高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題13 立體幾何中的位置關(guān)系及截面問題(2份打包，教師版+原卷版)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?專題13　立體幾何中的位置關(guān)系及截面問題
【高考真題】
1．(2022·全國乙理) 在正方體中，E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)，則(　　)
A．平面平面　　　　　　　　B．平面平面
C．平面平面　　　　　　　　D．平面平面

【知識(shí)總結(jié)】
1．直線、平面平行的判定及其性質(zhì)
(1)線面平行的判定定理：a?α，b?α，a∥b?a∥α．
(2)線面平行的性質(zhì)定理：a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b．
(3)面面平行的判定定理：a?β，b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥α?α∥β．
(4)面面平行的性質(zhì)定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b．
平行問題的轉(zhuǎn)化

利用線線平行、線面平行、面面平行的相互轉(zhuǎn)化解決平行關(guān)系的判定問題時(shí)，一般遵循從“低維”到“高維”的轉(zhuǎn)化，即從“線線平行”到“線面平行”，再到“面面平行”；而應(yīng)用性質(zhì)定理時(shí)，其順序正好相反．在實(shí)際的解題過程中，判定定理和性質(zhì)定理一般要相互結(jié)合，靈活運(yùn)用．
平行關(guān)系的基礎(chǔ)是線線平行，證明線線平行常用的方法：一是利用平行公理，即證兩直線同時(shí)和第三條直線平行；二是利用平行四邊形進(jìn)行平行轉(zhuǎn)換：三是利用三角形的中位線定理證線線平行；四是利用線段的比例關(guān)系證明線線平行；五是利用線面平行、面面平行的性質(zhì)定理進(jìn)行平行轉(zhuǎn)換．
2．直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)
(1)線面垂直的判定定理：m?α，n?α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n?l⊥α．
(2)線面垂直的性質(zhì)定理：a⊥α，b⊥α?a∥b．
(3)面面垂直的判定定理：a?β，a⊥α?α⊥β．
(4)面面垂直的性質(zhì)定理：α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β．
垂直問題的轉(zhuǎn)化

