考試要求 1.了解導數(shù)的概念、掌握基本初等函數(shù)的導數(shù).2.通過函數(shù)圖象，理解導數(shù)的幾何意義.3.能夠用導數(shù)公式和導數(shù)的運算法則求簡單函數(shù)的導數(shù)，能求簡單的復合函數(shù)(形如f(ax＋b))的導數(shù)．
知識梳理
1．導數(shù)的概念
(1)函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù)記作f′(x0)或.
f′(x0)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f?x0＋Δx?－f?x0?,Δx).
(2)函數(shù)y＝f(x)的導函數(shù)
f′(x)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f?x＋Δx?－f?x?,Δx).
2．導數(shù)的幾何意義
函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù)的幾何意義就是曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線的斜率，相應的切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
3．基本初等函數(shù)的導數(shù)公式
4.導數(shù)的運算法則
若f′(x)，g′(x)存在，則有
[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(f?x?,g?x?)))′＝eq \f(f′?x?g?x?－f?x?g′?x?,[g?x?]2)(g(x)≠0)；
[cf(x)]′＝cf′(x)．
5．復合函數(shù)的定義及其導數(shù)
復合函數(shù)y＝f(g(x))的導數(shù)和函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導數(shù)間的關系為y′x＝y(tǒng)′u·u′x，即y對x的導數(shù)等于y對u的導數(shù)與u對x的導數(shù)的乘積．
常用結論
1．區(qū)分在點處的切線與過點處的切線
(1)在點處的切線，該點一定是切點，切線有且僅有一條．
(2)過點處的切線，該點不一定是切點，切線至少有一條．
2.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,f?x?)))′＝eq \f(－f′?x?,[f?x?]2)(f(x)≠0)．
思考辨析
判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)f′(x0)是函數(shù)y＝f(x)在x＝x0附近的平均變化率．( × )
(2)與曲線只有一個公共點的直線一定是曲線的切線．( × )
(3)f′(x0)＝[f(x0)]′.( × )
(4)若f(x)＝sin (－x)，則f′(x)＝cs (－x)．( × )
教材改編題
1．函數(shù)f(x)＝ex＋eq \f(1,x)在x＝1處的切線方程為________．
答案 y＝(e－1)x＋2
解析 f′(x)＝ex－eq \f(1,x2)，
∴f′(1)＝e－1，
又f(1)＝e＋1，
∴切點為(1，e＋1)，切線斜率k＝f′(1)＝e－1，
即切線方程為y－(e＋1)＝(e－1)(x－1)，
即y＝(e－1)x＋2.
2．已知函數(shù)f(x)＝xln x＋ax2＋2，若f′(e)＝0，則a＝________.
答案 －eq \f(1,e)
解析 f′(x)＝1＋ln x＋2ax，
∴f′(e)＝2ae＋2＝0，∴a＝－eq \f(1,e).
3．若f(x)＝ln(1－x)＋e1－x，則f′(x)＝________.
答案 eq \f(1,x－1)－e1－x
題型一 導數(shù)的運算
例1 (1)(多選)(2022·濟南質(zhì)檢)下列求導運算正確的是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,ln x)))′＝－eq \f(1,xln2x)
B．(x2ex)′＝2x＋ex
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))))′＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))
D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))′＝1＋eq \f(1,x2)
答案 AD
解析 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,ln x)))′＝－eq \f(1,ln2x)·(ln x)′＝－eq \f(1,xln2x)，
故A正確；
(x2ex)′＝(x2＋2x)ex，故B錯誤；
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))))′＝－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))，故C錯誤；
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))′＝1＋eq \f(1,x2)，故D正確．
(2)函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f′(x)，若f(x)＝x2＋f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))sin x，則f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝________.
答案 eq \f(π2,36)＋eq \f(2π,3)
解析 f′(x)＝2x＋f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))cs x，
∴f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))＝eq \f(2π,3)＋eq \f(1,2)f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))，
∴f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))＝eq \f(4π,3)，
∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝eq \f(π2,36)＋eq \f(2π,3).
教師備選
1．函數(shù)y＝sin 2x－cs 2x的導數(shù)y′等于( )
A．2eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))
B．cs 2x＋sin x
C．cs 2x－sin 2x
D．2eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))
答案 A
解析 y′＝2cs 2x＋2sin 2x
＝2eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4))).
