2022-2023學(xué)年湖南省益陽市上學(xué)期期末質(zhì)量檢測高二數(shù)學(xué)學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.  直線的斜率為(    )A.  B.  C.  D. 2.  已知等比數(shù)列中，，則(    )A.  B.  C.  D. 3.  過點(diǎn)且與直線平行的直線方程是(    )A.  B.  C.  D. 4.  已知拋物線的方程為，則其焦點(diǎn)坐標(biāo)為(    )A.  B.  C.  D. 5.  已知兩個(gè)向量，，若，則的值為(    )A.  B.  C.  D. 6.  在四面體中，，，，，分別為，的中點(diǎn)，則(    )A.  B.
C.  D. 7.  如圖所示空間直角坐標(biāo)系中，是正三棱柱的底面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，，直線和底面所成角為，則點(diǎn)坐標(biāo)滿足(    )
 A.  B.
C.  D. 8.  已知實(shí)數(shù)，，，滿足，，，記，則的最大值是(    )A.  B.  C.  D. 二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）9.  已知直線，其中為實(shí)常數(shù)，則(    )A. 直線過一定點(diǎn)
B. 無論取何值，直線不經(jīng)過原點(diǎn)
C. 當(dāng)時(shí)，直線與軸交于它的負(fù)半軸
D. 當(dāng)時(shí)，直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是10.  已知兩個(gè)等差數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為和，且，則使得為整數(shù)的的取值可以是(    )A.  B.  C.  D. 11.  已知正方體的邊長為，是棱的中點(diǎn)，則(    )A.  B.
C.  D. 12.  已知點(diǎn)為雙曲線的右支上一點(diǎn)，、為雙曲線的兩條漸近線，過點(diǎn)分別作，，垂足依次為、，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則(    )A. 為定值
B.
C. 若是直角三角形時(shí)，的周長是
D. 若是正三角形時(shí)，三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.  已知兩個(gè)向量，，則          ．14.  雙曲線的離心率，則          ．15.  我們知道，平行于拋物線對稱軸的光線不與對稱軸重合經(jīng)拋物線兩次反射后，入射光線與最后的反射光線平行。如右圖，若入射光線與最后的反射光線間的最小距離為，則此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為          ．16.  在長方體中，，，點(diǎn)為棱上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是長方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)含邊界，且直線，與平面所成角的大小相等，則線段長度的取值范圍為          ．四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.  本小題分已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，．求數(shù)列的通項(xiàng)公式若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和．18.  本小題分已知點(diǎn)和直線．若直線經(jīng)過點(diǎn)，且，求直線的方程若直線過原點(diǎn)，且點(diǎn)到直線，的距離相等，求直線的方程．19.  本小題分如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過原點(diǎn)的直線與圓交于，兩個(gè)不同的點(diǎn)，過原點(diǎn)且垂直于的直線與圓的一個(gè)交點(diǎn)為不與原點(diǎn)重合．求直線的斜率的取值范圍若線段的中點(diǎn)為，且，求直線的方程．20.  本小題分已知數(shù)列滿足，且求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式求數(shù)列的前項(xiàng)和．21.  本小題分如圖甲，在矩形中，，為線段的中點(diǎn)，將沿直線折起，使得平面平面，如圖乙．求證：平面線段上是否存在一點(diǎn)，使得二面角的余弦值為若存在，請確定點(diǎn)的位置若不存在，說明理由．22.  本小題分已知橢圓過點(diǎn)，離心率為，經(jīng)過圓上一動(dòng)點(diǎn)作兩條直線，它們分別與橢圓恰有一個(gè)公共點(diǎn)，公共點(diǎn)分別記為、．求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求證：求面積的最大值．
答案和解析 1.【答案】 【解析】【分析】本題考查直線的斜率，化方程為斜截式是解決問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．
化方程為斜截式，由斜截式的特點(diǎn)可得．【解答】解：化直線的方程為斜截式可得：，
由斜截式的特點(diǎn)可知已知直線的斜率為：．  2.【答案】 【解析】【分析】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．【解答】解：已知等比數(shù)列中，，則．  3.【答案】 【解析】【分析】本題考查待定系數(shù)法求直線方程，屬于基礎(chǔ)題．【解答】解：所求直線與直線平行，
設(shè)所求直線的方程為，
直線經(jīng)過點(diǎn)，
，解得：，
故所求直線的方程為．  4.【答案】 【解析】【分析】本題考查了拋物線的簡單性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)公式得出焦點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：拋物線方程為，
拋物線的焦點(diǎn)在軸的負(fù)半軸，，．
拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為．
故選：．  5.【答案】 【解析】【分析】本題考查空間向量共線的坐標(biāo)表示，屬基礎(chǔ)題．【解答】解：，
存在實(shí)數(shù)使得，
解得，，
故選D．  6.【答案】 【解析】【分析】本題考查空間向量的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．【解答】解：，分別為，的中點(diǎn)，
，．
   7.【答案】 【解析】【分析】本題考查空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及線面夾角問題，屬于中檔題．【解答】解：由題意可知點(diǎn)縱坐標(biāo)，過作平面的垂線交平面于點(diǎn)，易知四邊形為矩形，，所以在直角三角形中，由，可知，又，所以，故選A．  8.【答案】 【解析】【分析】本題主要考查圓的軌跡方程，直線與圓的位置關(guān)系，屬難題．【解答】解：由題意，，
