微專題17　球的切、接、截問題1.球的切接問題(1)長方體的外接球①球心：體對角線的交點(diǎn)；②半徑：r＝(a，b，c為長方體的長、寬、高).(2)正方體的外接球、內(nèi)切球及與各條棱相切的球(a為正方體的棱長)①外接球：球心是正方體中心，半徑r＝a，直徑等于體對角線長；②內(nèi)切球：球心是正方體中心，半徑r＝，直徑等于正方體棱長；③與各條棱都相切的球：球心是正方體中心，半徑r＝a，直徑等于面對角線長.(3)正四面體的外接球與內(nèi)切球(正四面體可以看作是正方體的一部分，a為正四面體的棱長)①外接球：球心是正四面體的中心，半徑r＝a；②內(nèi)切球：球心是正四面體的中心，半徑r＝a.2.平面截球平面截球面得圓.截面圓的圓心與球心的連線與截面圓圓面垂直且R2＝d2＋r2(R為球半徑，r為截面圓半徑，d為球心到截面圓的距離).類型一　外接球問題考向1　墻角模型墻角模型是三棱錐有一條側(cè)棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用構(gòu)造法(構(gòu)造長方體)解決，外接球的直徑等于長方體的體對角線長.長方體同一頂點(diǎn)的三條棱長分別為a，b，c，外接球半徑為R.則(2R)2＝a2＋b2＋c2，即2R＝.常見的有以下三種類型：例1 已知三棱錐P－ABC的四個頂點(diǎn)在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E，F分別是PA，AB的中點(diǎn)，∠CEF＝90°，則球O的體積為(　　)A.8π  B.4π  C.2π  D.π答案　D解析　因?yàn)辄c(diǎn)E，F分別為PA，AB的中點(diǎn)，所以EF∥PB.因?yàn)?/span>∠CEF＝90°，所以EF⊥CE，所以PB⊥CE.取AC的中點(diǎn)D，連接BD，PD，易證AC⊥平面BDP，所以PB⊥AC，又AC∩CE＝C，AC，CE?平面PAC，所以PB⊥平面PAC，所以PB⊥PA，PB⊥PC，因?yàn)?/span>PA＝PB＝PC，△ABC為正三角形，所以PA⊥PC，即PA，PB，PC兩兩垂直，將三棱錐P－ABC放在正方體中如圖所示.因?yàn)?/span>AB＝2，所以該正方體的棱長為，所以該正方體的體對角線長為，所以三棱錐P－ABC的外接球的半徑R＝，所以球O的體積V＝πR3＝π＝π，故選D.考向2　對棱相等模型對棱相等模型是三棱錐的三組對棱長分別相等模型，用構(gòu)造法(構(gòu)造長方體)解決，外接球的直徑等于長方體的體對角線長，如圖所示，(2R)2＝a2＋b2＋c2(長方體的長、寬高分別為a，b，c)，即R2＝(x2＋y2＋z2)，如圖.例2 在三棱錐A－BCD中，AB＝CD＝2，AD＝BC＝3，AC＝BD＝4，則三棱錐A－BCD外接球的表面積為________.答案　解析　構(gòu)造長方體，三個長度為三對面的對角線長，設(shè)長方體的長寬高分別為a，b，c，則a2＋b2＝9，b2＋c2＝4，c2＋a2＝16，所以2(a2＋b2＋c2)＝9＋4＋16＝29，即a2＋b2＋c2＝4R2＝，則外接球的表面積為S＝4πR2＝.考向3　漢堡模型漢堡模型是直三棱柱、圓柱的外接球模型，模型如下，由對稱性可知，球心O的位置是△ABC的外心O1與△A1B1C1的外心O2的連線的中點(diǎn)，算出小圓O1的半徑AO1＝r，OO1＝，所以R2＝r2＋.例3 (2022·金華調(diào)研)在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC＝AC，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，若該三棱柱的所有頂點(diǎn)都在同一個球O的表面上，且球O的表面積的最小值為4π，則該三棱柱的側(cè)面積為(　　)A.6  B.3  C.3  D.3答案　B解析　如圖，設(shè)三棱柱上、下底面中心分別為O1，O2，則O1O2的中點(diǎn)為O，設(shè)球O的半徑為R，則OA＝R，設(shè)AB＝BC＝AC＝a，AA1＝h，則OO2＝h，O2A＝×AB＝a.