第二節(jié) 三角形的基礎知識與全等三角形知識點一：三角形的分類及性質(zhì)    1、三角形的概念由不在同意直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。組成三角形的線段叫做三角形的邊；相鄰兩邊的公共端點叫做三角形的頂點；相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內(nèi)角，簡稱三角形的角。2、三角形中的主要線段（1）三角形的一個角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點間的線段叫做三角形的角平分線。（2）在三角形中，連接一個頂點和它對邊的中點的線段叫做三角形的中線。（3）從三角形一個頂點向它的對邊做垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線（簡稱三角形的高）。3、三角形的穩(wěn)定性三角形的形狀是固定的，三角形的這個性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性。三角形的這個性質(zhì)在生產(chǎn)生活中應用很廣，需要穩(wěn)定的東西一般都制成三角形的形狀。4、三角形的特性與表示三角形有下面三個特性：（1）三角形有三條線段（2）三條線段不在同一直線上， 三角形是封閉圖形（3）首尾順次相接三角形用符號“”表示，頂點是A、B、C的三角形記作“ABC”，讀作“三角形ABC”。5.三角形的分類 （1）按角的關系分類       （2）按邊的關系分類    6.三邊關系 （1）三角形三邊關系定理：三角形的兩邊之和大于第三邊。推論：三角形的兩邊之差小于第三邊。（2）三角形三邊關系定理及推論的作用：①判斷三條已知線段能否組成三角形②當已知兩邊時，可確定第三邊的范圍。③證明線段不等關系。.變式練習1：等腰三角形兩邊長分別是3和6，則該三角形的周長為15.[變式練習2：已知三角形兩邊的長分別是4和10，則此三角形第三邊的長可能是(　　)A. 5            B. 6            C. 11             D. 16【解析】C組成三角形的三條線段長度須滿足“兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”．此三角形的兩邊之和為14，兩邊之差為6，所以此三角形第三邊的長可能是11.變式練習3：下列長度的三根小木棒能構成三角形的是( D )A．2 cm，3 cm，5 cm   B．7 cm，4 cm，2 cmC．3 cm，4 cm，8 cm   D．3 cm，3 cm，4 cm7.角的關系 （1）內(nèi)角和定理 ：①三角形的內(nèi)角和等180°； ②推論：直角三角形的兩銳角互余.變式練習： 在△ABC中，若∠A＝95°，∠B＝40°，則∠C的度數(shù)為( C )A．35°  B．40°  C．45°  D．50° （2）外角的性質(zhì)： ①三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和.②三角形的任意一個外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角. 8.三角形中的重要線段8.三角形中的重要線段四線性 質(zhì)角平分線（1）        角平線上的點到角兩邊的距離相等（2）        三角形的三條角平分線的相交于一點（內(nèi)心）中線（1）        將三角形的面積等分（2）        直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半 高銳角三角形的三條高相交于三角形內(nèi)部；直角三角形的三條高相交于直角頂點；鈍角三角形的三條高相交于三角形的外部中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半變式練習1：如圖，在△ABC中，點D、E分別是AB、AC的中點，若BC＝6，則DE＝________．                                 第1題圖    【解析】3∵D、E分別為AB、AC的中點，∴DE是△ABC的中位線，∵在△ABC中，BC＝6，∴DE＝BC＝×6＝3.變式練習2：如圖，△ABC三邊的中線AD，BE，CF的公共點為G，若S△ABC＝12，則圖中陰影部分的面積是________．