?2021年中考數(shù)學(xué)真題分項(xiàng)匯編【全國(guó)通用】（第02期）
專(zhuān)題8分式方程
姓名：__________________ 班級(jí)：______________ 得分：_________________
一、單選題
1．（2021·廣東中考真題）方程的解為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解即得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解．
【詳解】
解：
去分母得：，
移項(xiàng)合并得：，
化系數(shù)為“1”得：，
檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，，
∴是原分式方程的解．
故選：D．
【點(diǎn)睛】
此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解，解分式方程一定注意要驗(yàn)根．
2．（2021·黑龍江中考真題）方程的解為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根據(jù)分式方程的解法可直接進(jìn)行排除選項(xiàng)．
【詳解】
解：
，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解，
故選A．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查分式方程的解法，熟練掌握分式方程的解法是解題的關(guān)鍵．
3．（內(nèi)蒙古呼倫貝爾2021年中考數(shù)學(xué)試卷）若關(guān)于x的分式方程無(wú)解，則a的值為（ ）
A．3 B．0 C． D．0或3
【答案】C
【分析】
直接解分式方程，再根據(jù)分母為0列方程即可．
【詳解】
解：，
去分母得：2﹣x﹣a＝2（x﹣3），
解得：x＝，
當(dāng)時(shí)，方程無(wú)解，
解得．
故選：C．
【點(diǎn)睛】
本題考查了分式方程無(wú)解，解題關(guān)鍵是明確分式方程無(wú)解的條件，解方程，再根據(jù)分母為0列方程．
4．（2021·四川宜賓市·中考真題）若關(guān)于x的分式方程有增根，則m的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【答案】C
【分析】
先把分式方程化為整式方程，再把增根x=2代入整式方程，即可求解．
【詳解】
解：，
去分母得：，
∵關(guān)于x的分式方程有增根，增根為：x=2，
∴，即：m=2，
故選C．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查解分式方程以及分式方程的增根，把分式方程化為整式方程是解題的關(guān)鍵．
5．（2021·內(nèi)蒙古鄂爾多斯市·中考真題）2020年疫情防控期間，鄂爾多斯市某電信公司為了滿(mǎn)足全體員工的需要，花1萬(wàn)元購(gòu)買(mǎi)了一批口罩，隨著2021年疫情的緩解，以及各種抗疫物資充足的供應(yīng)，每包口罩下降10元，電信公司又花6000元購(gòu)買(mǎi)了一批口罩，購(gòu)買(mǎi)的數(shù)量比2020年購(gòu)買(mǎi)的數(shù)量還多100包，設(shè)2020年每包口罩為x元，可列方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根據(jù)題中等量關(guān)系“2021年購(gòu)買(mǎi)的口罩?jǐn)?shù)量比2020年購(gòu)買(mǎi)的口罩?jǐn)?shù)量多100包”即可列出方程．
【詳解】
解：設(shè)2020年每包口罩x元，則2021年每包口罩（x-10）元．
根據(jù)題意，得，

即：
故選：C
【點(diǎn)睛】
本題考查了列分式方程的知識(shí)點(diǎn)，尋找已知量和未知量之間的等量關(guān)系是列出方程的關(guān)鍵．
6．（山東省淄博市2021年中考數(shù)學(xué)試題）甲、乙兩人沿著總長(zhǎng)度為的“健身步道”健步走，甲的速度是乙的1.2倍，甲比乙提前12分鐘走完全程．設(shè)乙的速度為，則下列方程中正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根據(jù)題意可直接進(jìn)行求解．
【詳解】
解：由題意得：；
故選D．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查分式方程的應(yīng)用，熟練掌握分式方程的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
7．（2021·廣西賀州市·中考真題）若關(guān)于的分式方程有增根，則的值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】
根據(jù)分式方程有增根可求出，方程去分母后將代入求解即可.
