?2021年廣東省中考數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題：本大題共10小題，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的
1. 下列實(shí)數(shù)中，最大的數(shù)是（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】A
【詳解】
【分析】直接根據(jù)實(shí)數(shù)的大小比較法則比較數(shù)的大小即可．
【詳解】解：，，，
∴，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的大小比較，關(guān)鍵要熟記：正實(shí)數(shù)都大于0，負(fù)實(shí)數(shù)都小于0，正實(shí)數(shù)大于一切負(fù)實(shí)數(shù)，兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)絕對(duì)值大的反而?。?br /> 2. 據(jù)國(guó)家衛(wèi)生健康委員會(huì)發(fā)布，截至2021年5月23日，31個(gè)?。▍^(qū)、市）及新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團(tuán)累計(jì)報(bào)告接種新冠病毒疫苗51085.8萬(wàn)劑次，將“51085.8萬(wàn)”用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【詳解】
【分析】根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的表示形式，其中，n為整數(shù)，一定要將題目中的“51085.8萬(wàn)”轉(zhuǎn)化為數(shù)字510858000，即可將題目中的數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示出來(lái)．
【詳解】51085.8萬(wàn)=510858000 ，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考察科學(xué)計(jì)數(shù)法的表示形式，科學(xué)記數(shù)法的表示形式，其中，n為整數(shù)，此題容易將題目中的“萬(wàn)”遺漏，掌握科學(xué)記數(shù)法的表示形式是解題關(guān)鍵．
3. 同時(shí)擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，則兩枚骰子向上的點(diǎn)數(shù)之和為7的概率是（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【詳解】
【分析】利用列表法，可求得兩枚骰子向上的點(diǎn)數(shù)之和所有可能的結(jié)果數(shù)及兩枚骰子向上的點(diǎn)數(shù)之和為7的結(jié)果數(shù)，根據(jù)概率計(jì)算公式即可求得所求的概率．
【詳解】列表如下：

1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
由表知，兩枚骰子向上的點(diǎn)數(shù)之和所有可能的結(jié)果數(shù)為36種，兩枚骰子向上的點(diǎn)數(shù)之和為7的結(jié)果數(shù)為6，故兩枚骰子向上的點(diǎn)數(shù)之和為7的概率是：
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了用列表法或樹狀圖求等可能事件的概率，用列表法或樹狀圖可以不重不漏地把事件所有可能的結(jié)果數(shù)及某一事件的結(jié)果數(shù)表示出來(lái)，具有直觀的特點(diǎn)．
4. 已知，則（ ）
A. 1 B. 6 C. 7 D. 12
【答案】D
【詳解】
【分析】利用同底數(shù)冪乘法逆用轉(zhuǎn)換求解即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∴故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查同底數(shù)冪乘法的逆用，熟練掌握其運(yùn)算法則即表現(xiàn)形式是解題關(guān)鍵．
5. 若，則（ ）
A. B. C. D. 9
【答案】B
【詳解】
【分析】根據(jù)一個(gè)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值非負(fù)，一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)的算術(shù)平方根非負(fù)，且其和為零，則它們都為零，從而可求得a、b的值，從而可求得ab的值．
【詳解】∵，，且
∴，
即，且
∴，
∴
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值和算術(shù)平方根的非負(fù)性，一般地，幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零，則這幾個(gè)非負(fù)數(shù)都為零．
6. 下列圖形是正方體展開(kāi)圖的個(gè)數(shù)為（ ）

A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)
【答案】C
【詳解】
【分析】根據(jù)正方體的展開(kāi)圖的特征，11種不同情況進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：根據(jù)正方體的展開(kāi)圖的特征，只有第2個(gè)圖不是正方體的展開(kāi)圖，故四個(gè)圖中有3個(gè)圖是正方體的展開(kāi)圖．
故選：C．
【點(diǎn)睛】考查正方體的展開(kāi)圖的特征，“一線不過(guò)四，田凹應(yīng)棄之”應(yīng)用比較廣泛簡(jiǎn)潔．
7. 如圖，是⊙的直徑，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)，的平分線交于點(diǎn)D，，則⊙的直徑為（ ）

