課本上和老師講解的例題，一般都具有一定的典型性和代表性。要認(rèn)真研究，深刻理解，要透過“樣板”，學(xué)會通過邏輯思維，靈活運(yùn)用所學(xué)知識去分析問題和解決問題，特別是要學(xué)習(xí)分析問題的思路、解決問題的方法，并能總結(jié)出解題的規(guī)律。
2、精練習(xí)題
復(fù)習(xí)時不要搞“題海戰(zhàn)術(shù)”，應(yīng)在老師的指導(dǎo)下，選一些源于課本的變式題，或體現(xiàn)基本概念、基本方法的基本題，通過解題來提高思維能力和解題技巧，加深對所學(xué)知識的深入理解。在解題時，要獨(dú)立思考，一題多思，一題多解，反復(fù)玩味，悟出道理。
3、加強(qiáng)審題的規(guī)范性
每每大考過后，總有同學(xué)抱怨沒考好，糾其原因是考試時沒有注意審題。審題決定了成功與否，不解決這個問題勢必影響到高考的成敗。那么怎么審題呢? 應(yīng)找出題目中的已知條件 ;善于挖掘題目中的隱含條件 ;認(rèn)真分析條件與目標(biāo)的聯(lián)系，確定解題思路 。
4、重視錯題
“錯誤是最好的老師”，但更重要的是尋找錯因，及時進(jìn)行總結(jié)，三五個字，一兩句話都行，言簡意賅，切中要害，以利于吸取教訓(xùn)，力求相同的錯誤不犯第二次。
§7.2 球的切、接問題
題型一 定義法
例1 (1)已知∠ABC＝90°，PA⊥平面ABC，若PA＝AB＝BC＝1，則四面體PABC的外接球(頂點(diǎn)都在球面上)的體積為( )
A．π B.eq \r(3)π C．2π D.eq \f(\r(3)π,2)
答案 D
解析 如圖，取PC的中點(diǎn)O，連接OA，OB，由題意得PA⊥BC，
又因為AB⊥BC，PA∩AB＝A，PA，AB?平面PAB，
所以BC⊥平面PAB，
所以BC⊥PB，
在Rt△PBC中，OB＝eq \f(1,2)PC，
同理OA＝eq \f(1,2)PC，
所以O(shè)A＝OB＝OC＝eq \f(1,2)PC，
因此P，A，B，C四點(diǎn)在以O(shè)為球心的球面上，
在Rt△ABC中，AC＝eq \r(AB2＋BC2)＝eq \r(2).
在Rt△PAC中，PC＝eq \r(PA2＋AC2)＝eq \r(3)，
球O的半徑R＝eq \f(1,2)PC＝eq \f(\r(3),2)，
所以球的體積為eq \f(4,3)πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)))3＝eq \f(\r(3)π,2).
延伸探究 本例(1)條件不變，則四面體P－ABC的內(nèi)切球的半徑為________．
答案 eq \f(\r(2)－1,2)
解析 設(shè)四面體P－ABC的內(nèi)切球半徑為r.
由本例(1)知，
S△PAC＝eq \f(1,2)PA·AC＝eq \f(1,2)×1×eq \r(2)＝eq \f(\r(2),2)，
S△PAB＝eq \f(1,2)PA·AB＝eq \f(1,2)×1×1＝eq \f(1,2)，
S△ABC＝eq \f(1,2)AB·BC＝eq \f(1,2)×1×1＝eq \f(1,2)，
S△PBC＝eq \f(1,2)PB·BC＝eq \f(1,2)×eq \r(2)×1＝eq \f(\r(2),2)，
VP－ABC＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)AB·BC·PA
＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×1×1×1＝eq \f(1,6)，
VP－ABC＝eq \f(1,3)(S△PAC＋S△PAB＋S△ABC＋S△PBC)·r
＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)＋\f(1,2)＋\f(1,2)＋\f(\r(2),2)))·r＝eq \f(1,6)，
∴r＝eq \f(\r(2)－1,2).