第2題圖　【解析】4∵△ABC三邊的中線AD，BE，CF相交于點G，∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC＝×12＝6，AG＝2GD，∴S△ACG＝S△ACD＝4，又∵AE＝CE，∴S△CEG＝S△ACG＝2，同理，S△BGF＝2，∴S陰影＝2＋2＝4. 9 .三角形中內(nèi)、外角與角平分線的規(guī)律總結如圖①，AD平分∠BAC，AE⊥BC，則∠α=∠BAC-∠CAE=(180°-∠B-∠C）-（90°-∠C）=(∠C-∠B）；如圖②，BO、CO分別是∠ABC、∠ACB的平分線，則有∠O=∠A+90°；如圖③，BO、CO分別為∠ABC、∠ACD、∠OCD的平分線，則∠O=∠A，∠O’=∠O；如圖④，BO、CO分別為∠CBD、∠BCE的平分線，則∠O=90°-∠A. 10.三角形的面積三角形的面積=×底×高=x周長x內(nèi)切圓半徑。 知識點二  ：三角形全等的性質(zhì)與判定1.全等三角形的概念能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形。能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。兩個三角形全等時，互相重合的頂點叫做對應頂點，互相重合的邊叫做對應邊，互相重合的角叫做對應角。夾邊就是三角形中相鄰兩角的公共邊，夾角就是三角形中有公共端點的兩邊所成的角。2.全等三角形的表示和性質(zhì)全等三角形的表示全等用符號“≌”表示，讀作“全等于”。如△ABC≌△DEF，讀作“三角形ABC全等于三角形DEF”。全等三角形的性質(zhì) (1)全等三角形的對應邊、對應角相等．(2)全等三角形 的對應角平分線、對應中線、對應高相等．(3)全等三角形的周長等、面積等． 3.三角形全等的判定3.三角形全等的判定一般三角形全等SSS（三邊對應相等） SAS（兩邊和它們的夾角對應相等）ASA（兩角和它們的夾角對應相等）AAS（兩角和其中一個角的對邊對應相等）直角三角形全等(1)斜邊和一條直角邊對應相等（HL）(2)證明兩個直角三角形全等同樣可以用   SAS,ASA和AAS.             變式練習1： 如圖，已知∠ABC＝∠BAD，添加下列條件還不能判定△ABC≌△BAD的是( A )A．AC＝BD  B．∠CAB＝∠DBAC．∠C＝∠D   D．BC＝AD,第1題圖)變式練習2： 如圖，G，E分別是正方形ABCD的邊AB，BC上的點，且AG＝CE，AE⊥EF，AE＝EF，現(xiàn)有如下結論：①BE＝ GE；②△AGE≌△ECF；③∠FCD＝45°；④△GBE∽△ECH.其中，正確的結論有( B )A．1個  B．2個  C．3個  D．4個點撥：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B＝∠DCB＝90°，AB＝BC，∵AG＝CE，∴BG＝BE，由勾股定理得：BE＝GE，∴①錯誤；∵BG＝BE，∠B＝90°，∴∠BGE＝∠BEG＝45°，∴∠AGE＝135°，∴∠GAE＋∠AEG＝45°，∵AE⊥EF，∴∠AEF＝90°，∵∠BEG＝45°，∴∠AEG＋∠FEC＝45°，∴∠GAE＝∠FEC，在△GAE和△CEF中，∴△GAE≌△CEF(SAS)，∴②正確；∴∠AGE＝∠ECF＝135°，∴∠FCD＝135°－90°＝45°，∴③正確；∵∠BGE＝∠BEG＝45°，∠AEG＋∠FEC＝45°，∴∠FEC＜45°，∴△GBE和△ECH不相似，∴④錯誤；即正確的有2個．故選B 變式練習3： 如圖，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A＝36°，∠C′＝24°，則∠B＝__120°__．,第3題圖) 4.全等三角形的運用 （1）利用全等證明角、邊相等或求線段長、求角度：將特征的邊或角放到兩個全等的三角形中，通過證明全等得到結論.在尋求全等的條件時，注意公共角、公共邊、對頂角等銀行條件.（2）全等三角形中的輔助線的作法：①直接連接法：如圖 ①，連接公共邊，構造全等.②倍長中線法：用于證明線段的不等關系，如圖②，由SAS可得△ACD≌△EBD，則AC=BE.在△ABE中，AB+BE＞AE，即AB+AC＞2AD.③截長補短法：適合證明線段的和差關系，如圖③、④. 變式練習1：如圖，在△ABC中，已知∠1=∠2，BE=CD，AB=5，AE=2，則CE=3. 