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專題08 二次函數(shù)與平行四邊形有關(guān)的問(wèn)題（知識(shí)解讀）

【專題說(shuō)明】
二次函數(shù)為載體的平行四邊形存在性問(wèn)題是近年來(lái)中考的熱點(diǎn)，其圖形復(fù)雜，知識(shí)覆蓋面廣，綜合性較強(qiáng)，對(duì)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力要求高．對(duì)這類題，常規(guī)解法是先畫出平行四邊形，再依據(jù)“平行四邊形的一組對(duì)邊平行且相等”或“平行四邊形的對(duì)角線互相平分”來(lái)解決．由于先要畫出草圖，若考慮不周，很容易漏解．為此，我借助探究平行四邊形頂點(diǎn)坐標(biāo)公式來(lái)解決這一類題，同學(xué)們要掌握好解決這類題型的基本思路和解題技巧。
【解題思路】
1. 線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式
2.平行四邊形頂點(diǎn)公式：

分類：
1. 三個(gè)定點(diǎn)，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題
已知三個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)，可設(shè)出拋物線上第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，運(yùn)用平行四邊形頂點(diǎn)坐標(biāo)公式列方程（組）求解。這種題型由于三個(gè)定點(diǎn)構(gòu)成的三條線段中哪條為對(duì)角線不清楚，往往要以這三條線段分別為對(duì)角線分類，分三種情況討論；


2. 兩個(gè)定點(diǎn)、兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題
這中題型往往比較特殊，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)在拋物線上，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)在x軸（y軸）或?qū)ΨQ軸或某一條直線上。設(shè)出拋物線上的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)若在x軸上，縱坐標(biāo)為0，則用平行四邊形頂點(diǎn)縱坐標(biāo)公式；若在y軸上，橫坐標(biāo)為0，則用平行四邊形頂點(diǎn)橫坐標(biāo)公式。該動(dòng)點(diǎn)哪個(gè)坐標(biāo)已知就用與該坐標(biāo)有關(guān)的公式。

方法總結(jié)：
這種題型，關(guān)鍵是合理有序分類：無(wú)論式三定一動(dòng)，還是兩定兩動(dòng)，統(tǒng)統(tǒng)把拋物線上的動(dòng)點(diǎn)作為第四個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其余三個(gè)作為頂點(diǎn)，分別以這三個(gè)定點(diǎn)構(gòu)成的三條線段為對(duì)角線分類，份三種情況討論，然后運(yùn)用平行四邊形頂點(diǎn)坐標(biāo)公式轉(zhuǎn)化為方程（組），這種解法，不必畫出平行四邊形草圖，只要合理分類，有序組合，從對(duì)角線入手不會(huì)漏解，條理清楚，而且適用范圍廣，其本質(zhì)用代數(shù)的方法解決幾何問(wèn)題，體現(xiàn)的是分類討論思想、屬性結(jié)合的思想。

【典例分析】
【考點(diǎn)1 三定一動(dòng)類型】
【典例1】（2022?樂(lè)業(yè)縣二模）如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣3與x軸交于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，直線l與拋物線交于A、C兩點(diǎn)，其中點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是2．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)P，使得△PBC的周長(zhǎng)最小，并求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在平面直角坐標(biāo)系中，是否存在一點(diǎn)E，使得以E、A、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．


【變式1-1】（2022?寶山區(qū)模擬）已知一個(gè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)A（1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3）三點(diǎn)，頂點(diǎn)為D．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
（2）求經(jīng)過(guò)A、D兩點(diǎn)的直線的表達(dá)式；
（3）設(shè)P為直線AD上一點(diǎn)，且以A、P、C、B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．



【變式1-2】（2021秋?建昌縣期末）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A（1，0），B（﹣3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上方的拋物線上時(shí)，求△PBC的最大面積，并直接寫出此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)M在拋物線的對(duì)稱軸上，以B，C，P，M為頂點(diǎn)、BC為邊的四邊形能否是平行四邊形？若能，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．







【考點(diǎn)2 兩定兩動(dòng)類型】
【典例2】（2022?牡丹區(qū)三模）如圖，直線y＝﹣x+4與x軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線y＝ax2+x+c經(jīng)過(guò)B，C兩點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）E是直線BC上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)E到直線BC的距離最大時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）Q是拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得以P，Q，B，C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．


