一 、單選題（本大題共13小題，共65分）
1.（5分）直線x+y+2=0的傾斜角為()
A、π4
B、3π4
C、π
D、π2
A. π4B. 3π4C. πD. π2
2.（5分）“a=-1”是“直線a2x-y+6=0與直線4x-(a-3)y+9=0互相垂直”的( )
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
3.（5分）已知α，β，γ是三個(gè)不同的平面，a，b是兩條不同的直線，下列命題中正確的是( )
A. 若α⊥γ，β⊥γ，則α//βB. 若a⊥α，b⊥α，則a//b
C. 若a//α，b//α，則a//bD. 若a//α，a//β，則α//β
4.（5分）如圖，某加工廠要在一圓柱體材料中打磨出一個(gè)直三棱柱模具，已知該圓柱底面圓面積為16π，高為6，則能截得直三棱柱體積最大為()
A. 543B. 723C. 963D. 1083
5.（5分）直線x-y-1=0與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為()
A. 14B. 2C. 1D. 12
6.（5分）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是()
A. π+83B. π+4C. 2π+83D. 2π+4
7.（5分）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AD，A1B1的中點(diǎn)，則異面直線EF與CD1夾角的余弦值為()
A. 36B. 33C. 26D. 23
8.（5分）AA′是長方體ABCD-A′B′C′D′的一條棱，這個(gè)長方體中與AA′垂直的棱共（ ）條．
A. 4B. 6C. 8D. 10
9.（5分）設(shè)圓x2+y2-4x+4y+7=0上的動(dòng)點(diǎn)P到直線x+y-32=0的距離為d，則d的取值范圍是( )
A. [0,3]B. [2,4]C. [2,5]D. [3,5]
10.（5分）過點(diǎn)(3,-2)的直線l經(jīng)過圓x2+y2-2y=0的圓心，則直線l的傾斜角大小為( )
A. 30°B. 60°C. 150°D. 120°
11.（5分）已知函數(shù)f(x)滿足f(x+1)={ax+a,x?-1,ln(x+1),x>-1.，函數(shù)g(x)=f(x)-f(-x)恰有5個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()
A. (-1e,0)B. (0,1e)
C. (-1e,1e)D. (1e,+∞)
12.（5分）已知三棱錐P-ABC的各頂點(diǎn)都在球O上，D，E分別是PB，BC的中點(diǎn)，PA⊥平面ABC，BC=2PA=2AB=4，PC=26.下列結(jié)論：
(1)BC⊥平面PAB；
(2)球O的體積是86π；
(3)直線AC與平面PAB所成角的正弦值是55；
(4)平面ADE被球O所截的截面積是14π3.
以上命題正確的個(gè)數(shù)是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
13.（5分）在三棱錐A-SBC中，AB=10，∠ASC=∠BSC=π4，AC=AS，BC=BS，若該三棱錐的體積為153，則三棱錐S-ABC外接球的體積為( )
A. πB. 43πC. 5πD. π3
二 、填空題（本大題共5小題，共25分）
14.（5分）直線1通過點(diǎn)(1,3)且與x軸及y軸的正半軸所圍成的三角形面積為6，則直線l的方程是______．
15.（5分）如圖，三角形A'B'C'為水平放置的三角形ABC的直觀圖，其中O'A'=A'B'=1，三角形A'B'C'的面積為2.則原平面圖形三角形ABC的周長為 ______.
16.（5分）已知向量|b→|=1，向量a→=(1,3)，且|a→-2b→|=6，則向量a→,b→的夾角為 ______.
17.（5分）如圖是正方體的平面展開圖，則在這個(gè)正方體中：
①DM與BN垂直；
②CN與BM成60°角；
③CN與BE是異面直線；
④BM與ED平行．
以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是 ______.
18.（5分）已知二次函數(shù)f(x)=x2-ax+a(a>0,x∈R)，不等式f(x)?0的解集有且只有一個(gè)元素，設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=f(n)(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為______．
三 、解答題（本大題共5小題，共60分）
19.（12分）已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，點(diǎn)E在BC上(異于點(diǎn)B)，F(xiàn)、G分別為PD、PA的中點(diǎn)．



