專(zhuān)題07 二次函數(shù)與直角三角形有關(guān)的問(wèn)題（知識(shí)解讀） 【專(zhuān)題說(shuō)明】二次函數(shù)之直角三角形存在性問(wèn)題，主要指的是在平面直角坐標(biāo)系下，已知一條邊（或兩個(gè)頂點(diǎn)）的直角三角形存在，求第三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)的題型.主要考察學(xué)生對(duì)轉(zhuǎn)化思想、方程思想、幾何問(wèn)題代數(shù)化的數(shù)形結(jié)合思想及分類(lèi)討論思想的靈活運(yùn)用。【解題思路】直角三角形的存在性問(wèn)題找點(diǎn)：在已知兩定點(diǎn)，確定第三點(diǎn)構(gòu)成直角三角形時(shí)，要么以?xún)啥c(diǎn)為直角頂點(diǎn)，要么以動(dòng)點(diǎn)為直角頂點(diǎn).以定點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時(shí)，構(gòu)造兩條直線與已知直線垂直;以動(dòng)點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時(shí)，以已知線段為直徑構(gòu)造圓找點(diǎn)方法：（1）以?xún)啥c(diǎn)為直角頂點(diǎn)時(shí)，兩直線互相垂直，則k1*k2=-1     （2） 以已知線段為斜邊時(shí)，利用K型圖，構(gòu)造雙垂直模型，最后利用相似求解，或者三條邊分別表示之后，利用勾股定理求解下面主要介紹2種常用方法：【方法1 幾何法】“兩線一圓” （1）若∠A 為直角，過(guò)點(diǎn) A 作 AB 的垂線，與 x 軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn) C； （2）若∠B 為直角，過(guò)點(diǎn) B 作 AB 的垂線，與 x 軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn) C； （3）若∠C 為直角，以 AB 為直徑作圓，與 x 軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn) C．（直徑所對(duì)的圓周角為直角）     如何求得點(diǎn)坐標(biāo)？以為例：構(gòu)造三垂直．                   【方法2 代數(shù)法】點(diǎn)-線-方程    【典例分析】【方法1  勾股定理】【典例1】（2021秋?建華區(qū)期末）拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過(guò)A、B（1，0）、C（0，﹣3）三點(diǎn)．點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，連接AD、AC、BC、DC．（1）求拋物線的解析式；（2）在y軸上是否存在一點(diǎn)E，使△ADE為直角三角形？若存在，請(qǐng)你直接寫(xiě)出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【變式1-1】（2022?灞橋區(qū)校級(jí)模擬）如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)A（1，0），B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，3）．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）連接BC，在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一點(diǎn)E，使△BCE是直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．    【變式1-2】（2022?廣安）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+x+m（a≠0）的圖象與x軸交于A、C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，其中點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，﹣4），點(diǎn)C坐標(biāo)為（2，0）．（1）求此拋物線的函數(shù)解析式．（2）點(diǎn)P為該拋物線對(duì)稱(chēng)軸上的動(dòng)點(diǎn)，使得△PAB為直角三角形，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．  【方法2  構(gòu)造“K”字型利用相似作答】【典例2】（2022?碑林區(qū)校級(jí)四模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線C1：y＝ax2+bx+c交x軸于點(diǎn)A（﹣5，0），B（﹣1，0），交y軸于點(diǎn)C（0，5）．（1）求拋物線C1的表達(dá)式和頂點(diǎn)D的坐標(biāo)．（2）將拋物線C1關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的拋物線記作C2，點(diǎn)E為拋物線C2上一點(diǎn)若△DOE是以DO為直角邊的直角三角形，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．    【變式2-1】（2022?濟(jì)南）拋物線y＝ax2+x﹣6與x軸交于A（t，0），B（8，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，直線y＝kx﹣6經(jīng)過(guò)點(diǎn)B．