在Rt△OO2A中，R2＝OA2＝OO＋O2A2＝h2＋a2≥2×h×a＝ah，當(dāng)且僅當(dāng)h＝a時，等號成立，所以S球＝4πR2≥4π×ah，所以ah＝4π，所以ah＝，所以該三棱柱的側(cè)面積為3ah＝3.考向4　垂面模型垂面模型是有一條側(cè)棱垂直底面的棱錐模型，可補(bǔ)為直棱柱內(nèi)接于球；如圖所示，由對稱性可知球心O的位置是△CBD的外心O1與△AB2D2的外心O2連線的中點(diǎn)，算出小圓O1的半徑CO1＝r，OO1＝，則R＝.例4 (2022·廣州模擬)已知四棱錐S－ABCD的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，SD⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD且滿足AB＝2AD＝2DC＝2，且∠DAB＝，SC＝，則球O的表面積是(　　)A.5π  B.4π  C.3π  D.2π答案　A解析　依題意，得AB＝2AD＝2，∠DAB＝，由余弦定理可得BD＝，則AD2＋DB2＝AB2，則∠ADB＝.又四邊形ABCD是等腰梯形，故四邊形ABCD的外接圓直徑為AB，半徑r＝＝1，設(shè)AB的中點(diǎn)為O1，球的半徑為R，因?yàn)?/span>SD⊥平面ABCD，所以SD＝＝1，R2＝12＋＝，則S＝4πR2＝5π.考向5　切瓜模型切瓜模型是有一側(cè)面垂直底面的棱錐模型，常見的是兩個互相垂直的面都是特殊三角形，在三棱錐A－BCD中，側(cè)面ABC⊥底面BCD，設(shè)三棱錐的高為h，外接球的半徑為R，球心為O，△BCD的外心為O1，O1到BC的距離為d，O與O1的距離為m，△BCD和△ABC外接圓的半徑分別為r1，r2，則解得R，可得R＝(l為兩個面的交線段長).例5 (2022·濟(jì)寧模擬)在邊長為6的菱形ABCD中，∠A＝，現(xiàn)將△ABD沿BD折起，當(dāng)三棱錐A－BCD的體積最大時，三棱錐A－BCD的外接球的表面積為________.答案　60π解析　邊長為6的菱形ABCD，在折疊的過程中，當(dāng)平面ABD⊥平面BCD時，三棱錐的體積最大；由于AB＝AD＝CD＝BC＝6，∠C＝∠A＝.所以△ABD和△CBD均為正三角形，設(shè)△ABD和△CBD的外接圓半徑為r，則2r＝，所以r＝2.△ABD和△CBD的交線段為BD，且BD＝6.所以三棱錐A－BCD的外接球的半徑R＝＝.故S球＝4·π()2＝60π.訓(xùn)練1 (1)(2022·青島一模)設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱的長都為1，頂點(diǎn)都在一個球面上，則該球的表面積為(　　)A.5π  B.π  C.π  D.π(2)在三棱錐P－ABC中，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，且PA＝4，底面△ABC的外接圓的半徑為3，則三棱錐P－ABC的外接球的表面積為________.答案　(1)D　(2)52π解析　(1)由三棱柱所有棱的長a＝1，可知底面為正三角形，底面三角形的外接圓直徑2r＝＝，所以r＝，設(shè)外接球的半徑為R，則有R2＝r2＋＝＋＝，所以該球的表面積S＝4πR2＝π，故選D.(2)因?yàn)槠矫?/span>PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，所以PA⊥平面ABC.設(shè)三棱錐P－ABC的外接球的半徑為R，結(jié)合底面△ABC的外接圓的半徑r＝3，可得R2＝＋r2＝22＋33＝13，所以三棱錐P－ABC的外接球的表面積為S表＝4πR2＝52π.類型二　內(nèi)切球問題內(nèi)切球問題的解法(以三棱錐為例)第一步：先求出四個表面的面積和整個錐體的體積；第二步：設(shè)內(nèi)切球的半徑為r，建立等式VP－ABC＝VO－ABC＋VO－PAB＋VO－PAC＋VO－PBC?VP－ABC＝S△ABC·r＋S△PAB·r＋S△PAC·r＋SPBC·r＝(S△ABC＋S△PAB＋S△PAC＋S△PBC)r；第三步：解出r＝.