　
10．（5分）的二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)為　15　．
【分析】利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式Tr+1=?（﹣1）r?中x的冪指數(shù)為0即可求得答案．
【解答】解；設(shè)的二項(xiàng)展開式中的通項(xiàng)為Tr+1，則Tr+1=?（﹣1）r?，
由6﹣r=0得：r=4．
∴的二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)為?（﹣1）4==15．
故答案為：15．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，利用其二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求得r=4是關(guān)鍵，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．
　
11．（5分）已知圓的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ，圓心為C，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為，則|CP|=　?。?br /> 【分析】求出圓的直角坐標(biāo)方程，求出圓的圓心坐標(biāo)，化P的極坐標(biāo)為直角坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式求出距離即可．
【解答】解：圓的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ，圓的方程為：x2+y2=4x，圓心為C（2，0），
點(diǎn)P的極坐標(biāo)為，所以P的直角坐標(biāo)（2，2），
所以|CP|==2．
故答案為：2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，點(diǎn)的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化，兩點(diǎn)的距離公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．
　
12．（5分）在平行四邊形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E為CD的中點(diǎn)．若，則AB的長(zhǎng)為　　．
【分析】利用向量的三角形法則和平行四邊形法則和數(shù)量積得運(yùn)算即可得出．
【解答】解：∵，．
∴==
=+﹣==1，
化為，
∵，∴．
故答案為．

【點(diǎn)評(píng)】熟練掌握向量的三角形法則和平行四邊形法則和數(shù)量積得運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．
　
13．（5分）如圖，△ABC為圓的內(nèi)接三角形，BD為圓的弦，且BD∥AC．過點(diǎn)A做圓的切線與DB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，AD與BC交于點(diǎn)F．若AB=AC，AE=6，BD=5，則線段CF的長(zhǎng)為　?。?br />
【分析】利用切割線定理求出EB，證明四邊形AEBC是平行四邊形，通過三角形相似求出CF即可．
【解答】解：如圖由切角弦定理得∠EAB=∠ACB，又因?yàn)?，AB=AC，所以∠EAB=∠ABC，
所以直線AE∥直線BC，又因?yàn)锳C∥BE，所以是平行四邊形．
因?yàn)锳B=AC，AE=6，BD=5，∴AC=AB=4，BC=6．
△AFC∽△DFB，

即：，
CF=，
故答案為：．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的切割線定理，三角形相似，考查邏輯推理能力與計(jì)算能力．
　
14．（5分）設(shè)a+b=2，b＞0，則當(dāng)a=　﹣2　時(shí)，取得最小值．
【分析】由于a+b=2，b＞0，從而=，（a＜2），設(shè)f（a）=，（a＜2），畫出此函數(shù)的圖象，結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，即可得出答案．
【解答】解：∵a+b=2，b＞0，
∴=，（a＜2）
設(shè)f（a）=，（a＜2），畫出此函數(shù)的圖象，如圖所示．
利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性得，
當(dāng)a＜0時(shí)，f（a）=﹣+，
f′（a）==，當(dāng)a＜﹣2時(shí)，f′（a）＜0，當(dāng)﹣2＜a＜0時(shí)，f′（a）＞0，
故函數(shù)在（﹣∞，﹣2）上是減函數(shù)，在（﹣2，0）上是增函數(shù)，
∴當(dāng)a=﹣2時(shí)，取得最小值．
同樣地，當(dāng)0＜a＜2時(shí)，得到當(dāng)a=時(shí)，取得最小值．
綜合，則當(dāng)a=﹣2時(shí)，取得最小值．