變式練習2： 楊陽同學沿一段筆直的人行道行走，在由A步行到達B處的過程中，通過隔離帶的空隙O，剛好瀏覽完對面人行道宣傳墻上的社會主義核心價值觀標語，其具體信息匯集如下：如圖，AB∥OH∥CD，相鄰兩平行線間的距離相等，AC，BD相交于O，OD⊥CD，垂足為D，已知AB＝20米，請根據(jù)上述信息求標語CD的長度．解：∵AB∥CD，∴∠ABO＝∠CDO，∵OD⊥CD，∴∠CDO＝90°，∴∠ABO＝90°，即OB⊥AB，∵相鄰兩平行線間的距離相等，∴OD＝OB，在△ABO和△CDO中，∴△ABO≌△CDO(ASA)，∴CD＝AB＝20(米)變式練習3： 證明命題“角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等”，要根據(jù)題意，畫出圖形，并用符號表示已知和求證，寫出證明過程．下面是小明同學根據(jù)題意畫出的圖形，并寫出了不完整的已知和求證，請你補全已知和求證，并寫出證明過程．已知：如圖，∠AOC＝∠BOC，點P在OC上．___PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為點D，E__．求證：___PD＝PE__證明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO＝∠PEO＝90°，在△PDO和△PEO中，∴△PDO≌△PEO(AAS)，∴PD＝PE 4.證明角相等的常見方法：（1）找公共角或?qū)斀牵?/span>              （2）利用角平分線定義（3）利用垂直（直角）的定義    （4）利用兩直線平行，同位角或內(nèi)錯角相等（5）利用等式的性質(zhì)，作等角或同角的和或差（6）利用同角或等角的補角（余角）相等（7）利用全等三角形的對應角相等5．證明邊相等的常見方法：（1）找公共邊        （2）利用線段的中點 （3）利用等式的性質(zhì)，作線段的和或差（4）利用全等三角形的對應邊相等6.巧引輔助線證全等：（1）                  連接特殊點：在題目給定的圖形中，往往存在著一些具有一定特殊以一定的點，恰當?shù)匕堰@些點連接起來，常能構成全等三角形。變式練習： （2）短延長或長截短（截長補短）：在證明線段的和差關系，特別是題目中給出交平分線時，常采用把長線段截短或把短線段延長的方法來構造圖形，以利用角平分線的對稱性來證明。變式練習：  （3）完善特殊圖形：有些題目中所給出的圖形，是某一個特殊圖形的一部分，如果通過添加輔助線將這個特殊圖形補全，圖形中的全等三角形就顯現(xiàn)出來了。變式練習：   （4）作平行線：當說明兩個三角形全等需要一對對應角相等，但圖形中又不存在這樣的相關的角時，可通過某一個點作某一條線段的平行線，為說明全等提供等角的條件。變式練習1：        變式練習2：已知，如圖，點E，F在AC上，AD∥CB且AD＝CB，∠D＝∠B.求證：AE＝CF.                                                                                    第2題圖 證明：∵AD∥CB，∴∠A＝∠C，在△ADF和△CBE中， ，∴△ADF≌△CBE(ASA)，∴AF＝CE，∴AF＋EF＝CE＋EF，即AE＝CF.   變式練習3：如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，E是邊CD的中點，將△ADE沿AE對折至△AFE，延長EF交邊BC于點G，連接AG.(1)求證：△ABG≌△AFG；(2)求BG的長．                                                                                  第3題圖  (1)證明：由折疊的性質(zhì)可得，AD＝AF，∠ADE＝∠AFE＝90°，∴AB＝AF，∠ABG＝∠AFG＝90°，在Rt△ABG和Rt△AFG中，  ，∴△ABG≌△AFG(HL)；(2)解：由△ABG≌△AFG，得BG＝FG，由折疊知，ED＝EF＝3，設BG＝FG＝x，則CG＝6－x，EG＝x＋3，在Rt△CEG中，∵EG2－CG2＝CE2，∴(x＋3)2－(6－x)2＝32， 解得x＝2，即BG的長為2.     

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