設(shè)，，
則，在以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上，
由得．
設(shè)點(diǎn)，到直線的距離之和為，
則．
則本題可轉(zhuǎn)化為求的最大值．
設(shè)點(diǎn)為點(diǎn)與點(diǎn)的中點(diǎn)，則．
故點(diǎn)軌跡方程為圓．
設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，
則，圓上點(diǎn)到直線距離的最大值．
所以的最大值是．  9.【答案】 【解析】【分析】本題考查直線過定點(diǎn)問題，直線得一般式方程，截距等，屬于基礎(chǔ)題．【解答】解：直線，
令，得，即直線過定點(diǎn)，故A對；
若直線過原點(diǎn)，則有，顯然不成立，所以無論取何值，直線不經(jīng)過原點(diǎn)，故B對；
當(dāng)時(shí)，直線方程為，令，則，即直線與軸交于它的正半軸，故C錯(cuò)；
當(dāng)時(shí)，直線方程為，則直線與軸、軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，得直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是，故D對．  10.【答案】 【解析】【分析】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)、等差中項(xiàng)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．【解答】解：由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式可得
要使得為整數(shù)，需為整數(shù)，需為整數(shù)，故可能為，，，不可能為，
故選ACD．  11.【答案】 【解析】【分析】本題考查空間向量的運(yùn)算，屬中檔題．【解答】解：由，則不正確；
，故；
；
，，故選BC．  12.【答案】 【解析】【分析】本題考查雙曲線的漸近線，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，點(diǎn)到直線的距離公式，圓的幾何性質(zhì)等，屬于綜合題．【解答】解：由，，則，，，四點(diǎn)在以為直徑的圓上，
由雙曲線，可設(shè)：，：，則，
設(shè)，滿足，
則，
由點(diǎn)到直線的距離的公式可得，．
同理可得，
所以．
，故A對．
因?yàn)?/span>，，，四點(diǎn)在以為直徑的圓上，設(shè)、的中點(diǎn)為、，連接，，則，在直角中，，
又，，
所以 ，即，故B對；
若是直角三角形，則點(diǎn)或點(diǎn)與原點(diǎn)重合，
設(shè)點(diǎn)與原點(diǎn)重合，，，
在直角中，設(shè)，則，，
又，，得，
所以的周長是，當(dāng)點(diǎn)與原點(diǎn)重合時(shí)結(jié)果相同，故C對；
當(dāng)是正三角形時(shí)，，得，
在等腰中，邊上的高，，
此時(shí)，點(diǎn)為雙曲線的右頂點(diǎn)故D錯(cuò)．
   13.【答案】 【解析】【分析】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．【解答】解：，  14.【答案】 【解析】【分析】本題考查雙曲線的離心率，屬基礎(chǔ)題．【解答】解：由題意得，故．  15.【答案】 【解析】【分析】本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于綜合題．【解答】解：設(shè)拋物線的方程為，入射光線、第二次反射光線與拋物線的交點(diǎn)分別為、，
因?yàn)槿肷涔饩€與最后的反射光線間的最小距離為，且一水平光線射到拋物線上一點(diǎn)，經(jīng)拋物線反射后，反射光線必過焦點(diǎn)所以入射光線為，第二次反射光線為，第一次反射光線過焦點(diǎn)且垂直于拋物線的對稱軸，
聯(lián)立拋物線與直線方程可得到坐標(biāo)，，得，得，
所以拋物線方程為．  16.【答案】 【解析】【分析】本題考查直線與平面所成角，屬于較難題．【解答】 解：如圖所示，連接，作交于，連接．因?yàn)?/span>平面，所以為與平面所成的角．因?yàn)?/span>平面，所以為與平面所成的角．因?yàn)?/span>，與平面所成角的大小相等，所以，則，又因?yàn)?/span>，所以，則點(diǎn)在的中垂線上，即點(diǎn)在線段Ⅰ上運(yùn)動(dòng)，如圖．
 因?yàn)?/span>，，為棱上靠近的三等分點(diǎn)，
所以，
則，
因?yàn)?/span>，所以，
又，可得，，，，
當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)處時(shí)，線段的長度取到最大值，最大值為，
當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)處，線段的長度取到最小值，最小值為，
所以線段的長度的取值范圍為   17.【答案】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，則．
解得：，，所以，
所以，數(shù)列的通項(xiàng)公式為．
由知，則，
所以，． 【解析】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式，等比數(shù)列前項(xiàng)和公式，屬基礎(chǔ)題．
 18.【答案】解：由直線的方程可知它的斜率為，因?yàn)?/span>，所以直線的斜率為．
又直線經(jīng)過點(diǎn)，所以直線的方程為：，
即
點(diǎn)到直線的距離為：，
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，的方程為：，點(diǎn)到直線的距離為，與已知矛盾
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線的方程為：，
則，解得
所以直線的方程為：． 【解析】本題考查點(diǎn)斜式方程，點(diǎn)到直線的距離，兩直線垂直時(shí)的斜率關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．
 19.【答案】解：依題意可設(shè)直線的方程為，
直線與圓兩個(gè)不同的交點(diǎn)，，
解得，
直線的斜率的取值范圍是
設(shè)到直線的距離為，到直線的距離為，
則，
所以，
解得：，直線的方程為 【解析】本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，屬于中檔題
 20.【答案】解：證明：，，
即，又，數(shù)列是等差數(shù)列，
由上可知，公差，其首項(xiàng)，
，解得．
，
，
，得
，
． 【解析】本題考查數(shù)列的遞推公式，等差數(shù)列，利用錯(cuò)位相減法求和，屬中檔題．
 21.【答案】解：證明：取線段的中點(diǎn)，連接，