【變式2-1】（2022?南京模擬）已知，如圖，拋物線與坐標(biāo)軸相交于點(diǎn)A（﹣1，0），C（0，﹣3）兩點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線x＝1，對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)F為二次函數(shù)圖象上與點(diǎn)C對(duì)稱的點(diǎn)，點(diǎn)M在拋物線上，點(diǎn)N在拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在以點(diǎn)F，A，M，N為頂點(diǎn)的平行四邊形？若存在，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由．






【變式2-2】（2022?東莞市校級(jí)一模）如圖所示，拋物線y＝x2+bx+c交x軸于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C（0，﹣3），已知AB＝4，對(duì)稱軸在y軸左側(cè)．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）若點(diǎn)N在對(duì)稱軸上，則拋物線上是否存在點(diǎn)M，使得點(diǎn)A、O、N、M構(gòu)成平行四邊形，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；


【變式2-3】（2022?百色一模）如圖，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與一直線相交于A（﹣1，0），B（2，3）兩點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為M．
（1）求拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）若拋物線的對(duì)稱軸與直線AB相交于點(diǎn)N，E為直線AB上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF∥y軸交拋物線于點(diǎn)F，以M，N，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形能否為平行四邊形？若能，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．





專題08 二次函數(shù)與平行四邊形有關(guān)的問(wèn)題（知識(shí)解讀）

【專題說(shuō)明】
二次函數(shù)為載體的平行四邊形存在性問(wèn)題是近年來(lái)中考的熱點(diǎn)，其圖形復(fù)雜，知識(shí)覆蓋面廣，綜合性較強(qiáng)，對(duì)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力要求高．對(duì)這類題，常規(guī)解法是先畫出平行四邊形，再依據(jù)“平行四邊形的一組對(duì)邊平行且相等”或“平行四邊形的對(duì)角線互相平分”來(lái)解決．由于先要畫出草圖，若考慮不周，很容易漏解．為此，我借助探究平行四邊形頂點(diǎn)坐標(biāo)公式來(lái)解決這一類題，同學(xué)們要掌握好解決這類題型的基本思路和解題技巧。
【解題思路】
2. 線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式
2.平行四邊形頂點(diǎn)公式：

分類：
3. 三個(gè)定點(diǎn)，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題
已知三個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)，可設(shè)出拋物線上第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，運(yùn)用平行四邊形頂點(diǎn)坐標(biāo)公式列方程（組）求解。這種題型由于三個(gè)定點(diǎn)構(gòu)成的三條線段中哪條為對(duì)角線不清楚，往往要以這三條線段分別為對(duì)角線分類，分三種情況討論；


4. 兩個(gè)定點(diǎn)、兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題
這中題型往往比較特殊，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)在拋物線上，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)在x軸（y軸）或?qū)ΨQ軸或某一條直線上。設(shè)出拋物線上的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)若在x軸上，縱坐標(biāo)為0，則用平行四邊形頂點(diǎn)縱坐標(biāo)公式；若在y軸上，橫坐標(biāo)為0，則用平行四邊形頂點(diǎn)橫坐標(biāo)公式。該動(dòng)點(diǎn)哪個(gè)坐標(biāo)已知就用與該坐標(biāo)有關(guān)的公式。

方法總結(jié)：
這種題型，關(guān)鍵是合理有序分類：無(wú)論式三定一動(dòng)，還是兩定兩動(dòng)，統(tǒng)統(tǒng)把拋物線上的動(dòng)點(diǎn)作為第四個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其余三個(gè)作為頂點(diǎn)，分別以這三個(gè)定點(diǎn)構(gòu)成的三條線段為對(duì)角線分類，份三種情況討論，然后運(yùn)用平行四邊形頂點(diǎn)坐標(biāo)公式轉(zhuǎn)化為方程（組），這種解法，不必畫出平行四邊形草圖，只要合理分類，有序組合，從對(duì)角線入手不會(huì)漏解，條理清楚，而且適用范圍廣，其本質(zhì)用代數(shù)的方法解決幾何問(wèn)題，體現(xiàn)的是分類討論思想、屬性結(jié)合的思想。