【詳解】
解：∵分式方程有增根，
∴，
去分母，得，
將代入，得，
解得．
故選：D．
【點(diǎn)睛】
本題考查了分式方程的無(wú)解問(wèn)題，掌握分式方程中增根的定義及增根產(chǎn)生的原因是解題的關(guān)鍵．
8．（2021·廣西賀州市·中考真題）如，我們叫集合，其中1，2，叫做集合的元素．集合中的元素具有確定性（如必然存在），互異性（如，），無(wú)序性（即改變?cè)氐捻樞?，集合不變）．若集合，我們說(shuō)．已知集合，集合，若，則的值是（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】
根據(jù)集合的確定性、互異性、無(wú)序性，對(duì)于集合B的元素通過(guò)分析，與A的元素對(duì)應(yīng)分類(lèi)討論即可．
【詳解】
解：∵集合B的元素，，可得，
∴，
∴，，
∴，
當(dāng)時(shí)，，，，不滿(mǎn)足互異性，情況不存在，
當(dāng)時(shí)，，（舍），時(shí)，，，滿(mǎn)足題意，
此時(shí)，．
故選：Ｃ
【點(diǎn)睛】
本題考查集合的互異性、確定性、無(wú)序性。通過(guò)元素的分析，按照定義分類(lèi)討論即可．
二、填空題
9．（2021·湖北黃石市·中考真題）分式方程的解是______．
【答案】
【分析】
分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解．
【詳解】
解：
去分母得：，
去括號(hào)化簡(jiǎn)得：，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)是分式方程的根，
故填：．
【點(diǎn)睛】
此題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗(yàn)．
10．（2021·黑龍江齊齊哈爾市·中考真題）若關(guān)于x的分式方程的解為正數(shù)，則m的取值范圍是_________．
【答案】且
【分析】
先利用m表示出x的值，再由x為正數(shù)求出m的取值范圍即可．
【詳解】
解：方程兩邊同時(shí)乘以得：
，
解得：，
∵x為正數(shù)，
∴，解得，
∵，
∴，即，
∴m的取值范圍是且，
故答案為：且．
【點(diǎn)睛】
本題考查的是根據(jù)分式方程的解的情況求參數(shù)，可以正確用m表示出x的值是解題的關(guān)鍵．
11．（2021·遼寧本溪市·中考真題）為了弘揚(yáng)我國(guó)書(shū)法藝術(shù)，培養(yǎng)學(xué)生良好的書(shū)寫(xiě)能力，某校舉辦了書(shū)法比賽，學(xué)校準(zhǔn)備為獲獎(jiǎng)同學(xué)頒獎(jiǎng)．在購(gòu)買(mǎi)獎(jiǎng)品時(shí)發(fā)現(xiàn)，A種獎(jiǎng)品的單價(jià)比B種獎(jiǎng)品的單價(jià)多10元，用300元購(gòu)買(mǎi)A種獎(jiǎng)品的數(shù)量與用240元購(gòu)買(mǎi)B種獎(jiǎng)品的數(shù)量相同．設(shè)B種獎(jiǎng)品的單價(jià)是x元，則可列分式方程為_(kāi)_______．
【答案】
【分析】
設(shè)B種獎(jiǎng)品的單價(jià)為x元，則A種獎(jiǎng)品的單價(jià)為（x+10）元，利用數(shù)量=總價(jià)÷單價(jià)，結(jié)合用300元購(gòu)買(mǎi)A種獎(jiǎng)品的件數(shù)與用240元購(gòu)買(mǎi)B種獎(jiǎng)品的件數(shù)相同，即可得出關(guān)于x的分式方程．
【詳解】
解：設(shè)B種獎(jiǎng)品的單價(jià)為x元，則A種獎(jiǎng)品的單價(jià)為（x+10）元，
依題意得：，
故答案為：
【點(diǎn)睛】
本題考查了根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列分式方程，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程．
12．（2021·四川雅安市·中考真題）若關(guān)于x的分式方程的解是正數(shù)，則k的取值范圍是______．
【答案】且
【分析】
根據(jù)題意，將分式方程的解用含的表達(dá)式進(jìn)行表示，進(jìn)而令，再因分式方程要有意義則，進(jìn)而計(jì)算出的取值范圍即可．
【詳解】
解：


根據(jù)題意且
∴
∴
∴k的取值范圍是且．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了分式方程的解及分式方程有意義的條件、一元一次不等式組的求解，熟練掌握相關(guān)計(jì)算方法是解決本題的關(guān)鍵．
