?第七章綜合訓練
一、選擇題(本題共8小題,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)
1.已知隨機變量X~B8,12,則E(3X-1)=(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.11 B.12
C.18 D.36
答案A
解析∵隨機變量X~B8,12,∴E(X)=8×12=4,∴E(3X-1)=3E(X)-1=3×4-1=11.
故選A.
2.已知離散型隨機變量ξ的概率分布如下表,則其均值E(ξ)等于(　　)
ξ
1
3
5
P
0.5
m
0.2

A.1 B.0.6 C.2+3m D.2.4
答案D
解析依題意,0.5+m+0.2=1,解得m=0.3,
故E(ξ)=1×0.5+3×0.3+5×0.2=2.4.
故選D.
3.現(xiàn)在分別有A,B兩個容器,在容器A里有7個紅球和3個白球,在容器B里有1個紅球和9個白球.現(xiàn)從這兩個容器里任意抽出一個球,則在抽到的是紅球的情況下,是來自容器A里面的球的概率是(　　)
A.0.5 B.0.7 C.0.875 D.0.35
答案C
解析設A=“抽到的是紅球”,B=“抽到的是來自容器A里面的球”,則AB=“抽到的是來自容器A里面的紅球”.由題意可知,P(AB)=720,P(A)=820,故P(B|A)=P(AB)P(A)=0.875,故選C.
4.某校一籃球運動員進行投籃練習,若他第1球投進,則第2球投進的概率為34,若他第1球投不進,則第2球投進的概率為14.若他第1球投進的概率為34,則他第2球投進的概率為(　　)
A.34 B.58 C.716 D.916
答案B
解析記“他第1球投進”為事件A,“他第2球投進”為事件B,由題知,P(B|A)=34,P(B|A)=14,
又知P(A)=34,所以P(A)=14,
所以P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)=34×34+14×14=1016=58.
5.甲、乙兩人進行羽毛球比賽,假設每局比賽甲勝的概率是23,各局比賽是相互獨立的,采用5局3勝制,則乙以3∶1戰(zhàn)勝甲的概率為(　　)
A.827 B.227 C.881 D.3281
答案B
解析由題意知,前3局乙勝2局,第4局乙勝,故所求概率P=C32×23×1-233=227.故選B.
6.設隨機變量X的概率分布為P(X=i)=13,i=1,2,3,則D(X)等于(　　)
A.13 B.23 C.1 D.2
答案B
解析∵P(X=i)=13,i=1,2,3,
∴E(X)=1×13+2×13+3×13=2,
∴D(X)=(1-2)2×13+(2-2)2×13+(3-2)2×13=23.故選B.
7.位于坐標原點的一個質(zhì)點P按下述規(guī)則移動:質(zhì)點每次移動一個單位;移動的方向為向上或向右,并且向上、向右移動的概率都是12.質(zhì)點P移動5次后位于點(2,3)的概率為(　　)
A.125 B.C52125
C.C51125 D.C52C53125
答案B
解析依題意,質(zhì)點在移動過程中向右移動2次,向上移動3次,因此質(zhì)點P移動5次后位于點(2,3)的概率P=C52×122×1-123=C52125.
8.小明與另外2名同學進行“手心手背”游戲,規(guī)則是:3人同時隨機等可能選擇手心或手背中的一種手勢,規(guī)定相同手勢人數(shù)多者每人得1分,其余每人得0分.現(xiàn)3人共進行了4次游戲,每次游戲互不影響,記小明4次游戲得分之和為X,則X的均值為(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
答案C
解析進行“手心手背”游戲,小明與另外2名同學選擇手勢的所有可能情況為
(心,心,心),(心,心,背),(心,背,心),(心,背,背),(背,心,心),(背,心,背),(背,背,心),(背,背,背),則小明得1分的概率為34,得0分的概率為14.