A. B. C. 1 D. 2
【答案】B
【詳解】
【分析】過(guò)D作DE⊥AB垂足為E，先利用圓周角的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)得到DE=DC=1，再說(shuō)明Rt△DEB≌Rt△DCB得到BE=BC，然后再利用勾股定理求得AE，設(shè)BE=BC=x，AB=AE+BE=x+，最后根據(jù)勾股定理列式求出x，進(jìn)而求得AB．
【詳解】解：如圖：過(guò)D作DE⊥AB，垂足為E
∵AB是直徑
∴∠ACB=90°
∵∠ABC的角平分線BD
∴DE=DC=1
Rt△DEB和Rt△DCB中
DE=DC、BD=BD
∴Rt△DEB≌Rt△DCB（HL）
∴BE=BC
在Rt△ADE中，AD=AC-DC=3-1=2
AE=
設(shè)BE=BC=x，AB=AE+BE=x+
在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2
則（x+）2=32+x2，解得x=
∴AB=+=2
故填：2．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理、角平分線的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，靈活應(yīng)用相關(guān)知識(shí)成為解答本題的關(guān)鍵．
8. 設(shè)的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b，則的值是（ ）
A. 6 B. C. 12 D.
【答案】A
【詳解】
【分析】首先根據(jù)的整數(shù)部分可確定的值，進(jìn)而確定的值，然后將與的值代入計(jì)算即可得到所求代數(shù)式的值．
【詳解】∵，
∴，
∴的整數(shù)部分，
∴小數(shù)部分，
∴．
故選：．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的運(yùn)算，正確確定的整數(shù)部分與小數(shù)部分的值是解題關(guān)鍵．
9. 我國(guó)南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，此公式與古希臘幾何學(xué)家海倫提出的公式如出一轍，即三角形的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，記，則其面積．這個(gè)公式也被稱為海倫-秦九韶公式．若，則此三角形面積的最大值為（ ）
A. B. 4 C. D. 5
【答案】C
【詳解】
【分析】由已知可得a+b=6，，把b=6-a代入S的表達(dá)式中得：
，由被開(kāi)方數(shù)是二次函數(shù)可得其最大值，從而可求得S的最大值．
【詳解】∵p=5，c=4，
∴a+b=2p-c=6
∴
由a+b=6，得b=6-a，代入上式，得：
設(shè)，當(dāng)取得最大值時(shí)，S也取得最大值
∵
∴當(dāng)a=3時(shí)，取得最大值4
∴S的最大值為
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是由已知得出a+b=6，把面積最大值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最大值問(wèn)題．
10. 設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A、B為拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且．連接點(diǎn)A、B，過(guò)O作于點(diǎn)C，則點(diǎn)C到y(tǒng)軸距離的最大值（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【詳解】
【分析】設(shè)A(a，a2)，B(b，b2)，求出AB的詳解式為，進(jìn)而得到OD=1，由∠OCB=90°可知，C點(diǎn)在以O(shè)D的中點(diǎn)E為圓心，以為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)CH為圓E半徑時(shí)最大，由此即可求解．
【詳解】解：如下圖所示：過(guò)C點(diǎn)作y軸垂線，垂足為H，AB與x軸的交點(diǎn)為D，