(2)在矩形ABCD中，BC＝4，M為BC的中點(diǎn)，將△ABM和△DCM分別沿AM，DM翻折，使點(diǎn)B與點(diǎn)C重合于點(diǎn)P，若∠APD＝150°，則三棱錐M－PAD的外接球的表面積為( )
A．12π B．34π
C．68π D．126π
答案 C
解析 如圖，由題意可知，MP⊥PA，MP⊥PD.
且PA∩PD＝P，PA?平面PAD，PD?平面PAD，
所以MP⊥平面PAD.
設(shè)△ADP的外接圓的半徑為r，
則由正弦定理可得eq \f(AD,sin∠APD)＝2r，
即eq \f(4,sin 150°)＝2r，所以r＝4.
設(shè)三棱錐M－PAD的外接球的半徑為R，
則(2R)2＝PM2＋(2r)2，
即(2R)2＝4＋64＝68，所以4R2＝68，
所以外接球的表面積為4πR2＝68π.
思維升華 到各個頂點(diǎn)距離均相等的點(diǎn)為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據(jù)到其他頂點(diǎn)距離也是半徑，列關(guān)系式求解即可．
跟蹤訓(xùn)練1 (1)一個六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個球面上，且該六棱柱的體積為eq \f(9,8)，底面周長為3，則這個球的體積為________．
答案 eq \f(4π,3)
解析 設(shè)正六棱柱的底面邊長為x，高為h，
則有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(6x＝3，,\f(9,8)＝6×\f(\r(3),4)x2h，))
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,2)，,h＝\r(3).))
∴正六棱柱的底面外接圓的半徑r＝eq \f(1,2)，球心到底面的距離d＝eq \f(\r(3),2).
∴外接球的半徑R＝eq \r(r2＋d2)＝1.
∴V球＝eq \f(4π,3).
(2)(2022·哈爾濱模擬)已知四棱錐P－ABCD的底面ABCD是矩形，其中AD＝1，AB＝2，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD為等邊三角形，則四棱錐P－ABCD的外接球表面積為( )
A.eq \f(16π,3) B.eq \f(76π,3) C.eq \f(64π,3) D.eq \f(19π,3)
答案 A
解析 如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PA＝PD，取AD的中點(diǎn)E，
則PE⊥AD，PE⊥平面ABCD，
則PE⊥AB，由AD⊥AB，AD∩PE＝E，AD，PE?平面PAD，可知AB⊥平面PAD，
由△PAD為等邊三角形，E為AD的中點(diǎn)知，PE的三等分點(diǎn)F(距離E較近的三等分點(diǎn))是三角形的中心，過F作平面PAD的垂線，過矩形ABCD的中心O作平面ABCD的垂線，兩垂線交于點(diǎn)I，則I即外接球的球心．
OI＝EF＝eq \f(1,3)PE＝eq \f(1,3)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(\r(3),6)，
AO＝eq \f(1,2)AC＝eq \f(\r(5),2)，
設(shè)外接球半徑為R，
則R2＝AI2＝AO2＋OI2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),6)))2＝eq \f(4,3)，
所以四棱錐P－ABCD的外接球表面積為S＝4πR2＝4π×eq \f(4,3)＝eq \f(16π,3).
題型二 補(bǔ)形法
例2 (1)在四面體ABCD中，若AB＝CD＝eq \r(3)，AC＝BD＝2，AD＝BC＝eq \r(5)，則四面體ABCD的外接球的表面積為( )
A．2π B．4π C．6π D．8π
答案 C
解析 由題意可采用補(bǔ)形法，考慮到四面體ABCD的對棱相等，所以將四面體放入一個長、寬、高分別為x，y，z的長方體，并且x2＋y2＝3，x2＋z2＝5，y2＋z2＝4，則有(2R)2＝x2＋y2＋z2＝6(R為外接球的半徑)，得2R2＝3，所以外接球的表面積為S＝4πR2＝6π.