例6 (1)(2022·成都石室中學(xué)三診)《九章算術(shù)》中將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑.若三棱錐P－ABC為鱉臑，PA⊥平面ABC，PA＝BC＝4，AB＝3，AB⊥BC，若三棱錐P－ABC有一個內(nèi)切球O，則球O的體積為(　　)A.  B.  C.  D.9π(2)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB＝6，BC＝8，AC＝10，則該三棱柱內(nèi)能放置的最大球的表面積是(　　)A.16π  B.24π  C.36π  D.64π答案　(1)C　(2)A解析　(1)設(shè)球O的半徑為r，則三棱錐P－ABC的體積V＝××3×4×4＝×(×3×4＋×4×3＋×5×4＋×4×5)×r，解得r＝，所以球O的體積V＝πr3＝，故選C.(2)由題意，球的半徑為底面三角形內(nèi)切圓的半徑r，因?yàn)榈酌嫒切蔚倪呴L分別為6，8，10，所以底面三角形為直角三角形，r＝＝＝2.又因?yàn)?/span>AA1＝6，2r＝4<6，所以該三棱柱內(nèi)能放置的最大球半徑為2，此時S表面積＝4πr2＝4π×22＝16π.訓(xùn)練2 已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為________.答案　π解析　圓錐內(nèi)半徑最大的球即為圓錐的內(nèi)切球，設(shè)其半徑為r.作出圓錐的軸截面PAB，如圖所示，則△PAB的內(nèi)切圓為圓錐的內(nèi)切球的大圓.在△PAB中，PA＝PB＝3，D為AB的中點(diǎn)，AB＝2，E為切點(diǎn)，則PD＝2，△PEO∽△PDB，故＝，即＝，解得r＝，故內(nèi)切球的體積為π＝π.類型三　球的截面問題解決球的截面問題抓住以下幾個方面：(1)球心到截面圓的距離；(2)截面圓的半徑；(3)直角三角形(球心到截面圓的距離、截面圓的半徑、球的半徑構(gòu)成的直角三角形).例7 (2022·杭州質(zhì)檢)在正三棱錐P－ABC中，Q為BC中點(diǎn)，PA＝，AB＝2，過點(diǎn)Q的平面截三棱錐P－ABC的外接球所得截面面積的取值范圍為________.答案　解析　因?yàn)檎忮FP－ABC中，PB＝PC＝PA＝，AC＝BC＝AB＝2，所以PB2＋PA2＝AB2，即PB⊥PA，同理PB⊥PC，PC⊥PA，因此正三棱錐P－ABC可看作正方體的一角，如圖.記正方體的體對角線的中點(diǎn)為O，由正方體結(jié)構(gòu)特征可得，點(diǎn)O即是正方體的外接球球心，所以點(diǎn)O也是正三棱錐P－ABC外接球的球心，記外接球半徑為R，則R＝＝，因?yàn)榍虻淖畲蠼孛鎴A為過球心的圓，所以過點(diǎn)Q的平面截三棱錐P－ABC的外接球所得截面的面積最大為Smax＝πR2＝.又Q為BC中點(diǎn)，由正方體結(jié)構(gòu)特征可得OQ＝PA＝；由球的結(jié)構(gòu)特征可知，當(dāng)OQ垂直于過點(diǎn)Q的截面時，截面圓半徑最小為r＝＝1，所以Smin＝πr2＝π.因此，過Q的平面截三棱錐P－ABC的外接球所得截面面積的取值范圍為.訓(xùn)練3 (1)設(shè)球O是棱長為4的正方體的外接球，過該正方體棱的中點(diǎn)作球O的截面，則最小截面的面積為(　　)A.3π  B.4π  C.5π  D.6π(2)(2022·武漢質(zhì)檢)已知棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1，球O與該正方體的各個面相切，則平面ACB1截此球所得的截面的面積為________.