在空間垂直關(guān)系中，線面垂直是核心，已知線面垂直，既可為證明線線垂直提供依據(jù)，又可為利用判定定理證明面面垂直作好鋪墊．應(yīng)用面面垂直的性質(zhì)定理時(shí)，一般需作輔助線，基本作法是過其中一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)作交線的垂線，從而把面面垂直問題轉(zhuǎn)化為線面垂直問題，進(jìn)而可轉(zhuǎn)化為線線垂直問題．
垂直關(guān)系的基礎(chǔ)是線線垂直，證明線線垂直常用的方法：一是利用等腰三角形底邊中線即高線的性質(zhì)；二是利用勾股定理；三是利用線面垂直的性質(zhì)：即要證兩線垂直，只需證明一線垂直于另一線所在的平面即可，l⊥α，a?α?l⊥a．
3．確定截面的主要依據(jù)
用一個(gè)平面去截幾何體，此平面與幾何體的交集叫做這個(gè)幾何體的截面，利用平面的性質(zhì)確定截面形狀是解決截面問題的關(guān)鍵．
(1)平面的四個(gè)公理及推論．(2)直線和平面平行的判定和性質(zhì)．(3)兩個(gè)平面平行的性質(zhì)．(4)球的截面的性質(zhì)．
【題型突破】
題型一　簡(jiǎn)單位置關(guān)系的判斷
1．(2020·浙江)已知空間中不過同一點(diǎn)的三條直線m，n，l，則“m，n，l在同一平面”是“m，n，l兩兩
相交”的(　　)
A．充分不必要條件　B．必要不充分條件　C．充分必要條件　D．既不充分也不必要條件
2．(2019·全國Ⅱ)設(shè)α，β為兩個(gè)平面，則α∥β的充要條件是(　　)
A．α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行　　　　　　　B．α內(nèi)有兩條相交直線與β平行
C．α，β平行于同一條直線　　　　　　　　　D．α，β垂直于同一平面
3．已知α，β表示兩個(gè)不同平面，a，b表示兩條不同直線，對(duì)于下列兩個(gè)命題：
①若b?α，a?α，則“a∥b”是“a∥α”的充分不必要條件；
②若a?α，b?α，則“α∥β”是“a∥β且b∥β”的充要條件．
判斷正確的是(　　)
A．①②都是真命題　　　　　　　　　　　B．①是真命題，②是假命題　　
C．①是假命題，②是真命題　　　　　　　D．①②都是假命題
4．已知α，β是空間兩個(gè)不同的平面，m，n是空間兩條不同的直線，則給出的下列說法正確的是(　　)
①m∥α，n∥β，且m∥n，則α∥β；②m∥α，n∥β，且m⊥n，則α⊥β；
③m⊥α，n⊥β，且m∥n，則α∥β；④m⊥α，n⊥β，且m⊥n，則α⊥β．
A．①②③　　　　　　　　B．①③④　　　　　　　　C．②④　　　　　　　　D．③④
5．已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，給出四個(gè)命題：
①若α∩β＝m，n?α，n⊥m，則α⊥β；②若m⊥α，m⊥β，則α∥β；
③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，則α⊥β；④若m∥α，n∥β，m∥n，則α∥β．
其中正確的命題是(　　)
A．①②　　　　　　　　B．②③　　　　　　　　C．①④　　　　　　　　D．③④
6．(2020·全國Ⅱ)設(shè)有下列四個(gè)命題：
①兩兩相交且不過同一點(diǎn)的三條直線必在同一平面內(nèi)；
②過空間中任意三點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面；
③若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行；
④若直線l?平面α，直線m⊥平面α，則m⊥l．
則上述命題中所有真命題的序號(hào)是________．(填寫所有正確命題的序號(hào))
7．(2019·北京)已知l，m是平面α外的兩條不同直線．給出下列三個(gè)論斷：
①l⊥m；②m∥α；③l⊥α．
以其中的兩個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出一個(gè)正確的命題：________．
8．設(shè)α，β，γ是三個(gè)不同的平面，m，n是兩條不同的直線，在命題“α∩β＝m，n?γ，且________，則m∥n”
中的橫線處填入下列三組條件中的一組，使該命題為真命題．
①α∥γ，n?β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m?γ．
可以填入的條件有________．
9．(多選)已知m，n為兩條不重合的直線，α，β為兩個(gè)不重合的平面，則(　　)
A．若m∥α，n∥β，α∥β，則m∥n　　　　　　B．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，則m⊥n
C．若m∥n，m⊥α，n⊥β，則α∥β　　　　　　D．若m∥n，n⊥α，α⊥β，則m∥β
10．將一個(gè)真命題中的“平面”換成“直線”、“直線”換成“平面”后仍是真命題，則該命題稱為“可
換命題”．給出下列四個(gè)命題：
①垂直于同一平面的兩直線平行；②垂直于同一平面的兩平面平行；③平行于同一直線的兩直線平行；④平行于同一平面的兩直線平行．其中是“可換命題”的是______．(填序號(hào))
題型二　較難位置關(guān)系的判斷(1)
11．(2019·全國Ⅲ)如圖，點(diǎn)N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M
是線段ED的中點(diǎn)，則(　　)

A．BM＝EN，且直線BM，EN是相交直線　　　　　B．BM≠EN，且直線BM，EN是相交直線
C．BM＝EN，且直線BM，EN是異面直線　　　　　D．BM≠EN，且直線BM，EN是異面直線
12．(多選)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，下列直線或平面與平面ACD1平行的是(　　)
A．直線A1B　　　　　B．直線BB1　　　　　C．平面A1DC1 　　　　　D．平面A1BC1
13．(2017·全國Ⅰ)如圖，在下列四個(gè)正方體中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，Q為所在棱的中點(diǎn)，
則在這四個(gè)正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是(　　)
　
14．已知點(diǎn)E，F(xiàn)分別是正方體ABCD－A1B1C1D1的棱AB，AA1的中點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別是線段D1E與C1F
上的點(diǎn)，則滿足與平面ABCD平行的直線MN有(　　)