【典例分析】
【考點(diǎn)1 三定一動(dòng)類型】
【典例1】（2022?樂(lè)業(yè)縣二模）如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣3與x軸交于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，直線l與拋物線交于A、C兩點(diǎn)，其中點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是2．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)P，使得△PBC的周長(zhǎng)最小，并求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在平面直角坐標(biāo)系中，是否存在一點(diǎn)E，使得以E、A、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx﹣3與x軸交于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，
∴，
解得：，
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴拋物線的對(duì)稱軸為x＝1，
∵A、B關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，所以AC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)為點(diǎn)P，

此時(shí)C△PBC＝PB+PC+BC＝AC+BC，
此時(shí)△BPC的周長(zhǎng)最短，
∵點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是2，
yC＝22﹣2×2﹣3＝﹣3，
∴C（2，﹣3），
設(shè)直線AC的解析式為y＝mx+n（m≠0），
∴，
解得：，
∴直線AC的解析式為y＝﹣x﹣1，
當(dāng)x＝1時(shí)，y＝﹣1﹣1＝﹣2，
∴P（1，﹣2）；
（3）存在一點(diǎn)E，使得以E、A、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．
∵A（﹣1，0），B（3，0），C（2，﹣3），設(shè)E（x，y），
①當(dāng)AB為對(duì)角線時(shí)，
則，
解得：，
∴E（0，3）；
②當(dāng)AC為對(duì)角線時(shí)，
則，
解得：，
∴E（﹣2，﹣3）；
③當(dāng)BC為對(duì)角線時(shí)，
則，
解得：，
∴E（6，﹣3）．
綜上所述，E點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）或（﹣2，﹣3）或（6，﹣3）．
【變式1-1】（2022?寶山區(qū)模擬）已知一個(gè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)A（1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3）三點(diǎn)，頂點(diǎn)為D．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
（2）求經(jīng)過(guò)A、D兩點(diǎn)的直線的表達(dá)式；
（3）設(shè)P為直線AD上一點(diǎn)，且以A、P、C、B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

【解答】解：（1）設(shè)y＝ax2+bx+c，
將點(diǎn)A（1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2+4x﹣3；
（2）∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，
∴D（2，1），
設(shè)直線AD的解析式為y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝x﹣1；
（3）設(shè)P（t，t﹣1），
①當(dāng)AB為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，t＝1+3＝4，
∴P（4，3）；
②當(dāng)AC為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，1＝3+t，
∴t＝﹣2，
∴P（﹣2，﹣3）；
③當(dāng)AP為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，t+1＝3，
∴t＝2，
∴P（2，1），
此時(shí)﹣3+0≠1+0，
∴P（2，1）不符合題意；
綜上所述：P點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，3）或（﹣2，﹣3）．
【變式1-2】（2021秋?建昌縣期末）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A（1，0），B（﹣3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上方的拋物線上時(shí)，求△PBC的最大面積，并直接寫出此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)M在拋物線的對(duì)稱軸上，以B，C，P，M為頂點(diǎn)、BC為邊的四邊形能否是平行四邊形？若能，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【解答】解：（1）∵拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A（1，0），B（﹣3，0）兩點(diǎn)，
∴，
∴，
∴拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣2x+3；

（2）如圖1，
由（1）知，拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣2x+3，
令x＝0，則y＝3，
∴C（0，3），
設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+3，
∵點(diǎn)B（﹣3，0），
∴﹣3k+3＝0，
∴k＝1，
∴直線BC的解析式為y＝x+3，
過(guò)點(diǎn)P作PQ∥y軸交BC于Q，
設(shè)P（m，﹣m2﹣2m+3）（﹣3＜m＜0），
∴Q（m，m+3），
∴PQ＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m，
∴S△PBC＝PQ（xC﹣xB）＝（﹣m2﹣3m）[0﹣（﹣3）]＝﹣（m+）2+，
∴當(dāng)m＝﹣時(shí)，△PBC的最大面積為，此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣，）；