設(shè)A(a，a2)，B(b，b2)，其中a≠0，b≠0，
∵OA⊥OB，
∴，
∴，
即，
，
設(shè)AB的詳解式為：，代入A(a，a2)，
解得：，
∴，
∵，即 ，
∴C點(diǎn)在以O(shè)D的中點(diǎn)E為圓心，以為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，
當(dāng)CH為圓E的半徑時(shí)，此時(shí)CH的長(zhǎng)度最大，
故CH的最大值為，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，圓的相關(guān)知識(shí)等，本題的關(guān)鍵是求出AB與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)始終為1，結(jié)合，由此確定點(diǎn)E的軌跡為圓進(jìn)而求解．
二、填空題：本大題7小題
11. 二元一次方程組的解為_(kāi)__．
【答案】
【詳解】
【分析】由加減消元法或代入消元法都可求解．
【詳解】解：，
由①式得： ，代入②式，
得： ，
解得 ，
再將代入①式，
，
解得 ，
∴ ，
故填：．
【點(diǎn)睛】本題考查的是二元一次方程組的基本解法，本題屬于基礎(chǔ)題，比較簡(jiǎn)單．
12. 把拋物線向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的拋物線的詳解式為_(kāi)__．
【答案】
【詳解】
【分析】直接根據(jù)“上加下減，左加右減”進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：拋物線向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，
再向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，
得到的拋物線的詳解式為：，
即：
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)圖像的平移，熟記函數(shù)圖像的平移方式“上加下減，左加右減”是解題的關(guān)鍵．
13. 如圖，等腰直角三角形中，．分別以點(diǎn)B、點(diǎn)C為圓心，線段長(zhǎng)的一半為半徑作圓弧，交、、于點(diǎn)D、E、F，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)___．

【答案】
【詳解】
【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可求出AC的長(zhǎng)，根據(jù)S陰影=S△ABC-2S扇形CEF即可得答案．
【詳解】∵等腰直角三角形中，，
∴AC=AB=，∠B=∠C=45°，
∴S陰影=S△ABC-2S扇形CEF==，
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)及扇形面積，熟練掌握面積公式是解題關(guān)鍵．
14. 若一元二次方程（b，c為常數(shù)）的兩根滿足，則符合條件的一個(gè)方程為_(kāi)____．
【答案】（答案不唯一）
【詳解】
【分析】設(shè)與交點(diǎn)為，根據(jù)題意關(guān)于y軸對(duì)稱和二次函數(shù)的對(duì)稱性，可找到的值（只需滿足互為相反數(shù)且滿足即可）即可寫出一個(gè)符合條件的方程
【詳解】設(shè)與交點(diǎn)為，
根據(jù)題意
則
的對(duì)稱軸為
故設(shè)
則方程為：
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的對(duì)稱性，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，熟悉二次函數(shù)的性質(zhì)和找到兩根的對(duì)稱性類比二次函數(shù)的對(duì)稱性是解題的關(guān)鍵
15. 若且，則_____．
【答案】
【詳解】
【分析】根據(jù)，利用完全平方公式可得，根據(jù)x的取值范圍可得的值，利用平方差公式即可得答案．
【詳解】∵，
∴，
∵，
∴，
∴=，
∴==，
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式及平方差公式，準(zhǔn)確運(yùn)用公式是解題的關(guān)鍵．
16. 如圖，在中，．過(guò)點(diǎn)D作，垂足為E，則______．

【答案】
【詳解】
【分析】首先根據(jù)題目中的，求出ED的長(zhǎng)度，再用勾股定理求出AE，即可求出EB，利用平行四邊形的性質(zhì)，求出CD，在Rt△DEC中，用勾股定理求出EC，再作BF⊥CE，在△BEC中，利用等面積法求出BF的長(zhǎng)，即可求出．
【詳解】∵，
∴△ADE為直角三角形，
又∵，
∴ ,
解得DE=4,
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
,
又∵AB=12,
∴ ,
又∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴CD=AB=12,AD=BC=5
在Rt△DEC中，由勾股定理得：
,
過(guò)點(diǎn)B作BF⊥CE，垂足為F,如圖

在△EBC中：
S△EBC= ;
又∵S△EBC
∴ ,
解得,
在Rt△BFC中，
,
故填：．
【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的等面積法求一邊上的高線，解題關(guān)鍵在于熟練掌握解直角三角形的計(jì)算，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理的計(jì)算和等面積法求一邊上的高．
17. 在中，．點(diǎn)D為平面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，則線段長(zhǎng)度的最小值為_(kāi)____．
【答案】
【詳解】
【分析】由已知，，根據(jù)定角定弦，可作出輔助圓，由同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半可知，點(diǎn)在以為圓心為半徑的圓上，線段長(zhǎng)度的最小值為．
【詳解】如圖： 以為半徑作圓，過(guò)圓心作，
以為圓心為半徑作圓，則點(diǎn)在圓上，





