?第八章成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析
8.3　列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)
8.3.1　分類變量與列聯(lián)表　8.3.2　獨(dú)立性檢驗(yàn)
課后篇鞏固提升
必備知識(shí)基礎(chǔ)練
1.(2021河南期中)在研究肥胖與高血壓的關(guān)系時(shí),通過(guò)收集數(shù)據(jù)、整理分析數(shù)據(jù)得到“高血壓與肥胖有關(guān)”的結(jié)論,并且在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為這個(gè)結(jié)論是成立的,下列說(shuō)法中正確的是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.在100個(gè)肥胖的人中至少有99人患有高血壓
B.肥胖的人至少有99%的概率患有高血壓
C.在100個(gè)高血壓患者中一定有肥胖的人
D.在100個(gè)高血壓患者中可能沒(méi)有肥胖的人
答案D
解析“高血壓與肥胖有關(guān)”,并且在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為這個(gè)結(jié)論是成立的,表示有99%的把握認(rèn)為這個(gè)結(jié)論成立,與多少個(gè)人患高血壓沒(méi)有關(guān)系,也不是說(shuō)“肥胖的人就是至少有99%的概率患有高血壓”,只有選項(xiàng)D正確.
2.若由一個(gè)2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算得χ2=4.013,那么認(rèn)為兩個(gè)變量有關(guān)系犯錯(cuò)誤的概率不大于(　　)
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

A.0.05 B.0.025 C.0.01 D.0.005
答案A
解析零假設(shè)H0:兩變量之間沒(méi)有關(guān)系.由一個(gè)2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算得χ2=4.013,
因?yàn)?.8413.841=x0.05,所以依據(jù)α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn),我們推斷H0不成立,即認(rèn)為男、女生對(duì)該食堂服務(wù)的評(píng)價(jià)有差異,故C正確,D錯(cuò)誤.
故選C.
5.在對(duì)某小學(xué)的學(xué)生進(jìn)行吃零食的調(diào)查中,得到數(shù)據(jù)如下表:
性別
吃零食
不吃零食
合計(jì)
男
27
34
61
女
12
29
41
合計(jì)
39
63
102

根據(jù)上述數(shù)據(jù)分析,可得χ2約為　　　　.?
答案2.334
解析χ2=102×(27×29-34×12)239×63×61×41≈2.334.
6.在獨(dú)立性檢驗(yàn)中,xα有兩個(gè)臨界值:3.841和6.635.當(dāng)χ2≥3.841時(shí),依據(jù)α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)認(rèn)為兩個(gè)事件有關(guān)聯(lián);當(dāng)χ2≥6.635時(shí),依據(jù)α=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)認(rèn)為兩個(gè)事件有關(guān)聯(lián);當(dāng)χ26.635,所以依據(jù)α=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn),我們推斷H0不成立,即認(rèn)為兩者有關(guān)聯(lián).
7.有人發(fā)現(xiàn)了一個(gè)有趣的現(xiàn)象,中國(guó)人的郵箱名稱里含有數(shù)字比較多,而外國(guó)人郵箱名稱里含有數(shù)字比較少.為了研究國(guó)籍和郵箱名稱里含有數(shù)字的關(guān)系,小明收集了124個(gè)郵箱名稱,其中中國(guó)人的64個(gè),外國(guó)人的60個(gè),中國(guó)人的郵箱中有43個(gè)含數(shù)字,外國(guó)人的郵箱中有27個(gè)含數(shù)字.
(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立2×2列聯(lián)表;
(2)他發(fā)現(xiàn)在這組數(shù)據(jù)中,外國(guó)人郵箱里含數(shù)字的也不少,他不能斷定國(guó)籍和郵箱名稱里含有數(shù)字是否有關(guān)聯(lián),你能依據(jù)α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)幫他判斷一下嗎?
附:
α
0.10
0.05
0.01
xα
2.706
3.841
6.635

解(1)2×2列聯(lián)表如下:
類型
中國(guó)人
外國(guó)人
合計(jì)
有數(shù)字
43
27
70
無(wú)數(shù)字
21
33
54
合計(jì)
64
60
124