(2)(2022·重慶實(shí)驗外國語學(xué)校月考)如圖，在多面體中，四邊形ABCD為矩形，CE⊥平面ABCD，AB＝2，BC＝CE＝1，通過添加一個三棱錐可以將該多面體補(bǔ)成一個直三棱柱，那么添加的三棱錐的體積為________，補(bǔ)形后的直三棱柱的外接球的表面積為________．
答案 eq \f(1,3) 6π
解析 如圖添加的三棱錐為直三棱錐E－ADF，
可以將該多面體補(bǔ)成一個直三棱柱ADF－BCE，
因為CE⊥平面ABCD，AB＝2，BC＝CE＝1，
所以S△CBE＝eq \f(1,2)CE×BC＝eq \f(1,2)×1×1＝eq \f(1,2)，
直三棱柱ADF－BCE的體積為
V＝S△EBC·DC＝eq \f(1,2)×2＝1，
添加的三棱錐的體積為eq \f(1,3)V＝eq \f(1,3)；
如圖，分別取AF，BE的中點(diǎn)M，N，連接MN，與AE交于點(diǎn)O，
因為四邊形AFEB為矩形，所以O(shè)為AE，MN的中點(diǎn)，在直三棱柱ADF－BCE中，CE⊥平面ABCD，
FD⊥平面ABCD，即∠ECB＝∠FDA＝90°，所以上、下底面為等腰直角三角形，直三棱柱的外接球的球心即為點(diǎn)O，連接DO，DO即為球的半徑，
連接DM，因為DM＝eq \f(1,2)AF＝eq \f(\r(2),2)，MO＝1，
所以DO2＝DM2＋MO2＝eq \f(1,2)＋1＝eq \f(3,2)，
所以外接球的表面積為4π·DO2＝6π.
思維升華 (1)補(bǔ)形法的解題策略
①側(cè)面為直角三角形，或正四面體，或?qū)饩嗟鹊哪Ｐ?，可以還原到正方體或長方體中去求解；②直三棱錐補(bǔ)成三棱柱求解．
(2)正方體與球的切、接常用結(jié)論
正方體的棱長為a，球的半徑為R，
①若球為正方體的外接球，則2R＝eq \r(3)a；
②若球為正方體的內(nèi)切球，則2R＝a；
③若球與正方體的各棱相切，則2R＝eq \r(2)a.
(3)長方體的共頂點(diǎn)的三條棱長分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝eq \r(a2＋b2＋c2).
跟蹤訓(xùn)練2 已知三棱錐P－ABC中，PA，PB，PC兩兩垂直，且PA＝1，PB＝2，PC＝3，則三棱錐P－ABC的外接球的表面積為( )
A.eq \f(7\r(14),3)π B．14π C．56π D.eq \r(14)π
答案 B
解析 以線段PA，PB，PC為相鄰三條棱的長方體PAB′B－CA′P′C′被平面ABC所截的三棱錐P－ABC符合要求，如圖，
長方體PAB′B－CA′P′C′與三棱錐P－ABC有相同的外接球，其外接球直徑為長方體體對角線PP′，設(shè)外接球的半徑為R，
則(2R)2＝PP′2＝PA2＋PB2＋PC2＝12＋22＋32＝14，
則所求表面積S＝4πR2＝π·(2R)2＝14π.
題型三 截面法
例3 (1)(2021·全國甲卷)已知A，B，C是半徑為1的球O的球面上的三個點(diǎn)，且AC⊥BC，AC＝BC＝1，則三棱錐O－ABC的體積為( )
A.eq \f(\r(2),12) B.eq \f(\r(3),12) C.eq \f(\r(2),4) D.eq \f(\r(3),4)
答案 A
解析 如圖所示，因為AC⊥BC，所以AB為截面圓O1的直徑，且AB＝eq \r(2).連接OO1，
則OO1⊥平面ABC，
OO1＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(AB,2)))2)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))2)＝eq \f(\r(2),2)，
所以三棱錐O－ABC的體積V＝eq \f(1,3)S△ABC×OO1＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×1×1×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(2),12).