,



線段長(zhǎng)度的最小值為: ．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角與圓心角的關(guān)系，圓外一點(diǎn)到圓上的線段最短距離，勾股定理，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．
三、解答題（一）：本大題共3小題
18. 解不等式組
【答案】﹣1＜x≤2．
【詳解】
【分析】分別求出不等式組中兩不等式的解集，找出解集的公共部分即可.
【詳解】解：
由①得：x≤2；
由②得：x＞﹣1，
則不等式組解集為﹣1＜x≤2．
【點(diǎn)睛】此題考查了解一元一次不等式組，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.
19. 某中學(xué)九年級(jí)舉辦中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化知識(shí)競(jìng)賽．用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法，從該年級(jí)全體600名學(xué)生中抽取20名，其競(jìng)賽成績(jī)?nèi)鐖D：

（1）求這20名學(xué)生成績(jī)的眾數(shù)，中位數(shù)和平均數(shù)；
（2）若規(guī)定成績(jī)大于或等于90分為優(yōu)秀等級(jí)，試估計(jì)該年級(jí)獲優(yōu)秀等級(jí)的學(xué)生人數(shù)．
【答案】（1）眾數(shù)：90，中位數(shù)：90，平均數(shù)：90.5；（2）450人
【詳解】
【分析】（1）根據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖，計(jì)算眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)；
（2）利用樣本估計(jì)總體思想求解可得．
【詳解】解：（1）由列表中90分對(duì)應(yīng)的人數(shù)最多，因此這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)應(yīng)該是90，
由于人數(shù)總和是20人為偶數(shù)，將數(shù)據(jù)從小到大排列后，第10個(gè)和第11個(gè)數(shù)據(jù)都是90分，因此這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)應(yīng)該是90，
眾數(shù)：90，中位數(shù)：90，
平均數(shù)．
答：這20名學(xué)生成績(jī)的眾數(shù)90，中位數(shù)90，和平均數(shù)90.5；
（2）20名中有人為優(yōu)秀，
∴優(yōu)秀等級(jí)占比：
∴該年級(jí)優(yōu)秀等級(jí)學(xué)生人數(shù)為：（人）
答：該年級(jí)優(yōu)秀等級(jí)學(xué)生人數(shù)為450人．
【點(diǎn)睛】本題考查中位數(shù)、用樣本估計(jì)總體、扇形統(tǒng)計(jì)圖、條形統(tǒng)計(jì)圖，解題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答問(wèn)題．
20. 如圖，在中，，作的垂直平分線交于點(diǎn)D，延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使．

（1）若，求的周長(zhǎng)；
（2）若，求的值．
【答案】（1）1；（2）
【詳解】
【分析】(1)作出BC的垂直平分線，連接BD，由垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等得到DB=DC，由此即可求出△ABD的周長(zhǎng)；
(2)設(shè)，，進(jìn)而求出，在Rt△ABD中使用勾股定理求得，由此即可求出的值．
【詳解】解：(1)如圖，連接，設(shè)垂直平分線交于點(diǎn)F，

∵為垂直平分線，
∴，


∵，
∴．
(2)設(shè)，∴，
又∵，∴，
在中，．
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，三角函數(shù)的定義及勾股定理等知識(shí)，熟練掌握垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)距離相等是解決本題的關(guān)鍵．
四、解答題（二）：本大題共3小題
21. 在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，且與反比例函數(shù)圖象的一個(gè)交點(diǎn)為．
（1）求m的值；
（2）若，求k的值．
【答案】（1）4；（2）或
【詳解】
【分析】（1）將P點(diǎn)的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)詳解式，計(jì)算即可求得m；
（2）分兩種情況討論，當(dāng)一次函數(shù)過(guò)一、二、三象限時(shí)，畫出圖像，將轉(zhuǎn)化為兩個(gè)三角形相似，過(guò)過(guò)P作軸交x軸于點(diǎn)H，證明，即可求出k和b的值；當(dāng)一次函數(shù)過(guò)一、三、四象限時(shí)，畫出圖像，將轉(zhuǎn)化為兩個(gè)三角形相似，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥y軸于點(diǎn)Q，證明即可求出k和b的值．
【詳解】解：（1）∵P為反比例函數(shù)上一點(diǎn)，
∴代入得，
∴．
（2）令，即，
∴，，
令，∴，
∵．
由圖象得，可分為以下兩種情況，