進行4次游戲,小明得分之和X的可能結(jié)果為0,1,2,3,4,
則P(X=0)=C40×144=1256,
P(X=1)=C41×34×143=364,
P(X=2)=C42×342×142=27128,
P(X=3)=C43×343×14=2764,
P(X=4)=C44×344=81256,
故E(X)=0×1256+1×364+2×27128+3×2764+4×81256=3.故選C.
二、選擇題(本題共4小題,在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求)
9.已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(2,σ2),且P(X4)=0.2 B.P(X>0)=0.6
C.P(0≤X≤2)=0.3 D.P(0≤X≤4)=0.4
答案AC
解析∵P(X4)=0.2.
∵X~N(2,σ2),∴P(X4)=0.2.
∴P(0≤X≤4)=P(X1)=p,所以P(0≤ξ≤1)=12-p,所以P(-1≤ξ≤0)=12-p,故選項C正確;
對于選項D,因為X~B(10,0.8),所以當X=k(k=0,1,…,10)時,P(X=k)=C10k×0.8k×0.210-k,所以當1≤k≤10時,P(X=k)P(X=k-1)=C10k×0.8k×0.210-kC10k-1×0.8k-1×0.210-k+1=4(11-k)k.由4(11-k)k≥1得,44-4k≥k,即1≤k≤445.因為k∈N*,所以1≤k≤8,且k∈N*,故當k=8時,概率P(X=8)最大,故選項D正確.
故選BCD.
12.信息熵是信息論中的一個重要概念.設隨機變量X所有可能的取值為1,2,…,n,且P(X=i)=pi>0(i=1,2,…,n),∑i=1npi=1,定義X的信息熵H(X)=-∑i=1npilog2pi.(　　)
A.若n=1,則H(X)=0
B.若n=2,則H(X)隨著p1的增大而增大
C.若pi=1n(i=1,2,…,n),則H(X)隨著n的增大而增大
D.若n=2m,隨機變量Y所有可能的取值為1,2,…,m,且P(Y=j)=pj+p2m+1-j(j=1,2,…,m),則H(X)≤H(Y)
答案AC
解析對于A,若n=1,則p1=1,所以H(X)=-(1×log21)=0,所以A正確.
對于B,若n=2,則p2=1-p1,
所以H(X)=-[p1·log2p1+(1-p1)·log2(1-p1)],
當p1=14時,H(X)=-14×log214+34×log234,
當p1=34時,H(X)=-34×log234+14×log214,
兩者相等,所以B錯誤.
對于C,若pi=1n(i=1,2,…,n),則
H(X)=-1n·log21n·n=-log21n=log2n,
則H(X)隨著n的增大而增大,所以C正確.
對于D,若n=2m,隨機變量Y的所有可能的取值為1,2,…,m,且P(Y=j)=pj+p2m+1-j(j=1,2,…,m).
則H(X)=-∑i=12mpi·log2pi=∑i=12mpi·log21pi
=p1·log21p1+p2·log21p2+…+p2m-1·log21p2m-1+p2m·log21p2m.
H(Y)=(p1+p2m)·log21p1+p2m+(p2+p2m-1)·log21p2+p2m-1+…+(pm+pm+1)·log21pm+pm+1=p1·log21p1+p2m+p2·log21p2+p2m-1+…+p2m-1·log21p2+p2m-1+p2m·log21p1+p2m.
因為pi>0(i=1,2,…,2m),所以1pi>1pi+p2m+1-i,所以log21pi>log21pi+p2m+1-i,
所以pi·log21pi>pi·log21pi+p2m+1-i,
所以H(X)>H(Y),所以D錯誤.
故選AC.
三、填空題(本題共4小題)