答案　(1)B　(2)解析　(1)當(dāng)球O到截面圓心連線與截面圓垂直時，截面圓的面積最小，由題意，正方體棱的中點(diǎn)與O的距離為2，球的半徑為2，∴最小截面圓的半徑為＝2，∴最小截面面積為π·22＝4π.(2)∵正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，球O與該正方體的各個面相切，則球O的半徑為1，設(shè)E，F，G分別為球O與平面ABCD、平面BB1C1C、平面AA1B1B的切點(diǎn)，則等邊三角形EFG為平面ACB1截此球所得的截面圓的內(nèi)接三角形，由已知可得EF＝EG＝GF＝，∴平面ACB1截此球所得的截面圓的半徑r＝＝，∴截面的面積為π×＝.一、基本技能練1.已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為(　　)A.π  B.  C.  D.答案　B解析　如圖畫出圓柱的軸截面ABCD，O為球心.球的半徑R＝OA＝1，球心到底面圓的距離為OM＝.∴底面圓半徑r＝＝故圓柱體積V＝π·r2·h＝π·×1＝.2.若棱長為2的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為(　　)A.12π  B.24π  C.36π  D.144π答案　C解析　由題意知球的直徑2R＝＝6，∴R＝3，∴S球＝4πR2＝36π.故選C.3.一個四面體的所有棱長都為，四個頂點(diǎn)在同一球面上，則此球的表面積為(　　)A.3π  B.4π  C.3π  D.6π答案　A解析　構(gòu)造棱長為1的正方體，該四面體的外接球也是棱長為1的正方體的外接球，所以外接球半徑R＝，所以外接球表面積為S＝4πR2＝3π.4.已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6個頂點(diǎn)都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，則球O的半徑為(　　)A.  B.2  C.  D.3答案　C解析　將直三棱柱補(bǔ)為長方體ABEC－A1B1E1C1，則球O是長方體ABEC－A1B1E1C1的外接球.∴體對角線BC1的長為球O的直徑.因此2R＝＝13，則R＝.5.(2022·南陽二模)已知邊長為2的等邊三角形ABC，D為BC的中點(diǎn)，以AD為折痕進(jìn)行折疊，使折后的∠BDC＝，則過A，B，C，D四點(diǎn)的球的表面積為(　　)A.3π  B.4π  C.5π  D.6π答案　C解析　折后的幾何體構(gòu)成以D為頂點(diǎn)的三棱錐，且三條側(cè)棱互相垂直，可構(gòu)造長方體，其對角線即為球的直徑，三條棱長分別為1，1，，所以2R＝＝，球的表面積S＝4π＝5π.6.(2022·青島模擬)如圖是一個由6個正方形和8個正三角形圍成的十四面體，其所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，若十四面體的棱長為1，則球O的表面積為(　　)A.2π  B.4π  C.6π  D.8π答案　B解析　根據(jù)圖形可知，該十四面體是由一個正方體切去八個角得到的，如圖所示，十四面體的外接球球心與正方體的外接球球心相同，建立空間直角坐標(biāo)系，∵該十四面體的棱長為1，故正方體的棱長為，∴該正方體的外接球球心的坐標(biāo)為O，設(shè)十四面體上一頂點(diǎn)為D，則D，所以十四面體的外接球半徑R＝OD＝＝1，故外接球的表面積為S＝4πR2＝4π.故選B.7.四面體ABCD的四個頂點(diǎn)都在球O上且AB＝AC＝BC＝BD＝CD＝4，AD＝2，則球O的表面積為(　　)A.  B.  C.30π  D.40π答案　B解析　如圖，取BC的中點(diǎn)M，連接AM，DM，由題意可知，△ABC和△BCD都是邊長為4的等邊三角形.∵M為BC的中點(diǎn)，∴AM⊥BC，且AM＝DM＝2，又∵AD＝2，∴AM2＋DM2＝AD2，∴AM⊥DM，∵BC∩DM＝M，BC，DM?平面BCD，∴AM⊥平面BCD，∵AM?