1．設(shè)全集，集合，，則（ ）
A. B. C. D.
2.“為整數(shù)”是“為整數(shù)”的（ ）條件
A. 充分而不必要 B. 必要而不充分 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要
3.函數(shù)的圖像為（ ）
4. 為研究某藥品的療效，選取若干名志愿者進(jìn)行臨床試驗，所有志愿者的舒張壓數(shù)據(jù)（單位：）的分
組區(qū)間為，，，，，將其按從左到右的順序分別編號為第一組，第二組，，
第五組.右圖是根據(jù)試驗數(shù)據(jù)制成的頻率分布直方圖.已知第一組與第二組共有20人，第三組中沒有療效的
有6人，則第三組中有療效的人數(shù)為（ ）
A. 8 B. 12 C. 16 D. 18
5. ，，，比較，，的大小（ ）
A. B. C. D.
6. 化簡的值為（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 6
7.拋物線方程：，、分別是雙曲線方程：（，）的左、右焦點，拋物線
的準(zhǔn)線過雙由線的左焦點，準(zhǔn)線與漸近線交于點，若，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A. B. C. D.
8. 如圖，“十字歇山”是由兩個直三棱柱重疊后的景象，重疊后的底面為正方形，直三棱柱的底面形狀為頂角為，腰為3的等腰三角形，則該幾何體的體積為（ ）
A. 23 B. 24 C. 26 D. 27
9. 已知，關(guān)于該函數(shù)有下面四個說法：
① 的最小正周期為； ② 在上單調(diào)遞增；
③ 當(dāng)時，的取值范圍為；
④ 的圖象可由向左平移個單位長度得到.
以上四個說法中，正確的個數(shù)有（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分.試題中包含兩個空的，答對1個的給3分，全部答對的給5分。
10. 已知是虛數(shù)單位，化簡的結(jié)果為____________.
11. 展開式中的常數(shù)項為_________.
12. 直線與圓相交所得的弦長為，則_____.
13. 52張撲克牌，沒有大小王；無放回地抽取兩次，則兩次都抽到A的概率為_____；已知第一次抽到的是
A，則第二次抽到A的概率為____.
14. 在中，，，是的中點，；試用，表示為 ，若，則的最大值為_______.
15. 設(shè)，對于任意實數(shù)，記，若至少有個零點，則實數(shù)的取值范圍為 .
三、解答題：共計5題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
16.在中，角，，的對邊分別為，，，已知，，.
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值.
17.直三棱柱中，，，，為中點，為中點，
為中點.
（1）求證：；
（2）求直線與平面夾角的正弦值；
（3）求平面與平面二面角的余弦值.
18.設(shè)是等差數(shù)列；是等比數(shù)列，．
（1）求與的通項公式；
（2）設(shè)的前項和為，求證：；
（3）求.
19. 已知橢圓（）的右焦點為，右頂點為，上頂點為，且滿足.
（1）求橢圓的離心率；
（2）直線與橢圓有唯一公共點M，與軸相交于點N（N異于M），記為坐標(biāo)原點，若，
且的面積為，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
20.已知，， 函數(shù)，.