(2)零假設(shè)為H0:國(guó)籍和郵箱名稱里是否含有數(shù)字無(wú)關(guān)聯(lián).
由表中數(shù)據(jù)得χ2=124×(43×33-27×21)270×54×64×60≈6.201>3.841=x0.05.
依據(jù)α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn),我們推斷H0不成立,即認(rèn)為國(guó)籍和郵箱名稱里是否含有數(shù)字有關(guān)聯(lián).
關(guān)鍵能力提升練
8.某研究所為了檢驗(yàn)?zāi)逞孱A(yù)防感冒的作用,把500名使用了該血清的志愿者與另外500名未使用該血清的志愿者一年中的感冒記錄進(jìn)行比較,零假設(shè)為H0:這種血清與預(yù)防感冒之間無(wú)關(guān)聯(lián).利用2×2列聯(lián)表計(jì)算得χ2≈3.918.下列敘述中正確的是(　　)
A.依據(jù)α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)認(rèn)為這種血清與預(yù)防感冒之間有關(guān)聯(lián)
B.若有人未使用該血清,則他一年中有95%的可能性得感冒
C.這種血清預(yù)防感冒的有效率為95%
D.這種血清預(yù)防感冒的有效率為5%
答案A
解析因?yàn)棣?≈3.918>3.841=x0.05,所以依據(jù)α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn),我們推斷H0不成立,即認(rèn)為這種血清與預(yù)防感冒之間有關(guān)聯(lián).故選A.
9.(多選)針對(duì)時(shí)下的“抖音熱”,某校團(tuán)委對(duì)學(xué)生性別和喜歡抖音是否有關(guān)聯(lián)進(jìn)行了一次調(diào)查,其中被調(diào)查的男生、女生人數(shù)相同,男生喜歡抖音的人數(shù)占男生人數(shù)的45,女生喜歡抖音的人數(shù)占女生人數(shù)的35.零假設(shè)為H0:喜歡抖音和性別無(wú)關(guān)聯(lián).若依據(jù)α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)認(rèn)為喜歡抖音和性別有關(guān)聯(lián),則調(diào)查人數(shù)中男生的人數(shù)可能為(　　)
附表:
α
0.05
0.01
xα
3.841
6.635

附:χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d).
A.25 B.45
C.60 D.75
答案BC
解析設(shè)男生的人數(shù)為5n(n∈N*),根據(jù)題意列出2×2列聯(lián)表如下:
類型
男生
女生
合計(jì)
喜歡抖音
4n
3n
7n
不喜歡抖音
n
2n
3n
合計(jì)
5n
5n
10n

則χ2=10n×(4n×2n-3n×n)25n×5n×7n×3n=10n21.
因?yàn)橐罁?jù)α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn),我們推斷H0不成立,即認(rèn)為喜歡抖音和性別有關(guān)聯(lián),
所以6.632>χ2≥3.841,
即10n21≥3.841,解得13.927 2>n≥8.066 1,
因?yàn)閚∈N*,所以調(diào)查人數(shù)中男生人數(shù)的可能值為45或60.故選BC.
10.某班主任對(duì)全班50名學(xué)生進(jìn)行了一次調(diào)查,所得數(shù)據(jù)如下表:
類別
認(rèn)為作業(yè)多
認(rèn)為作業(yè)不多
合計(jì)
喜歡玩電腦游戲
18
9
27
不喜歡玩電腦游戲
8
15
23
合計(jì)
26
24
50

由表中數(shù)據(jù)計(jì)算得到χ2≈5.059,依據(jù)α=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)認(rèn)為喜歡玩電腦游戲與認(rèn)為作業(yè)多　　　　　.(填“有關(guān)聯(lián)”或“無(wú)關(guān)聯(lián)”)?
答案無(wú)關(guān)聯(lián)
解析零假設(shè)為H0:喜歡玩電腦游戲與認(rèn)為作業(yè)多無(wú)關(guān)聯(lián).由題意可得χ2=50×(18×15-9×8)226×24×27×23≈5.0597.879=x0.005,所以依據(jù)α=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn),我們推斷H0不成立,即認(rèn)為同意限定區(qū)域停車與家長(zhǎng)的性別有關(guān)聯(lián).
12.(2021山東青島一模)某駕駛員培訓(xùn)學(xué)校為對(duì)比了解“科目二”的培訓(xùn)過(guò)程采用大密度集中培訓(xùn)與周末分散培訓(xùn)兩種方式的效果,調(diào)查了105名學(xué)員,統(tǒng)計(jì)結(jié)果為:接受大密度集中培訓(xùn)的55個(gè)學(xué)員中有45名學(xué)員一次考試通過(guò),接受周末分散培訓(xùn)的學(xué)員一次考試通過(guò)的有30個(gè).根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果,認(rèn)為“能否一次考試通過(guò)與是否集中培訓(xùn)有關(guān)”犯錯(cuò)誤的概率不大于　　　　　.?
附:χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d).
α
0.05
0.010
0.001
xα
3.841
6.635
10.828

答案0.05
解析2×2列聯(lián)表如下:
培訓(xùn)方式
通過(guò)
未通過(guò)
總計(jì)
集中培訓(xùn)
45
10
55
分散培訓(xùn)
30
20
50
總計(jì)
75
30
105

零假設(shè)為H0:“能否一次考試通過(guò)與是否集中培訓(xùn)無(wú)關(guān)”.∴χ2=105×(45×20-30×10)275×30×50×55≈6.109>3.841=x0.05,
根據(jù)小概率值α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn),我們推斷H0不成立,即認(rèn)為“能否一次考試通過(guò)與是否集中培訓(xùn)有關(guān)”,此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.05.
13.隨著生活水平的提高,人們患肝病的越來(lái)越多.為了解中年人患肝病與經(jīng)常飲酒是否有關(guān)聯(lián),現(xiàn)對(duì)30名中年人進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查,得到的數(shù)據(jù)如下列聯(lián)表:
類別
常飲酒
不常飲酒
合計(jì)
患肝病

2

不患肝病

18

合計(jì)