在中，，，，
，又平面平面，
平面平面，
平面，又平面，．
又，，則，，
又，平面．

過作的平行線，以為原點(diǎn)，，，分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，平面的法向量，
設(shè)，則，，
設(shè)平面的法向量為，
．
令，則，，．
由題意可知二面角為銳二面角，

所以，，解之得：，或舍，
所以，點(diǎn)是線段的靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)． 【解析】本題考查線面垂直的判定，面面垂直的性質(zhì)，平面與平面所成角的向量求法，屬于綜合題．
 22.【答案】解：由橢圓的離心率，，，又橢圓過點(diǎn)，
，解得，則，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為依題意、的斜率不能同時(shí)不存在或同為．
若、中的斜率有一個(gè)不存在時(shí)的斜率有一個(gè)不存在時(shí)，另一個(gè)為，若有一個(gè)
為時(shí)，則另一個(gè)不存在，不妨設(shè)的斜率不存在，則直線的方程為，，
則另一條直線的方程為，此時(shí)．
若、斜率存在且不為時(shí)，設(shè)過點(diǎn)的方程為，代入方程
得：，，
整理得：且，又，
，方程的兩個(gè)根即為、的斜率，
，即．
綜上：．
同設(shè)及，，
當(dāng)或時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，斜率存在且不為，設(shè)方程為：，
聯(lián)立橢圓消去并整理得：，
，
化簡得：，解得：，又，
故，直線的方程為：，即，
同理可得的方程為：又在直線、上，
則直線的方程為：．
由，消去整理可得：，
又，所以，，
，．
．．
又點(diǎn)到直線的距離，
，
，且，或，或，
故．
綜上可知，面積的最大值為 【解析】本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查直線和圓與直線和橢圓的位置關(guān)系，注意聯(lián)立直線方程與橢圓的方程，考查方程思想和化簡運(yùn)算能力、推理能力，屬于難題．
 
 

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