A．0條　　　　　　　　B．1條　　　　　　　　C．2條　　　　　　　　D．無數(shù)條
15．如圖所示，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，點(diǎn)O，M，N分別是線段BD，DD1，D1C1的中點(diǎn)，則直線
OM與AC，MN的位置關(guān)系是(　　)

A．與AC，MN均垂直　　　　　　　　　　　B．與AC垂直，與MN不垂直
C．與AC不垂直，與MN垂直　　　　　　　D．與AC，MN均不垂直
16．如圖，PA⊥圓O所在的平面，AB是圓O的直徑，C是圓O上的一點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是點(diǎn)A在PB，PC
上的射影，給出下列結(jié)論：
①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC．
其中正確結(jié)論的序號(hào)是________．

17．如圖，AB是圓錐SO的底面圓O的直徑，D是圓O上異于A，B的任意一點(diǎn)，以AO為直徑的圓與
AD的另一個(gè)交點(diǎn)為C，P為SD的中點(diǎn)．現(xiàn)給出以下結(jié)論：

①△SAC為直角三角形；②平面SAD⊥平面SBD；③平面PAB必與圓錐SO的某條母線平行．
其中正確結(jié)論的序號(hào)是________(寫出所有正確結(jié)論的序號(hào))．
18．如圖所示，直線PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC內(nèi)接于⊙O，且AB為⊙O的直徑，點(diǎn)M為線段
PB的中點(diǎn)．現(xiàn)有結(jié)論：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③點(diǎn)B到平面PAC的距離等于線段BC的長(zhǎng)．其中正確的是(　　)

A．①②　　　　　　　　B．①②③　　　　　　　　C．①　　　　　　　　D．②③
19．(多選)已知四棱臺(tái)ABCD－A1B1C1D1的上、下底面均為正方形，其中AB＝2，A1B1＝，AA1＝BB1
＝CC1＝2，則下列敘述中正確的是(　　)
A．該四棱臺(tái)的高為　　　　　　　B．AA1⊥CC1　　　　　
C．該四棱臺(tái)的表面積為26　　　　　D．該四棱臺(tái)外接球的表面積為16π
20．(多選)如圖，在以下四個(gè)正方體中，直線AB與平面CDE垂直的是(　　)

題型三　較難位置關(guān)系的判斷(2)
21．將正方體的紙盒展開如圖，直線AB，CD在原正方體的位置關(guān)系是(　　)

A．平行　　　　　　B．垂直　　　　　　C．相交成60°角　　　　　　D．異面且成60°角
22．如圖是一個(gè)正方體的平面展開圖．在這個(gè)正方體中，①BM與ED是異面直線；②CN與BE平行；③
CN與BM成60°角；④DM與BN垂直．
以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是________．

23．如圖是正四面體(各面均為正三角形)的平面展開圖，G，H，M，N分別為DE，BE，EF，EC的中點(diǎn)，
在這個(gè)正四面體中：
①GH與EF平行；②BD與MN為異面直線；③GH與MN成60°角；④DE與MN垂直．
以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是________．

24．如圖是一幾何體的平面展開圖，其中四邊形ABCD為正方形，E，F(xiàn)分別為PA，PD的中點(diǎn)，在此幾
何體中，給出下面4個(gè)結(jié)論：

①直線BE與直線CF異面；②直線BE與直線AF異面；③直線EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD．其中正確的有(　　)
A．1個(gè)　　　　　　　　B．2個(gè)　　　　　　　　C．3個(gè)　　　　　　　　D．4個(gè)
25．如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，G是EF的中點(diǎn)，現(xiàn)在沿AE，AF及EF把
這個(gè)正方形折成一個(gè)空間圖形，使B，C，D三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為H，那么，在這個(gè)空間圖形中必有(　　)