點(diǎn)P在拋物線上，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．（1）求拋物線的表達(dá)式和t，k的值；（2）如圖1，連接AC，AP，PC，若△APC是以CP為斜邊的直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；  【變式2-2】（2022?濱州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2﹣2x﹣3與x軸相交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C，連接AC、BC．（1）求線段AC的長(zhǎng)；（2）若點(diǎn)M為該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△BCM為直角三角形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．      專(zhuān)題07 二次函數(shù)與直角三角形有關(guān)的問(wèn)題（知識(shí)解讀） 【專(zhuān)題說(shuō)明】二次函數(shù)之直角三角形存在性問(wèn)題，主要指的是在平面直角坐標(biāo)系下，已知一條邊（或兩個(gè)頂點(diǎn)）的直角三角形存在，求第三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)的題型.主要考察學(xué)生對(duì)轉(zhuǎn)化思想、方程思想、幾何問(wèn)題代數(shù)化的數(shù)形結(jié)合思想及分類(lèi)討論思想的靈活運(yùn)用。【解題思路】直角三角形的存在性問(wèn)題找點(diǎn)：在已知兩定點(diǎn)，確定第三點(diǎn)構(gòu)成直角三角形時(shí)，要么以?xún)啥c(diǎn)為直角頂點(diǎn)，要么以動(dòng)點(diǎn)為直角頂點(diǎn).以定點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時(shí)，構(gòu)造兩條直線與已知直線垂直;以動(dòng)點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時(shí)，以已知線段為直徑構(gòu)造圓找點(diǎn)方法：（1）以?xún)啥c(diǎn)為直角頂點(diǎn)時(shí)，兩直線互相垂直，則k1*k2=-1     （2） 以已知線段為斜邊時(shí)，利用K型圖，構(gòu)造雙垂直模型，最后利用相似求解，或者三條邊分別表示之后，利用勾股定理求解下面主要介紹2種常用方法：【方法1 幾何法】“兩線一圓” （1）若∠A 為直角，過(guò)點(diǎn) A 作 AB 的垂線，與 x 軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn) C； （2）若∠B 為直角，過(guò)點(diǎn) B 作 AB 的垂線，與 x 軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn) C； （3）若∠C 為直角，以 AB 為直徑作圓，與 x 軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn) C．（直徑所對(duì)的圓周角為直角）     如何求得點(diǎn)坐標(biāo)？以為例：構(gòu)造三垂直．                                    【方法2 代數(shù)法】點(diǎn)-線-方程    【典例分析】【方法1  勾股定理】【典例1】（2021秋?建華區(qū)期末）拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過(guò)A、B（1，0）、C（0，﹣3）三點(diǎn)．點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，連接AD、AC、BC、DC．（1）求拋物線的解析式；（2）在y軸上是否存在一點(diǎn)E，使△ADE為直角三角形？若存在，請(qǐng)你直接寫(xiě)出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】解（1）∵拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過(guò)B（1，0）、C（0，﹣3），∴，解得，∴拋物線的解析式為：y＝x2+2x﹣3．（4）在y軸上存在點(diǎn)E，使△ADE為直角三角形，理由如下：∵拋物線的解析式為y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴D（﹣1，﹣4），設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為（0，m），∴AE2＝m2+9，DE2＝m2+8m+17，AD2＝20，當(dāng)∠EAD＝90°時(shí)，有AE2+AD2＝DE2，∴m2+9+20＝m2+8m+17，解得m＝，∴此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，）；當(dāng)∠ADE＝90°時(shí)，DE2+AD2＝AE2，             m2+8m+17+20＝m2+9，解得m＝﹣，∴此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，﹣）；當(dāng)∠AED＝90°時(shí)，AE2+DE2＝AD2，m2+9+m2+8m+17＝20，解得m＝﹣1或m＝﹣3，∴此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，﹣1）或（0，﹣3）．【變式1-1】（2022?