2．(2022·濟南模擬)已知函數(shù)f′(x)＝exsin x＋excs x，則f(2 021)－f(0)等于( )
A．e2 021cs 2 021 B．e2 021sin 2 021
C.eq \f(e,2) D．e
答案 B
解析 因為f′(x)＝exsin x＋excs x，
所以f(x)＝exsin x＋k(k為常數(shù))，
所以f(2 021)－f(0)＝e2 021sin 2 021.
思維升華 (1)求函數(shù)的導數(shù)要準確地把函數(shù)拆分成基本初等函數(shù)的和、差、積、商，再利用運算法則求導．
(2)抽象函數(shù)求導，恰當賦值是關鍵，然后活用方程思想求解．
(3)復合函數(shù)求導，應由外到內(nèi)逐層求導，必要時要進行換元．
跟蹤訓練1 (1)若函數(shù)f(x)，g(x)滿足f(x)＋xg(x)＝x2－1，且f(1)＝1，則f′(1)＋g′(1)等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 當x＝1時，f(1)＋g(1)＝0，
∵f(1)＝1，得g(1)＝－1，
原式兩邊求導，得f′(x)＋g(x)＋xg′(x)＝2x，
當x＝1時，f′(1)＋g(1)＋g′(1)＝2，
得f′(1)＋g′(1)＝2－g(1)＝2－(－1)＝3.
(2)已知函數(shù)f(x)＝ln(2x－3)＋axe－x，若f′(2)＝1，則a＝________.
答案 e2
解析 f′(x)＝eq \f(1,2x－3)·(2x－3)′＋ae－x＋ax·(e－x)′＝eq \f(2,2x－3)＋ae－x－axe－x，
∴f′(2)＝2＋ae－2－2ae－2＝2－ae－2＝1，
則a＝e2.
題型二 導數(shù)的幾何意義
命題點1 求切線方程
例2 (1)(2021·全國甲卷)曲線y＝eq \f(2x－1,x＋2)在點(－1，－3)處的切線方程為__________．
答案 5x－y＋2＝0
解析 y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2x－1,x＋2)))′＝eq \f(2?x＋2?－?2x－1?,?x＋2?2)＝eq \f(5,?x＋2?2)，所以y′|x＝－1＝eq \f(5,?－1＋2?2)＝5，所以切線方程為y＋3＝5(x＋1)，即5x－y＋2＝0.
(2)已知函數(shù)f(x)＝xln x，若直線l過點(0，－1)，并且與曲線y＝f(x)相切，則直線l的方程為__________．
答案 x－y－1＝0
解析 ∵點(0，－1)不在曲線f(x)＝xln x上，
∴設切點為(x0，y0)．
又f′(x)＝1＋ln x，
∴直線l的方程為y＋1＝(1＋ln x0)x.
∴由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y0＝x0ln x0，,y0＋1＝?1＋ln x0?x0，))解得x0＝1，y0＝0.
∴直線l的方程為y＝x－1，即x－y－1＝0.
命題點2 求參數(shù)的值(范圍)
例3 (1)(2022·青島模擬)直線y＝kx＋1與曲線f(x)＝aln x＋b相切于點P(1,2)，則2a＋b等于( )
A．4 B．3 C．2 D．1
答案 A
解析 ∵直線y＝kx＋1與曲線f(x)＝aln x＋b相切于點P(1,2)，
將P(1,2)代入y＝kx＋1，
可得k＋1＝2，解得k＝1，
∵ f(x)＝aln x＋b，∴ f′(x)＝eq \f(a,x)，
由f′(1)＝eq \f(a,1)＝1，
解得a＝1，可得f(x)＝ln x＋b，
∵P(1,2)在曲線f(x)＝ln x＋b上，
∴f(1)＝ln 1＋b＝2，
解得b＝2，故2a＋b＝2＋2＝4.
