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熱點(diǎn)一　導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用
熱點(diǎn)二　導(dǎo)數(shù)與函數(shù)零點(diǎn)或方程根的問(wèn)題
熱點(diǎn)三　導(dǎo)數(shù)與不等式恒成立、存在性問(wèn)題
熱點(diǎn)四　導(dǎo)數(shù)與不等式的證明問(wèn)題
利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的基礎(chǔ)，只有研究了函數(shù)的單調(diào)性，才能研究其函數(shù)圖象的變化規(guī)律，進(jìn)而確定其極值、最值和函數(shù)的零點(diǎn)等.注意：若可導(dǎo)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增，則有f′(x)≥0在區(qū)間D上恒成立，但反過(guò)來(lái)不一定成立.
例1　(2019·武邑調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝ln x＋ax2＋bx(其中a，b為常數(shù)且a≠0)在x＝1處取得極值.(1)當(dāng)a＝1時(shí)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；
因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝ln x＋ax2＋bx在x＝1處取得極值，所以f′(1)＝1＋2a＋b＝0，當(dāng)a＝1時(shí)，b＝－3，
f′(x)，f(x)隨x的變化情況如下表：
(2)若f(x)在(0，e]上的最大值為1，求a的值.
解　由(1)知b＝－2a－1，則f(x)＝ln x＋ax2－(2a＋1)x，
所以f(x)在區(qū)間(0，e]上的最大值為f(1)，令f(1)＝1，解得a＝－2.
所以最大值1可能在x＝1或x＝e處取得，而f(1)＝ln 1＋a－(2a＋1)2x，令x＝a，則得ea>2a，所以f(a)＝ea－a－a＝ea－2a>0，于是f(x)在(0，a)上有一個(gè)零點(diǎn)，即f(x)在(0，＋∞)上只有一個(gè)零點(diǎn)，因此，當(dāng)a>1時(shí)，f(x)有兩個(gè)零點(diǎn).綜上，當(dāng)a1時(shí)，f(x)有兩個(gè)零點(diǎn).
(1)若x＝1是f(x)的極大值點(diǎn)，求a的取值范圍；
解　由題意，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，
由f′(1)＝0，得b＝1－a，
①若a≥0，由f′(x)＝0，得x＝1.當(dāng)01時(shí)，f′(x)0)有唯一實(shí)數(shù)解，求m的值.
解　當(dāng)a＝0，b＝－1時(shí)，f(x)＝ln x＋x，因?yàn)榉匠?mf(x)＝x2有唯一實(shí)數(shù)解，所以x2－2mln x－2mx＝0有唯一實(shí)數(shù)解，設(shè)g(x)＝x2－2mln x－2mx，
令g′(x)＝0，即x2－mx－m＝0.
當(dāng)x∈(0，x2)時(shí)，g′(x)0，g(x)在(x2，＋∞)單調(diào)遞增，當(dāng)x＝x2時(shí)，g′(x)＝0，g(x)取最小值g(x2)，
所以2mln x2＋mx2－m＝0，因?yàn)閙>0，所以2ln x2＋x2－1＝0，(*)設(shè)函數(shù)h(x)＝2ln x＋x－1，因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí)，h(x)是增函數(shù)，所以h(x)＝0至多有一解，因?yàn)閔(1)＝0，所以方程*的解為x2＝1，
1.由不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍問(wèn)題的策略：(1)求最值法，將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值問(wèn)題；(2)分離參數(shù)法，將參數(shù)分離出來(lái)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為a>f(x)max或a0，故f(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，
(2)設(shè)a>0，若存在正實(shí)數(shù)m，使得對(duì)任意x∈(1，m)都有|f(x)|>2ln x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
由(1)知f(x)在(1，＋∞)上為增函數(shù)，又f(1)＝0，所以f(x)>0對(duì)x∈(1，＋∞)恒成立，則|f(x)|>2ln x?f(x)>2ln x?2x－2－(a＋2)ln x>0，設(shè)g(x)＝2x－2－(a＋2)ln x，x>1，則|f(x)|>2ln x等價(jià)于g(x)>0，
故不存在正實(shí)數(shù)m，使得對(duì)任意x∈(1，m)都有|f(x)|>2ln x恒成立，故02ln x?－f(x)>2ln x?2x－2＋(2－a)ln x2ln x等價(jià)于h(x)2ln x恒成立，故22ln x恒成立，故a>4滿足條件.綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為(4，＋∞).
跟蹤演練3　(2019·南充調(diào)研)已知f(x)＝ax－ln(－x)，x∈[－e,0)，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，a∈R.
當(dāng)a＝－1時(shí)，f(x)＝－x－ln(－x)，x∈[－e,0)，
所以當(dāng)－e≤x

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