1.2.3 直線與平面的夾角一、    概念練習(xí)1.如圖,正四棱錐中，O為頂點在底面內(nèi)的投影，P為側(cè)棱SD的中點，且，則直線BC與平面PAC的夾角是(   )

A．30° B．45° C．60° D．90°2.正四棱錐中，，則直線AC與平面SBC所成角的正弦值為()A. B. C. D.3.如圖，在正三棱柱中，，，D是的中點，則AD與平面所成角的正弦值等于(   )

A. B. C. D.4.如圖,在棱長為1的正方體中,為的中點,則直線與平面的夾角為()A. B. C. D.5.在正三棱柱中,已知,D在棱上,且,則AD與平面所成的角的正弦值為(   )
A. B. C. D.二、能力提升6.已知正三棱柱的側(cè)棱長與底面邊長相等,則與側(cè)面所成角的正弦值為(   )
A. B. C. D.7.在正方體中，E是的中點，則直線BE與平面所成角的正弦值為(   )
A. B. C. D.8.（多選）若將正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角，則下列結(jié)論正確的有(   )
A.AD與BC所成的角為45°B.AC與BD所成的角為90°C.BC與平面ACD所成角的正弦值為D.平面ABC與平面BCD的夾角的正切值是9.（多選）如圖,在四棱錐中,底面為平行四邊形,底面,則()A.B.與平面所成角為C.異面直線與所成角的余弦值為D.平面與平面夾角的余弦值為10.（多選）將正方形沿對角線折成直二面角,則下列結(jié)論中正確的是()A.  B.所成角為C.為等邊三角形 D.與平面所成角為11.正方形中,E是的中點,求BE與平面所成角的正弦值____.12.如圖，平面平面ABEF，四邊形ABCD是正方形，四邊形ABEF是矩形，,G是EF的中點，則GB與平面AGC所成角的正弦值為___________.
 13.已知向量分別是直線的方向向量和平面的法向量.若,則與所成角的大小為_______________.14.在四棱錐中，底面ABCD，，，，.（1）證明：；（2）求PD與平面PAB所成的角的正弦值.15.如圖，已知三棱柱，平面平面ABC，，，，E，F分別是AC，的中點.（1）證明：；（2）求直線EF與平面所成角的余弦值.


 
答案以及解析1.答案：A解析：如圖所示,以為原點建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.設(shè)，則.則，設(shè)平面的法向量為,則，可求得，則.∴，∴直線與平面所成的角為.故選A.2.答案：C解析：連接BD，AC，交于點O，連接OS，則平面ABCD，，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，設(shè)平面SBC的法向量為，則由，，得令，得，，所以.又，設(shè)直線AC與平面SBC所成角為，則.故選C.3.答案：B解析：以C為原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，
所以，，.
設(shè)平面的一個法向量為，
則
取，得.
設(shè)AD與平面所成的角為，
則，
所以AD與平面所成角的正弦值為.故選B.4.答案：B解析：以點為原點,分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,