平面ABC，∴平面ABC⊥平面BCD，△ABC與△BCD外接圓半徑r＝DM＝，又△ABC與△BCD的交線段BC＝4.所以四面體外接球半徑R＝＝，四面體ABCD的外接球的表面積為4π×R2＝π.8.已知三棱錐P－ABC的棱AP，AB，AC兩兩垂直，且長度都為，以頂點(diǎn)P為球心，2為半徑作一個球，則球面與三棱錐的表面相交所得到的四段弧長之和等于(　　)A.  B.  C.π  D.答案　D解析　如圖，∠APC＝，AP＝，AN＝1，∠APN＝，∠NPM＝，＝×2＝，同理＝，＝，＝，故四段弧長之和為＋＋＋＝.9.(多選)(2022·石家莊調(diào)研)已知一個正方體的外接球和內(nèi)切球上各有一個動點(diǎn)M和N，若線段MN長的最小值為－1，則(　　)A.該正方體的外接球的表面積為12πB.該正方體的內(nèi)切球的體積為C.該正方體的棱長為1D.線段MN長的最大值為＋1答案　AD解析　設(shè)該正方體的棱長為a，則其外接球的半徑R＝a，內(nèi)切球的半徑R′＝，該正方體的外接球與內(nèi)切球上各有一個動點(diǎn)M，N，由于兩球球心相同，可得MN的最小值為－＝－1，解得a＝2，故C錯誤；所以外接球的半徑R＝，表面積為4π×3＝12π，故A正確；內(nèi)切球的半徑R′＝1，體積為π，故B錯誤；MN的最大值為R＋R′＝＋1，故D正確.故選AD.10.(多選)設(shè)圓錐的頂點(diǎn)為A，BC為圓錐底面圓O的直徑，點(diǎn)P為圓O上的一點(diǎn)(異于B，C)，若BC＝4，三棱錐A－PBC的外接球表面積為64π，則圓錐的體積為(　　)A.4π  B.8π  C.16π  D.24π答案　BD解析　如圖，設(shè)圓錐AO的外接球球心為M，半徑為r，則M在直線AO上，4πr2＝64π，解得r＝4.由勾股定理得BM2＝OM2＋OB2，即42＝(2)2＋OM2，可得OM＝2，即OM＝|AO－r|＝|AO－4|＝2，解得AO＝6或AO＝2.當(dāng)AO＝6時，圓錐AO的體積為V＝π×(2)2×6＝24π；當(dāng)AO＝2時，圓錐AO的體積為V＝π×(2)2×2＝8π.故選BD.11.在三棱錐A－BCD中，△BCD和△ABD均是邊長為1的等邊三角形，AC＝，則該三棱錐外接球的表面積為________.答案　2π解析　取AC的中點(diǎn)O，連接OB，OD，在△ABC中，AB＝BC＝1，AC＝，所以∠ABC＝90°，所以OA＝OB＝OC＝，同理得OD＝，故點(diǎn)O為該三棱錐外接球的球心，所以球O的半徑r＝，S球＝4πr2＝2π.12.如圖，已知球O是棱長為3的正方體ABCD－A1B1C1D1的內(nèi)切球，則平面ACD1截球O的截面面積為________.答案　解析　根據(jù)題意知，平面ACD1是邊長為＝3的正三角形，且所求截面的面積是該正三角形的內(nèi)切圓的面積，則由圖得，△ACD1內(nèi)切圓的半徑r＝＝，所以平面ACD1截球O的截面面積為S＝π×＝.二、創(chuàng)新拓展練13.(多選)(2022·華大新高考聯(lián)考)已知三棱錐S－ABC中，SA⊥平面ABC，SA＝AB＝BC＝，AC＝2，點(diǎn)E，F分別是線段AB，BC的中點(diǎn)，直線AF，CE相交于G，則過點(diǎn)G的平面α截三棱錐S－ABC的外接球O所得截面面積可以是(　　)A.π  B.π  C.π  D.π答案　BCD解析　因?yàn)?/span>AB2＋BC2＝AC2，故AB⊥BC，故三棱錐S－ABC的外接球O的半徑R＝＝，取AC的中點(diǎn)D，連接BD必過G，因?yàn)?/span>AB＝BC＝，故DG＝BD＝，因?yàn)?/span>OD＝，故OG2＝＋＝，則過點(diǎn)G的平面截球O所得截面圓的最小半徑r2＝－＝，故截面面積的最小值為π，最大值為πR2＝π，故選BCD.14.(多選)(2022·濟(jì)南模擬)已知三棱錐P－ABC的四個頂點(diǎn)都在球O上，AB＝BC＝AC＝1，∠APC＝，平面PAC⊥平面ABC，則(　　)A.直線OA與直線BC垂直B.點(diǎn)P到平面ABC的距離的最大值為C.