立體幾何—球的切接問題專題綜述球的切接問題是高考熱點之一，基本以選擇或填空題出現(xiàn)，求解需要學(xué)生較強的空間想象能力、化歸與轉(zhuǎn)化能力和準(zhǔn)確的計算能力，且題目綜合性較強，需要梳理出解題的模式與套路.與球切接的多面體分為：①規(guī)則的多面體，如長方體，正方體，正三棱柱、正三棱錐，正四面體、有2個面為共斜邊的直角三角形的三棱錐，這些特殊的幾何體其內(nèi)切球與外接球的半徑與其棱長之間有具體的公式.②不規(guī)則的多面體，核心是要定球心求出半徑，可以通過定義法定球心、補形法將幾何體還原到特殊的幾何體中去、方程法求外接球的半徑，等體積法內(nèi)切球的半徑.本專題就不規(guī)則多面體內(nèi)切球和外接球問題的幾種方法進行探究.專題探究探究1：補形法正方體等幾何體的外接球球心已經(jīng)明確，一些幾何體通過補形成為長方體、三棱柱等，讓原幾何體與補形后的幾何體的球心一致，從而求出半徑.常見的模型有：1. 對棱相等的三棱錐：三棱錐的三組對棱的長分別為，還原到長方體中，三棱錐的棱為長方體的面對角線，則外接球半徑2.四個面都是直角的三棱錐：三棱錐中，平面，,，還原到長方體中，棱的中點即為球心，則外接球半徑.也可以理解為棱為兩個直角三角形斜邊，則中點到四個定點的距離相等，即為球心.3. 三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐（墻角模型）：三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，，還原到長方體中，則外接球半徑.4.一條側(cè)棱垂直于底面：三棱錐，平面,還原到直三棱柱中，直三棱柱的球心在上下底面的外接圓的圓心連線中點，求直三棱柱的外接圓的半徑.（2021江蘇南通市高三模擬）正三棱錐中，，，則該棱錐外接球的表面積為（    ）A． B． C． D．【審題視點】三棱錐比較特殊，給出棱長，可以先分析三棱柱側(cè)面三角形的特點，判斷能否通過補形還原到長方體中去.                               【思維引導(dǎo)】勾股定理判斷側(cè)面三角形的為直角三角形，滿足墻角模型.【規(guī)范解析】解：在正三棱錐中，，,,,同理可得, ,以為棱構(gòu)造正方體，如圖所示  則該棱錐外接球即為該正方體的外接球，設(shè)三棱錐的外接球半徑為，，故球的表面積為,故選：C   【探究總結(jié)】典例1中給出了幾何體的棱長，求其外接球的半徑，此類問題的共同特點是，要用解三角形的知識先判斷幾何體中的邊角關(guān)系，先判斷是否可以使用補形法，若不能則用定義找球心.(2021山東省泰安市一模)在四面體中，，，則四面體的外接球的表面積為(    )A． B． C． D．探究2：由外接球定義找球心利用定義確定球心，即求出一點使其到幾何體各個頂點的距離相等.答題思路：一般棱錐外接球球心的找法：                                                                                                  第一種：1.尋找底面多邊形的外接圓的圓心過作底面的垂線：外接圓的半徑用正弦定理求出；2.任選一側(cè)棱，取其中點，過中點作側(cè)棱的垂面，垂面與的交點即為外接圓的圓心，或在垂線上任設(shè)一點，利用到各點的距離相等 ，從而確定外接球球心：將轉(zhuǎn)化為求解平面多邊形.第二種：尋找?guī)缀误w中兩個面的多邊形的外接圓的圓心即為，分別過作兩個平面的垂線即為，的交點即為外接球的球心.(2021福建省福州市模擬) 三棱錐中，平面，，，，是邊上的一個動點，且直線與面所成角的最大值為，則該三棱錐外接球的表面積為__________.【審題視點】幾何體給出了較多的邊角關(guān)系，且底面三角形不是直角三角形，可初步判斷可用定義法找球心.【思維引導(dǎo)】求出為等腰三角形，利用上述方法的第一中，過的外接圓的圓心作底面垂線，取側(cè)棱中點向作垂線，垂足即為球心.【規(guī)范解析】解：三棱錐中，平面，設(shè)直線與平面所成角為，
如圖所示：
可知：為直線與平面所成角，
則，當(dāng)時，取取最小值，即取最大值，的最小值是，即到的距離為，，在中，，可得，故為等腰三角形則外接圓圓心在的延長線上