則,,.
設(shè)平面的一個法向量.則即令，則，，平面BDE的一個法向量為.，.又，，直線與平面BDE的夾角為.故選B.5.答案：A解析：取AC的中點E，連接BE，則，如圖，建立空直角坐標(biāo)系Bxyz，則，，則.平面平面, ，平面, 為平面的一個法向量.設(shè)AD與平面所成的角為，則,故選A.
 6.答案：A解析：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系（O為AC的中點）.
設(shè)正三棱柱的側(cè)棱長為2，則，，，，所以，.又為側(cè)面的一個法向量，所以.
 7.答案：B解析：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為2，則，則.設(shè)平面的法向量為.因為，所以,即設(shè)，令，則為平面的一個法向量.于是，則直線BE與平面所成角的正弦值為.
 8.答案：BCD解析：取BD的中點O，連接AO,CO.
若將正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角，則,,，
以O為原點，OC所在直線為x軸，OD所在直線為y軸，OA所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)，則，，，，
，，
，
AD與BC所成的角為60°，故A不正確；
易得，，
，，故B正確；
設(shè)平面ACD的一個法向量為，
則取，則，
，
設(shè)BC與平面ACD所成的角為，
，故C正確；
易知平面BCD的一個法向量，
，，
設(shè)平面ABC的一個法向量為，
則取，則，
，，
設(shè)平面ABC與平面BCD的夾角為，
則，
，，
平面ABC與平面BCD所成角的正切值是，故D正確.故選BCD.9.答案：ABCD解析：對于A,由及余弦定理得,從而,故.由底面,可得.又,所以平面,故.故A正確.對于B,因為底面,所以就是與平面所成的角,又,所以.故B正確.對于C,顯然是異面直線與所成的角,易得.故C正確.對于D,以為坐標(biāo)原點,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè),則,所以.設(shè)平面的法向量為,則,即,取,可得是平面的一個法向量.設(shè)平面的法向量為,則,即,取,可得是平面的一個法向量,所以,所以平面與平面夾角的余弦值為.故D正確.10.答案：ABC解析：如圖,A.取中點為,連接,易知平面,故.B.以為坐標(biāo)原點,建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,設(shè)正方形邊長為,則,故.由兩向量夾角公式得,故異面直線所成的角為.C.在直角三角形中,由,得,故為等邊三角形.D.易知即為直線與平面所成的角,易得,故D錯誤.11.答案：解析：以D為原點，建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體的棱長為2,則,,,所以,,.設(shè)平面的法向量為,則即令,則,所以.設(shè)直線BE與平面所成的角為，則.12.答案：解析：由于平面平面ABEF，四邊形ABCD是正方形，四邊形ABEF是矩形，故AF,AB,AD兩兩互相垂直，以A為原點，，, 的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

則，，，，所以，，，
設(shè)平面AGC的一個法向量為，則
令，得，
因此GB與平面AGC所成角的正弦值為.
13.答案：60°解析：設(shè)與所成角為,則.14.答案：（1）證明見解析（2）解析：解：（1）如圖所示，取AB中點為O，連接DO，CO，則.

又，所以四邊形DCBO為平行四邊形.
又，
所以四邊形DCBO為菱形，所以.
同理可得，四邊形DCOA為菱形，所以，
所以.
因為底面ABCD，底面ABCD，所以，
又，平面ADP，所以平面ADP.
因為平面ADP，所以.（2）由（1）知，又，所以，
所以三角形ADO為正三角形.
過點D作垂直于DC的直線為x軸，DC所在直線為y軸，DP所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
 則，，，.
則，，.
設(shè)平面PAB的法向量為，
則.
令，則，，所以.
設(shè)直線PD與平面PAB所成的角為，
則，
所以直線PD與平面PAB所成的角的正弦值為.15.答案：（1）證明見解析（2）解析：（1）解法一：證明：連接，因為，E是AC的中點，所以，
又平面平面ABC，平面，平面平面，
所以平面ABC，
則.又因為，，
所以.
因為，
所以平面.
因此.

解法二：證明：連接，因為，E是AC的中點，所以.
又平面平面ABC，平面，平面平面，
所以平面ABC.
如圖，以E為原點，分別以射線EC，為y，z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系Exyz.

不妨設(shè)，則，，，，，.
因此，，
.
由得.
（2）解法一：取BC的中點G，連接EG，GF，則四邊形是平行四邊形.
由于平面ABC，故，
所以平行四邊形為矩形.
由（1）得平面，則平面平面，所以EF在平面上的射影在直線上.
連接交EF于O，則是直線EF與平面所成的角（或其補角），
不妨設(shè)，則在中，，.
由于O為的中點，故，
所以.
因此，直線EF與平面所成角的余弦值是.
解法二：由（1）可得.
設(shè)平面的法向量為.
由
得
取，則，
設(shè)直線EF與平面所成角為，
則.
因此，直線EF與平面所成角的余弦值為.


 

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1.2.3 直線與平面的夾角

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