(2)已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為________．
答案 eq \f(\r(2),3)π
解析 圓錐內(nèi)半徑最大的球即為圓錐的內(nèi)切球，設(shè)其半徑為r.作出圓錐的軸截面PAB，如圖所示，則△PAB的內(nèi)切圓為圓錐的內(nèi)切球的大圓．在△PAB中，PA＝PB＝3，D為AB的中點(diǎn)，AB＝2，E為切點(diǎn)，則PD＝2eq \r(2)，△PEO∽△PDB，
故eq \f(PO,PB)＝eq \f(OE,DB)，即eq \f(2\r(2)－r,3)＝eq \f(r,1)，解得r＝eq \f(\r(2),2)，
故內(nèi)切球的體積為eq \f(4,3)πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))3＝eq \f(\r(2),3)π.
思維升華 (1)與球截面有關(guān)的解題策略
①定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點(diǎn)的距離相等且為半徑；如果是外接球，球心到接點(diǎn)的距離相等且為半徑；
②作截面：選準(zhǔn)最佳角度作出截面，達(dá)到空間問題平面化的目的．
(2)正四面體的外接球的半徑R＝eq \f(\r(6),4)a，內(nèi)切球的半徑r＝eq \f(\r(6),12)a，其半徑R∶r＝3∶1(a為該正四面體的棱長)．
跟蹤訓(xùn)練3 (1)(2022·成都模擬)已知圓柱的兩個底面的圓周在體積為eq \f(32π,3)的球O的球面上，則該圓柱的側(cè)面積的最大值為( )
A．4π B．8π C．12π D．16π
答案 B
解析 如圖所示，設(shè)球O的半徑為R，由球的體積公式得eq \f(4,3)πR3＝eq \f(32π,3)，解得R＝2.
設(shè)圓柱的上底面半徑為r，球的半徑與上底面夾角為α，則r＝2cs α，
圓柱的高為4sin α，
∴圓柱的側(cè)面積為4πcs α×4sin α＝8πsin 2α，
當(dāng)且僅當(dāng)α＝eq \f(π,4)，sin 2α＝1時，圓柱的側(cè)面積最大，
∴圓柱的側(cè)面積的最大值為8π.
(2)(2022·長沙檢測)在封閉的直三棱柱ABC－A1B1C1內(nèi)有一個體積為V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，則V的最大值是________．
答案 eq \f(9π,2)
解析 易知AC＝10.
設(shè)△ABC的內(nèi)切圓的半徑為r，
則eq \f(1,2)×6×8＝eq \f(1,2)×(6＋8＋10)·r，
所以r＝2.
因為2r＝4>3，
所以最大球的直徑2R＝3，
即R＝eq \f(3,2)，此時球的體積V＝eq \f(4,3)πR3＝eq \f(9π,2).
課時精練
1．正方體的外接球與內(nèi)切球的表面積之比為( )
A.eq \r(3) B．3eq \r(3)
C．3 D.eq \f(1,3)
答案 C
解析 設(shè)正方體的外接球的半徑為R，內(nèi)切球的半徑為r，棱長為1，則正方體的外接球的直徑為正方體的體對角線長，即2R＝eq \r(3)，所以R＝eq \f(\r(3),2)，正方體內(nèi)切球的直徑為正方體的棱長，即2r＝1，即r＝eq \f(1,2)，所以eq \f(R,r)＝eq \r(3)，正方體的外接球與內(nèi)切球的表面積之比為eq \f(4πR2,4πr2)＝eq \f(R2,r2)＝3.