球O的表面積為D.三棱錐O－ABC的體積為答案　ACD解析　設(shè)△ABC外接圓的圓心為O1，連接OO1，O1A.因?yàn)?/span>O為三棱錐P－ABC外接球的球心，所以OO1⊥平面ABC，所以OO1⊥BC，因?yàn)?/span>AB＝BC＝AC＝1，所以O1A⊥BC，所以BC⊥平面OO1A，所以OA⊥BC，故A選項(xiàng)正確；設(shè)△PAC外接圓的圓心為O2，AC的中點(diǎn)為D，連接O2D，由于AC＝1，∠APC＝，所以圓O2的半徑r2＝×＝1，則易知O2D＝，所以點(diǎn)P到平面ABC的距離的最大值為1＋(此時P，O2，D三點(diǎn)共線)，故B選項(xiàng)錯誤；由于AB＝BC＝AC＝1，平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，所以圓O1的半徑r1＝×＝，圓O2的半徑r2＝1，△ABC與△PAC的交線段AC＝1，所以三棱錐P－ABC外接球半徑R2＝＋12－＝.故球O的表面積S＝4π×＝，故C選項(xiàng)正確；由于OO1⊥平面ABC，且OO1＝O2D＝，S△ABC＝，所以三棱錐O－ABC的體積為×OO1×S△ABC＝××＝，故D選項(xiàng)正確，故選ACD.15.(多選)(2022·湖州調(diào)研)已知正四面體ABCD的棱長為3，其外接球的球心為O.點(diǎn)E滿足＝λ(0<λ<1)，過點(diǎn)E作平面α平行于AC和BD，設(shè)α分別與該正四面體的棱BC，CD，DA相交于點(diǎn)F，G，H，則(　　)A.四邊形EFGH的周長為定值B.當(dāng)λ＝時，四邊形EFGH為正方形C.當(dāng)λ＝時，平面α截球O所得截面的周長為D.四棱錐A－EFGH的體積的最大值為答案　ABD解析　將正四面體ABCD放入正方體中.因?yàn)檎拿骟wABCD的棱長為3，所以正方體的棱長為.如圖所示，過點(diǎn)E作平面α平行于AC和BD，平面α與正方體的棱交于M，N，P，Q四點(diǎn).因?yàn)?/span>＝λ，故＝λ，即有EH＝λBD，同理FG＝λBD，EF＝(1－λ)AC，HG＝(1－λ)AC，且EH∥BD，EF∥AC，故四邊形EFGH為平行四邊形.因?yàn)?/span>AC⊥BD，故EF⊥EH，則四邊形EFGH為矩形.對于A，四邊形EFGH的周長為2(EF＋EH)＝2[(1－λ)AC＋λBD]＝2[(1－λ)AC＋λAC]＝2AC＝6，為定值，故A選項(xiàng)正確；對于B，當(dāng)λ＝時，E為AB的中點(diǎn)，故EF＝EH，所以四邊形EFGH為正方形，故B選項(xiàng)正確；對于C，當(dāng)λ＝時，球心O到平面EFGH的距離即球心到平面MNPQ的距離，即BC中點(diǎn)到MF的距離，經(jīng)計算為，球半徑為×＝，故截面圓的半徑為＝，所以截面圓的周長為×2π＝π，故C選項(xiàng)錯誤；對于D，四棱錐A－EFGH的高為AQ，所以其體積V＝×λ×3(1－λ)×3λ＝λ2(1－λ)，0<λ<1，令f(λ)＝λ2(1－λ)，則f′(λ)＝(2λ－3λ2)，令f′(λ)＝0得λ＝，故當(dāng)λ＝時，四棱錐A－EFGH的體積最大，最大值為××＝，故D選項(xiàng)正確，故選ABD.16.(多選)(2022·嘉興測試)如圖，在等腰梯形ABCD中，AB＝2AD＝2BC＝2CD＝4.現(xiàn)將△DAC沿對角線AC所在的直線翻折成△D′AC，記二面角D′－AC－B的大小為α(0<α<π)，則(　　)A.存在α，使得D′A⊥BCB.存在α，使得D′A⊥平面D′BCC.存在α，使得三棱錐D′－ABC的體積為D.存在α＝，使得三棱錐D′－ABC的外接球的表面積為20π答案　ACD解析　如圖1，取AB的中點(diǎn)E，連接DE交AC于點(diǎn)F.因?yàn)?/span>AB＝2CD，所以CD＝EB＝AE，所以四邊形AECD為菱形，四邊形EBCD為菱形，所以△AED，△DEC，△EBC均為等邊三角形，所以AC⊥ED，∠DAC＝∠BAC＝，∠ACB＝，在翻折過程中，如圖2，AC⊥D′F，AC⊥FE，所以∠D′FE為二面角D′－AC－B的平面角，所以∠D′FE＝α.