故答案為：﹣2．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)在最值問題的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．
　
三．解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
15．（13分）已知函數(shù)f（x）=﹣sin（2x+）+6sinxcosx﹣2cos2x+1，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間上的最大值和最小值．
【分析】（I）利用兩角和的正弦公式將sin（2x+）展開，結(jié)合二倍角的正余弦公式化簡(jiǎn)合并，得f（x）=2sin2x﹣2cos2x，再利用輔助角公式化簡(jiǎn)得f（x）=2sin（2x﹣），最后利用正弦函數(shù)的周期公式即可算出f（x）的最小正周期；
（II）根據(jù)x∈，得﹣≤2x﹣≤．再由正弦函數(shù)在區(qū)間[﹣，]上的圖象與性質(zhì)，可得f（x）在區(qū)間上的最大值為與最小值．
【解答】解：（I）∵sinxcosx=sin2x，cos2x=（1+cos2x）
∴f（x）=﹣sin（2x+）+6sinxcosx﹣2cos2x+1=﹣sin2x﹣cos2x+3sin2x﹣（1+cos2x）+1
=2sin2x﹣2cos2x=2sin（2x﹣）
因此，f（x）的最小正周期T==π；
（II）∵0≤x≤，∴﹣≤2x﹣≤
∴當(dāng)x=0時(shí)，sin（2x﹣）取得最小值﹣；當(dāng)x=時(shí)，sin（2x﹣）取得最大值1
由此可得，f（x）在區(qū)間上的最大值為f（）=2；最小值為f（0）=﹣2．
【點(diǎn)評(píng)】本小題主要考查兩角和與差的正弦公式、二倍角的正弦與余弦公式、三角函數(shù)的最小正周期和函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的單調(diào)性等知識(shí)，考查基本運(yùn)算能力，屬于中檔題．
　
16．（13分）一個(gè)盒子里裝有7張卡片，其中有紅色卡片4張，編號(hào)分別為1，2，3，4； 白色卡片3張，編號(hào)分別為2，3，4．從盒子中任取4張卡片 （假設(shè)取到任何一張卡片的可能性相同）．
（Ⅰ）求取出的4張卡片中，含有編號(hào)為3的卡片的概率．
（Ⅱ）在取出的4張卡片中，紅色卡片編號(hào)的最大值設(shè)為X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
【分析】（I）從7張卡片中取出4張的所有可能結(jié)果數(shù)有，然后求出取出的4張卡片中，含有編號(hào)為3的卡片的結(jié)果數(shù)，代入古典概率的求解公式即可求解
（II）先判斷隨機(jī)變量X的所有可能取值為1，2，3，4，根據(jù)題意求出隨機(jī)變量的各個(gè)取值的概率，即可求解分布列及期望值
【解答】解：（I）設(shè)取出的4張卡片中，含有編號(hào)為3的卡片為事件A，則
P（A）==
所以，取出的4張卡片中，含有編號(hào)為3的卡片的概率為
（II）隨機(jī)變量X的所有可能取值為1，2，3，4
P（X=1）=
P（X=2）=
P（X=3）==
P（X=4）==
X的分布列為
EX==
x
1
2
3
4
P




【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了古典概型及計(jì)算公式，互斥事件、離散型隨機(jī)變量的分布列及期望值的求解，考查了運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問題的能力．
　
17．（13分）如圖，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，側(cè)棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E為棱AA1的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明B1C1⊥CE；
（Ⅱ）求二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值．
（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)M在線段C1E上，且直線AM與平面ADD1A1所成角的正弦值為，求線段AM的長(zhǎng)．

【分析】（Ⅰ）由題意可知，AD，AB，AA1兩兩互相垂直，以a為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，標(biāo)出點(diǎn)的坐標(biāo)后，求出和，由得到B1C1⊥CE；
（Ⅱ）求出平面B1CE和平面CEC1的一個(gè)法向量，先求出兩法向量所成角的余弦值，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系求出其正弦值，則二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值可求；