（3）能是平行四邊形；
如圖2，由（1）知，拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣2x+3，
∴拋物線的對(duì)稱軸為x＝﹣1，
∴設(shè)點(diǎn)M（﹣1，a），P（n，﹣n2﹣2n+3），
假設(shè)存在以B，C，P，M為頂點(diǎn)、BC為邊的四邊形是平行四邊形，
①當(dāng)四邊形BCMP是平行四邊形時(shí)，
∵點(diǎn)C（0，3），B（﹣3，0），
∴（n+0）＝（[﹣3+（﹣1）]，
∴n＝﹣4，
∴P（﹣4，﹣5），
②當(dāng)四邊形BCP'M'是平行四邊形時(shí)，
∵點(diǎn)C（0，3），B（﹣3，0），
∴[n+（﹣3）]＝（[0+（﹣1）]，
∴n＝2，
∴P（2，﹣5），

即：滿足條件的點(diǎn)P（﹣4，﹣5）或（2，﹣5）．


【考點(diǎn)2 兩定兩動(dòng)類型】
【典例2】（2022?牡丹區(qū)三模）如圖，直線y＝﹣x+4與x軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線y＝ax2+x+c經(jīng)過(guò)B，C兩點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）E是直線BC上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)E到直線BC的距離最大時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）Q是拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得以P，Q，B，C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【解答】解：（1）∵直線y＝﹣x+4與x軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)B，
∴點(diǎn)B，C的坐標(biāo)分別為B（0，4），C（4，0），
把點(diǎn)B（0，4）和點(diǎn)C（4，0）代入拋物線y＝ax2+x+c，
得：，
解之，得，
∴拋物線的解析式為．
（2）∵BC為定值，
∴當(dāng)△BEC的面積最大時(shí)，點(diǎn)E到BC的距離最大．
如圖，過(guò)點(diǎn)E作EG∥y軸，交直線BC于點(diǎn)G．

設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為，則點(diǎn)G的坐標(biāo)為（m，﹣m+4），
∴，
∴，
∴當(dāng)m＝2時(shí)，S△BEC最大．此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，4）．
（3）存在．由拋物線可得對(duì)稱軸是直線x＝1．
∵Q是拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，∴點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為1．
①當(dāng)BC為邊時(shí)，點(diǎn)B到點(diǎn)C的水平距離是4，
∴點(diǎn)Q到點(diǎn)P的水平距離也是4．
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是5或﹣3，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為或；


②當(dāng)BC為對(duì)角線時(shí)，點(diǎn)Q到點(diǎn)C的水平距離是3，
∴點(diǎn)B到點(diǎn)P的水平距離也是3，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為．

綜上所述，在拋物線上存在點(diǎn)P，使得以P，Q，B，C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，
點(diǎn)P的坐標(biāo)是或或．

【變式2-1】（2022?南京模擬）已知，如圖，拋物線與坐標(biāo)軸相交于點(diǎn)A（﹣1，0），C（0，﹣3）兩點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線x＝1，對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)F為二次函數(shù)圖象上與點(diǎn)C對(duì)稱的點(diǎn)，點(diǎn)M在拋物線上，點(diǎn)N在拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在以點(diǎn)F，A，M，N為頂點(diǎn)的平行四邊形？若存在，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由．

【解答】解：（1）∵拋物線對(duì)稱軸為直線x＝1，
∴設(shè)拋物線y＝a（x﹣1）2+k，
把A（﹣1，0），C（0，﹣3）代入y＝a（x﹣1）2+k得：，
∴，
∴y＝（x﹣1）2﹣4；
（2）∵y＝（x﹣1）2﹣4，
∴y＝x2﹣2x﹣3，
依題意設(shè)N（1，n），M（m，m2﹣2m﹣3），
∵C（0，﹣3），對(duì)稱軸為直線x＝1，
∴F（2，﹣3），
∵A（﹣1，0），F(xiàn)（2，﹣3），N（1，n），M（m，m2﹣2m﹣3），
當(dāng)以AF為對(duì)角線時(shí)，