(1)證明：B、E、F、G四點(diǎn)共面；
(2)證明：平面PAB⊥平面BEFG.
20.（12分）已知點(diǎn)N(0,-1)，直線l：3x+4y=2，直線m過點(diǎn)N且與l平行，直線m交圓C：(x-1)2+y2=3于兩點(diǎn)A，B.
(Ⅰ)求直線m的方程；
(Ⅱ)求線段AB的長．
21.（12分）如圖正三棱柱ABC-A'B'C'的所有棱長均為2，E、F、G、H分別是棱AA'、AB、AC、B'C'的中點(diǎn).
(1)求證：B'C'//面EFG；
(2)求三棱錐H-EFG的體積；
(3)求二面角E-FG-H的余弦值.
22.（12分）如圖，ΔABC為正三角形，且BC=CD=2，CD⊥BC，將ΔABC沿BC翻折．
(1)當(dāng)AD=2時(shí)，求證：平面ABD⊥平面BCD；
(2)若點(diǎn)A的射影在ΔBCD內(nèi)(包括邊界)，且直線AB與平面ACD所成角為60°，求AD的長．
23.（12分）在三角形ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且sin2B2b=cs(C+B)-csCsinBc.
(1)求角A的大小;
(2)若三角形ABC的面積為1，b+c=2+2，求a.
答案和解析
1.【答案】null;
【解析】解：直線x+y+2=0，即y=-x-2的斜率為-1，
則所求傾斜角為3π4.
故選：B.
根據(jù)已知條件，結(jié)合直線斜率與傾斜角的關(guān)系，即可求解．
此題主要考查直線斜率與傾斜角的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．
2.【答案】A;
【解析】解：當(dāng)a=-1時(shí)，直線分別為x-y+6=0與4x+4y+9=0，則兩直線垂直；
當(dāng)直線a2x-y+6=0與4x-(a-3)y+9=0互相垂直時(shí)，則有4a2+(a-3)=0，解得a=-1或34，
故選A．
由題意需要把-1代入直線方程，判斷斜率之積是否為-1；再由直線垂直的等價(jià)條件求出兩直線垂直時(shí)a的值，再判斷充分性和必要性是否成立．
本題的考點(diǎn)是直線垂直的等價(jià)條件的應(yīng)用，即根據(jù)直線一般方程的系數(shù)滿足的關(guān)系式進(jìn)行求值，判斷判斷充分性和必要性．
3.【答案】B;
【解析】解：對(duì)于A：若α⊥γ，β⊥γ，則α//β或α和β相交，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：若a⊥α，b⊥α，則a和b相當(dāng)于平面α的法向量，故a//b，故B正確；
對(duì)于C：若a//α，b//α，則a//b或a和b相交或a和b異面，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：若a//α，a//β，則α和β可能平行或相交，故D錯(cuò)誤；
故選：B.
直接利用線面的位置關(guān)系的應(yīng)用，面面位置關(guān)系的應(yīng)用，法向量的應(yīng)用判斷A、B、C、D的結(jié)論．
此題主要考查的知識(shí)要點(diǎn)：線面的位置關(guān)系的應(yīng)用，面面位置關(guān)系的應(yīng)用，法向量，主要考查學(xué)生的空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題．
4.【答案】B;
【解析】解：由題意可得，底面半徑為4，
直三棱柱是各側(cè)面高相等，底面是三角形，上表面和下表面平行且全等，
所有側(cè)棱平行且垂直于兩底面的棱柱，
故要底面圓的內(nèi)接三角形面積最大，
S=12absinC
=12?2R?sinAsinBsinC?2R
=2R2sinAsinBsinC
?2R2(sinA+sinB+sinC3)3
?2R2(sinA+B+C3)3
?2R2?(32)3=334R2，
當(dāng)且僅當(dāng)A=B=C=π3時(shí)，取“=”，
V=Sh=334?16?6=723，
故選：B.
由題意，要底面圓的內(nèi)接三角形面積最大，再利用均值不等式求最值，再求三棱柱的體積即可．
此題主要考查棱柱的體積，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．
5.【答案】D;
【解析】
由直線x-y-1=0，可得與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)(1,0)，(0,-1).即可得出．
此題主要考查了直線方程、三角形面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
解：由直線x-y-1=0，可得與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)(1,0)，(0,-1).
因此直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積S=12×1×1=12.
故選D.
6.【答案】D;
【解析】解：根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為直觀圖為：該幾何體為由一個(gè)三棱柱和一個(gè)半圓柱構(gòu)成的組合體；
故V=π·1·2+12×2×2×2=2π+4.
故選：D.
首先把三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體的直觀圖，進(jìn)一步求出幾何體的體積．
此題主要考查的知識(shí)要點(diǎn)：三視圖和幾何體的直觀圖之間的轉(zhuǎn)換，幾何體的體積公式，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．
7.【答案】A;
【解析】解：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，
如圖，設(shè)棱BB1的中點(diǎn)為G，連接FG，EG，BE，A1B.