13．（2021·山東東營(yíng)市·中考真題）某地積極響應(yīng)“把綠水青山變成金山銀山，用綠色杠桿撬動(dòng)經(jīng)濟(jì)轉(zhuǎn)型”發(fā)展理念，開(kāi)展荒山綠化，打造美好家園，促進(jìn)旅游發(fā)展．某工程隊(duì)承接了90萬(wàn)平方米的荒山綠化任務(wù)，為了迎接雨季的到來(lái)，實(shí)際工作時(shí)每天的工作效率比原計(jì)劃提高了25%，結(jié)果提前30天完成了任務(wù)．設(shè)原計(jì)劃每天綠化的面積為萬(wàn)平方米，則所列方程為_(kāi)_______．
【答案】
【分析】
原計(jì)劃每天綠化的面積為萬(wàn)平方米，則實(shí)際每天綠化的面積為萬(wàn)平方米，根據(jù)工作時(shí)間=工作總量工作效率，結(jié)合實(shí)際比原計(jì)劃提前30天完成了這一任務(wù)，即可列出關(guān)于的分式方程．
【詳解】
設(shè)原計(jì)劃每天綠化的面積為萬(wàn)平方米，則實(shí)際每天綠化的面積為萬(wàn)平方米，
依據(jù)題意：
故答案為：
【點(diǎn)睛】
本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程，找到關(guān)鍵描述語(yǔ)，找到合適的等量關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．

三、解答題
14．（2021·江蘇南通市·中考真題）（1）化簡(jiǎn)求值：，其中；
（2）解方程．
【答案】（1）原式=4；（2）．
【分析】
（1）先用完全平方差公式與多項(xiàng)式乘法公式將原式化簡(jiǎn)為，再將已知條件代入即可；
（2）根據(jù)解分式方程的步驟：去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)、系數(shù)化為1、檢驗(yàn)依次進(jìn)行求解即可．
【詳解】
解：（1）
=
=
當(dāng)時(shí)，原式==；
（2），
去分母得：，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解．
則原方程的解為：．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了代數(shù)式的化簡(jiǎn)求值與解分式方程，關(guān)鍵在于熟練的掌握解題的方法與技巧，注意分式方程要檢驗(yàn)．
15．（2021·江蘇泰州市·中考真題）（1）分解因式：x3﹣9x；
（2）解方程：+1＝．
【答案】（1）x（x+3）（x-3）；（2）x=-1
【分析】
（1）先提取公因式x，再利用平方差公式分解因式即可；
（2）先將分式方程化簡(jiǎn)為整式方程，再求解檢驗(yàn)即可．
【詳解】
解：（1）原式=x（x2-9）=x（x+3）（x-3），
（2）等式兩邊同時(shí)乘以（x-2）得2x+x-2=-5，
移項(xiàng)合并同類(lèi)項(xiàng)得3x=-3，
系數(shù)化為1得x=-1
檢驗(yàn)：當(dāng)x=-1時(shí)，x-2，
∴x=-1是原分式方程的解．
【點(diǎn)睛】
本題考查了因式分解和解分式方程，解題關(guān)鍵是熟練掌握因式分解的方法及注意解分式方程要檢驗(yàn)．
16．（2021·遼寧丹東市·中考真題）為落實(shí)“鄉(xiāng)村振興計(jì)劃”的工作要求，某區(qū)政府計(jì)劃對(duì)鄉(xiāng)鎮(zhèn)道路進(jìn)行改造，安排甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)完成，已知乙隊(duì)比甲隊(duì)每天少改造20米，甲隊(duì)改造400米的道路與乙隊(duì)改造300米的道路所用時(shí)間相同，求甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)每天改造的道路長(zhǎng)度分別是多少米？
【答案】甲工程隊(duì)每天改造的道路長(zhǎng)度是80米，乙工程隊(duì)每天改造的道路長(zhǎng)度是60米．
【分析】
根據(jù)題意列出方程求解即可．
【詳解】
解：設(shè)甲工程隊(duì)每天改造的道路長(zhǎng)度是x米，
列方程得：，
解得：x=80．
80-20=60．
答：甲工程隊(duì)每天改造的道路長(zhǎng)度是80米，乙工程隊(duì)每天改造的道路長(zhǎng)度是60米．
【點(diǎn)睛】
此題考查了分式方程應(yīng)用題的解法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找到等量關(guān)系并列出方程．