(2)(2022·廣州模擬)過定點P(1，e)作曲線y＝aex(a>0)的切線，恰有2條，則實數(shù)a的取值范圍是________．
答案 (1，＋∞)
解析 由y′＝aex，若切點為(x0，)，
則切線方程的斜率k＝＝>0，
∴切線方程為y＝(x－x0＋1)，
又P(1，e)在切線上，
∴(2－x0)＝e，
即eq \f(e,a)＝(2－x0)有兩個不同的解，
令φ(x)＝ex(2－x)，
∴φ′(x)＝(1－x)ex，
當x∈(－∞，1)時，φ′(x)>0；
當x∈(1，＋∞)時，φ′(x)0恒成立，
所以x＋eq \f(1,x)≥a，又x＋eq \f(1,x)≥2，
當且僅當x＝eq \f(1,x)，即x＝1時，等號成立，
故a≤2，所以a的取值范圍是(－∞，2]．
思維升華 (1)處理與切線有關的參數(shù)問題，關鍵是根據(jù)曲線、切線、切點的三個關系列出參數(shù)的方程：
①切點處的導數(shù)是切線的斜率；②切點在切線上；③切點在曲線上．
(2)注意區(qū)分“在點P處的切線”與“過點P處的切線”．
跟蹤訓練2 (1)(2022·南平模擬)若直線y＝x＋m與曲線y＝ex－2n相切，則( )
A．m＋n為定值 B.eq \f(1,2)m＋n為定值
C．m＋eq \f(1,2)n為定值 D．m＋eq \f(1,3)n為定值
答案 B
解析 設直線y＝x＋m與曲線y＝ex－2n切于點(x0，)，
因為y′＝ex－2n，所以＝1，所以x0＝2n，
所以切點為(2n,1)，
代入直線方程得1＝2n＋m，
即eq \f(1,2)m＋n＝eq \f(1,2).
(2)若函數(shù)f(x)＝ln x＋2x2－ax的圖象上存在與直線2x－y＝0平行的切線，則實數(shù)a的取值范圍是______．
答案 [2，＋∞)
解析 直線2x－y＝0的斜率k＝2，
又曲線f(x)上存在與直線2x－y＝0平行的切線，
∴f′(x)＝eq \f(1,x)＋4x－a＝2在(0，＋∞)內(nèi)有解，
則a＝4x＋eq \f(1,x)－2，x>0.
又4x＋eq \f(1,x)≥2eq \r(4x·\f(1,x))＝4，
當且僅當x＝eq \f(1,2)時取“＝”．
∴a≥4－2＝2.
∴a的取值范圍是[2，＋∞)．
題型三 兩曲線的公切線
例4 (1)(2022·邯鄲模擬)已知函數(shù)f(x)＝xln x，g(x)＝x2＋ax(a∈R)，直線l與f(x)的圖象相切于點A(1,0)，若直線l與g(x)的圖象也相切，則a等于( )
A．0 B．－1 C．3 D．－1或3
答案 D
解析 由f(x)＝xln x求導得f′(x)＝1＋ln x，
則f′(1)＝1＋ln 1＝1，于是得函數(shù)f(x)在點A(1,0)處的切線l的方程為y＝x－1，
因為直線l與g(x)的圖象也相切，則方程組eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x－1，,g?x?＝x2＋ax，))有唯一解，即關于x的一元二次方程x2＋(a－1)x＋1＝0有兩個相等的實數(shù)根，
因此Δ＝(a－1)2－4＝0，解得a＝－1或a＝3，
所以a＝－1或a＝3.
(2)(2022·韶關模擬)若曲線C1：y＝ax2(a>0)與曲線C2：y＝ex存在公共切線，則a的取值范圍為________．
答案 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(e2,4)，＋∞))
解析 由y＝ax2(a>0)，得y′＝2ax，
由y＝ex，得y′＝ex，
曲線C1：y＝ax2(a>0)與曲線C2：y＝ex存在公共切線，
設公切線與曲線C1切于點(x1，axeq \\al(2,1))，
與曲線C2切于點(x2，)，
則2ax1＝
可得2x2＝x1＋2，
∴a＝，
記f(x)＝，
則f′(x)＝，
當x∈(0,2)時，f′(x)0，f(x)單調(diào)遞增．
∴當x＝2時，f(x)min＝eq \f(e2,4).
∴a的取值范圍是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(e2,4)，＋∞)).
延伸探究 在本例(2)中，把“存在公共切線”改為“存在兩條公共切線”，則a的取值范圍為________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(e2,4)，＋∞))
解析 由本例(2)知，
∵兩曲線C1與C2存在兩條公共切線，
∴a＝有兩個不同的解．
∵函數(shù)f(x)＝在(0,2)上單調(diào)遞減，
在(2，＋∞)上單調(diào)遞增，且f(x)min＝f(2)＝eq \f(e2,4)，
又x→0時，f(x)→＋∞，
x→＋∞時，f(x)→＋∞，
∴a>eq \f(e2,4).