（1）求函數(shù)在處的切線方程；
（2）若和有公共點，求：
（i） 當(dāng)時，求的取值范圍；
（ii）求證：．
——————————————————————————————————————————————
2022年天津市高考數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題：本題共9小題，每小題5分，共45分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1：設(shè)全集，集合，，則（ ）
【思路分析】由已知求得，則答案可求。
【解析】
【試題評價】本題考察集合的交集和補集的知識，屬于基礎(chǔ)題。
2：“是整數(shù)”是“為整數(shù)”的（ ）條件
A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
【思路分析】結(jié)合實數(shù)的分類知識即可解決問題。
【解析】當(dāng)是整數(shù)，則為整數(shù)(奇數(shù)），所以是充分條件，當(dāng)時，為整數(shù)，但不是整數(shù)，所以不是必要條件，故選：A
【試題評價】本題考察充分條件必要條件的知識，屬于基礎(chǔ)題。
3：函數(shù)的圖像為（ ）
【思路分析】借助函數(shù)的性質(zhì)及特殊值即可解決問題。
【解析】因為，所以為奇函數(shù)，又當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，時，，所以在上單調(diào)遞減，故圖像如圖所示．
【試題評價】本題考察函數(shù)性質(zhì)中的奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，并體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題。
5：已知，，，比較的大?。? ）
【思路分析】指數(shù)值與0或1，對數(shù)值與0比較大小即可。
【解析】因為，，，故
【試題評價】本題考察指數(shù)值和對數(shù)值的比較大小，解決這一類題目往往要結(jié)合單調(diào)性并借助于中間值0或1，屬于基礎(chǔ)題。
6. 化簡的值為（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 6
【思路解析】用對數(shù)公式和換底公式得到答案.
【解析】因為
.故選：B.
【試題評價】本題考查對數(shù)運算和換底公式，屬于基礎(chǔ)題.
7.拋物線方程：，、分別是雙曲線方程：（，）的左、右焦點，拋物線的準(zhǔn)線過雙曲線的左焦點，準(zhǔn)線與漸近線交于點，若，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A. B. C. D.
【思路解析】由題意畫出圖象， 是等腰直角三角形找出等量關(guān)系.
【解析】拋物線準(zhǔn)線為，故．雙曲線漸近線，不妨令在軸上方，則由于，故可得，故選．
【試題評價】本題考查圓錐曲線性質(zhì)，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.
8. 如圖，“十字歇山”是由兩個直三棱柱重疊后的景象，重疊后的底面為正方形，直三棱柱的底面形狀為頂角為，腰為3的等腰三角形，則該幾何體的體積為（ ）
A. 23 B. 24 C. 26 D. 27
【思路解析】 根據(jù)圖片抽象出圖形是由兩個三棱柱重疊的，然后根據(jù)幾何體的體積公式求出答案.
【解析】是等腰三角形，三角形的高，底面BCDE是邊長為的正方形， ，，.故選：D.
【試題評價】本題考查幾何體體積的求法，考查學(xué)生數(shù)學(xué)的直觀抽象能力，屬于中檔題.
9. 已知，關(guān)于該函數(shù)有下面四個說法：
① 的最小正周期為； ② 在上單調(diào)遞增；
③ 當(dāng)時，的取值范圍為；
④ 的圖象可由向左平移個單位長度得到.
以上四個說法中，正確的個數(shù)有（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【思路解析】正弦型三角函數(shù)的周期公式，將當(dāng)作整體求三角函數(shù)單調(diào)性和值域，三角函數(shù)平移變換注意左加右減針對的變換.
【解析】①的最小正周期為，故①錯誤；
②方法1：當(dāng)時，遞增，
又因為，在上單調(diào)遞增，②正確；
方法2： 當(dāng)，則，在上單調(diào)遞增，②正確；
③當(dāng)時，，，③錯誤；
④的圖象可由向右平移個單位長度得到，④錯誤．故選A．
【試題評價】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)：周期性、單調(diào)性、值域、平移變換，屬于中檔題.
二、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分.試題中包含兩個空的，答對1個的給3分，全部答對的給5分。
10. 已知是虛數(shù)單位，化簡的結(jié)果為____________.
【思路分析】分子、分母同時乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，進(jìn)行分母實數(shù)化，再化簡.
【解析】，故填．
【試題評價】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，是基礎(chǔ)題．
11. 展開式中的常數(shù)項為_________.
【思路分析】根據(jù)二項式定理，得通項，
再令即可．
【解析】．
【試題評價】本題考查二項式定理及展開式中的特定項求解，考查學(xué)生對二項展開式的通項掌握情況，是基礎(chǔ)題．
12. 直線與圓相交所得的弦長為，則_____.
【思路分析】利用弦心距、半弦長與半徑的關(guān)系求解.