（Ⅲ）利用共線向量基本定理把M的坐標(biāo)用E和C1的坐標(biāo)及待求系數(shù)λ表示，求出平面ADD1A1的一個(gè)法向量，利用向量求線面角的公式求出直線AM與平面ADD1A1所成角的正弦值，代入求出λ的值，則線段AM的長(zhǎng)可求．
【解答】（Ⅰ）證明：以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
依題意得A（0，0，0），B（0，0，2），C（1，0，1），B1（0，2，2），C1（1，2，1），E（0，1，0）．
則，
而=0．
所以B1C1⊥CE；
（Ⅱ）解：，
設(shè)平面B1CE的法向量為，
則，即，取z=1，得x=﹣3，y=﹣2．
所以．
由（Ⅰ）知B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1，所以B1C1⊥平面CEC1，
故為平面CEC1的一個(gè)法向量，
于是=．
從而==．
所以二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值為．
（Ⅲ）解：，
設(shè) 0≤λ≤1，
有．
取為平面ADD1A1的一個(gè)法向量，
設(shè)θ為直線AM與平面ADD1A1所成的角，
則=
=．
于是．
解得．所以．
所以線段AM的長(zhǎng)為．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線與平面垂直的性質(zhì)，考查了線面角和二面角的求法，運(yùn)用了空間向量法，運(yùn)用此法的關(guān)鍵是建立正確的空間坐標(biāo)系，再就是理解并掌握利用向量求線面角及面面角的正弦值和余弦值公式，是中檔題．
　
18．（13分）設(shè)橢圓=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)為F，離心率為，過點(diǎn)F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)A，B分別為橢圓的左，右頂點(diǎn)，過點(diǎn)F且斜率為k的直線與橢圓交于C，D兩點(diǎn)．若=8，求k的值．
【分析】（Ⅰ）先根據(jù)橢圓方程的一般形式，令x=c代入求出弦長(zhǎng)使其等于，再由離心率為，可求出a，b，c的關(guān)系，進(jìn)而得到橢圓的方程．
（Ⅱ）直線CD：y=k（x+1），設(shè)C（x1，y1），D（x2，y2），由消去y得，（2+3k2）x2+6k2x+3k2﹣6=0，再由韋達(dá)定理進(jìn)行求解．求得，利用=8，即可求得k的值．
【解答】解：（Ⅰ）根據(jù)橢圓方程為．
∵過焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為，
∴當(dāng)x=﹣c時(shí)，，得y=±，
∴=，
∵離心率為，∴=，
解得b=，c=1，a=．
∴橢圓的方程為；
（Ⅱ）直線CD：y=k（x+1），
設(shè)C（x1，y1），D（x2，y2），
由消去y得，（2+3k2）x2+6k2x+3k2﹣6=0，
∴x1+x2=﹣，x1x2=，又A（﹣，0），B（，0），
∴
=（x1+，y1）?（﹣x2．﹣y2）+（x2+，y2）?（﹣x1．﹣y1），
=6﹣（2+2k2）x1x2﹣2k2（x1+x2）﹣2k2，
=6+=8，解得k=．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)等，考查方程思想．在橢圓中一定要熟練掌握a，b，c之間的關(guān)系、離心率、準(zhǔn)線方程等基本性質(zhì)．
　
19．（14分）已知首項(xiàng)為的等比數(shù)列{an}不是遞減數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn（n∈N*），且S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)Tn=Sn﹣（n∈N*），求數(shù)列{Tn}的最大項(xiàng)的值與最小項(xiàng)的值．
【分析】（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差數(shù)列，可構(gòu)造關(guān)于q的方程，結(jié)合首項(xiàng)為的等比數(shù)列{an}不是遞減數(shù)列，求出q值，可得答案．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得Sn的表達(dá)式，由于數(shù)列為擺動(dòng)數(shù)列，故可分類討論求出在n為奇數(shù)和偶數(shù)時(shí)的范圍，綜合討論結(jié)果，可得答案．
【解答】解：（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，
∵S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差數(shù)列．
∴S5+a5﹣（S3+a3）=S4+a4﹣（S5+a5）
即4a5=a3，
故q2==
又∵數(shù)列{an}不是遞減數(shù)列，且等比數(shù)列的首項(xiàng)為
∴q=﹣
∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=×（﹣）n﹣1=（﹣1）n﹣1?
