例1　(12分)(2020·全國(guó)Ⅰ)已知A，B分別為橢圓E： ＋y2＝1(a>1)的左、右頂點(diǎn)，G為E的上頂點(diǎn)， ＝8.P為直線x＝6上的動(dòng)點(diǎn)，PA與E的另一交點(diǎn)為C，PB與E的另一交點(diǎn)為D.(1)求E的方程；(2)證明：直線CD過定點(diǎn).
(1)解　依據(jù)題意作圖，如圖所示，
A(－a,0)，B(a,0)，G(0,1)，
(2)證明　設(shè)P(6，y0)，
第一步：確定曲線方程(一般根據(jù)待定系數(shù)法或定義法).第二步：設(shè)直線方程并與曲線方程聯(lián)立，得關(guān)于x或y的一元二次方程.第三步：寫出根與系數(shù)的關(guān)系(或求出交點(diǎn)坐標(biāo)).第四步：將第三步得出的關(guān)系代入題目條件，解決范圍、最值或定點(diǎn)、定值等問題.第五步：反思回顧，考慮方程有解條件和圖形完備性.
跟蹤訓(xùn)練1　(2019·北京)已知拋物線C：x2＝－2py經(jīng)過點(diǎn)(2，－1).(1)求拋物線C的方程及其準(zhǔn)線方程；
解　由拋物線C：x2＝－2py經(jīng)過點(diǎn)(2，－1)，得p＝2.所以拋物線C的方程為x2＝－4y，其準(zhǔn)線方程為y＝1.
(2)設(shè)O為原點(diǎn)，過拋物線C的焦點(diǎn)作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點(diǎn)M，N，直線y＝－1分別交直線OM，ON于點(diǎn)A和點(diǎn)B.求證：以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩個(gè)定點(diǎn).
證明　拋物線C的焦點(diǎn)為F(0，－1).設(shè)直線l的方程為y＝kx－1(k≠0).
Δ＝16k2＋16>0恒成立.設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1x2＝－4.
綜上，以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的定點(diǎn)(0,1)和(0，－3).
解得a2＝6，b2＝3.
(2)點(diǎn)M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D為垂足.證明：存在定點(diǎn)Q，使得|DQ|為定值.
證明　設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2).若直線MN與x軸不垂直，
得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－6＝0.
故(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)(y2－1)＝0，整理得(k2＋1)x1x2＋(km－k－2)(x1＋x2)＋(m－1)2＋4＝0.
整理得(2k＋3m＋1)(2k＋m－1)＝0.因?yàn)锳(2,1)不在直線MN上，所以2k＋m－1≠0，所以2k＋3m＋1＝0，k≠1.
若直線MN與x軸垂直，可得N(x1，－y1).
得(x1－2)(x1－2)＋(y1－1)(－y1－1)＝0.
若D與P不重合，則由題設(shè)知AP是Rt△ADP的斜邊，
圓錐曲線中的定值問題的常見類型及解題策略(1)求代數(shù)式為定值.依題意設(shè)條件，得出與代數(shù)式參數(shù)有關(guān)的等式，代入代數(shù)式、化簡(jiǎn)即可得出定值.(2)求點(diǎn)到直線的距離為定值.利用點(diǎn)到直線的距離公式得出距離的解析式，再利用題設(shè)條件化簡(jiǎn)、變形求得.(3)求某線段長(zhǎng)度為定值.利用長(zhǎng)度公式求得解析式，再依據(jù)條件對(duì)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)、變形即可求得.
(1)求橢圓C的方程；
(2)設(shè)橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，過A1，A2分別作x軸的垂線l1，l2，橢圓C的一條切線l：y＝kx＋m與l1，l2分別交于M，N兩點(diǎn)，求證：∠MF1N為定值.
證明　由題意可知，l1的方程為x＝－3，l2的方程為x＝3.直線l分別與直線l1，l2的方程聯(lián)立得M(－3，－3k＋m)，N(3,3k＋m)，
得(9k2＋8)x2＋18kmx＋9m2－72＝0.因?yàn)橹本€l與橢圓C相切，所以Δ＝(18km)2－4(9k2＋8)(9m2－72)＝0，
化簡(jiǎn)得m2＝9k2＋8.
KESHIJINGLIAN
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
解　由橢圓的定義，可知
(2)過點(diǎn)B(4,0)作一條斜率不為0的直線l與橢圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，記點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)為P′.證明：直線P′Q經(jīng)過x軸上一定點(diǎn)D，并求出定點(diǎn)D的坐標(biāo).
證明　由題意，設(shè)直線l的方程為x＝my＋4(m≠0).設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則P′(x1，－y1).
可得(m2＋4)y2＋8my＋12＝0.∵Δ＝16(m2－12)>0，∴m2>12.
∴D(1,0).∴直線P′Q經(jīng)過x軸上定點(diǎn)D，其坐標(biāo)為(1,0).
2.(2020·西安模擬)設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓C： ＝1(b>0)的左、右焦點(diǎn)，M為橢圓上一點(diǎn)，滿足MF1⊥MF2，已知△MF1F2的面積為1.(1)求橢圓C的方程；
解　由橢圓定義得|MF1|＋|MF2|＝4，①由MF1⊥MF2得|MF1|2＋|MF2|2＝|F1F2|2＝4(4－b2)，②
由①②③，可得b2＝1，
(2)設(shè)C的上頂點(diǎn)為H，過點(diǎn)(2，－1)的直線與橢圓交于R，S兩點(diǎn)(異于H)，求證：直線HR和HS的斜率之和為定值，并求出這個(gè)定值.
解　依題意，H(0,1)，顯然直線RS的斜率存在且不為0，設(shè)直線RS的方程為y＝kx＋m(k≠0)，代入橢圓方程并化簡(jiǎn)得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.由題意知，Δ＝16(4k2－m2＋1)>0，設(shè)R(x1，y1)，S(x2，y2)，x1x2≠0，
∵直線RS過點(diǎn)(2，－1)，∴2k＋m＝－1，∴kHR＋kHS＝－1.故kHR＋kHS為定值－1.
3.(2018·北京)已知拋物線C：y2＝2px經(jīng)過點(diǎn)P(1,2)，過點(diǎn)Q(0,1)的直線l與拋物線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B，且直線PA交y軸于M，直線PB交y軸于N.(1)求直線l的斜率的取值范圍；
解　因?yàn)閽佄锞€y2＝2px過點(diǎn)(1,2)，所以2p＝4，即p＝2.故拋物線C的方程為y2＝4x.由題意知，直線l的斜率存在且不為0.設(shè)直線l的方程為y＝kx＋1(k≠0)，
依題意知Δ＝(2k－4)2－4×k2×1>0，解得k

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