17．（2021·江蘇徐州市·中考真題）某網(wǎng)店開(kāi)展促銷(xiāo)活動(dòng)，其商品一律按8折銷(xiāo)售，促銷(xiāo)期間用400元在該網(wǎng)店購(gòu)得某商品的數(shù)量較打折前多出2件．問(wèn)：該商品打折前每件多少元？
【答案】50
【分析】
該商品打折賣(mài)出x件，找到等量關(guān)系即可．
【詳解】
解：該商品打折賣(mài)出x件

解得x=8
經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的解，且符合題意
∴商品打折前每件元
答：該商品打折前每件50元．
【點(diǎn)睛】
此題考查分式方程實(shí)際問(wèn)題中的銷(xiāo)售問(wèn)題，找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
18．（2021·廣西貴港市·中考真題）（1）計(jì)算：；
（2）解分式方程：．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）先分別化簡(jiǎn)二次根式，零指數(shù)冪，有理數(shù)的乘方，特殊角三角函數(shù)值，然后再計(jì)算；
（2）將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，然后解方程，注意分式方程的結(jié)果要進(jìn)行檢驗(yàn)．
【詳解】
解：（1）原式

；
（2）整理，得：，
方程兩邊同時(shí)乘以，得：，
解得：，
檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，
是原分式方程的解．
【點(diǎn)睛】
本題考查零指數(shù)冪，特殊角三角函數(shù)，解分式方程，掌握實(shí)數(shù)混合運(yùn)算的運(yùn)算順序和計(jì)算法則，理解解分式方程的步驟是解關(guān)鍵．
19．（2021·遼寧營(yíng)口市·中考真題）為增加學(xué)生閱讀量，某校購(gòu)買(mǎi)了“科普類(lèi)”和“文學(xué)類(lèi)”兩種書(shū)籍，購(gòu)買(mǎi)“科普類(lèi)”圖書(shū)花費(fèi)了3600元，購(gòu)買(mǎi)“文學(xué)類(lèi)”圖書(shū)花費(fèi)了2700元，其中“科普類(lèi)”圖書(shū)的單價(jià)比“文學(xué)類(lèi)”圖書(shū)的單價(jià)多20%，購(gòu)買(mǎi)“科普類(lèi)”圖書(shū)的數(shù)量比“文學(xué)類(lèi)”圖書(shū)的數(shù)量多20本．
（1）求這兩種圖書(shū)的單價(jià)分別是多少元？
（2）學(xué)校決定再次購(gòu)買(mǎi)這兩種圖書(shū)共100本，且總費(fèi)用不超過(guò)1600元，求最多能購(gòu)買(mǎi)“科普類(lèi)”圖書(shū)多少本？
【答案】（1）“文學(xué)類(lèi)”圖書(shū)的單價(jià)為15元，則“科普類(lèi)”圖書(shū)的單價(jià)為18元；（2）最多能購(gòu)買(mǎi)“科普類(lèi)”圖書(shū)33本．
【分析】
（1）設(shè)“文學(xué)類(lèi)”圖書(shū)的單價(jià)為x元，則“科普類(lèi)”圖書(shū)的單價(jià)為1.2x元，根據(jù)數(shù)量＝總價(jià)÷單價(jià)，結(jié)合購(gòu)買(mǎi)“科普類(lèi)”圖書(shū)的數(shù)量比“文學(xué)類(lèi)”圖書(shū)的數(shù)量多20本，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)能購(gòu)買(mǎi)“科普類(lèi)”圖書(shū)m本，根據(jù)總價(jià)＝單價(jià)×數(shù)量，列出不等式，即可求解．
【詳解】
解：（1）設(shè)“文學(xué)類(lèi)”圖書(shū)的單價(jià)為x元，則“科普類(lèi)”圖書(shū)的單價(jià)為1.2x元，
依題意，得： ，
解得：x＝15，
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝15是所列分式方程的解，且符合題意，
∴1.2x＝18．
答：“文學(xué)類(lèi)”圖書(shū)的單價(jià)為15元，則“科普類(lèi)”圖書(shū)的單價(jià)為18元；
（2）設(shè)能購(gòu)買(mǎi)“科普類(lèi)”圖書(shū)m本，
根據(jù)題意得：18m+15(100-m)≤1600，
解得：，
∵m為整數(shù)，
∴最多能購(gòu)買(mǎi)“科普類(lèi)”圖書(shū)33本．
【點(diǎn)睛】
本題考查了分式方程的應(yīng)用以及不等式的應(yīng)用，找準(zhǔn)數(shù)量關(guān)系，正確列出分式方程和一元一次不等式是解題的關(guān)鍵．