對于A，當(dāng)α＝時，平面D′AC⊥平面ABC.因?yàn)?/span>BC⊥AC，所以BC⊥平面D′AC.又因?yàn)?/span>D′A?平面D′AC，所以D′A⊥BC，所以存在α，使得D′A⊥BC，故A選項(xiàng)正確；對于B，假設(shè)存在α，使得D′A⊥平面D′BC.因?yàn)?/span>D′C?平面D′BC，所以D′A⊥D′C，與∠AD′C＝矛盾，故B選項(xiàng)不正確；對于C，由分析可得，D′F＝DE＝AD＝1，AC＝2AF＝2××AD＝2.設(shè)D′到平面ABC的距離為d，則V三棱錐D′－ABC＝×S△ABC×d＝××AC×BC×d＝××2×2×d＝，解得d＝，所以sin α＝＝，所以α＝或，故C選項(xiàng)正確；對于D，當(dāng)α＝時，平面D′AC⊥平面ABC，所以BC⊥平面D′AC，D′F⊥平面ABC.如圖2所示，因?yàn)?/span>E，F分別為AB，AC的中點(diǎn)，所以EF∥BC，且EF＝BC＝1，所以EF⊥平面D′AC.設(shè)△D′AC外接圓圓心為O1，則O1A＝O1D′＝AD′＝2.因?yàn)?/span>E是Rt△ABC斜邊的中點(diǎn)，所以E為Rt△ABC的外心.過O1作平面D′AC的垂線，過點(diǎn)E作平面ABC的垂線，則兩垂線的交點(diǎn)O即為三棱錐D′－ABC外接球的球心，顯然四邊形EFO1O是矩形，所以OO1＝EF＝1.設(shè)三棱錐D′－ABC的外接球半徑為R，則在Rt△OO1D′中，R＝OD′＝＝＝，所以三棱錐D′－ABC的外接球的表面積S＝4πR2＝20π，故D選項(xiàng)正確.綜上所述，故選ACD.17.在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，若將菱形ABCD沿對角線AC折成大小為60°的二面角B－AC－D，則四面體DABC的外接球球O的體積為________.答案　解析　如圖，設(shè)M，N分別為△ABC，△ACD的外心，E為AC的中點(diǎn)，則EN＝EM＝BE＝1，在平面BDE內(nèi)過點(diǎn)M作BE的垂線與過點(diǎn)N作DE的垂線交于點(diǎn)O.∵BE⊥AC，DE⊥AC，BE∩DE＝E，∴AC⊥平面BDE.∵OM?平面BDE，∴OM⊥AC，∵OM⊥BE，BE∩AC＝E，∴OM⊥平面ABC，同理可得ON⊥平面ACD，則O為四面體DABC的外接球的球心，連接OE，∵EM＝EN，OE＝OE，∠OME＝∠ONE＝90°，∴△OME≌△ONE，∴∠OEM＝30°，∴OE＝＝.∵AC⊥平面BDE，OE?平面BDE，∴OE⊥AC，∴OA＝＝，即球O的半徑R＝.故球O的體積V＝πR3＝.18.(2022·湖南三湘名校聯(lián)考)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝AA1＝4，M為棱AB的中點(diǎn)，N是棱BC的中點(diǎn)，O是三棱柱外接球的球心，則平面MNB1截球O所得截面的面積為________.答案　8π解析　如圖1，將直三棱柱補(bǔ)形成正方體ABCD－A1B1C1D1，連接BD1，則直三棱柱的外接球也是正方體的外接球，球心O是BD1的中點(diǎn)，半徑R＝2.連接BD交MN于點(diǎn)E，連接B1E交BD1于點(diǎn)F，過點(diǎn)O作OO1⊥B1E于點(diǎn)O1，連接B1D1，因?yàn)?/span>MN∥AC，AC⊥平面BB1D1D，所以MN⊥平面BB1D1D，所以OO1⊥MN，所以OO1⊥平面MNB1.如圖2，在矩形BB1D1D中，＝＝，所以＝，過點(diǎn)B作BG⊥B1E于點(diǎn)G，則BG＝＝，＝＝，所以OO1＝2，設(shè)截面圓的半徑為r，則r2＝R2－OO＝(2)2－22＝8，所以截面的面積為8π. 

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