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
Sn=1﹣（﹣）n=
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn隨n的增大而減小，所以1＜Sn≤S1=
故0＜≤=﹣=
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn隨n的增大而增大，所以1＞Sn≥S2=
故0＞≥=﹣=
綜上，對(duì)于n∈N*，總有≤≤
故數(shù)列{Tn}的最大項(xiàng)的值為，最小項(xiàng)的值為
【點(diǎn)評(píng)】本小題主要考查等差數(shù)列的概念，等比數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式，數(shù)列的基本性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查分類討論思想，考查運(yùn)算能力、分析問題和解析問題的能力．
　
20．（14分）已知函數(shù)f（x）=x2lnx．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）證明：對(duì)任意的t＞0，存在唯一的s，使t=f（s）．
（Ⅲ）設(shè)（Ⅱ）中所確定的s關(guān)于t的函數(shù)為s=g（t），證明：當(dāng)t＞e2時(shí)，有．
【分析】（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），求導(dǎo)數(shù)令f′（x）=0，可解得x=，由導(dǎo)數(shù)在（0，），和（ ，+∞）的正負(fù)可得單調(diào)性；（Ⅱ）當(dāng)0＜x≤1時(shí)，f（x）≤0，設(shè)t＞0，令h（x）=f（x）﹣t，x∈[1，+∞），由（Ⅰ）可得函數(shù)h（x）的單調(diào)性，可得結(jié)論；（Ⅲ）令u=lns，原命題轉(zhuǎn)化為0＜lnu＜，一方面由f（s）的單調(diào)性，可得u＞1，從而lnu＞0成立，另一方面，令F（u）=lnu﹣，u＞1，通過函數(shù)的單調(diào)性可得極值最值，進(jìn)而得證．
【解答】解：（Ⅰ）由題意可知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），
求導(dǎo)數(shù)可得f′（x）=2xlnx+x2?=2xlnx+x=x（2lnx+1），
令f′（x）=0，可解得x=，
當(dāng)x變化時(shí)，f′（x），f（x）的變化情況如下表：
x
（0，）

（ ，+∞）
f′（x）
﹣
0
+
f（x）
單調(diào)遞減
極小值
單調(diào)遞增
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，），單調(diào)遞增區(qū)間為（ ，+∞）
（Ⅱ）證明：當(dāng)0＜x≤1時(shí)，f（x）≤0，設(shè)t＞0，令h（x）=f（x）﹣t，x∈[1，+∞），
由（Ⅰ）可知，h（x）在區(qū)間（1，+∞）單調(diào)遞增，h（1）=﹣t＜0，h（et）=e2tlnet﹣t=t（e2t﹣1）＞0，
故存在唯一的s∈（1，+∞），使得t=f（s）成立；
（Ⅲ）證明：因?yàn)閟=g（t），由（Ⅱ）知，t=f（s），且s＞1，
從而====，其中u=lns，
要使成立，只需，
即2＜，即2＜2+，
只需，變形可得只需0＜lnu＜，
當(dāng)t＞e2時(shí)，若s=g（t）≤e，則由f（s）的單調(diào)性，有t=f（s）≤f（e）=e2，矛盾，
所以s＞e，即u＞1，從而lnu＞0成立，
另一方面，令F（u）=lnu﹣，u＞1，F(xiàn)′（u）=，
令F′（u）=0，可解得u=2，
當(dāng)1＜u＜2時(shí)，F(xiàn)′（u）＞0，當(dāng)u＞2時(shí)，F(xiàn)′（u）＜0，
故函數(shù)F（u）在u=2處取到極大值，也是最大值F（2）=ln2﹣1＜0，
故有F（u）=lnu﹣＜0，即lnu＜，
綜上可證：當(dāng)t＞e2時(shí)，有成立．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，涉及極值的求解和不等式的證明，屬中檔題．
　

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