①B在y軸正半軸時(shí)，，
∵，
過(guò)P作軸交x軸于點(diǎn)H，又，，
∴

∴， ,
即 ,
∴，
∴，
∴．
②B在y軸負(fù)半軸時(shí)，，過(guò)P作軸，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
∵ ，
∴，代入
∴，
綜上，或．
【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)，一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)和相似三角形，添加輔助線構(gòu)造相似三角形，將題目中線段的倍數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化為相似三角形的相似比是解題關(guān)鍵．
22. 端午節(jié)是我國(guó)入選世界非物質(zhì)文化遺產(chǎn)的傳統(tǒng)節(jié)日，端午節(jié)吃粽子是中華民族的傳統(tǒng)習(xí)俗．市場(chǎng)上豆沙粽的進(jìn)價(jià)比豬肉粽的進(jìn)價(jià)每盒便宜10元，某商家用8000元購(gòu)進(jìn)的豬肉粽和用6000元購(gòu)進(jìn)的豆沙粽盒數(shù)相同．在銷售中，該商家發(fā)現(xiàn)豬肉粽每盒售價(jià)50元時(shí)，每天可售出100盒；每盒售價(jià)提高1元時(shí)，每天少售出2盒．
（1）求豬肉粽和豆沙粽每盒的進(jìn)價(jià)；
（2）設(shè)豬肉粽每盒售價(jià)x元表示該商家每天銷售豬肉粽的利潤(rùn)（單位：元），求y關(guān)于x的函數(shù)詳解式并求最大利潤(rùn)．
【答案】（1）豬肉粽每盒進(jìn)價(jià)40元，豆沙粽每盒進(jìn)價(jià)30元；（2），最大利潤(rùn)為1750元
【詳解】
【分析】（1）設(shè)豬肉粽每盒進(jìn)價(jià)a元，則豆沙粽每盒進(jìn)價(jià)元，根據(jù)某商家用8000元購(gòu)進(jìn)的豬肉粽和用6000元購(gòu)進(jìn)的豆沙粽盒數(shù)相同列方程計(jì)算即可；
（2）根據(jù)題意當(dāng)時(shí)，每天可售100盒，豬肉粽每盒售x元時(shí)，每天可售盒，列出二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算最大值即可．
【詳解】解：（1）設(shè)豬肉粽每盒進(jìn)價(jià)a元，則豆沙粽每盒進(jìn)價(jià)元．
則
解得：，經(jīng)檢驗(yàn)是方程的解．
∴豬肉粽每盒進(jìn)價(jià)40元，豆沙粽每盒進(jìn)價(jià)30元．
答：豬肉粽每盒進(jìn)價(jià)40元，豆沙粽每盒進(jìn)價(jià)30元．
（2）由題意得，當(dāng)時(shí)，每天可售100盒．
當(dāng)豬肉粽每盒售x元時(shí)，每天可售盒．每盒的利潤(rùn)為()
∴，

配方得：
當(dāng)時(shí)，y取最大值為1750元．
∴，最大利潤(rùn)為1750元．
答：y關(guān)于x的函數(shù)詳解式為，且最大利潤(rùn)為1750元．
【點(diǎn)睛】本題主要考查分式方程的實(shí)際應(yīng)用以及二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)題意列出相應(yīng)的函數(shù)詳解式是解決本題的關(guān)鍵．
23. 如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形中，點(diǎn)E為的中點(diǎn)．連接，將沿折疊得到交于點(diǎn)G，求的長(zhǎng)．

