?第二章函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)Ⅰ

第一節(jié)
函數(shù)及其表示
本節(jié)主要包括3個知識點：
1.函數(shù)的定義域；　2.函數(shù)的表示方法；3.分段函數(shù).

突破點(一)　函數(shù)的定義域
基礎(chǔ)聯(lián)通 抓主干知識的“源”與“流”

1．函數(shù)與映射的概念

函數(shù)
映射
兩集合A，B
設(shè)A，B是兩個非空的數(shù)集
設(shè)A，B是兩個非空的集合
對應(yīng)關(guān)系f：A→B
如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)
如果按某一個確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng)
名稱
稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)
稱對應(yīng)f：A→B為從集合A到集合B的一個映射
記法
y＝f(x)，x∈A
對應(yīng)f：A→B
2.函數(shù)的有關(guān)概念
(1)函數(shù)的定義域、值域：在函數(shù)y＝f(x)，x∈A中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域．顯然，值域是集合B的子集．
(2)函數(shù)的三要素：定義域、值域和對應(yīng)關(guān)系．
(3)相等函數(shù)：如果兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致，則這兩個函數(shù)相等，這是判斷兩函數(shù)相等的依據(jù)．

考點貫通 抓高考命題的“形”與“神”


求給定解析式的函數(shù)的定義域
常見基本初等函數(shù)定義域的基本要求
(1)分式函數(shù)中分母不等于零．
(2)偶次根式函數(shù)的被開方式大于或等于0.
(3)一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域均為R.
(4)y＝x0的定義域是{x|x≠0}．
(5)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x的定義域均為R.
(6)y＝logax(a>0且a≠1)的定義域為(0，＋∞)．
(7)y＝tan x的定義域為.
[例1]　y＝ －log2(4－x2)的定義域是(　　)
A．(－2,0)∪(1,2) B．(－2,0]∪(1,2)
C．(－2,0)∪[1,2) D．[－2,0]∪[1,2]
[解析]　要使函數(shù)有意義，必須
∴x∈(－2,0)∪[1,2)．
即函數(shù)的定義域是(－2,0)∪[1,2)．
[答案]　C
[易錯提醒]
(1)不要對解析式進行化簡變形，以免定義域發(fā)生變化．
(2)當(dāng)一個函數(shù)由有限個基本初等函數(shù)的和、差、積、商的形式構(gòu)成時，定義域一般是各個基本初等函數(shù)定義域的交集．
(3)定義域是一個集合，要用集合或區(qū)間表示，若用區(qū)間表示，不能用“或”連接，而應(yīng)該用并集符號“∪”連接．


求抽象函數(shù)的定義域

對于抽象函數(shù)定義域的求解
(1)若已知函數(shù)f(x)的定義域為[a，b]，則復(fù)合函數(shù)f(g(x))的定義域由不等式a≤g(x)≤b求出；
(2)若已知函數(shù)f(g(x))的定義域為[a，b]，則f(x)的定義域為g(x)在x∈[a，b]上的值域．
[例2]　若函數(shù)y＝f(x)的定義域是[0,2]，則函數(shù)g(x)＝的定義域為________．
[解析]　由題意得，解得0≤x＜1，即g(x)的定義域是[0,1)．
[答案]　[0,1)

[易錯提醒]
函數(shù)f[g(x)]的定義域指的是x的取值范圍，而不是g(x)的取值范圍．


已知函數(shù)定義域求參數(shù)
[例3]　(2017·杭州模擬)若函數(shù)f(x)＝的定義域為一切實數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是(　　)
A．[0,4) B．(0,4)
C．[4，＋∞) D．[0,4]
[解析]　由題意可得mx2＋mx＋1≥0恒成立．
當(dāng)m＝0時，1≥0恒成立；
當(dāng)m≠0時，則解得00，解得0≤x＜2，故其定義域是[0,2)．
2．[考點一](2017·青島模擬)函數(shù)y＝的定義域為(　　)
A．(－∞，1] B．[－1,1]
C．[1,2)∪(2，＋∞) D.∪
解析：選D　由題意得
解得即－1≤x≤1且x≠－，
所以函數(shù)的定義域為∪.故選D.
3．[考點一]函數(shù)f(x)＝(a>0且a≠1)的定義域為________．
解析：由題意得解得即00)．
答案：＋(x>0)
2．函數(shù)f(x)滿足2f(x)＋f(－x)＝2x，則f(x)＝________.
解析：由題意知
解得f(x)＝2x.
答案：2x
3．已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)的解析式．
解：設(shè)t＝＋1，則x＝(t－1)2，t≥1，代入原式有
f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1.
故f(x)＝x2－1，x≥1.
4．已知f(x)是二次函數(shù)，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)的解析式．
解：設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax2＋bx，
又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，
得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，
即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，
所以
解得a＝b＝.
所以f(x)＝x2＋x，x∈R.
5．已知f＝x2＋，求f(x)的解析式．
解：由于f＝x2＋＝2－2，
所以f(x)＝x2－2，x≥2或x≤－2，
故f(x)的解析式是f(x)＝x2－2，x≥2或x≤－2.
突破點(三)　分段函數(shù)
基礎(chǔ)聯(lián)通 抓主干知識的“源”與“流”

1．分段函數(shù)
若函數(shù)在其定義域內(nèi)，對于定義域內(nèi)的不同取值區(qū)間，有著不同的對應(yīng)關(guān)系，這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù)．
2．分段函數(shù)的相關(guān)結(jié)論
(1)分段函數(shù)雖由幾個部分組成，但它表示的是一個函數(shù)．
(2)分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，值域等于各段函數(shù)的值域的并集．
考點貫通 抓高考命題的“形”與“神”


分段函數(shù)求值
[例1]　(1)設(shè)f(x)＝則f(f(－2))＝(　　)
A．－1 B.
C. D.
(2)(2017·張掖高三模擬)已知函數(shù)f(x)＝則f(1＋log25)的值為(　　)
A. B.
C. D.
[解析]　(1)因為f(－2)＝2－2＝，所以f(f(－2))＝f＝1－ ＝，故選C.
(2)因為2b D．b>a>c
[解析]　由f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，可得f＝f.由x2>x1>1時，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)c.
[答案]　D
應(yīng)用(二)　解函數(shù)不等式
[例3]　f(x)是定義在(0，＋∞)上的單調(diào)增函數(shù)，滿足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，當(dāng)f(x)＋f(x－8)≤2時，x的取值范圍是(　　)
A．(8，＋∞) B．(8,9] C．[8,9] D．(0,8)
[解析]　2＝1＋1＝f(3)＋f(3)＝f(9)，由f(x)＋f(x－8)≤2，可得f[x(x－8)]≤f(9)，因為f(x) 是定義在(0，＋∞)上的增函數(shù)，所以有解得8f(b) D．f(c)>f(b)>f(a)
解析：選C　由題意可知f(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，且f(a)＝f(|a|)，f(b)＝f(|b|)，f(c)＝f(|c|)，又|a|＝ln π>1，|b|＝(ln π)2>|a|，|c|＝ln π，且0|c|>0，∴f(|c|)>f(|a|)>f(|b|)，即f(c)>f(a)>f(b)．
3．[考點二·應(yīng)用(二)](2017·太原模擬)定義在R上的奇函數(shù)y＝f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，且f＝0，則滿足flogx>0的x的集合為________．
解析：由題意，y＝f(x)為奇函數(shù)且f＝0，
所以f＝－f＝0，
又y＝f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，

則y＝f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞增，
于是或
即或解得0

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