灞橋區(qū)校級(jí)模擬）如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)A（1，0），B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，3）．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）連接BC，在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一點(diǎn)E，使△BCE是直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣1）（x﹣3），將點(diǎn)C（0，3）代入y＝a（x﹣1）（x﹣3），∴3a＝3，∴a＝1，∴y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3，∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴頂點(diǎn)為（2，﹣1）；（2）存在一點(diǎn)E，使△BCE是直角三角形，理由如下：∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝2，設(shè)E（2，t），∵△BCE是直角三角形，∴BE⊥CE，∵B（3，0），C（0，3），∴BC＝3，BE＝，CE＝，①當(dāng)BC為斜邊時(shí)，∴18＝（）2+（）2，解得t＝，∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（2，）或（2，）；②當(dāng)BE為斜邊時(shí)，∴18+（）2＝（）2，解得t＝5，∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（2，5）；③當(dāng)CE為斜邊時(shí)，∴18+（）2＝（）2，解得t＝﹣1，∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣1）；綜上所述：E點(diǎn)坐標(biāo)為（2，）或（2，）或（2，5）或（2，﹣1）【變式1-2】（2022?廣安）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+x+m（a≠0）的圖象與x軸交于A、C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，其中點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，﹣4），點(diǎn)C坐標(biāo)為（2，0）．（1）求此拋物線的函數(shù)解析式．（2）點(diǎn)P為該拋物線對(duì)稱(chēng)軸上的動(dòng)點(diǎn)，使得△PAB為直角三角形，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)． 【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+x+m（a≠0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（0，﹣4），點(diǎn)C（2，0），∴，解得，∴拋物線的解析式為y＝x2+x﹣4；（2）如圖2中，設(shè)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸交x軸于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)B作BM⊥拋物線的對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)M．則N（﹣1.0）．M（﹣1，﹣4）；∵OA＝OB＝4，∠AOB＝90°，∴∠OAB＝∠OBA＝45°，當(dāng)∠P1AB＝90°時(shí)，△ANP1是等腰直角三角形，∴AN＝NP1＝3，∴P1（﹣1，3），當(dāng)∠ABP2＝90°時(shí)，△BMP2是等腰直角三角形，可得P2（﹣1，﹣5），當(dāng)∠APB＝90°時(shí)，設(shè)P（﹣1，n），設(shè)AB的中點(diǎn)為J，連接PJ，則J（﹣2，﹣2），∴PJ＝AB＝2，∴12+（n+2）2＝（2）2，解得n＝﹣2或﹣﹣2，∴P3（﹣1，﹣2），P4（﹣1，﹣﹣2），綜上所述，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣1，3）或（﹣1，﹣5）或（﹣1，﹣2）或（﹣1，﹣﹣2）． 【方法2  構(gòu)造“K”字型利用相似作答】【典例2】（2022?碑林區(qū)校級(jí)四模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線C1：y＝ax2+bx+c交x軸于點(diǎn)A（﹣5，0），B（﹣1，0），交y軸于點(diǎn)C（0，5）．（1）求拋物線C1的表達(dá)式和頂點(diǎn)D的坐標(biāo)．（2）將拋物線C1關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的拋物線記作C2，點(diǎn)E為拋物線C2上一點(diǎn)若△DOE是以DO為直角邊的直角三角形，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．【解答】解：（1）將點(diǎn)A（﹣5，0），B（﹣1，0），C（0，5）代入y＝ax2+bx+c，∴，解得，∴y＝x2+6x+5，∵y＝x2+6x+5＝（x+3）2﹣4，∴頂點(diǎn)D（﹣3，﹣4）；（2）設(shè)拋物線C2上任意一點(diǎn)（x，y），則（x，y）關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為（﹣x，y），∵點(diǎn)（﹣x，y）在拋物線C1上，∴拋物線記作C2的解析式為y＝x2﹣6x+5，設(shè)E（t，t2﹣6t+5），過(guò)點(diǎn)D作DG⊥x軸交于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥x軸交于點(diǎn)H，∵∠DOE＝90°，∴∠GOD+∠HOE＝90°，∵∠GOD+∠GDO＝90°，∴∠HOE＝∠GDO，∴△GDO∽△HOE，∴＝，∵DG＝4，GO＝3，HE＝﹣t2+6t﹣5，OH＝t，∴＝，∴t＝4或t＝，∴E（4，﹣3）或E（，﹣）．