NEIRONGSUOYIN
題型分類 深度剖析
解　由于P3，P4兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，故由題設(shè)知橢圓C經(jīng)過(guò)P3，P4兩點(diǎn).
所以點(diǎn)P2在橢圓C上.
(2)設(shè)直線l不經(jīng)過(guò)P2點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn).若直線P2A與直線P2B的斜率的和為－1，證明：l過(guò)定點(diǎn).
證明　設(shè)直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1，k2.如果l與x軸垂直，設(shè)l：x＝t，由題設(shè)知t≠0，且|t|0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由題設(shè)知k1＋k2＝－1，故(2k＋1)x1x2＋(m－1)(x1＋x2)＝0.
當(dāng)且僅當(dāng)m>－1時(shí)，Δ>0，
所以l過(guò)定點(diǎn)(2，－1).
圓錐曲線中定點(diǎn)問(wèn)題的兩種解法(1)引進(jìn)參數(shù)法：引進(jìn)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或動(dòng)線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時(shí)沒有關(guān)系，找到定點(diǎn).(2)特殊到一般法：根據(jù)動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)線的特殊情況探索出定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無(wú)關(guān).
(2)斜率為k的直線l與橢圓C交于兩個(gè)不同的點(diǎn)M，N.①若直線l過(guò)原點(diǎn)且與坐標(biāo)軸不重合，E是直線3x＋3y－2＝0上一點(diǎn)，且△EMN是以E為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，求k的值；
解　直線y＝kx(k≠0)代入橢圓方程，可得(1＋2k2)x2＝4，
由E是3x＋3y－2＝0上一點(diǎn)，
因?yàn)椤鱁MN是以E為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，所以O(shè)E⊥MN，|OM|＝d，
②若M是橢圓的左頂點(diǎn)，D是直線MN上一點(diǎn)，且DA⊥AM，點(diǎn)G是x軸上異于點(diǎn)M的點(diǎn)，且以DN為直徑的圓恒過(guò)直線AN和DG的交點(diǎn)，求證：點(diǎn)G是定點(diǎn).
證明　由M(－2,0)，可得直線MN的方程為y＝k(x＋2)(k≠0)，代入橢圓方程可得(1＋2k2)x2＋8k2x＋8k2－4＝0，
設(shè)G(t,0)(t≠－2)，由題意可得D(2,4k)，A(2,0)，以DN為直徑的圓恒過(guò)直線AN和DG的交點(diǎn)，
故點(diǎn)G是定點(diǎn)，即為原點(diǎn)(0,0).
例2　(2018·北京)已知拋物線C：y2＝2px經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,2)，過(guò)點(diǎn)Q(0,1)的直線l與拋物線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B，且直線PA交y軸于M，直線PB交y軸于N.(1)求直線l的斜率的取值范圍；
解　因?yàn)閽佄锞€y2＝2px過(guò)點(diǎn)(1,2)，所以2p＝4，即p＝2.故拋物線C的方程為y2＝4x.由題意知，直線l的斜率存在且不為0.設(shè)直線l的方程為y＝kx＋1(k≠0)，
依題意知Δ＝(2k－4)2－4×k2×1>0，解得k0，設(shè)D(x1，y1)，E(x2，y2)，則xM·x1＝16k－16，
所以直線DE過(guò)定點(diǎn)(－4,8).
3.(2018·齊齊哈爾模擬)已知?jiǎng)訄AE經(jīng)過(guò)定點(diǎn)D(1,0)，且與直線x＝－1相切，設(shè)動(dòng)圓圓心E的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程；
解　由已知，動(dòng)點(diǎn)E到定點(diǎn)D(1,0)的距離等于E到直線x＝－1的距離，由拋物線的定義知E點(diǎn)的軌跡是以D(1,0)為焦點(diǎn)，以x＝－1為準(zhǔn)線的拋物線，故曲線C的方程為y2＝4x.
(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)P(1,2)的直線l1，l2分別與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，直線l1，l2的斜率存在，且傾斜角互補(bǔ)，證明：直線AB的斜率為定值.
證明　由題意直線l1，l2的斜率存在，傾斜角互補(bǔ)，得斜率互為相反數(shù)，且不等于零.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線l1的方程為y＝k(x－1)＋2，k≠0.直線l2的方程為y＝－k(x－1)＋2，
Δ＝16(k－1)2>0，
4.(2018·南昌檢測(cè))已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C的離心率為 ，過(guò)左焦點(diǎn)F且垂直于x軸的直線交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，且|PQ|＝ .(1)求C的方程；
所以b2＝4，a2＝2b2＝8，
(2)若直線l是圓x2＋y2＝8上的點(diǎn)(2,2)處的切線，點(diǎn)M是直線l上任一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作橢圓C的切線MA，MB，切點(diǎn)分別為A，B，設(shè)切線的斜率都存在.求證：直線AB過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).
解　依題設(shè)，得直線l的方程為y－2＝－(x－2)，即x＋y－4＝0，設(shè)M(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，x0≠x1且x0≠x2，
得(2k2＋1)x2＋4k(y1－kx1)x＋2(y1－kx1)2－8＝0，由相切得Δ＝16k2(y1－kx1)2－8(2k2＋1)[(y1－kx1)2－4]＝0，化簡(jiǎn)得(y1－kx1)2＝8k2＋4，
即x1x＋2y1y＝8，同理，切線MB的方程為x2x＋2y2y＝8，又因?yàn)閮汕芯€都經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(x0，y0)，
所以直線AB的方程為x0x＋2y0y＝8，
又x0＋y0＝4，所以直線AB的方程可化為x0x＋2(4－x0)y＝8，即x0(x－2y)＋8y－8＝0，
所以直線AB恒過(guò)定點(diǎn)(2,1).
(2)設(shè)直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，若以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：點(diǎn)O到直線AB的距離為定值.
證明　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，①當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，由橢圓的對(duì)稱性，可知x1＝x2，y1＝－y2.
②當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋m，
消去y，得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，
因?yàn)橐訟B為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，所以O(shè)A⊥OB，
所以(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝0，
整理得5m2＝4(k2＋1)，
(1)求橢圓C的方程；
證明　由|MA|＝|MB|，知M在線段AB的垂直平分線上，由橢圓的對(duì)稱性知點(diǎn)A，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.①若點(diǎn)A，B是橢圓的短軸頂點(diǎn)，則點(diǎn)M是橢圓的一個(gè)長(zhǎng)軸頂點(diǎn)，
同理，若點(diǎn)A，B是橢圓的長(zhǎng)軸頂點(diǎn)，則點(diǎn)M是橢圓的一個(gè)短軸頂點(diǎn)，
②若點(diǎn)A，B，M不是橢圓的頂點(diǎn)，設(shè)直線l的方程為y＝kx(k≠0)，

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