20．（2021·江蘇常州市·中考真題）為落實(shí)節(jié)約用水的政策，某旅游景點(diǎn)進(jìn)行設(shè)施改造，將手?jǐn)Q水龍頭全部更換成感應(yīng)水龍頭．已知該景點(diǎn)在設(shè)施改造后，平均每天用水量是原來(lái)的一半，20噸水可以比原來(lái)多用5天，該景點(diǎn)在設(shè)施改造后平均每天用水多少?lài)崳?br /> 【答案】該景點(diǎn)在設(shè)施改造后平均每天用水2噸．
【分析】
設(shè)該景點(diǎn)在設(shè)施改造后平均每天用水x噸，則原來(lái)平均每天用水2x噸，列出分式方程，即可求解．
【詳解】
解：設(shè)該景點(diǎn)在設(shè)施改造后平均每天用水x噸，則原來(lái)平均每天用水2x噸，
由題意得：，解得：x=2，
經(jīng)檢驗(yàn)：x=2是方程的解，且符合題意，
答：該景點(diǎn)在設(shè)施改造后平均每天用水2噸．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查分式方程的實(shí)際應(yīng)用，找出等量關(guān)系，列出方程，是解題的關(guān)鍵．
21．（2021·內(nèi)蒙古呼和浩特市·中考真題）為了促進(jìn)學(xué)生加強(qiáng)體育鍛煉，某中學(xué)從去年開(kāi)始，每周除體育課外，又開(kāi)展了“足球俱樂(lè)部1小時(shí)”活動(dòng)，去年學(xué)校通過(guò)采購(gòu)平臺(tái)在某體育用品店購(gòu)買(mǎi)A品牌足球共花費(fèi)2880元，B品牌足球共花費(fèi)2400元，且購(gòu)買(mǎi)A品牌足球數(shù)量是B品牌數(shù)量的1.5倍，每個(gè)足球的售價(jià)，A品牌比B品牌便宜12元．今年由于參加俱樂(lè)部人數(shù)增加，需要從該店再購(gòu)買(mǎi)A、B兩種足球共50個(gè)，已知該店對(duì)每個(gè)足球的售價(jià)，今年進(jìn)行了調(diào)整，A品牌比去年提高了5%，B品牌比去年降低了10%，如果今年購(gòu)買(mǎi)A、B兩種足球的總費(fèi)用不超過(guò)去年總費(fèi)用的一半，那么學(xué)校最多可購(gòu)買(mǎi)多少個(gè)B品牌足球？
【答案】最多可購(gòu)進(jìn)33個(gè)B足球
【分析】
設(shè)去年A足球售價(jià)為x元/個(gè)，則B足球售價(jià)為元/個(gè)，根據(jù)購(gòu)買(mǎi)A足球數(shù)量是B足球數(shù)量的1.5倍列出分式方程，求出A足球和B足球的單價(jià)，在設(shè)今年購(gòu)進(jìn)B足球的個(gè)數(shù)為a個(gè)，則購(gòu)買(mǎi)A足球的數(shù)量為個(gè)，根據(jù)購(gòu)買(mǎi)這兩種足球的總費(fèi)用不超過(guò)去年總費(fèi)用的一半列出不等式解答即可．
【詳解】
解：設(shè)去年A足球售價(jià)為x元/個(gè)，則B足球售價(jià)為元/個(gè)
由題意得：


∴
經(jīng)檢驗(yàn)，是原分式方程的解且符合題意
∴A足球售價(jià)為48元/個(gè)，B足球售價(jià)為60元/個(gè)
設(shè)今年購(gòu)進(jìn)B足球的個(gè)數(shù)為a個(gè)，則購(gòu)買(mǎi)A足球的數(shù)量為個(gè)，由題意可得：

∴


∴最多可購(gòu)進(jìn)33個(gè)B足球
【點(diǎn)睛】
本題考查了分式方程，一元一次不等式的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)量作為等量關(guān)系列出方程，根據(jù)利潤(rùn)作為不等關(guān)系列出不等式求解．
22．（2021·吉林長(zhǎng)春市·中考真題）為助力鄉(xiāng)村發(fā)展，某購(gòu)物平臺(tái)推出有機(jī)大米促銷(xiāo)活動(dòng)，其中每千克有機(jī)大米的售價(jià)僅比普通大米多2元，用420元購(gòu)買(mǎi)的有機(jī)大米與用300元購(gòu)買(mǎi)的普通大米的重量相同，求每千克有機(jī)大米的售價(jià)為多少元？
【答案】每千克有機(jī)大米的售價(jià)為7元．
【分析】
設(shè)每千克有機(jī)大米的售價(jià)為x元，則每千克普通大米的售價(jià)為（x-2）元，根據(jù)“用420元購(gòu)買(mǎi)的有機(jī)大米與用300元購(gòu)買(mǎi)的普通大米的重量相同”，列出分式方程，即可求解．
【詳解】
解：設(shè)每千克有機(jī)大米的售價(jià)為x元，則每千克普通大米的售價(jià)為（x-2）元，