30

已知在全部30人中隨機(jī)抽取1人,抽到肝病患者的概率為415.
(1)請(qǐng)將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整,依據(jù)α=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)?zāi)芊裾J(rèn)為患肝病與常飲酒有關(guān)聯(lián)?說(shuō)明你的理由.
(2)現(xiàn)從常飲酒且患肝病的中年人(恰有2名女性)中抽取2人參加電視節(jié)目,則正好抽到一男一女的概率是多少?
參考數(shù)據(jù):
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

解(1)設(shè)患肝病中常飲酒的人有x人,則x+230=415,解得x=6.
補(bǔ)充完整的列聯(lián)表如下:
類別
常飲酒
不常飲酒
合計(jì)
患肝病
6
2
8
不患肝病
4
18
22
合計(jì)
10
20
30

零假設(shè)為H0:患肝病與經(jīng)常飲酒無(wú)關(guān)聯(lián).由已知數(shù)據(jù)可求得
χ2=30×(6×18-2×4)210×20×8×22≈8.523>7.879=x0.005,
依據(jù)α=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn),我們推斷H0不成立,即認(rèn)為患肝病與經(jīng)常飲酒有關(guān)聯(lián).
(2)設(shè)常飲酒且患肝病的男性為A,B,C,D,女性為E,F,則任取兩人有AB,AC,AD,AE,AF,BC,BD,BE,BF,CD,CE,CF,DE,DF,EF,共15種.其中一男一女有AE,AF,BE,BF,CE,CF,DE,DF,共8種.故抽出一男一女的概率是P=815.
14.書籍是文化的重要載體,讀書是承繼文化的重要方式.某地區(qū)為了解學(xué)生課余時(shí)間的讀書情況,隨機(jī)抽取了n名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,根據(jù)調(diào)查得到的學(xué)生日均課余讀書時(shí)間繪制成如圖所示的頻率分布直方圖,將日均課余讀書時(shí)間不低于40分鐘的學(xué)生稱為“讀書之星”,日均課余讀書時(shí)間低于40分鐘的學(xué)生稱為“非讀書之星”.已知抽取的樣本中日均課余讀書時(shí)間低于10分鐘的有10人.

(1)求n,p的值;
(2)根據(jù)已知條件完成下面的2×2列聯(lián)表,依據(jù)α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)?zāi)芊裾J(rèn)為“讀書之星”與性別有關(guān)聯(lián)?
性別
非讀書之星
讀書之星
合計(jì)
男



女

10
55
合計(jì)




(3)將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率,現(xiàn)從該地區(qū)大量學(xué)生中隨機(jī)抽取3名學(xué)生,每次抽取1名,已知每個(gè)人是否被抽到互不影響,記被抽取的“讀書之星”人數(shù)為隨機(jī)變量X,求X的分布列和均值E(X).
附:χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

解(1)因?yàn)?0.005+p+0.018+0.020+0.022+0.025)×10=1,
所以p=0.01.
所以n=100.1=100.
(2)因?yàn)閚=100,所以“讀書之星”有100×[(0.02+0.005)×10]=25(人).
從而2×2列聯(lián)表如下所示:
性別
非讀書之星
讀書之星
合計(jì)
男
30
15
45
女
45
10
55
合計(jì)
75
25
100

零假設(shè)為H0:“讀書之星”與性別無(wú)關(guān)聯(lián).將2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算得
χ2=100×(30×10-15×45)245×55×75×25=10033≈3.0306.635=x0.01.
依據(jù)α=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn),我們推斷H0不成立,即認(rèn)為技術(shù)改造前后的連續(xù)正常運(yùn)行時(shí)間有差異.
(2)由題知,生產(chǎn)周期內(nèi)有4個(gè)維護(hù)周期,一個(gè)維護(hù)周期為30天.在一個(gè)維護(hù)周期內(nèi),生產(chǎn)線需保障維護(hù)的概率為P=14.
設(shè)一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)需保障維護(hù)的次數(shù)為ξ,可知ξ~B4,14.一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)的正常維護(hù)費(fèi)為0.5×4=2(萬(wàn)元),保障維護(hù)費(fèi)為0.2ξ×(ξ+1)2=(0.1ξ2+0.1ξ)(萬(wàn)元).
所以一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)需保障維護(hù)ξ次時(shí)的維護(hù)費(fèi)用為(0.1ξ2+0.1ξ+2)萬(wàn)元.
設(shè)一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)的維護(hù)費(fèi)用為X,則X的所有可能取值為2,2.2,2.6,3.2,4,
且P(X=2)=(1-14)4=81256;
P(X=2.2)=C41(1-14)314=2764;
P(X=2.6)=C42(1-14)2142=27128;
P(X=3.2)=C431-14143=364;
P(X=4)=144=1256.
所以X的分布列為
X
2
2.2
2.6
3.2
4
P
81256
2764
27128
364
1256

所以E(X)=2×81256+2.2×2764+2.6×27128+3.2×364+4×1256=162+237.6+140.4+38.4+4256=582.4256=2.275.
所以一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)生產(chǎn)維護(hù)費(fèi)的均值為2.275萬(wàn)元.

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8.3 分類變量與列聯(lián)表

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