，
∴m＝0，
∴M（0，﹣3），
當(dāng)以AN為對(duì)角線時(shí)，

，
∴m＝﹣2，
∴M（﹣2，5），
當(dāng)以AM為對(duì)角線時(shí)，

，
∴m＝4，
∴M（4，5），
綜上所述：M（0，﹣3）或M（﹣2，5）或M（4，5）．
【變式2-2】（2022?東莞市校級(jí)一模）如圖所示，拋物線y＝x2+bx+c交x軸于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C（0，﹣3），已知AB＝4，對(duì)稱軸在y軸左側(cè)．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）若點(diǎn)N在對(duì)稱軸上，則拋物線上是否存在點(diǎn)M，使得點(diǎn)A、O、N、M構(gòu)成平行四邊形，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

【解答】解：（1）∵拋物線y＝x2+bx+c交y軸于點(diǎn)C（0，﹣3），
∴c＝﹣3，
∴拋物線的解析式為y＝x2+bx﹣3，
設(shè)A（x1，0），B（x2，0），
由題意得x2﹣x1＝4，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝16，
∵x1+x2＝﹣b，x1x2＝﹣3，
∴b2+12＝16，
∴b＝±2，
又∵對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，
∴b＝2，
∴拋物線的表達(dá)式為y＝x2+2x﹣3；
（2）存在點(diǎn)M，使得點(diǎn)A、O、N、M構(gòu)成平行四邊形．
∵拋物線的解析式為y＝x2+2x﹣3，
∴y＝0時(shí)，x＝﹣3或x＝1，
∴A（﹣3，0），B（1，0），
①若OA為邊，
∴AO∥MN，OA＝MN＝3，
∵N在對(duì)稱軸x＝﹣1上，
∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2或﹣4，
當(dāng)x＝2時(shí)，y＝5，當(dāng)x＝﹣4時(shí)，y＝5，
∴M（2，5）或（﹣4，5）；
②若OA為對(duì)角線時(shí)，
∵A（﹣3，0），O（0，0），
∴OA的中點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣，0），
∵N在直線x＝﹣1上，
設(shè)M的橫坐標(biāo)為m，
∴，
∴m＝﹣2，
把m＝﹣2代入拋物線解析式得y＝﹣3，
∴M（﹣2，﹣3）．
綜上所述，M的坐標(biāo)為（2，5）或（﹣4，5）或（﹣2，﹣3）；
（3）∵B（1，0），C（0，﹣3），
∴S△OBC＝，
∴S△OBC＝S△PBC＝，
設(shè)BC的解析式為y＝kx+n，
∴，
∴，
∴直線BC的解析式為y＝3x﹣3，
過(guò)點(diǎn)O作OP∥BC交拋物線于P，則S△OBC＝S△PBC，直線OP的解析式為y＝3x，

∴，
解得，，
∴P（，）或（，）．
【變式2-3】（2022?百色一模）如圖，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與一直線相交于A（﹣1，0），B（2，3）兩點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為M．
（1）求拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）若拋物線的對(duì)稱軸與直線AB相交于點(diǎn)N，E為直線AB上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF∥y軸交拋物線于點(diǎn)F，以M，N，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形能否為平行四邊形？若能，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．


【解答】解：（1）由題意得：，
解得，
所以拋物線的解析式為：y＝﹣x2+2x+3；
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，4）．
（2）能．
設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為t，則點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為t，
當(dāng)﹣1＜t＜2，由（2）得，EF＝（﹣t2+2t+3）﹣（t+1）＝﹣t2+t+2；
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴該拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1，頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，4），
直線AB：y＝x+1，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝2，
∴B（1，2），
∴BD＝4﹣2＝2，
∵EF∥MN，
∴當(dāng)EF＝MN＝2時(shí)，四邊形MNEF是平行四邊形，
∴﹣t2+t+2＝2，
解得t1＝0，t2＝1（不符合題意，舍去），
直線y＝x+1，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝1，
∴E（0，1）；
當(dāng)x＜﹣1或x＞2時(shí)，則EF＝（t+1）﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣t﹣2，
∴t2﹣t﹣2＝2，
解得t1＝，t2＝，
直線y＝x+1，當(dāng)x＝時(shí)，y＝；當(dāng)x＝時(shí)，y＝，
∴E（，），E′（，），
綜上所述，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，1）或（，）或′（，）．

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