【解析】
【試題評價】本題考查直線與圓的位置關(guān)系中的弦長問題，是基礎(chǔ)題．
13. 52張撲克牌，沒有大小王；無放回地抽取兩次，則兩次都抽到A的概率為_____；已知第一次抽到的是A，則第二次抽到A的概率為____.
【思路分析】首先要理解無放回抽取和條件概率的區(qū)別.記第一次抽到A為事件A，第二次抽到A為事件B,先求出第一次抽到A的概率再求出兩次都抽到A的概率為.
【解析】記第一次抽到A為事件A，第二次抽到A為事件B，則．故．
也可以這樣理解：
【試題評價】本題考查無放回抽取和條件概率，是中等題.
14. 在中，，，是的中點，；試用，表示為 ，若，
則的最大值為_______.
【思路分析】利用向量的線性表示，用，表示.求的最大值有兩種思路，一是借助向量垂直找出的關(guān)系，再借助不等式的性質(zhì)，求出的范圍，從而求出最大值..二是借助解析幾何，建立平面直角坐標(biāo)系，通過坐標(biāo)解決這個問題。
【解析】
最大值的求法：
【解法一】：
的最大值為.
【解法二】（黃文冰補解）：如圖所示，建立坐標(biāo)系,不妨設(shè)
的軌跡為以為圓心，以為半徑的圓，當(dāng)且僅當(dāng)與圓相切時，最大，此時
【試題評價】本題考查向量的線性表示，平面向量的垂直問題，基本不等式的應(yīng)用，解析法在平面向量中
的應(yīng)用， 是中等題.
15. 設(shè)，對于任意實數(shù)，記，若至少有個零點，則實數(shù)的
取值范圍為 .
【思路分析】已知函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)的取值范圍，常利用數(shù)形結(jié)合法將其轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象的交
點個數(shù)問題，通過準(zhǔn)確畫出兩個函數(shù)的圖象，利用圖象寫出滿足條件的參數(shù)的取值范圍.
【解析】
【解法一】：令，令，則方程的判別式，
（1）當(dāng)時，則函數(shù)無零點，從而不可能有個以上的零點；
（2）當(dāng)時，則或，
①當(dāng)時，有2個零點，不符合要求；
②當(dāng)時，有3個零點，符合要求；
（3）當(dāng)時，則或，
①當(dāng)時，函數(shù)對稱軸，若至少有個零點，則要求，即，從而；
②當(dāng)時，函數(shù)對稱軸，此時只有個零點，綜上所述，．
【解法二】：
設(shè)在上的零點才會成為的零點，
只有在時才會成為的零點，至少有個零點有以下三種情況：
①且在上有兩個零點，
轉(zhuǎn)化為與的交點
②
且在上有兩個零點
③且在上至少有一個零點，
綜上所述：的取值范圍是
【解法三】（郭倩補解）令，所以有兩個零點
設(shè)
因為至少有三個零點，所以至少有2個零點
所以，即或
因為
所以，所以恒過定點
當(dāng)時，函數(shù)對稱軸，
此時在上至少有一個零點，符合題意，此時
當(dāng)時，函數(shù)對稱軸，
若有且只有一個零點，則，且，不符合題意，舍去
若有兩個零點、
如果，不符合題意，舍去
如果，不符合題意，舍去
如果，即且，但是無解，舍去
綜上所述，．
【試題評價】本題考查根據(jù)函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍，數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸思想在解決函數(shù)零點中的應(yīng)用，是難題.
三、解答題：共計5題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
16.在中，角，，的對邊分別為，，，已知，，.
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值.
【思路分析】先根據(jù)余弦定理的推論，求出.再根據(jù)正弦定理求出,最后再利用三角恒等變換公式求出.
【解析】（1）由余弦定理知，，解得．
（2）由，知，因為，所以．
（3）因為，所以為鈍角，為銳角，從而，又因為，，所以．
【試題評價】本題考查正余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，以及三角恒等變換在解題中的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.