2．(2022·開封模擬)已知一個圓錐的母線長為2eq \r(6)，側(cè)面展開圖是圓心角為eq \f(2\r(3)π,3)的扇形，則該圓錐的外接球的體積為( )
A．36π B．48π
C．36 D．24eq \r(2)
答案 A
解析 設(shè)圓錐的底面半徑為r，由側(cè)面展開圖是圓心角為eq \f(2\r(3)π,3)的扇形，得2πr＝eq \f(2\r(3)π,3)×2eq \r(6)，
解得r＝2eq \r(2).
作出圓錐的軸截面如圖所示．
設(shè)圓錐的高為h，則h＝eq \r(?2\r(6)?2－?2\r(2)?2)＝4.
設(shè)該圓錐的外接球的球心為O，半徑為R，則有R＝eq \r(?h－R?2＋r2)，
即R＝eq \r(?4－R?2＋?2\r(2)?2)，解得R＝3，
所以該圓錐的外接球的體積為eq \f(4πR3,3)＝eq \f(4π×33,3)＝36π.
3．已知各頂點(diǎn)都在一個球面上的正四棱錐的高為3，體積為6，則這個球的表面積為( )
A．16π B．20π
C．24π D．32π
答案 A
解析 如圖所示，在正四棱錐P－ABCD中，O1為底面對角線的交點(diǎn)，O為外接球的球心．
VP－ABCD＝eq \f(1,3)×S正方形ABCD×3＝6，
所以S正方形ABCD＝6，即AB＝eq \r(6).
因為O1C＝eq \f(1,2)eq \r(6＋6)＝eq \r(3).
設(shè)正四棱錐外接球的半徑為R，則OC＝R，OO1＝3－R，
所以(3－R)2＋(eq \r(3))2＝R2，解得R＝2.
所以外接球的表面積為4π×22＝16π.
4．已知棱長為1的正四面體的四個頂點(diǎn)都在一個球面上，則這個球的體積為( )
A.eq \f(\r(6),8)π B.eq \f(\r(6),4)π C.eq \f(\r(3),8)π D.eq \f(\r(3),4)π
答案 A
解析 如圖將棱長為1的正四面體B1－ACD1放入正方體ABCD－A1B1C1D1中，
且正方體的棱長為1×cs 45°＝eq \f(\r(2),2)，
所以正方體的體對角線
AC1＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))2)＝eq \f(\r(6),2)，
所以正方體外接球的直徑2R＝AC1＝eq \f(\r(6),2)，
所以正方體外接球的體積為
eq \f(4,3)πR3＝eq \f(4,3)π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),4)))3＝eq \f(\r(6),8)π，
因為正四面體的外接球即為正方體的外接球，
所以正四面體的外接球的體積為eq \f(\r(6),8)π.
5．(2021·天津)兩個圓錐的底面是一個球的同一截面，頂點(diǎn)均在球面上，若球的體積為eq \f(32π,3)，兩個圓錐的高之比為1∶3，則這兩個圓錐的體積之和為( )
A．3π B．4π C．9π D．12π
答案 B
解析 如圖所示，設(shè)兩個圓錐的底面圓圓心為點(diǎn)D，設(shè)圓錐AD和圓錐BD的高之比為3∶1，
即AD＝3BD，
設(shè)球的半徑為R，則eq \f(4πR3,3)＝eq \f(32π,3)，可得R＝2，
所以AB＝AD＋BD＝4BD＝4，
所以BD＝1，AD＝3，
因為CD⊥AB，AB為球的直徑，
所以△ACD∽△CBD，
所以eq \f(AD,CD)＝eq \f(CD,BD)，所以CD＝eq \r(AD·BD)＝eq \r(3)，
因此，這兩個圓錐的體積之和為
eq \f(1,3)π×CD2·(AD＋BD)＝eq \f(1,3)π×3×4＝4π.