根據(jù)題意得：，解得：x=7，
經(jīng)檢驗(yàn)：x=7是方程的解，且符合題意，
答：每千克有機(jī)大米的售價(jià)為7元．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查分式方程的實(shí)際應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，列出分式方程，是解題的關(guān)鍵．
23．（2021·廣西中考真題）解分式方程：．
【答案】
【分析】
分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解．
【詳解】
解：
去分母，得，
解此方程，得，
經(jīng)檢驗(yàn)，是原分式方程的根．
【點(diǎn)睛】
本題考查了解分式方程，解分式方程的關(guān)鍵是將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，不要忘記檢驗(yàn)．
24．（2021·山東威海市·中考真題）六一兒童節(jié)來(lái)臨之際，某商店用3000元購(gòu)進(jìn)一批玩具，很快售完；第二次購(gòu)進(jìn)時(shí)，每件的進(jìn)價(jià)提高了20%，同樣用3000元購(gòu)進(jìn)的數(shù)量比第一次少了10件．
（1）求第一次每件的進(jìn)價(jià)為多少元？
（2）若兩次購(gòu)進(jìn)的玩具售價(jià)均為70元，且全部售完，求兩次的總利潤(rùn)為多少元？
【答案】（1）第一次每件的進(jìn)價(jià)為50元；（2）兩次的總利潤(rùn)為1700元．
【分析】
（1）設(shè)第一次每件的進(jìn)價(jià)為x元，則第二次進(jìn)價(jià)為（1+20%）x，根據(jù)等量關(guān)系，列出分式方程，即可求解；
（2）根據(jù)總利潤(rùn)=總售價(jià)-總成本，列出算式，即可求解．
【詳解】
解：（1）設(shè)第一次每件的進(jìn)價(jià)為x元，則第二次進(jìn)價(jià)為（1+20%）x，
根據(jù)題意得：，解得：x=50，
經(jīng)檢驗(yàn)：x=50是方程的解，且符合題意，
答：第一次每件的進(jìn)價(jià)為50元；
（2）（元），
答：兩次的總利潤(rùn)為1700元．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查分式方程的實(shí)際應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，列出分式方程，是解題的關(guān)鍵．
25．（2021·山東濟(jì)寧市·中考真題）某商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品共100箱，全部售完后，甲商品共盈利900元，乙商品共盈利400元，甲商品比乙商品每箱多盈利5元．
（1）求甲、乙兩種商品每箱各盈利多少元？
（2）甲、乙兩種商品全部售完后，該商場(chǎng)又購(gòu)進(jìn)一批甲商品，在原每箱盈利不變的前提下，平均每天可賣(mài)出100箱．如調(diào)整價(jià)格，每降價(jià)1元，平均每天可以多賣(mài)出20箱，那么當(dāng)降價(jià)多少元時(shí)，該商場(chǎng)利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？
【答案】（1）甲種商品每箱盈利15元，則乙種商品每箱盈利10元；（2）當(dāng)降價(jià)5元時(shí)，該商場(chǎng)利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是2000元．
【分析】
（1）設(shè)甲種商品每箱盈利x元，則乙種商品每箱盈利（x-5）元，根據(jù)題意列出方程，解方程即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)甲種商品降價(jià)a元，則每天可多賣(mài)出20a箱，利潤(rùn)為w元，根據(jù)題意列出函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的最值．
【詳解】
解：（1）設(shè)甲種商品每箱盈利x元，則乙種商品每箱盈利（x-5）元，根據(jù)題意得：
，
整理得：x2-18x+45=0，
解得：x=15或x=3（舍去），
經(jīng)檢驗(yàn)，x=15是原分式方程的解，符合實(shí)際，
∴x-5=15-5=10（元），
答：甲種商品每箱盈利15元，則乙種商品每箱盈利10元；
（2）設(shè)甲種商品降價(jià)a元，則每天可多賣(mài)出20a箱，利潤(rùn)為w元，由題意得：