13.按照國家標準規(guī)定,500 g袋裝奶粉每袋質(zhì)量必須服從正態(tài)分布X~N(500,σ2),經(jīng)檢測某種品牌的奶粉P(490≤X≤510)=0.95,一超市一個月內(nèi)共賣出這種品牌的奶粉400袋,則賣出的奶粉質(zhì)量在510 g以上的袋數(shù)大約為　　　　　.?
答案10
解析因為X~N(500,σ2),且P(490≤X≤510)=0.95,所以P(X>510)=1-0.952=0.025,所以賣出的奶粉質(zhì)量在510 g以上袋數(shù)大約為400×0.025=10(袋).
14.拋擲兩個骰子,至少有一個4點或5點出現(xiàn)時,就說這次試驗成功,則在8次試驗中,成功次數(shù)ξ的均值是　　　　　　.?
答案409
解析在一次試驗中,成功的概率為1-23×23=59.依題意,ξ~B8,59,故E(ξ)=8×59=409.
15.若隨機變量X~B(4,p),且E(X)=2,則D(2X-3)=　　　　　.?
答案4
解析由隨機變量X~B(4,p),且E(X)=2,可得4p=2,解得p=12,則D(X)=4×12×12=1,
故D(2X-3)=4D(X)=4.
16.一個盒子里有1個紅1個綠2個黃四個相同的球,每次拿一個,不放回,拿出紅球即停,設拿出黃球的個數(shù)為ξ,則P(ξ=0)=　　　　　;E(ξ)=　　　　　.?
答案13　1
解析依題意,ξ的取值可能為0,1,2,
則P(ξ=0)=14+14×13=13,
P(ξ=1)=24×13+24×13×12+14×23×12=13,P(ξ=2)=1-13?13=13,
故E(ξ)=0×13+1×13+2×13=1.
四、解答題(本題共6小題,解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17.某校從學生文藝部6名成員(4男2女)中,挑選2人參加學校舉辦的文藝匯演活動.
(1)求男生甲被選中的概率;
(2)在已知男生甲被選中的條件下,女生乙被選中的概率;
(3)在要求被選中的兩人中必須一男一女的條件下,求女生乙被選中的概率.
解(1)記4名男生為A,B,C,D,2名女生為a,b,
從6名成員中挑選2人,所有可能的結(jié)果為
(A,B),(A,C),(A,D),(A,a),(A,b),(B,C),(B,D),(B,a),(B,b),(C,D),(C,a),(C,b),(D,a),(D,b),(a,b),共15種,
不妨設男生甲為A,女生乙為b,設事件M=“男生甲被選中”,N=“女生乙被選中”,S=“被選中的兩人為一男一女”.
(1)事件M所包含的可能的結(jié)果為(A,B),(A,C),(A,D),(A,a),(A,b),
共5種,故P(M)=515=13.
(2)事件MN包含的可能的結(jié)果為(A,b),
則P(MN)=115,又P(M)=13,
故P(N|M)=P(MN)P(M)=15.
(3)事件S包含的可能的結(jié)果為(A,a),(A,b),(B,a),(B,b),(C,a),(C,b),(D,a),(D,b),共8種,
事件SN包含的可能的結(jié)果為(A,b),(B,b),(C,b),(D,b),共4種,則P(S)=815,P(SN)=415,
故P(N|S)=P(SN)P(S)=12.
18.一個袋中有10個大小相同的球,其中標號為1的球有3個,標號為2的球有5個,標號為3的球有2個.第一次從袋中任取一個球,放回后第二次再任取一個球(假設取到每個球的可能性都相等).記兩次取到球的標號之和為X.
(1)求隨機變量X的分布列;
(2)求隨機變量X的均值.
解(1)依題意,隨機變量X的可能取值為2,3,4,5,6,則P(X=2)=310×310=9100,
P(X=3)=310×510×2=310,
P(X=4)=310×210×2+510×510=37100,
P(X=5)=510×210×2=15,
P(X=6)=210×210=125.
故隨機變量X的分布列為
X
2
3
4
5
6
P
9100
310
37100
15
125