6．(2022·蚌埠模擬)粽子，古時北方也稱“角黍”，是由粽葉包裹糯米、泰米等餡料蒸煮制成的食品，是中國漢族傳統(tǒng)節(jié)慶食物之一，端午食粽的風(fēng)俗，千百年來在中國盛行不衰，粽子形狀多樣，餡料種類繁多，南北方風(fēng)味各有不同，某四角蛋黃粽可近似看成一個正四面體，蛋黃近似看成一個球體，且每個粽子里僅包裹一個蛋黃，若粽子的棱長為9 cm，則其內(nèi)可包裹的蛋黃的最大體積約為(參考數(shù)據(jù)：eq \r(6)≈2.45，π≈3.14)( )
A．20 cm3 B．22 cm3
C．26 cm3 D．30 cm3
答案 C
解析 如圖，正四面體ABCD，其內(nèi)切球O與底面ABC切于O1，設(shè)正四面體棱長為a，內(nèi)切球半徑為r，連接BO1并延長交AC于F，易知O1為△ABC的中心，點(diǎn)F為邊AC的中點(diǎn)．
易得BF＝eq \f(\r(3),2)a，
則S△ABC＝eq \f(\r(3),4)a2，BO1＝eq \f(2,3)BF＝eq \f(\r(3),3)a，
∴DO1＝eq \r(BD2－BO\\al(2,1))＝eq \f(\r(6),3)a，
∴VD－ABC＝eq \f(1,3)·S△ABC·DO1＝eq \f(\r(2),12)a3，
∵VD－ABC＝VO－ABC＋VO－BCD＋VO－ABD＋VO－ACD
＝4VO－ABC＝4×eq \f(1,3)×eq \f(\r(3),4)a2·r＝eq \f(\r(3),3)a2r，
∴eq \f(\r(3),3)a2r＝eq \f(\r(2),12)a3?r＝eq \f(\r(6),12)a，
∴球O的體積
V＝eq \f(4,3)π·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),12)a))3＝eq \f(4,3)π·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),12)×9))3
＝eq \f(27\r(6),8)π≈eq \f(27,8)×2.45×3.14≈26(cm3)．
7．(多選)已知三棱錐P－ABC的四個頂點(diǎn)都在球O的表面上，PA⊥平面ABC，PA＝6，AB⊥AC，AB＝2，AC＝2eq \r(3)，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作球的截面，則截面的面積可以是( )
A.eq \f(π,2) B．π C．9π D．13π
答案 BCD
解析 三棱錐P－ABC的外接球即為以AB，AC，AP為鄰邊的長方體的外接球，
∴2R＝eq \r(62＋22＋?2\r(3)?2)＝2eq \r(13)，∴R＝eq \r(13)，
取BC的中點(diǎn)O1，
∴O1為△ABC的外接圓圓心，
∴OO1⊥平面ABC，如圖．
當(dāng)OD⊥截面時，截面的面積最小，
∵OD＝eq \r(OO\\al(2,1)＋O1D2)
＝eq \r(32＋?\r(3)?2)＝2eq \r(3)，
此時截面圓的半徑為r＝eq \r(R2－OD2)＝1，
∴截面面積為πr2＝π，
當(dāng)截面過球心時，截面圓的面積最大為πR2＝13π，
故截面面積的取值范圍是[π，13π]．
8．(多選)已知正方體的外接球與內(nèi)切球上各有一個動點(diǎn)M，N，若線段MN的最小值為eq \r(3)－1，則下列說法中正確的是( )
A．正方體的外接球的表面積為12π
B．正方體的內(nèi)切球的體積為eq \f(4π,3)
C．正方體的棱長為2
D．線段MN的最大值為2eq \r(3)
答案 ABC
解析 設(shè)正方體的棱長為a，
則正方體外接球的半徑為體對角線長的一半，即eq \f(\r(3),2)a；內(nèi)切球的半徑為棱長的一半，即eq \f(a,2).