w=（15-a）（100+20a）=-20a2+200a+1500=-20（a-5）2+2000，
∵a=-20，
當(dāng)a=5時(shí)，函數(shù)有最大值，最大值是2000元，
答：當(dāng)降價(jià)5元時(shí)，該商場(chǎng)利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是2000元．
【點(diǎn)睛】
本題考查了分式方程及二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，找出等量關(guān)系，準(zhǔn)確列出分式方程及函數(shù)關(guān)系式．
26．（2021·廣東中考真題）端午節(jié)是我國(guó)入選世界非物質(zhì)文化遺產(chǎn)的傳統(tǒng)節(jié)日，端午節(jié)吃粽子是中華民族的傳統(tǒng)習(xí)俗．市場(chǎng)上豆沙粽的進(jìn)價(jià)比豬肉粽的進(jìn)價(jià)每盒便宜10元，某商家用8000元購(gòu)進(jìn)的豬肉粽和用6000元購(gòu)進(jìn)的豆沙粽盒數(shù)相同．在銷(xiāo)售中，該商家發(fā)現(xiàn)豬肉粽每盒售價(jià)50元時(shí)，每天可售出100盒；每盒售價(jià)提高1元時(shí)，每天少售出2盒．
（1）求豬肉粽和豆沙粽每盒的進(jìn)價(jià)；
（2）設(shè)豬肉粽每盒售價(jià)x元表示該商家每天銷(xiāo)售豬肉粽的利潤(rùn)（單位：元），求y關(guān)于x的函數(shù)解析式并求最大利潤(rùn)．
【答案】（1）豬肉粽每盒進(jìn)價(jià)40元，豆沙粽每盒進(jìn)價(jià)30元；（2），最大利潤(rùn)為1750元
【分析】
（1）設(shè)豬肉粽每盒進(jìn)價(jià)a元，則豆沙粽每盒進(jìn)價(jià)元，根據(jù)某商家用8000元購(gòu)進(jìn)的豬肉粽和用6000元購(gòu)進(jìn)的豆沙粽盒數(shù)相同列方程計(jì)算即可；
（2）根據(jù)題意當(dāng)時(shí)，每天可售100盒，豬肉粽每盒售x元時(shí)，每天可售盒，列出二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算最大值即可．
【詳解】
解：（1）設(shè)豬肉粽每盒進(jìn)價(jià)a元，則豆沙粽每盒進(jìn)價(jià)元．
則
解得：，經(jīng)檢驗(yàn)是方程的解．
∴豬肉粽每盒進(jìn)價(jià)40元，豆沙粽每盒進(jìn)價(jià)30元．
答：豬肉粽每盒進(jìn)價(jià)40元，豆沙粽每盒進(jìn)價(jià)30元．
（2）由題意得，當(dāng)時(shí)，每天可售100盒．
當(dāng)豬肉粽每盒售x元時(shí)，每天可售盒．每盒的利潤(rùn)為()
∴，

配方得：
當(dāng)時(shí)，y取最大值為1750元．
∴，最大利潤(rùn)為1750元．
答：y關(guān)于x的函數(shù)解析式為，且最大利潤(rùn)為1750元．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查分式方程的實(shí)際應(yīng)用以及二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)題意列出相應(yīng)的函數(shù)解析式是解決本題的關(guān)鍵．
27．（2021·內(nèi)蒙古中考真題）小剛家到學(xué)校的距離是1800米．某天早上，小剛到學(xué)校后發(fā)現(xiàn)作業(yè)本忘在家中，此時(shí)離上課還有20分鐘，于是他立即按原路跑步回家，拿到作業(yè)本后騎自行車(chē)按原路返回學(xué)校．已知小剛騎自行車(chē)時(shí)間比跑步時(shí)間少用了4.5分鐘，且騎自行車(chē)的平均速度是跑步的平均速度的1.6倍．
（1）求小剛跑步的平均速度；
（2）如果小剛在家取作業(yè)本和取自行車(chē)共用了3分鐘，他能否在上課前趕回學(xué)校？請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】（1）小剛跑步的平均速度為150米/分；（2）小剛不能在上課前趕回學(xué)校，見(jiàn)解析
【分析】
（1）根據(jù)題意，列出分式方程即可求得小剛的跑步平均速度；
（2）先求出小剛跑步和騎自行車(chē)的時(shí)間，加上取作業(yè)本和取自行車(chē)的時(shí)間，與上課時(shí)間20分鐘作比較即可．
【詳解】
解：（1）設(shè)小剛跑步的平均速度為x米/分，則小剛騎自行車(chē)的平均速度為1.6x米/分，
根據(jù)題意，得，
解這個(gè)方程，得，
經(jīng)檢驗(yàn)，是所列方程的根，
所以小剛跑步的平均速度為150米/分．
