NEIRONGSUOYIN
熱點二　數(shù)列的證明問題
熱點一　等差、等比數(shù)列基本量的計算
熱點三　數(shù)列的求和問題
解決有關(guān)等差數(shù)列、等比數(shù)列問題，要立足于兩個數(shù)列的概念，設(shè)出相應(yīng)基本量，充分利用通項公式、求和公式、數(shù)列的性質(zhì)確定基本量.解決綜合問題的關(guān)鍵在于審清題目，弄懂來龍去脈，揭示問題的內(nèi)在聯(lián)系和隱含條件，形成解題策略.
例1　(2019·六安市第一中學(xué)模擬)已知正數(shù)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，滿足 ＝Sn＋Sn－1(n≥2)，a1＝1.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
∵an>0，an－1>0，∴an－an－1＝1(n≥3).
因此n＝2時，an－an－1＝1成立.∴數(shù)列{an}是等差數(shù)列，公差為1.∴an＝1＋n－1＝n.
(2)設(shè)bn＝(1－an)2－a(1－an)，若{bn}是遞增數(shù)列，求實數(shù)a的取值范圍.
解　bn＝(1－an)2－a(1－an)＝(n－1)2＋a(n－1)，∵{bn}是遞增數(shù)列，∴bn＋1－bn＝n2＋an－(n－1)2－a(n－1)＝2n＋a－1>0，即a>1－2n恒成立，∴a>－1.∴實數(shù)a的取值范圍是(－1，＋∞).
跟蹤演練1　(2019·樂山調(diào)研)已知等差數(shù)列{an}中，a2＝5，a1，a4，a13成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
解　設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則a1＝5－d，a4＝5＋2d，a13＝5＋11d，因為a1，a4，a13成等比數(shù)列，所以(5＋2d)2＝(5－d)(5＋11d)，化簡得d2＝2d，則d＝0或d＝2，當(dāng)d＝0時，an＝5.當(dāng)d＝2時，a1＝5－d＝3，an＝3＋(n－1)×2 ＝2n＋1(n∈N*).所以，當(dāng)d＝0時，an＝5(n∈N*)；當(dāng)d＝2時，an＝2n＋1(n∈N*).
(2)求數(shù)列{an}的前n項和Sn.
解　由(1)知，當(dāng)an＝5時，Sn＝5n.
判斷數(shù)列是否為等差或等比數(shù)列的策略(1)將所給的關(guān)系式進(jìn)行變形、轉(zhuǎn)化，以便利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義進(jìn)行判斷；(2)若要判斷一個數(shù)列不是等差(等比)數(shù)列，則只需說明某連續(xù)三項(如前三項)不是等差(等比)數(shù)列即可.
例2　已知{an}是各項都為正數(shù)的數(shù)列，其前n項和為Sn，且Sn為an與 的等差中項.
當(dāng)n≥2時，有an＝Sn－Sn－1，代入①式得2Sn(Sn－Sn－1)－(Sn－Sn－1)2＝1，
又當(dāng)n＝1時，由①式可得a1＝S1＝1(負(fù)值舍去)，
(2)求數(shù)列{an}的通項公式；
∵數(shù)列{an}的各項都為正數(shù)，
又a1＝S1＝1滿足上式，
跟蹤演練2　已知Sn為數(shù)列{an}的前n項和，且滿足Sn－2an＝n－4.(1)證明：{Sn－n＋2}為等比數(shù)列；
證明　原式可轉(zhuǎn)化為Sn－2(Sn－Sn－1)＝n－4(n≥2)，即Sn＝2Sn－1－n＋4，所以Sn－n＋2＝2[Sn－1－(n－1)＋2].由S1－2a1＝1－4，得S1＝3，所以S1－1＋2＝4，所以{Sn－n＋2}是首項為4，公比為2的等比數(shù)列.
(2)求數(shù)列{Sn}的前n項和Tn.
解　由(1)知Sn－n＋2＝2n＋1，所以Sn＝2n＋1＋n－2，所以Tn＝(22＋23＋…＋2n＋1)＋(1＋2＋…＋n)－2n
1.裂項相消法就是把數(shù)列的每一項分解，使得相加后項與項之間能夠相互抵消，但在抵消的過程中，有的是依次項消，有的是間隔項消.常見的裂項方式有：
2.如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，那么求數(shù)列{an·bn}的前n項和Sn時，可采用錯位相減法.用錯位相減法求和時，應(yīng)注意：①等比數(shù)列的公比為負(fù)數(shù)的情形；②在寫出“Sn”和“qSn”的表達(dá)式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊”，以便準(zhǔn)確寫出“Sn－qSn”的表達(dá)式.
例3　(2019·河南省九師聯(lián)盟模擬)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足Sn＝ (n∈N*).數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，且滿足Tn＝2－bn(n∈N*).(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式；
解得a2＝3或a2＝－1.若a2＝－1，則d＝－2，所以a3＝－3.
故a2＝－1不合題意，舍去.故a2＝3，所以等差數(shù)列{an}的公差d＝a2－a1＝2，故an＝2n－1.數(shù)列{bn}對任意正整數(shù)n滿足Tn＝2－bn.當(dāng)n＝1時，b1＝T1＝2－b1，解得b1＝1；當(dāng)n>1時，bn＝Tn－Tn－1＝(2－bn)－(2－bn－1)＝bn－1－bn，
跟蹤演練3　(2019·濟(jì)寧模擬)等差數(shù)列{an}的公差為正數(shù)，a1＝1，其前n項和為Sn；數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，b1＝2，且b2S2＝12，b2＋S3＝10.(1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項公式；
解　設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q，
∴an＝n，n∈N*，bn＝2n，n∈N*.
(2)設(shè)cn＝bn＋ ，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn.
(2019·全國Ⅱ，理，19)已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1＝1，b1＝0,4an＋1＝3an－bn＋4,4bn＋1＝3bn－an－4.(1)證明：{an＋bn}是等比數(shù)列，{an－bn}是等差數(shù)列；
由題設(shè)得4(an＋1－bn＋1)＝4(an－bn)＋8，即an＋1－bn＋1＝an－bn＋2.又因為a1－b1＝1，所以{an－bn}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列.
(2)求{an}和{bn}的通項公式.
解　設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，因為a7－a2＝10，所以5d＝10，解得d＝2.因為a1，a6，a21依次成等比數(shù)列，所以 ＝a1a21，即(a1＋5×2)2＝a1(a1＋20×2)，解得a1＝5.所以an＝2n＋3.
已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，a7－a2＝10，且a1，a6，a21依次成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；

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