A．AG⊥平面EFH　　B．AH⊥平面EFH　　C．HF⊥平面AEF　　D．HG⊥平面AEF
26．(多選)如圖，以等腰直角三角形ABC的斜邊BC上的高AD為折痕，翻折△ABD和△ACD，使得平面
ABD⊥平面ACD．下列結(jié)論正確的是(　　)

A．BD⊥AC　　　　　　　　　　　　　　　　B．△BAC是等邊三角形
C．三棱錐D－ABC是正三棱錐　　　　　　　D．平面ADC⊥平面ABC
27．如圖，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，且E為CD的中點(diǎn)，M，N分別是AD，BE的中點(diǎn)，
將△ADE沿AE折起，則下列說法正確的是________．(寫出所有正確說法的序號(hào))

①不論D折至何位置(不在平面ABC內(nèi))，都有MN∥平面DEC；
②不論D折至何位置(不在平面ABC內(nèi))，都有MN⊥AE；
③不論D折至何位置(不在平面ABC內(nèi))，都有MN∥AB；
④在折起過程中，一定存在某個(gè)位置，使EC⊥AD．
28．如圖所示，在直角梯形BCEF中，∠CBF＝∠BCE＝90°，A，D分別是BF，CE上的點(diǎn)，AD∥BC，且
AB＝DE＝2BC＝2AF(如圖1)．將四邊形ADEF沿AD折起，連接AC，CF，BE，BF，CE(如圖2)，在折起的過程中，下列說法錯(cuò)誤的是(　　)

A．AC∥平面BEF　　　　　　　　　　　　　　B．B，C，E，F(xiàn)四點(diǎn)不可能共面
C．若EF⊥CF，則平面ADEF⊥平面ABCD　　　D．平面BCE與平面BEF可能垂直
29．如圖，已知棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，M分別是線段AB，AD，AA1的中點(diǎn)，又
P，Q分別在線段A1B1，A1D1上，且A1P＝A1Q＝x(0OC，分別經(jīng)過三條棱OA，
OB，OC作一個(gè)截面平分三棱錐的體積，截面面積依次為S1，S2，S3，則S1，S2，S3的大小關(guān)系為________．

35．(2016·全國Ⅰ)平面α過正方體ABCD－A1B1C1D1的頂點(diǎn)A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩
平面ABB1A1＝n，則m，n所成角的正弦值為(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
36．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是A1D1，A1B1的中點(diǎn)，過直線BD的平
面α∥平面AMN，則平面α截該正方體所得截面的面積為(　　)

A．　　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
37．在三棱錐S－ABC中，△ABC是邊長(zhǎng)為6的正三角形，SA＝SB＝SC＝15，平面DEFH分別與AB，BC，
SC，SA交于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，H．D，E分別是AB，BC的中點(diǎn)，如果直線SB∥平面DEFH，那么四邊形DEFH的面積為________．
38．在四面體ABCD中，截面PQMN是正方形，則在下列結(jié)論中，錯(cuò)誤的是(　　)

A．AC⊥BD　　　　　　　　　　　B．AC∥截面PQMN　　　
C．AC＝BD　　　　　　　　　　D．異面直線PM與BD所成的角為45°
39．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P，Q分別是AA1，A1D1，CC1，BC的中點(diǎn)，給出以下
四個(gè)結(jié)論：①A1C⊥MN；②A1C∥平面MNPQ；③A1C與PM相交；④NC與PM異面．其中不正確的結(jié)論是(　　)

A．①　　　　　　　　B．②　　　　　　　　C．③　　　　　　　　D．④
40．如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a，點(diǎn)P是棱AD上一點(diǎn)，且AP＝，過B1、D1，P的
平面交底面ABCD于PQ，Q在直線CD上，則PQ＝________．

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