教師備選
1．若f(x)＝ln x與g(x)＝x2＋ax兩個函數(shù)的圖象有一條與直線y＝x平行的公共切線，則a等于( )
A．1 B．2 C．3 D．3或－1
答案 D
解析 設在函數(shù)f(x)＝ln x處的切點為(x，y)，根據(jù)導數(shù)的幾何意義得到k＝eq \f(1,x)＝1，
解得x＝1，故切點為(1,0)，可求出切線方程為y＝x－1，此切線和g(x)＝x2＋ax也相切，
故x2＋ax＝x－1，
化簡得到x2＋(a－1)x＋1＝0，只需要滿足Δ＝(a－1)2－4＝0，解得a＝－1或a＝3.
2．已知曲線y＝ex在點(x1，)處的切線與曲線y＝ln x在點(x2，ln x2)處的切線相同，則(x1＋1)(x2－1)等于( )
A．－1 B．－2 C．1 D．2
答案 B
解析 已知曲線y＝ex在點(x1，)處的切線方程為
y－＝(x－x1)，即
曲線y＝ln x在點(x2，ln x2)處的切線方程為y－ln x2＝eq \f(1,x2)(x－x2)，即y＝eq \f(1,x2)x－1＋ln x2，
由題意得
得x2＝，
－x1＝－1＋ln x2＝－1＋＝－1－x1，
則＝eq \f(x1＋1,x1－1).又x2＝，
所以x2＝eq \f(x1－1,x1＋1)，
所以x2－1＝eq \f(x1－1,x1＋1)－1＝eq \f(－2,x1＋1)，
所以(x1＋1)(x2－1)＝－2.
思維升華 公切線問題，應根據(jù)兩個函數(shù)在切點處的斜率相等，且切點既在切線上又在曲線上，列出有關切點橫坐標的方程組，通過解方程組求解．或者分別求出兩函數(shù)的切線，利用兩切線重合列方程組求解．
跟蹤訓練3 (1)(2022·青島模擬)已知定義在區(qū)間(0，＋∞)上的函數(shù)f(x)＝－2x2＋m，g(x)＝－3ln x－x，若以上兩函數(shù)的圖象有公共點，且在公共點處切線相同，則m的值為( )
A．2 B．5 C．1 D．0
答案 C
解析 根據(jù)題意，設兩曲線y＝f(x)與y＝g(x)的公共點為(a，b)，其中a>0，
由f(x)＝－2x2＋m，可得f′(x)＝－4x，則切線的斜率為k＝f′(a)＝－4a，
由g(x)＝－3ln x－x，可得g′(x)＝－eq \f(3,x)－1，則切線的斜率為k＝g′(a)＝－eq \f(3,a)－1，
因為兩函數(shù)的圖象有公共點，且在公共點處切線相同，所以－4a＝－eq \f(3,a)－1，
解得a＝1或a＝－eq \f(3,4)(舍去)，
又由g(1)＝－1，即公共點的坐標為(1，－1)，
將點(1，－1)代入f(x)＝－2x2＋m，
可得m＝1.
(2)已知f(x)＝ex(e為自然對數(shù)的底數(shù))，g(x)＝ln x＋2，直線l是f(x)與g(x)的公切線，則直線l的方程為____________________．
答案 y＝ex或y＝x＋1
解析 設直線l與f(x)＝ex的切點為(x1，y1)，
則y1＝，f′(x)＝ex，
∴f′(x1)＝，
∴切點為(x1，)，
切線斜率k＝，
∴切線方程為y－＝(x－x1)，
即y＝·x－x1＋，①
同理設直線l與g(x)＝ln x＋2的切點為(x2，y2)，
∴y2＝ln x2＋2，
g′(x)＝eq \f(1,x)，
∴g′(x2)＝eq \f(1,x2)，
切點為(x2，ln x2＋2)，
切線斜率k＝eq \f(1,x2)，
∴切線方程為y－(ln x2＋2)＝eq \f(1,x2)(x－x2)，
即y＝eq \f(1,x2)·x＋ln x2＋1，②
由題意知，①與②相同，
∴
把③代入④有＝－x1＋1，
即(1－x1)(－1)＝0，
解得x1＝1或x1＝0，
當x1＝1時，切線方程為y＝ex；
當x1＝0時，切線方程為y＝x＋1，
綜上，直線l的方程為y＝ex或y＝x＋1.