【答案】
【詳解】
【分析】根據(jù)題意，延長(zhǎng)交于H連，通過(guò)證明、得到，再由得到，進(jìn)而即可求得的長(zhǎng)．
【詳解】解：延長(zhǎng)交于H連，

∵由沿折疊得到，
∴，，
∵E為中點(diǎn)，正方形邊長(zhǎng)為1，
∴，
∴，
∵四邊形是正方形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形全等的判定及性質(zhì)、三角形相似的判定及性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)幾何知識(shí)是解決本題的關(guān)鍵．
五、解答題（三）：本大題共2小題
24. 如圖，在四邊形中，，點(diǎn)E、F分別在線段、上，且．

（1）求證：；
（2）求證：以為直徑的圓與相切；
（3）若，求的面積．
【答案】（1）見(jiàn)詳解；（2）見(jiàn)詳解；（3）
【詳解】
【分析】(1)設(shè)，進(jìn)而求得，再由即可求得；
(2)取中點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作，由梯形中位線定理得到，利用得到，進(jìn)而，由此即可證明；
(3)過(guò)點(diǎn)D，點(diǎn)A分別向作垂線交于點(diǎn)M，N，得到，分別求出，再代入求解即可．
【詳解】解：(1)∵，設(shè)，
∴，
∵CD∥AB，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
(2)如圖，取中點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作，

∵CD∥AB，∠BCD=90°，
∴，
又∵，
∴OM∥AB，
∴M為中點(diǎn)，
∴，
∵，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴以為直徑的圓與相切．
(3)∵∠DFE=120°，CD∥EF∥AB，
∴，
又∵
∴為等邊三角形，，
∵CD∥EF，
∴，
由(2)得：，
∴，
∴，
∵，在中，三邊之比為，
∴，
在中，三邊之比為，
∴，
如圖，過(guò)點(diǎn)D，點(diǎn)A分別向作垂線交于點(diǎn)M，N，

∵，
∴四邊形為矩形，
∴，
同理，四邊形BENA為矩形，
∴，



．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形等腰對(duì)等角、梯形中位線定理、割補(bǔ)法求四邊形的面積、圓的切線的證明方法等，熟練掌握各圖形的基本性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．
25. 已知二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有．
（1）求該二次函數(shù)的詳解式；
（2）若（1）中二次函數(shù)圖象與x軸的正半軸交點(diǎn)為A，與y軸交點(diǎn)為C；點(diǎn)M是（1）中二次函數(shù)圖象上的動(dòng)點(diǎn)．問(wèn)在x軸上是否存在點(diǎn)N，使得以A、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】（1）；（2）存在，或或或
【詳解】
【分析】（1）令，解得，可得函數(shù) 必過(guò) ，再結(jié)合 必過(guò) 得出，，即可得到，再根據(jù)，可看成二次函數(shù)與一次函數(shù)僅有一個(gè)交點(diǎn)，且整體位于的上方，可得，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，再根據(jù)，可解得的值，即可求出二次函數(shù)詳解式．
（2）結(jié)合（1）求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，設(shè)，①當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，②當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，③當(dāng)為對(duì)角線時(shí),根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式分別列出方程組，解方程組即可得到答案．
【詳解】解：（1）令，解得，
當(dāng)時(shí)，，
∴ 必過(guò) ，
又∵ 必過(guò) ，
∴，
∴，
即，
即可看成二次函數(shù)與一次函數(shù)僅有一個(gè)交點(diǎn)，且整體位于的上方
∴，
有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

∴，
∴，
∴，
∴，，
∴．
（2）由（1）可知：，，設(shè)，
①當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，
∴，解得（舍），，
∴，即．
②當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，
∴，解得（舍），
∴，即．
③當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，
∴，解得，
∴或，
∴．
綜上所述：N點(diǎn)坐標(biāo)為或或或．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及到二次函數(shù)與不等式組，考查了平行四邊形的存在性問(wèn)題，利用中點(diǎn)公式，分類討論是解題關(guān)鍵．



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