17.直三棱柱中，，，，為中點，為中點，
為中點.
（1）求證：；
（2）求直線與平面夾角的正弦值；
（3）求平面與平面二面角的余弦值.
【思路分析】
（1）法1.連接，取的中點，連接，．通過證明平面平面，得出平面；
法2. 連接，取的中點，取的中點，取的中點，連接，，，．
先證明四邊形為平行四邊形，從而得出平面.
（2）以為坐標(biāo)原點，，，分別為軸，軸，軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系．將線面角的求解問題轉(zhuǎn)化成法向量的求解問題，先求出平面的一個法向量為，從而得出答案；
（3）在第（2）問基礎(chǔ)上，求出平面的一個法向量為，將二面角的求解問題轉(zhuǎn)化為兩個半平面的法向量的夾角問題，從而解決問題.
【解析】（1）方法1：（面面平行）
如圖1，連接，取的中點，連接，．
∵為中點，∴為的中位線，∴，
∵平面，平面，
∴平面，
∵、分別為和中點，∴為梯形的中位線，∴，
∵平面，平面，
∴平面，
∵,∴平面平面，
∵平面，∴平面．
方法2:（線面平行）
如圖1，連接，取的中點，取的中點，取的中點，連接，，，．
在直三棱柱中，，，
∴四邊形是平行四邊形，∴且，
∵、分別為和中點，
∴為的中位線，∴且，
同理可證：且，
∴且，
∴四邊形為平行四邊形，∴，
∵平面，平面，
∴平面．
（2）在直三棱柱中，，，以為坐標(biāo)原點，，，分別為軸，軸，軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系．則
，，，
設(shè)平面的法向量為，則
，
令，則，，∴．
記直線與平面夾角為，
∴，
∴直線與平面夾角的正弦值．
（3）由（2）得：平面的法向量為，
易得，，
設(shè)平面的法向量為，則
，
令，則，，∴．
記平面與平面的夾角為，
∴，
∴平面與平面夾角的余弦值．
【試題評價】本題考查線面平行的證明，借助空間向量進(jìn)行線面角和二面角的求解，是中等題.
18.設(shè)是等差數(shù)列；是等比數(shù)列，．
（1）求與的通項公式；
（2）設(shè)的前項和為，求證：；
（3）求.
【思路分析】（1）根據(jù)是等差，是等比轉(zhuǎn)換成基本量即可求解
（2）先根據(jù)通項求出前項和為，進(jìn)而求出、，是等比及通項即可求出，再代入要證式即可。
（3）根據(jù)問題發(fā)現(xiàn)有 故考慮兩項兩項合并，在利用公式求和。
【解析】（1）設(shè)公差為，公比為，
，由
可得即
（2）證明（法1）：（分析法）
所以即證
即證
即證
即證
（法2）有（1）知
所以要證左邊為
要證右邊為
所以問題得證。
(3)根據(jù)題意知
所以
【試題評價】等差數(shù)列、等比的概念、等差、等比數(shù)列的通項公式及前和是本題的主要考
查點，這些知識點屬于新課程標(biāo)準(zhǔn)對數(shù)列這部分內(nèi)容的基本要求。試題考查考生借助基本量（首項和前幾項）求解等差等比數(shù)列的能力，考查內(nèi)容是數(shù)列的基礎(chǔ)知識，形式是考生熟悉的，所求結(jié)論也是考生常見的試題的解題思路多樣，但不同的方法能很好地區(qū)分各個層次考生的邏輯思維能力。試題出現(xiàn)在基本題部分，可以有效緩解考生考試的緊張情緒，增強考生的考試信心，促使考生正常發(fā)揮。
19：已知橢圓方程，F(xiàn)為右焦點，A為右頂點，B為上頂點，
(1)求橢圓離心率e
(2)已知直線與橢圓有唯一交點M，直線交軸于點N，,面積為，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
【思路分析】第一問由轉(zhuǎn)化為橢圓的參數(shù)之間等量關(guān)系進(jìn)而可以求出離心率；第二問先由橢圓和直線方程聯(lián)立，橢圓和直線的唯一交點M的橫縱坐標(biāo)均用所設(shè)直線方程中參數(shù)k和m表示，再通過及兩個條件找到k和m兩個等式進(jìn)而求出m值后解出橢圓方程。
【解析】（1）
所以
（2）由（1）可知橢圓方程為，設(shè)
聯(lián)立，得
由
由，且，得且
所以，所以
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
【試題評價】本題考察橢圓的基本性質(zhì)及平面解析幾何問題中的一些運算和等價轉(zhuǎn)換，第二問體現(xiàn)出非常強的數(shù)形結(jié)合思想，在天津市高考試題中屬于中等難度題。
20.已知，， 函數(shù)，.