課時精練
1．(2022·營口模擬)下列函數(shù)的求導正確的是( )
A．(x－2)′＝－2x
B．(xcs x)′＝cs x－xsin x
C．(ln 10)′＝eq \f(1,10)
D．(e2x)′＝2ex
答案 B
解析 (x－2)′＝－2x－3，∴A錯；
(xcs x)′＝cs x－xsin x，∴B對；
(ln 10)′＝0，∴C錯；
(e2x)′＝2e2x，∴D錯．
2．(2022·黑龍江哈師大附中月考)曲線y＝2cs x＋sin x在(π，－2)處的切線方程為( )
A．x－y＋π－2＝0 B．x－y－π＋2＝0
C．x＋y＋π－2＝0 D．x＋y－π＋2＝0
答案 D
解析 y′＝－2sin x＋cs x，
當x＝π時，k＝－2sin π＋cs π＝－1，所以在點(π，－2)處的切線方程，由點斜式可得y＋2＝－1×(x－π)，化簡可得x＋y－π＋2＝0.
3．(2022·長治模擬)已知y＝f(x)是可導函數(shù)，如圖，直線y＝kx＋2是曲線y＝f(x)在x＝3處的切線，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的導函數(shù)，則g′(3)等于( )
A．－1 B．0 C．2 D．4
答案 B
解析 由題圖可知曲線y＝f(x)在x＝3處切線的斜率等于－eq \f(1,3)，
∴f′(3)＝－eq \f(1,3)，
∵g(x)＝xf(x)，
∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，
∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，
又由題圖可知f(3)＝1，
∴g′(3)＝1＋3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))＝0.
4．已知點A是函數(shù)f(x)＝x2－ln x＋2圖象上的點，點B是直線y＝x上的點，則|AB|的最小值為( )
A.eq \r(2) B．2
C.eq \f(4\r(3),3) D.eq \f(16,3)
答案 A
解析 當與直線y＝x平行的直線與f(x)的圖象相切時，切點到直線y＝x的距離為|AB|的最小值．f′(x)＝2x－eq \f(1,x)＝1，
解得x＝1或x＝－eq \f(1,2)(舍去)，
又f(1)＝3，
所以切點C(1,3)到直線y＝x的距離即為|AB|的最小值，即|AB|min＝eq \f(|1－3|,\r(12＋12))＝eq \r(2).
5．設曲線f(x)＝aex＋b和曲線g(x)＝cs eq \f(πx,2)＋c在它們的公共點M(0,2)處有相同的切線，則b＋c－a的值為( )
A．0 B．π C．－2 D．3
答案 D
解析 ∵f′(x)＝aex，g′(x)＝－eq \f(π,2)sin eq \f(πx,2)，
∴f′(0)＝a，g′(0)＝0，∴a＝0，
又M(0,2)為f(x)與g(x)的公共點，
∴f(0)＝b＝2，g(0)＝1＋c＝2，解得c＝1，
∴b＋c－a＝2＋1－0＝3.
6．(2022·邢臺模擬)設點P是函數(shù)f(x)＝2ex－f′(0)x＋f′(1)圖象上的任意一點，點P處切線的傾斜角為α，則角α的取值范圍是( )
A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(3π,4))) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,4))) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))
答案 B
解析 ∵f(x)＝2ex－f′(0)x＋f′(1)，
∴f′(x)＝2ex－f′(0)，
∴f′(0)＝2－f′(0)，f′(0)＝1，
∴f(x)＝2ex－x＋f′(1)，
∴f′(x)＝2ex－1>－1.
∵點P是曲線上的任意一點，點P處切線的傾斜角為α，
∴tan α>－1.
∵α∈[0，π)，
∴α∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π)).
7.(多選)已知函數(shù)f(x)的圖象如圖，f′(x)是f(x)的導函數(shù)，則下列結論正確的是( )
A．f′(3)>f′(2)
B．f′(3)f′(3)
D．f(3)－f(2)f′(3)>0，
故A錯誤，B正確．
設A(2，f(2))，B(3，f(3))，
則f(3)－f(2)＝eq \f(f?3?－f?2?,3－2)＝kAB，
由圖知f′(3)

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