因?yàn)锳1B//FG，CD1//A1B，所以CD1//FG，故∠EFG為異面直線EF與CD1所成的角．
設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，則FG=2，A1E=BE=5，EF=EG=6.
在等腰三角形EFG中，cs∠EFG=FG2EF=36.
故異面直線EF與CD1夾角的余弦值為36.
故選：A.
設(shè)棱BB1的中點(diǎn)為G，連接FG，EG，BE，A1B.說明∠EFG為異面直線EF與CD1所成的角．然后轉(zhuǎn)化求解即可．
此題主要考查異面直線所成角的求法，考查空間想象能力，轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，是中檔題．
8.【答案】C;
【解析】解：作出長方體ABCD-A′B′C′D′的圖形如下：

依題意，AA′⊥底面ABCD，AA′⊥平面A′B′C′D′，
∴AA′垂直于底面ABCD中的4條棱AB、BC、CD、DA；
同理可知，AA′垂直于上底面中的4條棱A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，
∴這個(gè)長方體中與AA′垂直的棱共有8條，
故選：C．
9.【答案】B;
【解析】解：把圓x2+y2-4x+4y+7=0轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)式(x-2)2+(y+2)2=1，
則：圓心(2,-2)到直線x+y-32=0的距離，
d=|2-2-32|2=3>1，
所以：直線和圓相離．
所以圓上的動(dòng)點(diǎn)P到直線的距離的最大值為dmax=3+1=4，
圓上的動(dòng)點(diǎn)P到直線的距離的最小值為dmin=3-1=2．
故：2?d?4，
即d的取值范圍是：[2,4]
故選：B．
首先把圓的一般式轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)式，進(jìn)一步確定直線和圓的位置關(guān)系，最后利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到直線的距離，再根據(jù)圓中最值問題的解法求出結(jié)果．
該題考查的知識(shí)要點(diǎn)：圓的一般式和標(biāo)準(zhǔn)式的轉(zhuǎn)換，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，圓中最值問題．
10.【答案】D;
【解析】
該題考查直線的傾斜角，直線與圓相交的性質(zhì)，考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．
先求出圓的圓心坐標(biāo)，再求直線的斜率，然后求直線l的傾斜角大小．

解：圓x2+y2-2y=0的圓心(0,1)，
過點(diǎn)(3,-2)的直線l經(jīng)過圓x2+y2-2y=0的圓心，
則直線l的斜率是：-2-13-0=-3
直線l的傾斜角大?。?20°
故選D．