取的外接圓圓心為，作，設(shè)的外接圓的半徑為，
 ，解得；
，
取為的中點，設(shè)三棱錐外接球的半徑為，，，
由勾股定理得，三棱錐的外接球的表面積是

故答案為：【探究總結(jié)】定義法找球心，較為繁瑣計算量大，但思路清晰，按照給出的方法步驟即可確定球心，再利用平面幾何的知識求解半徑，再求出球的表面積或體積. (2021湖南省四校聯(lián)考) 如圖，二面角的平面角的大小為，，，，，則四面體的外接球表面積為__________.                                探究3：內(nèi)切球的球心問題  內(nèi)切球的問題：  1.正多面體的內(nèi)切球和外接球的球心重合；2.正棱錐的內(nèi)切球和外接球球心都在高線上，但不一定重合 ；3. 正棱柱的內(nèi)切球球心，在上下底面三角形外接圓圓心連線的中點，和外接球的球心重合；4.體積分割是求內(nèi)切球半徑的通用做法：設(shè)內(nèi)切球的半徑為，則球心到各個面的距離均，則. (2021山西省大同一中)已知直三棱柱的底面為等邊三角形，若該棱柱存在外接球與內(nèi)切球，則其外接球與內(nèi)切球表面積之比為（   ）A．25︰1 B．1︰25 C．1︰5 D．5︰1【審題視點】正三棱柱的內(nèi)切球與外接球球心重合.【思維引導(dǎo)】正三棱柱的內(nèi)切球與外接球球心重合，為上下底面三角形外接圓圓心連線的中點，確定球心后，分別求出半徑.【規(guī)范解析】解：由題意得，正三棱柱的內(nèi)切球與外接球球心重合，為上下底面三角形外接圓圓心連線的中點.如圖所示：點是底面等邊三角形的中心，點是三棱柱外接球和內(nèi)切球的球心，點是底邊的中點，連結(jié)，，，，設(shè)底面三角形的邊長為，則，，由三棱錐內(nèi)切球與各面都相切可得，故三棱柱的高是內(nèi)切球的直徑，底面三角形內(nèi)切圓的直徑也是三棱柱內(nèi)切球的直徑， ，即三棱柱內(nèi)切球的半徑，又，，即三棱柱外接球的半徑，所以內(nèi)切球的表面積為，外接球的表面積，三棱柱外接球和內(nèi)切球表面積的比值為 故選：【探究總結(jié)】對于特殊的幾何體，通過空間想象，可以快速確定球心及內(nèi)切圓半徑. (2021湖北省荊州市高三模擬) 下圖中正方體邊長為2，則下列說法正確的是（   ）A. 平面平面
B. 正方體外接球與正四面體外接球半徑相等均為
C. 正四面體內(nèi)切球半徑為
D. 四面體內(nèi)切球半徑為      專題升華規(guī)則多面體的內(nèi)切球與外接球的有關(guān)結(jié)論:1.長方體的長寬高為，則其外接球球心為其體對角線的中點，外接球半徑；2.正方體的棱長為，則其外接球半徑，內(nèi)切球半徑；3.設(shè)正三棱柱的高為,底面邊長為,和分別為上下底面的中心,則球心的中點,則其外接球半徑 ；4.設(shè)正四面體的棱長為,則內(nèi)切球半徑,外接球半徑；
5.正三棱錐的側(cè)棱長為，底面邊長為，內(nèi)切球與外接球的球心都在其高線上，外接球半徑，內(nèi)切球半徑為；               【答案詳解】變式訓(xùn)練1【解答】由，，， 故，取的中點,連接，即為外接球的球心，球的半徑 四面體的外接球的表面積為：.故選：B變式訓(xùn)練2【解答】解：在中，，，，設(shè)的外接圓的半徑為，則，所以，在中，，，，
所以，設(shè)的外接圓的半徑為，則，所以，作，所以為二面角的平面角，即，
 ，，，設(shè)四面體的外接球的球心為，球半徑為，
則，，
所以四面體的外接球表面積為
故答案為變式訓(xùn)練3【解析】解：對于因為正方體的邊長為2，故，
所以和是等邊三角形，取的中點，連接和，
則，，即為二面角的平面角，
，，故，
不等于，即二面角的平面角不等于，
所以平面平面不成立，故選項不正確；
對于正四面體的四個頂點都是正方體的頂點，故正四面體與正方體有同一個外接球，且外接球的半徑為，故選項正確;
對于正四面體內(nèi)切球半徑為，正四面體的高為，由體積相等可得：，可得，故選項正確;
對于設(shè)四面體內(nèi)切球半徑為，由體積相等可得，
即，解得：，
故選項正確;
故選： 

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