（2）由（1）得小剛跑步的平均速度為150米/分，
則小剛跑步所用時(shí)間為（分），
騎自行車(chē)所用時(shí)間為（分），
在家取作業(yè)本和取自行車(chē)共用了3分，
所以小剛從開(kāi)始跑步回家到趕回學(xué)校需要（分）．
因?yàn)椋?br /> 所以小剛不能在上課前趕回學(xué)校．
【點(diǎn)睛】
本題考查路程問(wèn)題的分式方程，解題關(guān)鍵是明確題意，列出分式方程求解．
28．（2021·江蘇無(wú)錫市·中考真題）為了提高廣大職工對(duì)消防知識(shí)的學(xué)習(xí)熱情，增強(qiáng)職工的消防意識(shí)，某單位工會(huì)決定組織消防知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，本次活動(dòng)擬設(shè)一、二等獎(jiǎng)若干名，并購(gòu)買(mǎi)相應(yīng)獎(jiǎng)品．現(xiàn)有經(jīng)費(fèi)1275元用于購(gòu)買(mǎi)獎(jiǎng)品，且經(jīng)費(fèi)全部用完，已知一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品單價(jià)與二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品單價(jià)之比為4∶3．當(dāng)用600元購(gòu)買(mǎi)一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品時(shí)，共可購(gòu)買(mǎi)一、二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品25件．
（1）求一、二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品的單價(jià)；
（2）若購(gòu)買(mǎi)一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品的數(shù)量不少于4件且不超過(guò)10件，則共有哪幾種購(gòu)買(mǎi)方式？
【答案】（1）一、二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品的單價(jià)分別是60元，45元；（2）共有3種購(gòu)買(mǎi)方案，分別是：一等獎(jiǎng)品數(shù)4件，二等獎(jiǎng)品數(shù)23件；一等獎(jiǎng)品數(shù)7件，二等獎(jiǎng)品數(shù)19件；一等獎(jiǎng)品數(shù)10件，二等獎(jiǎng)品數(shù)15件．
【分析】
（1）設(shè)一、二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品的單價(jià)分別是4x，3x，根據(jù)等量關(guān)系，列出分式方程，即可求解；
（2）設(shè)購(gòu)買(mǎi)一等獎(jiǎng)品的數(shù)量為m件，則購(gòu)買(mǎi)二等獎(jiǎng)品的數(shù)量為件，根據(jù)4≤m≤10，且為整數(shù)，m為整數(shù)，即可得到答案．
【詳解】
解：（1）設(shè)一、二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品的單價(jià)分別是4x，3x，
由題意得：，解得：x=15，
經(jīng)檢驗(yàn)：x=15是方程的解，且符合題意，
∴15×4=60（元），15×3=45（元），
答：一、二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品的單價(jià)分別是60元，45元；
（2）設(shè)購(gòu)買(mǎi)一等獎(jiǎng)品的數(shù)量為m件，則購(gòu)買(mǎi)二等獎(jiǎng)品的數(shù)量為件，
∵4≤m≤10，且為整數(shù)，m為整數(shù)，
∴m=4，7，10，
答：共有3種購(gòu)買(mǎi)方案，分別是：一等獎(jiǎng)品數(shù)4件，二等獎(jiǎng)品數(shù)23件；一等獎(jiǎng)品數(shù)7件，二等獎(jiǎng)品數(shù)19件；一等獎(jiǎng)品數(shù)10件，二等獎(jiǎng)品數(shù)15件．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查分式方程和不等式組的實(shí)際應(yīng)用，準(zhǔn)確找出數(shù)量關(guān)系，列出分式方程或不等式，是解題的關(guān)鍵．



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