11.【答案】A;
【解析】解：因?yàn)閒(x+1)={ax+a,x?-1ln(x+1),x>-1，所以f(x)={ax,x?0lnx,x>0，f(-x)={-ax,x?0ln(-x),x0得a=4，f(x)=x2-4x+4；
∴Sn=n2-4n+4；
當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=1-4+4=1；
當(dāng)n?2時(shí)，an=Sn-Sn-1=2n-5，當(dāng)n=1時(shí)不成立；
∴an=1,n=12n-5,n?2且n∈N*．
故答案為：an=1,n=12n-5,n?2且n∈N*．
先根據(jù)不等式f(x)?0的解集有且只有一個(gè)元素，再結(jié)合a>0求出a=4，進(jìn)而代入求出Sn=n2-4n+4；再根據(jù)前n項(xiàng)和與通項(xiàng)之間的關(guān)系即可求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式即可．
這道題主要考查已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，求數(shù)列的通項(xiàng)公式的問題，屬于基礎(chǔ)題．
19.【答案】證明：(1)連接EF、FG、GB，
因?yàn)镕、G分別為PD、PA的中點(diǎn)，
所以FG//AD，
又因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形，點(diǎn)E在BC上，
所以FG//EB，
所以B、E、F、G四點(diǎn)共面；
(2)因?yàn)锳BCD為矩形，
所以AB⊥AD，
又因?yàn)镻A⊥底面ABCD，
所以PA⊥AD，
而PA∩AB=A，
所以DA⊥平面PAB，
由FG//AD，
所以FG⊥平面PAB，
又FG?平面BEFG，
所以平面PAB⊥平面BEFG.;
【解析】此題主要考查平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用、面面垂直的判定、考查推理能力，屬中檔題.
(1)證出FG//BE，即可證出結(jié)果；
(2)證出FG⊥平面PAB，即可證出結(jié)果.
20.【答案】null;
【解析】
(Ⅰ)由已知求得直線m的斜率，再由直線方程的點(diǎn)斜式得答案；
(Ⅱ)由圓的方程求得圓心坐標(biāo)與半徑，求出圓心到直線l的距離，再由垂徑定理求線段AB的長．
此題主要考查直線方程的求法，考查直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．
21.【答案】（1）證明：因?yàn)锳BC-A'B'C'是三棱柱，所以B'C'∥BC，
又AF=FB，AG=GC，所以BC∥FG，
所以B'C'∥FG，F(xiàn)G?平面EFG，B'C'?面EFG，
所以B'C'∥面EFG；
（2）解：由（1）可得，VH-EFG=VB-EFG=VG=EFB，
所以VG-EFB=13S△EFB.h，其中h為點(diǎn)G到平面ABB'A'的距離，
因?yàn)檎庵鵄BC-A'B'C'的所有棱長均為2，
所以h=12×22-12=32，
故VG-EFB=13S△EFB.h=13×(2×2-1×2-12×1×1)×32=34，
所以三棱錐H-EFG的體積為34；
（3）解：設(shè)二面角E-FG-A，H-FG-B，3-FG-H的平面角分別為α，β，γ，
則γ=π-α-β，
所以csγ=cs（π-α-β）=-cs（α+β）=sinαsinβ-csαcsβ，
過點(diǎn)A作AR⊥FG于點(diǎn)R，連結(jié)ER，則∠ARE=α，
所以sinα=27，csα=37，
同理可得，csβ=319，sinβ=419，
所以csγ=sinαsinβ-csαcsβ=27×419-319×37=5133133，
故二面角E-FG-H的余弦值為5133133．;
【解析】
(1)利用棱柱的幾何性質(zhì)得到B'C'//FG，然后由線面平行的判斷定理證明即可；
(2)利用線面平行，可得VH-EFG=VB-EFG=VG=EFB，從而得到VG-EFB=13SΔEFB.h，求解即可得到答案；
(3)二面角E-FG-A，H-FG-B，3-FG-H的平面角分別為α，β，γ，則有csγ=sinαsinβ-csαcsβ，過點(diǎn)A作AR⊥FG于點(diǎn)R，連結(jié)ER，則∠ARE=α，求出sinα，csα，同理求出sinβ，csβ，即可得到答案．
此題主要考查了線面平行的判定定理的應(yīng)用，錐體體積公式的應(yīng)用以及二面角的平面角的求解，考查了邏輯推理能力與化簡運(yùn)算能力，屬于中檔題．
22.【答案】解：(1)取BD中點(diǎn)E，BC中點(diǎn)O，連接AE，OE，
因?yàn)锳B=AD=2，則AE⊥BD，
ΔABC是正三角形，∴BC⊥AO，
∵BC=CD=2，CD⊥BC，
∴BD=22，AE=12BD=2，
又OE=12CD=1，
ΔABC為正三角形中，AO=3，
所以AE2+OE2=AO2
所以AE⊥OE，又AE⊥BD，BD與OE相交，
所以AE⊥平面BCD，
AE?平面ABD，所以平面ABD⊥平面BCD.

(2)以O(shè)為原點(diǎn)，以BC為x軸，以BE為y軸，
以平面BCD的過O的垂線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：
設(shè)二面角D-BC-A為θ，則A(0,3csθ,3sinθ)，B(-1,0,0)，
C(1,0,0)，D(1,2,0).
∴BA→=(1,3csθ,3sinθ)，CD→=(0,2,0)，
CA→=(-1,3csθ,3sinθ)，
設(shè)平面ACD的法向量為n→=(x,y,z)，則{n→?CD→=0n→?CA→=0
∴{2y=0-x+3csθy+3sinθz=0，
令z=1得n→=(3sinθ,0,1).
直線AB與平面ACD所成角為60°
∴cs=23sinθ2.3sin2θ+1=32.解得sinθ=1.
∴A(0,0,3)，又D(1,2,0).
∴|AD|=1+22+32=22.;
【解析】此題主要考查了面面垂直的證明、利用空間向量進(jìn)行空間角及空間距離的計(jì)算，考查推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．
(1)取BD中點(diǎn)E，BC中點(diǎn)O，連接AE，OE，結(jié)合已知證明：AE⊥平面BCD，即可證明平面ABD⊥平面BCD；
(2)以O(shè)為原點(diǎn)建立空間坐標(biāo)系，設(shè)二面角D-BC-A為θ，用θ表示出A的坐標(biāo)，求出BA→和平面ACD的法向量n→，令|cs|=32得出sinθ，從而得出A點(diǎn)坐標(biāo)，代入兩點(diǎn)間的距離公式求出|AD|.
23.【答案】解：(1)因?yàn)閟in2B2b=cs(C+B)-csCsinBc，
所以csinBcsB+bcsA+bcsCsinB=0，
得bcs A+(ccs B+bcs C)sinB=0，
由正弦定理得：a=bcsC+ccsB，
∴bcs A+asin B=0，
由正弦定理可得sinBcsA+sinAsin B=0，即sinB(cs A+sinA)=0，
因?yàn)?

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