（1）求函數(shù)在處的切線方程；
（2）若和有公共點，求：
（i） 當(dāng)時，求的取值范圍；
（ii）求證：．
【思路分析】第一問易求；常規(guī)基礎(chǔ)題，重點分析第二問；第二問的第一問用兩種方法；方法一是主要考
察轉(zhuǎn)化與劃歸思想、數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；把兩個函數(shù)有交點的問題轉(zhuǎn)化為方程有解，進(jìn)而構(gòu)造新函數(shù)，
利用隱零點技術(shù)進(jìn)行巧妙代換，從而實現(xiàn)所求取值范圍；方法二是而難點是最后一個小問，將從三個維度
進(jìn)行分析，一是柯西不等式，經(jīng)過巧妙構(gòu)造之后利用放縮得證；二是基本不等式以及利用不等式的放縮來
處理；三是線性規(guī)劃；數(shù)形結(jié)合同時利用函數(shù)的凸凹性等等；以上方法在處理不等式問題時都是常用方法。
【解析】（1）由已知得 故而切線方程；
（2）(i)【解法一】：由已知得和有公共點，即有解，
故設(shè) 化為有解，易知b>0;
又 設(shè)
故在定義域上單調(diào)遞增；
當(dāng)x趨近于0時，；當(dāng)x趨近于時，；
故存在，使，即
此時，在；
，問題轉(zhuǎn)化為即可；
又
且，易知當(dāng)時，
故實數(shù)的取值范圍是：
【解法二】： 由題意得有解，
且在上有解，設(shè) ，
則，當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，
單調(diào)遞減，要使得有零點，必須滿足
即；
另一方面，當(dāng)時，在上存在實數(shù)解，符合題意；
實數(shù)的取值范圍是：
(ii)【解法一】（高峰補解）：柯西不等式：
令交點橫坐標(biāo)為，則，
由柯西不等式：
得
即證：
又設(shè)；往證；
因為，可知
故；
再設(shè)往證；
因為，可知
故；
故而 .原命題得證.
【解法二】：基本不等式令交點橫坐標(biāo)為，則，
則由基本不等式，
因此有：原命題得證.
【解法三】：線性規(guī)劃法，
假設(shè)，下證明：
令，欲證上述不等式，即證明：
令，先研究的單調(diào)性和凹凸性：
當(dāng)時取最小值，且在遞減，在遞增，
；
是定義域內(nèi)的凹函數(shù).，注意到且，
綜合以上信息可知和為曲線的兩條切線.
又根據(jù)的凹凸性可知欲證明成立，
只需證明：直線在兩條切線和軸圍成的區(qū)域（包含函數(shù)圖像）下方，，
只需兩條切線的交點以及在直錢之上，
分別代得到不等式：
成立，
原命題得證.
【試題評價】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)中求變量取值范圍和證明不等式問題，充分利用隱零點求解思路、基本不等式轉(zhuǎn)化及不等式放縮等綜合應(yīng)用，同時數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與劃歸思想的靈活運用，分析問題并創(chuàng)造性的解決問題的能力。是一道高質(zhì)量的難題。
A
B
C
D

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