∵M(jìn)，N分別為外接球和內(nèi)切球上的動點(diǎn)，
∴MNmin＝eq \f(\r(3),2)a－eq \f(a,2)＝eq \f(\r(3)－1,2)a＝eq \r(3)－1，解得a＝2，即正方體的棱長為2，
∴正方體外接球的表面積為4π×(eq \r(3))2＝12π，內(nèi)切球體積為eq \f(4π,3)，則A，B，C正確；
線段MN的最大值為eq \r(3)＋1，則D錯誤．
9．已知三棱錐S－ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直，且SA＝1，SB＝SC＝2，則三棱錐S－ABC的外接球的半徑是________．
答案 eq \f(3,2)
解析 如圖所示，將三棱錐補(bǔ)為長方體，則該棱錐的外接球直徑為長方體的體對角線，設(shè)外接球半徑為R，
則(2R)2＝12＋22＋22＝9，
∴4R2＝9，R＝eq \f(3,2).
即這個外接球的半徑是eq \f(3,2).
10．已知正三棱錐的高為1，底面邊長為2eq \r(3)，內(nèi)有一個球與四個面都相切，則正三棱錐的內(nèi)切球的半徑為________．
答案 eq \r(2)－1
解析 如圖，過點(diǎn)P作PD⊥平面ABC于點(diǎn)D，連接AD并延長交BC于點(diǎn)E，連接PE.
因為△ABC是正三角形，
所以AE是BC邊上的高和中線，D為△ABC的中心．
因為AB＝BC＝2eq \r(3)，
所以S△ABC＝3eq \r(3)，DE＝1，PE＝eq \r(2).
所以S三棱錐表＝3×eq \f(1,2)×2eq \r(3)×eq \r(2)＋3eq \r(3)
＝3eq \r(6)＋3eq \r(3).
因為PD＝1，
所以三棱錐的體積V＝eq \f(1,3)×3eq \r(3)×1＝eq \r(3).
設(shè)球的半徑為r，以球心O為頂點(diǎn)，三棱錐的四個面為底面，把正三棱錐分割為四個小三棱錐，
由eq \f(1,3)S三棱錐表·r＝eq \r(3)，
得r＝eq \f(3\r(3),3\r(6)＋3\r(3))＝eq \r(2)－1.
11．等腰三角形ABC的腰AB＝AC＝5，BC＝6，將它沿高AD翻折，使二面角B－AD－C成60°，此時四面體ABCD外接球的體積為________．
答案 eq \f(28\r(7),3)π
解析 由題意，設(shè)△BCD所在的小圓為O1，半徑為r，又因為二面角B－AD－C為60°，即∠BDC＝60°，所以△BCD為邊長為3的等邊三角形，由正弦定理可得，
2r＝eq \f(3,sin 60°)＝2eq \r(3)，即DE＝2eq \r(3)，
設(shè)外接球的半徑為R，且AD＝4，
在Rt△ADE中，
(2R)2＝AD2＋DE2?4R2＝42＋(2eq \r(3))2＝28，
所以R＝eq \r(7)，
所以外接球的體積為
V＝eq \f(4,3)πR3＝eq \f(4,3)π×(eq \r(7))3＝eq \f(28\r(7),3)π.
12．已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6個頂點(diǎn)都在球O的表面上，若AB＝AC＝1，AA1＝2eq \r(3)，∠BAC＝eq \f(2π,3)，則球O的體積為________．
答案 eq \f(32π,3)
解析 設(shè)△ABC的外接圓圓心為O1，半徑為r，連接O1O，如圖，易得O1O⊥平面ABC，
∵AB＝AC＝1，AA1＝2eq \r(3)，
∠BAC＝eq \f(2π,3)，
∴2r＝eq \f(AB,sin∠ACB)＝eq \f(1,\f(1,2))＝2，
即O1A＝1，O1O＝eq \f(1,2)AA1＝eq \r(3)，
∴OA＝eq \r(O1O2＋O1A2)＝eq \r(3＋1)＝2，即直三棱柱ABC－A1B1C1的外接球半徑R＝2，
∴V球＝eq \f(4,3)π×23＝eq \f(32π,3).

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