【變式2-1】（2022?濟(jì)南）拋物線y＝ax2+x﹣6與x軸交于A（t，0），B（8，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，直線y＝kx﹣6經(jīng)過(guò)點(diǎn)B．點(diǎn)P在拋物線上，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．（1）求拋物線的表達(dá)式和t，k的值；（2）如圖1，連接AC，AP，PC，若△APC是以CP為斜邊的直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；【解答】解：（1）將B（8，0）代入y＝ax2+x﹣6，∴64a+22﹣6＝0，∴a＝﹣，∴y＝﹣x2+x﹣6，當(dāng)y＝0時(shí)，﹣t2+t﹣6＝0，解得t＝3或t＝8（舍），∴t＝3，∵B（8，0）在直線y＝kx﹣6上，∴8k﹣6＝0，解得k＝，∴y＝x﹣6；（2）作PM⊥x軸交于M，∵P點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，∴P（m，﹣m2+m﹣6），∴PM＝m2﹣m+6，AM＝m﹣3，在Rt△COA和Rt△AMP中，∵∠OAC+∠PAM＝90°，∠APM+∠PAM＝90°，∴∠OAC＝∠APM，∴△COA∽△AMP，∴＝，即OA?MA＝CO?PM，3（m﹣3）＝6（m2﹣m+6），解得m＝3（舍）或m＝10，∴P（10，﹣）；  【變式2-2】（2022?濱州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2﹣2x﹣3與x軸相交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C，連接AC、BC．（1）求線段AC的長(zhǎng)；（2）若點(diǎn)M為該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△BCM為直角三角形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．【解答】解：（1）針對(duì)于拋物線y＝x2﹣2x﹣3，令x＝0，則y＝﹣3，∴C（0，﹣3）；令y＝0，則x2﹣2x﹣3＝0，∴x＝3或x＝﹣1，∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，∴A（﹣1，0），B（3，0），∴AC＝＝；（2）由（1）知，B（3，0），C（0，﹣3），∴OB＝OC＝3，設(shè)M（m，m2﹣2m﹣3），∵△BCM為直角三角形，∴①當(dāng)∠BCM＝90°時(shí)，如圖1，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥y軸于H，則HM＝m，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∴∠HCM＝90°﹣∠OCB＝45°，∴∠HMC＝45°＝∠HCM，∴CH＝MH，∵CH＝﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+2m，∴﹣m2+2m＝m，∴m＝0（不符合題意，舍去）或m＝1，∴M（1，﹣4）；②當(dāng)∠CBM＝90°時(shí)，過(guò)點(diǎn)M作M'H'⊥x軸，同①的方法得，M'（﹣2，5）；③當(dāng)∠BMC＝90°時(shí)，如圖2，Ⅰ、當(dāng)點(diǎn)M在第四象限時(shí)，過(guò)點(diǎn)M作MD⊥y軸于D，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥DM，交DM的延長(zhǎng)線于E，∴∠CDM＝∠E＝90°，∴∠DCM+∠DMC＝90°，∵∠DMC+∠EMB＝90°，∴∠DCM＝∠EMB，∴△CDM∽△MEB，∴，∵M（m，m2﹣2m﹣3），B（3，0），C（0，﹣3），∴DM＝m，CD＝﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+2m，ME＝3﹣m，BE＝﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+2m+3，∴，∴m＝0（舍去）或m＝3（點(diǎn)B的橫坐標(biāo)，不符合題意，舍去）或m＝（不符合題意，舍去）或m＝，∴M（，﹣），Ⅱ、當(dāng)點(diǎn)M在第三象限時(shí)，M（，﹣），即滿(mǎn)足條件的M的坐標(biāo)為（1，﹣4）或（﹣2，5）或（，﹣），或（，﹣）．    

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備戰(zhàn)2023年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 知識(shí)解讀 專(zhuān)題05 二次函數(shù)與相似三角形有關(guān)的問(wèn)題

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備戰(zhàn)2023年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 知識(shí)解讀 專(zhuān)題04 二次函數(shù)與角度有關(guān)的問(wèn)題

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