(2)由(1)可知,
E(X)=2×9100+3×310+4×37100+5×15+6×125=195.
19.某學習小組有6名同學,其中4名同學從來沒有參加過數(shù)學研究性學習活動,2名同學曾經(jīng)參加過數(shù)學研究性學習活動.
(1)現(xiàn)從該小組中任選2名同學參加數(shù)學研究性學習活動,求恰好選到1名曾經(jīng)參加過數(shù)學研究性學習活動的同學的概率;
(2)若從該小組中任選2名同學參加數(shù)學研究性學習活動,活動結(jié)束后,該小組沒有參加過數(shù)學研究性學習活動的同學人數(shù)ξ是一個隨機變量,求隨機變量ξ的分布列及均值.
解(1)記“恰好選到1名曾經(jīng)參加過數(shù)學研究性學習活動的同學”為事件A,
則P(A)=C41C21C62=815.
故恰好選到1名曾經(jīng)參加過數(shù)學研究性學習活動的同學的概率為815.
(2)依題意,隨機變量ξ的取值可能為2,3,4,則P(ξ=2)=C42C62=25,P(ξ=3)=C41C21C62=815,
P(ξ=4)=C22C62=115.
故隨機變量ξ的分布列為
ξ
2
3
4
P
25
815
115

E(ξ)=2×25+3×815+4×115=83.
20.甲、乙二人進行一次象棋比賽,每局勝者得1分,負者得0分(無平局),約定一方得4分時就獲得本次比賽的勝利并且比賽結(jié)束.設在每局比賽中,甲獲勝的概率為23,乙獲勝的概率為13,各局比賽結(jié)果相互獨立,已知前3局中,甲得1分,乙得2分.
(1)求甲獲得這次比賽勝利的概率;
(2)設從第4局開始到比賽結(jié)束所進行的局數(shù)為X,求X的分布列及均值.
解(1)設“甲獲得這次比賽勝利”為事件A,
則P(A)=233+C31×233×13=1627,
故甲獲得這次比賽勝利的概率為1627.
(2)依題意,X的取值可能為2,3,4,
則P(X=2)=132=19,
P(X=3)=233+C21×23×132=49,
P(X=4)=C32×232×13×1=49.
故X的分布列為
X
2
3
4
P
19
49
49

E(X)=2×19+3×49+4×49=103.
21.某娛樂活動中,共有5扇門,游戲者根據(jù)規(guī)則開門,并根據(jù)打開門的數(shù)量獲取相應獎勵.已知開每扇門相互獨立,且規(guī)則相同,開每扇門的規(guī)則是:從給定的6把鑰匙(其中有且只有1把鑰匙能打開門)中,隨機地逐把抽取鑰匙進行試開,鑰匙使用后不放回.若門被打開,則轉(zhuǎn)為開下一扇門;若連續(xù)4次未能打開,則放棄這扇門,轉(zhuǎn)為開下一扇門;直至5扇門都進行了試開,活動結(jié)束.
(1)設隨機變量X為試開第一扇門所用的鑰匙數(shù),求X的分布列及均值E(X);
(2)求恰好成功打開4扇門的概率.
解(1)由題意可知,隨機變量X的可能取值為1,2,3,4,
則P(X=1)=16,P(X=2)=56×15=16,
P(X=3)=56×45×14=16,P(X=4)=56×45×34×1=12.
故隨機變量X的分布列為
X
1
2
3
4
P
16
16
16
12

E(X)=1×16+2×16+3×16+4×12=3.
(2)每扇門被打開的概率為P=1-56×45×34×23=23,
設“恰好成功打開4扇門”為事件A,則P(A)=C54×234×13=80243.
22.一次大型考試后,某年級對某學科進行質(zhì)量分析,隨機抽取了40名學生的成績,分組為[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)從抽取的成績在[50,60),[90,100]之間的學生中,隨機選擇三名學生進行進一步調(diào)查分析,記X為這三名學生中成績在[50,60)之間的人數(shù),求X的分布列及均值E(X).
(2)①求該年級全體學生的平均成績x與標準差s的估計值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表);(精確到1)
②如果該年級學生該學科的成績服從正態(tài)分布N(μ,σ2),其中μ,σ分別近似為①中的x,s,那么從該年級所有學生中隨機選三名學生做分析,求這三名學生中恰有兩名學生的成績在區(qū)間(62,95)的概率.(精確到0.01)
附:29≈5.385,P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)≈0.954 5.
解(1)由頻率分布直方圖,可知40名學生中成績在[50,60),[90,100]之間的人數(shù)均為4.
X的所有可能取值為0,1,2,3,
則P(X=0)=C43C83=114,P(X=1)=C41C42C83=37,
P(X=2)=C42C41C83=37,P(X=3)=C43C83=114.
故X的分布列為
X
0
1
2
3
P
114
37
37
114

E(X)=0×114+1×37+2×37+3×114=1.5.
(2)①x=55×0.1+65×0.3+75×0.4+85×0.1+95×0.1=73,s=
(55-73)2×0.1+(65-73)2×0.3+(75-73)2×0.4+(85-73)2×0.1+(95-73)2×0.1
=116=229≈11.
②由①,可知成績在區(qū)間(62,95)的概率為12×0.954 5+12×0.682 7=0.818 6,
記“三名學生中恰有兩名學生的成績在區(qū)間(62,95)”為事件A,
則P(A)=C32×0.818 62×(1-0.818 6)≈0.36.

英語朗讀寶
相關資料 更多
資料下載及使用幫助
版權申訴
版權申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權，請掃碼添加我們的相關工作人員，我們盡可能的保護您的合法權益。
入駐教習網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權申訴二維碼
高中數(shù)學人教A版 (2019)選擇性必修 第三冊電子課本

本章綜合與測試

版本： 人教A版 (2019)

年級： 選擇性必修 第三冊

切換課文
  • 課件
  • 教案
  • 試卷
  • 學案
  • 更多
所有DOC左下方推薦
歡迎來到教習網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部